một số tính chất của môđun đồng điều địa phương

Năm 1999-2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã đưa ra một định nghĩa của môđun đồng điều địa phương và chứng minh được nhiều kết quả cho lớp môđun Artin, hơn nữa các tác giả còn mở r

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Hùng Vương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Hùng Vương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

L ỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của rất nhiều người Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy đã chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn, giúp tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các quý Thầy, Cô đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt quá trình học cao học Những kiến thức quý báu này sẽ làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình tôi, bạn bè tôi, những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt khóa học này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013

BÙI HÙNG VƯƠNG

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

KÍ HIỆU 3

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Hàm tử dẫn xuất trái 7

1.2 Giới hạn nghịch 9

1.3 Đầy đủ của môđun 11

1.4 Bao nội xạ 13

1.5 Đối Ngẫu Matlis 14

1.6 Phức Koszul 15

1.7 Phạm trù ∗ 𝓜(𝑹) 17

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 19

2.1 Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic 19

2.2 Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul 21

2.3 Đồng điều địa phương của môđun Artin 35

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 49

3.1 ∗ Giới hạn nghịch 49

3.2 Đầy đủ ∗ adic của môđun 52

3.3 Phức Koszul trong phạm trù ∗ 𝓜𝑹 56

3.4 Môđun đồng điều địa phương phân bậc 58

3.5 Môđun đồng điều địa phương phân bậc và môđun đồng điều Koszul 61

3.6 Đồng điều địa phương phân bậc của môđun Artin 69

K ẾT LUẬN 77

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 78

Ann𝑅(𝑀) linh hóa tử của môđun 𝑀

𝑀𝑖 , lim⟶𝑀𝑖 giới hạn thuận của hệ thuận các môđun {𝑀𝑖}

∧𝐼, ∧𝐼 (−) hàm tử đầy đủ 𝐼-adic

𝐿𝐼𝑖 hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼

𝐻𝐼𝑖(𝑀) môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo iđêan 𝐼

𝐻𝑖𝐼(𝑀) môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼

𝐾∘(𝑥) phức Koszul của vành 𝑅 theo dãy 𝑥 = (𝑥1, … 𝑥𝑟)

𝐾∘(𝑥; 𝑀) phức Koszul của môđun 𝑀 theo dãy 𝑥 = (𝑥1, … 𝑥𝑟)

𝐻𝑖(𝑥) môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘(𝑥)

𝐻𝑖(𝑥; 𝑀) môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘(𝑥; 𝑀)

𝐻𝑖𝑥(𝑀) môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo dãy 𝑥

𝐸(𝑀) bao nội xạ của môđun 𝑀

Ass𝑅(𝑀) tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun 𝑀 Coass𝑅(𝑀) tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun 𝑀

M Ở ĐẦU

Lý thuyết về đối đồng điều địa phương là một công cụ quan trọng trong hình học đại số

và ngày càng có nhiều ứng dụng trong đại số giao hoán Do đó nhiều nhà toán học trên thế

giới đã tìm cách xây dựng một lý thuyết khác, xem như là đối ngẫu với lý thuyết này Vấn

đề này đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees – May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999),…Tuy nhiên các kết quả còn hạn chế và

chủ yếu nghiên cứu trên lớp các môđun Artin vì giới hạn ngược không khớp phải trên phạm trù các môđun

Năm 1999-2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã đưa ra một định nghĩa của môđun đồng điều địa phương và chứng minh được nhiều kết quả cho lớp môđun Artin, hơn

nữa các tác giả còn mở rộng và phát triển lý thuyết đồng điều địa phương cho lớp các môđun Compact tuyến tính, là lớp môđun rất rộng chứa lớp môđun Artin

Luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu về các tính chất của môđun đồng điều địa phương, đặc biệt trên lớp các môđun Artin Nội dung luận văn được tham khảo trực tiếp từ bài báo

của Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam: “The I-adic completion and local homology for

Artinian modules” [8] Trên cơ sở chứng minh chi tiết các vấn đề được nêu ra trong bài báo

và nghiên cứu các tính chất này cho đồng điều địa phương phân bậc, xem như là khái niệm đối ngẫu với đối đồng điều địa phương phân bậc

Luận văn được trình bày thành ba chương Chương một chúng ta sẽ trình bày một số

kiến thức được trang bị dùng đến cho hai chương sau, như: hàm tử dẫn xuất trái, giới hạn nghịch, đầy đủ của một môđun, bao nội xạ, đối ngẫu Matlis, phức Koszul, phạm trù các môđun phân bậc Chương hai trình bày các tính chất của môđun đồng điều địa phương Cụ

thể như sau:

Trong phần 2.1 của chương hai chúng ta sẽ trình bày về hàm tử dẫn xuất trái của hàm tử đầy I-adic, ∧𝐼(−) Do hàm tử này không khớp trái nên ta sẽ xét mối quan hệ của nó với hàm tử dẫn xuất trái 𝐿𝐼0(−)

Phần 2.2 trình bày mối liên hệ giữa môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều

Koszul Trước tiên định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼(𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼(𝑀) = lim

⟵ 𝑡

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)

Khi đó {𝐻𝑖𝐼(−)}𝑖≥0 là một dãy nối dương từ phạm trù ℳ(𝑅) vào chính nó Sau đó chỉ ra

mối liên hệ giữa 𝐻𝑖𝐼(𝑀) và 𝐿𝐼𝑖(𝑀), chứng minh một số tính chất của môđun 𝐻𝑖𝐼(𝑀) như

tính I-tách và công thức tính dựa vào đối ngẫu Matlis Cuối cùng chỉ ra đẳng cấu tự nhiên giữa môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul

Tới phần 2.3, chính là trọng tâm của chương này, sẽ trình bày một số tính chất về môđun đồng điều địa phương cho lớp các môđun Artin Trước hết là đẳng cấu tự nhiên giữa 𝐻𝑖𝐼(−)

và 𝐿𝐼𝑖(−) cho lớp môđun này Dựa vào đẳng cấu này chúng ta sẽ có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương đối với dãy khớp ngắn các môđun Artin Tiếp theo là tính chất

∧𝐼- acyclic và đặc trưng về đồng điều địa phương của môđun Artin I-tách Đưa ra định lý

“Flat base change theorem” cho môđun đồng điều địa phương Cuối cùng xét tính Artin và Noether, tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương

Cuối cùng chương 3 trình bày một số tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương phân bậc Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀 theo iđêan 𝐼

, ký hiệu 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼

⟵

∗ 𝑡

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)

Trong phạm vi luận văn chỉ mới tập trung nghiên cứu và chứng minh một số tính chất được chuyển từ tính chất của môđun đồng điều địa phương qua Vẫn còn nhiều tính chất đặc trưng về phân bậc chưa được nhắc đến

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do kiến thức còn

hạn hẹp nên chắc rằng luận văn vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của Quí Thầy Cô, bạn đọc, để nội dung của luận văn được hoàn chỉnh hơn

C HƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm t ử dẫn xuất trái

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai

phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh Chúng ta xây đựng hàm tử 𝐿𝑛𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, với mọi số nguyên 𝑛 như sau:

Với mỗi vật 𝐴 ∈ 𝒜, chọn một phép giải xạ ảnh của 𝐴

Định nghĩa này rõ ràng không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của 𝐴 ([23, 6.20])

Khi đó 𝐿𝑛𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 là hàm tử cộng tính và hiệp biến với mọi 𝑛 ([23, 6.17]) Hàm tử 𝐿𝑛𝑇

được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑛 của 𝑇

Định lý 1.1.2 ([23, 6.27]) Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞

là hai ph ạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh Nếu ta có dãy khớp ngắn trong 𝒜

0 → 𝐴→ 𝐵𝑓 → 𝐶 → 0 𝑔

Khi đó chúng ta có khớp dài trong 𝒞

…(𝐿�⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1𝑇)𝑓 𝑛+1𝑇)𝐵(𝐿�⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1𝑇)𝑔 𝑛+1𝑇)𝐶𝛿�⎯� (𝐿𝑛+1 𝑛𝑇)𝐴(𝐿�⎯⎯⎯� (𝐿𝑛𝑇)𝑓 𝑛𝑇)𝐵(𝐿�⎯⎯⎯� … 𝑛𝑇)𝑔

…(𝐿�⎯⎯⎯� (𝐿1𝑇)𝑔 1𝑇)𝐶→ (𝐿𝛿1 0𝑇)𝐴(𝐿�⎯⎯⎯� (𝐿0𝑇)𝑓 0𝑇)𝐵(𝐿�⎯⎯⎯� (𝐿0𝑇)𝑔 0𝑇)𝐶 → 0

Chú ý là các đồng cấu nối 𝛿𝑛+1: (𝐿𝑛+1𝑇)𝐶 → (𝐿𝑛𝑇)𝐴, 𝑛 ≥ 0 có tính chất tự nhiên; nghĩa là,

nếu dãy khớp ngắn 0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0 trong 𝒜 làm biểu đồ giao hoán

0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0

0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0 Thì biểu đồ sau giao hoán

(𝐿𝑛+1𝑇)𝐶 𝛿 �⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛𝑇)𝐴 ↓ ↓

↓ ↓ ↓

(𝐿𝑛+1𝑇)𝐶′ 𝛿�⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿′ 𝑛𝑇)𝐴′

Hệ quả 1.1.3 ([23, 6.28]) Nếu 𝑇: ℳ(𝑅) ⟶ ℳ(𝑅′) là hàm tử cộng tính và hiệp biến thì

hàm t ử 𝐿0𝑇 là khớp phải

Hơn nữa nếu như có thêm giả thuyết 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 là hàm tử cộng tính, hiệp biến và khớp

phải thì 𝑇 đẳng cấu tự nhiên với 𝐿0𝑇 ([23, 6.29])

Định nghĩa 1.1.4 Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel Dãy các hàm tử cộng tính, hiệp biến

{𝑇𝑛: 𝒜 ⟶ 𝒞}𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương, nếu với mỗi dãy khớp ngắn trong 𝒜, 0 → 𝐴

→ 𝐵 → 𝐶 → 0, tồn tại các đồng cấu nối 𝑇𝑛+1(𝐶)𝛿�⎯� 𝑇𝑛+1 𝑛(𝐴) sao cho phức

… → 𝑇𝑛+1(𝐵) → 𝑇𝑛+1(𝐶)𝛿�⎯� 𝑇𝑛+1 𝑛(𝐴) → 𝑇𝑛(𝐵) → ⋯

… → 𝑇1(𝐶)𝛿→ 𝑇1 0(𝐴) → 𝑇0(𝐵) → 𝑇0(𝐶) → 0 tồn tại và các đồng cấu nối này có tính chất tự nhiên

Dãy {𝑇𝑛}𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương mạnh nếu như có thêm điều kiện phức trên là

khớp

Đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛}𝑛≥0 → {𝐻𝑛}𝑛≥0 của hai dãy nối dương là dãy các phép biến đổi tự nhiên

𝑓𝑛: 𝑇𝑛 → 𝐻𝑛 với 𝑛 ≥ 0, thỏa với mỗi dãy khớp ngắn 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 thì biểu đồ sau giao hoán

𝑇𝑛+1(𝐶) 𝛿 �⎯⎯⎯⎯� 𝑇𝑛(𝐴)

𝐻𝑛+1(𝐶) 𝛿 �⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑛(𝐴)

Định lý 1.1.5 ([23, 6.36]) Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh Nếu

{𝑇𝑛}𝑛≥0, {𝐻𝑛}𝑛≥0 là dãy nối dương mạnh từ 𝒜 ⟶ 𝒞, với 𝐻𝑛(𝑃) = 0 cho mọi vật xạ ảnh 𝑃

và 𝑛 ≥ 1, và nếu 𝑓0: 𝑇0 → 𝐻0 là biến đổi tự nhiên, thì tồn tại duy nhất đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛} →{𝐻𝑛} Hơn nữa nếu 𝑓0 là đẳng cấu tự nhiên thì 𝑓𝑛 là đẳng cấu tự nhiên với mọi 𝑛 ≥ 0

Hệ quả 1.1.6 Cho hai hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇, 𝐻: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai

ph ạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh Nếu hai hàm tử 𝑇 và 𝐻 là đẳng cấu tự nhiên; 𝐿𝑛𝐻(𝑃) =

0 cho mọi vật xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, khi đó tồn tại đẳng cấu giữa hai dãy nối dương mạnh

{𝐿𝑛𝑇}𝑛≥0 và {𝐿𝑛𝐻}𝑛≥0

1.2 Gi ới hạn nghịch

Trong phần này các môđun được xét trên vành 𝑅 và các họ môđun đều được chỉ số bởi

tập số tự nhiên ℕ Những trường hợp khác sẽ được nói rõ

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử {𝑀𝑖}𝑖∈ℕ là họ các R-môđun và với mỗi cặp 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗, tồn

tại đồng cấu R-môđun 𝜃𝑗𝑖: 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 Khi đó họ (𝑀𝑖)𝑖∈ℕ cùng với họ đồng cấu (𝜃𝑗𝑖)𝑗≥𝑖 được

gọi là một hệ nghịch nếu các điều kiện sau thỏa:

(i) 𝜃𝑖𝑖: 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là ánh xạ đồng nhất, ∀𝑖 ∈ ℕ

(ii) Với mọi 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 thì 𝜃𝑘𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝜃𝑘𝑗

Khi đó chúng ta có thể kí hiệu hệ nghịch này là �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� Đôi khi là {𝑀𝑖} (khi không cần nhắc đến vai trò của các đồng cấu 𝜃𝑗𝑖) Nếu mọi 𝜃𝑗𝑖 là toàn cấu thì hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� được

gọi là hệ nghịch toàn cấu

Định nghĩa 1.2.2 Cho hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� Tập con của tích trực tiếp ∏𝑖∈ℕ𝑀𝑖 gồm tất cả các phần tử (𝑥𝑖)𝑖∈ℕ thỏa mãn 𝜃𝑗𝑖(𝑥𝑗) = 𝑥𝑖, với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗 lập thành 𝑅-môđun con

của ∏𝑖∈ℕ𝑀𝑖 Ta gọi môđun này là giới hạn nghịch của hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� và được kí hiệu

lim⟵ 𝑀𝑖 = {(𝑥𝑖)|𝜃𝑖+1(𝑥𝑖+1) = 𝑥𝑖, ∀𝑖 ≥ 0}

M ệnh đề 1.2.4 ([2, C.2, 4.3]) Cho hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�, khi đó tồn tại giới hạn nghịch lim⟵𝑀𝑖 Xét họ R-đồng cấu {𝑓𝑖}𝑖∈ℕ , với 𝑓𝑖 ∶ lim⟵𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là phép chiếu xuống

thành phần thứ 𝑖 Khi đó các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) 𝑓𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝑓𝑗, với mọi 𝑗 ≥ 𝑖

(ii) Nếu tồn tại R-môđun 𝑀′ và họ các R-đồng cấu {𝑔𝑖}𝑖∈ℕ, 𝑔𝑖: 𝑀′ → 𝑀𝑖, cũng thỏa điều kiện trên, tức là 𝑔𝑖 = 𝜃𝑗𝑖∘ 𝑔𝑗, ∀𝑗 ≥ 𝑖, thì tồn tại duy nhất R-đồng cấu 𝜆: 𝑀′ → lim

sao cho 𝑔𝑖 = 𝑓𝑖∘ 𝜆, ∀𝑖 ∈ 𝐼

Ví d ụ 1.2.5 Cho môđun 𝑀 và dãy giảm các môđun con

Khi đó họ {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ cùng với họ các phép nhúng (𝜃𝑛: 𝑀𝑛→ 𝑀𝑛−1)𝑛∈ℕ∗ lập thành một hệ nghịch và chúng ta có lim

⟵ 𝑀𝑛 ≅ ⋂ 𝑀∞𝑖=0 𝑖

Định nghĩa 1.2.6 Cho �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�, �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖�, �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� là các hệ nghịch, đồng cấu �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� ⟶

�𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖� là tập hợp các R-đồng cấu 𝑓𝑖: 𝑀𝑖 ⟶ 𝑁𝑖, với 𝑖 ∈ ℕ, sao cho với mỗi 𝑗 ≥ 𝑖 thì biểu

đồ sau giao hoán

với các đồng cấu nối được kí hiệu là

lim⟵ 𝑓𝑖: lim⟵ 𝑀𝑖→ lim ⟵ 𝑁𝑖 ; lim⟵ 𝑔𝑖: lim⟵ 𝑁𝑖→ lim ⟵ 𝑃𝑖 Vậy lim⟵ chỉ bảo toàn tính khớp trái Để tìm điều kiện cho lim⟵ khớp về bên phải chúng ta đưa ra định nghĩa sau: hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� được gọi là thỏa điều kiện Mittag – Leffer (M-L)

nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, họ dãy giảm �𝜃𝑗𝑖�𝑀𝑗� ⊆ 𝑀𝑖�𝑗 ≥ 𝑖� các mô đun con của 𝑀𝑖 là dừng Nói

một cách khác là với mỗi 𝑖 ∈ 𝐼 tồn tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗′, 𝑗′′≥ 𝑗0 thì 𝜃𝑗′ 𝑖�𝑀𝑗′� =

𝜃𝑗′′ 𝑖�𝑀𝑗′′�

Nh ận xét Nếu với mọi 𝑖 ≥ 𝑗 đồng cấu 𝜃𝑗𝑖: 𝑀𝑗→ 𝑀𝑖 là toàn cấu, hoặc với mỗi 𝑖 ∈ ℕ tồn

tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗 ≥ 𝑗0, 𝜃𝑗𝑖�𝑀𝑗� = 0, thì �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� thỏa M-L Hệ nghịch các

môđun Artin hiển nhiên thỏa M-L

Mệnh đề 1.2.8 ([12, II, pro.9.1]) Cho dãy khớp các hệ nghịch

0 → �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� {𝑓�⎯⎯⎯� �𝑁𝑖} 𝑖, 𝜑𝑗𝑖� {𝑔�⎯⎯⎯� �𝑃𝑖} 𝑖, 𝜓𝑗𝑖� → 0

Khi đó

(i) N ếu �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖� thỏa M-L thì �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� cũng thỏa

(ii) N ếu �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� thỏa M-L thì dãy sau là khớp

𝑀𝑖𝑖′)

Từ bổ đề trên ta có ngay hệ quả trực tiếp sau

H ệ quả 1.2.10 Cho �𝑀𝑖𝑖′, 𝜃𝑗𝑖𝑗′𝑖′� là hệ nghịch các môđun trên tập ℕ × ℕ Khi đó

1.3 Đầy đủ của môđun

Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅

Định nghĩa 1.3.1 (đầy đủ của môđun) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ là một lọc các

môđun con của 𝑀 Khi đó họ {𝑀 𝑀⁄ }𝑛 𝑛∈ℕ cùng với họ các toàn cấu chính tắc {𝜃𝑛: 𝑀/𝑀𝑛

→ 𝑀/𝑀𝑛−1}𝑛∈ℕ∗ là một hệ nghịch và giới hạn nghịch của hệ này được gọi là đầy đủ của

môđun 𝑀 Kí hiệu là 𝑀�, vậy 𝑀� = lim

Ta có đồng cấu tự nhiên 𝑓: 𝑀 → 𝑀� với Ker𝑓 = ⋂ 𝑀𝑛 𝑛

Khái niệm đầy đủ này có liên quan trong tô pô, do đó chúng ta sẽ có một cách miêu tả

khác cho khái niệm đầy đủ của một môđun

Một dãy các phần tử {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ của 𝑅-môđun 𝑀 được gọi là dãy Cauchy trong 𝑀 nếu như

với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑚, 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑚− 𝑥𝑛 ∈ 𝑀𝑡 Chúng ta xét

quan hệ tương đương sau: đối với các dãy Cauchy trong 𝑀, {𝑥𝑛}~{𝑦𝑛} nếu như với mỗi

𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑛− 𝑦𝑛 ∈ 𝑀𝑡 Gọi 𝑀∗ là tập hợp tất cả

các dãy Cauchy trong 𝑀 theo quan hệ tương đương trên, khi đó 𝑀∗≅ 𝑀� Đặt biệt 𝑅∗ ≅ 𝑅�

([1, C.2, 4.3])

Dãy Cauchy {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ trong 𝑀 được gọi là hội tụ về 𝑥 ∈ 𝑀 nếu với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn

tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑛− 𝑥 ∈ 𝑀𝑡 Môđun 𝑀 được gọi là môđun đầy đủ

nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑀 đều hội tụ, hay 𝑀 ≅ 𝑀� Đặc biệt vành 𝑅 được gọi là vành

đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑅 đều hội tụ, hay 𝑅 ≅ 𝑅�

Chú ý 1.3.2 Khi lọc {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ là lọc {𝐼𝑛𝑀}𝑛∈ℕ thì môđun 𝑀� được gọi là đầy đủ 𝐼-adic

của môđun 𝑀, trong trường hợp này ta sẽ kí hiệu là ∧𝐼 (𝑀) Vậy

∧𝐼 (𝑀) = lim

Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh ∧𝐼 là hàm tử từ phạm trù ℳ(𝑅) vào chính nó

Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, xác định 𝑅-đồng cấu

𝑓𝑛: 𝑀/𝐼𝑛𝑀 → 𝑁/𝐼𝑛𝑁 như sau: 𝑥 + 𝐼𝑛𝑀 ∈ 𝑀/𝐼𝑛𝑀 thì 𝑓𝑛(𝑥 + 𝐼𝑛𝑀) = 𝑓(𝑥) + 𝐼𝑛𝑁 Khi đó

∏𝑛∈ℕ𝑓𝑛: ∏𝑛∈ℕ𝑀/𝐼𝑛𝑀→ ∏𝑛∈ℕ𝑁/𝐼𝑛𝑁 cảm sinh 𝑅-đồng cấu ∧𝐼 (𝑓): ∧𝐼 (𝑀) →∧𝐼 (𝑁)

Nếu 𝑓, 𝑔: 𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng cấu thì ∧𝐼 (𝑓 + 𝑔) =∧𝐼 (𝑓) +∧𝐼 (𝑔)

Như vậy ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun vào chính

nó Chúng ta sẽ xét sự bảo toàn dãy khớp của hàm tử này

Chúng ta đã biết nếu 𝐽 là ideal của 𝑅 thì 𝑅/𝐽⨂𝑅𝑀 ≅ 𝑀/𝐽𝑀, do đó với bất kì 𝑛 ∈ ℕ ta có 𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀 ≅ 𝑀/𝐼𝑛𝑀 Kí hiệu 𝑇𝐼(𝑀) = lim

⟵(𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀) Như vậy

∧𝐼 (𝑀) = lim⟵𝑀/𝐼𝑛𝑀 ≅ lim⟵(𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀) = 𝑇𝐼(𝑀)

Dễ dàng kiểm tra được 𝑇𝐼(−) là hàm tử hiệp biến, cộng tính và đẳng cấu ở trên là tự nhiên hay có đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử 𝑇𝐼(−) và ∧𝐼(−) Do tích tenxơ không khớp trái,

giới hạn nghịch không khớp phải nên nói chung ∧𝐼 (−) không là khớp trái, cũng không là

khớp phải Nhưng nếu thêm giả thuyết 𝑅 là vành Noether và chỉ xét phạm trù các 𝑅-môđun

hữu hạn sinh thì ∧𝐼(−) là hàm tử khớp

Bổ đề 1.3.3 ([1, C.2, 4.8]) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ, {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ là l ọc các

mô đun con của 𝑀 Nếu với mỗi 𝑀𝑛 t ồn tại 𝑁𝑚 sao cho 𝑁𝑚 ⊆ 𝑀𝑛 và ngược lại, với mỗi 𝑁𝑚

t ồn tại 𝑀𝑛 sao cho 𝑀𝑛 ⊆ 𝑁𝑚 thì lim⟵𝑀/𝑀𝑛 ≅ lim⟵ 𝑀/𝑁𝑛

Hệ quả 1.3.4 Cho 𝑅 là vành Noether, 𝑁 là môđun con của môđun hữu hạn sinh 𝑀 Khi

đó chúng ta có lọc {𝐼𝑛𝑁} và {𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁} của môđun 𝑁, hơn nữa

lim⟵ 𝑁/(𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁) ≅ lim⟵𝑁/𝐼𝑛𝑁

Ch ứng minh Với mỗi 𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁, hiển nhiên 𝐼𝑛𝑁 ⊆ 𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁 Ngược lại, từ định lý Rees thì tồn tại số nguyên 𝑘 ≥ 0 thỏa 𝐼𝑚+𝑘𝑀 ∩ 𝑁 = 𝐼𝑚(𝐼𝑘𝑀 ∩ 𝑁) với 𝑚 ∈ ℕ, do đó

Artin-𝐼𝑚+𝑘𝑀 ∩ 𝑁 ⊆ 𝐼𝑚𝑁 Theo Bổ đề 1.3.3 ta có điều phải chứng minh Hơn nữa, vì 𝐼𝑛𝑁 ⊆

𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁 nên đẳng cấu 𝑓: lim

1.4 Bao n ội xạ

Định nghĩa 1.4.1 Cho 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸 là các 𝑅-môđun Môđun 𝐸 được gọi là mở rộng cốt

y ếu của 𝑀 nếu 𝐸′∩ 𝑀 ≠ 0 với mỗi môđun con 𝐸′ khác không của 𝐸 Một mở rộng cốt yếu

𝐸 ⊇ 𝑀 được gọi là tối đại nếu như 𝐸 không có mở rộng cốt yếu thực sự nào Khi đó 𝐸

được gọi là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 (Cho 𝑀 ⊆ 𝑁 là các 𝑅-môđun, khi đó luôn tồn tại

mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 [26, 3.1.3])

Định nghĩa 1.4.2 Cho 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸 là các 𝑅-môđun Môđun 𝐸 được gọi là bao nội xạ của

𝑀 nếu 𝐸 là môđun nội xạ và 𝐸 là một mở rộng cốt yếu của 𝑀 Khi đó ta ký hiệu 𝐸 =

𝐸𝑅(𝑀) hoặc đơn giản là 𝐸(𝑀) ([26, 3.1.5] chỉ ra rằng với mọi môđun 𝑀 luôn tồn tại bao

n ội xạ của 𝑀, sai khác nhau một đẳng cấu)

Mệnh đề 1.4.3 ([26, 3.1]) Đối với các 𝑅-môđun 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸, các phát biểu sau là tương

đương:

(i) 𝐸 là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀

(ii) 𝐸 là bao nội xạ của 𝑀

(iii) 𝐸 là môđun nội xạ tối tiểu chứa 𝑀

Mệnh đề 1.4.4 ([18, 3.7]) Cho (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether Khi đó

End𝑅(𝐸(𝑅/𝔪)) ≅ ∧𝐼 (𝑅)

1.5 Đối Ngẫu Matlis

Trong phần này chúng ta xét (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether

Định nghĩa 1.5.1 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀 là môđun

𝐷(𝑀) = Hom𝑅(𝑀, 𝐸(𝑅/𝔪))

Sau đây chúng ta giới thiệu một số tính chất sẽ được sử dụng trong phần sau

Bổ đề 1.5.2 ([26, 3.4.2]) Với mọi môđun 𝑀 chúng ta có

Ann(𝐷(𝑀)) = Ann(𝑀)

Bổ đề 1.5.3 ([26, 3.4.11, 3.4.12]) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Khi đó

(i) N ếu 𝑀 là môđun Noether, thì 𝐷(𝑀) là môđun Artin

(ii) N ếu (𝑅, 𝔪) là vành đầy đủ thì 𝐷(𝑀) là môđun Noether khi và chỉ khi 𝑀 là môđun Artin

Bổ đề 1.5.4 ([26, 3.4.7], [18, 4.2, 4.3],) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Khi đó

(i) N ếu 𝑀 là môđun Noether, thì 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ ∧𝔪(𝑀)

(ii) N ếu 𝑀 là môđun Artin, thì 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ 𝑀.

Bổ đề 1.5.5 ([26, 3.4.14]) Cho 𝑀 và 𝑁 là 𝑅-môđun Khi đó với mọi 𝑖 ≥ 0

(i) 𝐷(Tor𝑖𝑅(𝑁; 𝑀)) ≅ Ext𝑅𝑖(𝑁; 𝐷(𝑀))

(ii) N ếu 𝑁 là môđun hữu hạn sinh, thì 𝐷(Ext𝑅𝑖(𝑁; 𝑀)) ≅ Tor𝑖𝑅(𝑁; 𝐷(𝑀)).

Bổ đề 1.5.6 ([23, 5.26]) Cho (𝑁𝑡) là hệ thuận của các 𝑅-môđun Khi đó

Phần tử 𝑒𝛼 sẽ được kí hiệu là 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 Đặt 𝐾0(𝑥) = 𝑅 Định nghĩa đồng cấu 𝑅-môđun

𝑑𝑝: 𝐾𝑝(𝑥) ⟶ 𝐾𝑝−1(𝑥) cho bởi 𝑑𝑝�𝑒𝑖1…𝑖𝑝� = ∑ (−1)𝑝𝑗=1 𝑗−1𝑥𝑖𝑗𝑒𝑖1…𝚤�…𝑖𝚥 𝑝 với bất kì 𝛼 =

�𝑖1, … , 𝑖𝑝� và 𝚤� có nghĩa là vắng mặt 𝑖𝚥 𝑗 trong dãy tăng các số nguyên Rõ ràng 𝑑𝑝−1∘ 𝑑𝑝 =

0, do đó có phức hữu hạn sau

𝐾∘(𝑥): 0 → 𝐾𝑛(𝑥) 𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾𝑛 𝑛−1(𝑥) → ⋯ → 𝐾1(𝑥) 𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾1 0(𝑥) → 0,

của các môđun tự do hữu hạn sinh Phức này được gọi là phức Koszul của 𝑅 theo 𝑥 Môđun

đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻𝑝(𝑥)

Khi đó �𝐾𝑝(𝑥(𝑡)), 𝜃𝑝𝑘,𝑡� là một hệ nghịch, dẫn tới �𝐻𝑝(𝑥(𝑡)), 𝐻𝑝(𝜃∘𝑘,𝑡)� cũng là một hệ nghịch, với mọi 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 Tương tự như cách xác định trên chúng ta xây dựng hệ nghịch

�𝐾𝑝(𝑥(𝑘), 𝑀), (𝜃𝑝𝑘,𝑡, 𝑀)�, với các đồng cấu

(𝜃𝑝𝑘,𝑡, 𝑀): 𝐾𝑝(𝑥(𝑘), 𝑀) ⟶ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡), 𝑀) �∑1≤𝑖1<⋯<𝑖𝑝≤𝑛𝑚𝑖1…𝑖𝑝𝑒𝑖1…𝑖𝑝� ⟼ ∑1≤𝑖1<⋯<𝑖𝑝≤𝑛𝑥𝑖𝑘−𝑡1 … 𝑥𝑖𝑘−𝑡𝑝 𝑚𝑖1…𝑖𝑝𝑒𝑖1…𝑖𝑝

Do đó tồn tại hệ nghịch �𝐻𝑝(𝑥(𝑡), 𝑀), 𝐻𝑝(𝜃∘𝑘,𝑡, 𝑀)� Giới hạn của hệ nghịch này được gọi

là môđun đồng điều địa phương thứ 𝑝 của 𝑀 theo dãy 𝑥, được ký hiệu là 𝐻𝑝𝑥(𝑀) Như vậy

𝐻𝑝𝑥(𝑀) = lim⟵

𝑡

𝐻𝑝(𝑥(𝑡), 𝑀) Chú ý rằng 𝐻𝑝𝑥(−), 𝑝 ≥ 0, là hàm tử cộng tính và hiệp biến trong phạm trù ℳ(𝑅)

Bổ đề 1.6.4 ([26, 4.3.3]) Cho 𝑅 là vành Noether và số nguyên 𝑡 ≥ 0 Khi đó tồn tại số

nguyên 𝑘0 > 𝑡 sao cho với mọi 𝑘 ≥ 𝑘0 thì

𝐻𝑝(𝜃∘𝑘,𝑡): 𝐻𝑝(𝑥(𝑘)) ⟶ 𝐻𝑝(𝑥(𝑡))

là đồng cấu không với mọi 𝑝 ≥ 0

Định lý 1.6.5 ([27, 2.2]) Cho dãy khớp ngắn các 𝑅-môđun 0 → 𝐴→ 𝐵𝑓 → 𝐶 → 0 Khi đó, 𝑔

chúng ta có dãy kh ớp dài của các hệ nghịch môđun đồng điều Koszul

�𝐻𝑝𝑥(−)�𝑝≥0 là dãy nối dương

1.7 Ph ạm trù 𝓜∗ (𝑹)

Định nghĩa 1.7.1 Một vành phân bậc 𝑅 là vành 𝑅 với phân tích 𝑅 = ⨁𝑖∈ℤ𝑅𝑖 như là tổng

trực tiếp các ℤ-môđun sao cho 𝑅𝑖𝑅𝑗 ⊆ 𝑅𝑖+𝑗 với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ Sự phân bậc này được gọi là ℤ-phân bậc (về sau ta xét sự phân bậc là ℕ phân bậc, có thể xem là ℤ-phân bậc với các phân bậc âm là 0)

Cho 𝑅 là vành phân bậc, một 𝑅-môđun phân bậc 𝑀 là môđun 𝑀 với sự phân tích

𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ𝑀𝑖như là tổng trực tiếp các ℤ-môđun thỏa 𝑅𝑖𝑀𝑗 ⊆ 𝑀𝑖+𝑗 với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ

Có thể gọi 𝑀𝑖 là thành ph ần thuần nhất bậc 𝑖 (hoặc phân bậc) của 𝑀 Đôi khi ta còn kí

hiệu (𝑀)𝑖 = 𝑀𝑖

Phần tử 𝑥 ∈ 𝑀𝑖 được gọi là phần tử thuần nhất thứ 𝑖 (hoặc bậc 𝑖 ) Bậc của 𝑥 được ký

hiệu là deg 𝑥 Một phần tử 𝑥 ∈ 𝑀 sẽ có duy nhất một phân tích 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝑖 như là tổng của các phần tử thuần nhất 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑖 Phần tử 𝑥𝑖 được gọi là thành phần thuần nhất của 𝑥

Chú ý là 𝑅0 là vành với đơn vị 1 ∈ 𝑅0, các thành phần 𝑀𝑖 là 𝑅0-môđun, và do đó

𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ𝑀𝑖như là tổng trực tiếp các 𝑅0-môđun

Định nghĩa 1.7.2 Cho 𝑅 là vành phân bậc Phạm trù các 𝑅-môđun phân bậc, ký hiệu

ℳ

∗ (𝑅), với các vật là 𝑅-môđun phân bậc Cấu xạ 𝑓: 𝑀 → 𝑁 trong ℳ∗ (𝑅) là đồng cấu

𝑅-môđun thỏa 𝑓(𝑀𝑖) ⊆ 𝑁𝑖 với mọi 𝑖 ∈ ℤ Đồng cấu 𝑅-môđun là cấu xạ trong ℳ∗ (𝑅) sẽ được

gọi là đồng cấu thuần nhất Nếu hai môđun phân bậc 𝑀 và 𝑁 đẳng cấu với nhau trong

phạm trù ℳ∗ (𝑅) thì ta ký hiệu 𝑀 ≅∗ 𝑁

Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, 𝑁 là môđun con của 𝑀 𝑁 được gọi là môđun con phân bậc

của 𝑀 nếu phép nhúng 𝑖: 𝑁 ↪ 𝑀 là cấu xạ trong phạm trù ℳ∗ (𝑅) Chú ý là định nghĩa này tương đương với 𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ(𝑁 ∩ 𝑀𝑖), hoặc 𝑁 được sinh bởi các phần tử thuần nhất trong

𝑀, hoặc nếu 𝑥 ∈ 𝑁 có sự phân tích thành các phần tử thuần nhất trong 𝑀, 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝑖, thì

𝑥𝑖 ∈ 𝑁 Khi 𝑁 là môđun con phân bậc của 𝑀 thì môđun thương 𝑀/𝑁 là là 𝑅-môđun phân

bậc với 𝑀/𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ(𝑀𝑖+ 𝑁)/𝑁, hơn nữa phép chiếu 𝑝: 𝑀 → 𝑀/𝑁 là thuần nhất Nếu 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là cấu xạ trong ℳ∗ (𝑅) thì Ker𝑓, Im𝑓 là 𝑅-môđun phân bậc

Chúng ta có thể kiểm tra được một số kết quả sau:

(i) Cho (𝑀𝑖)𝑖 là họ các 𝑅-môđun phân bậc Khi đó ⨁𝑖𝑀𝑖 là 𝑅-môđun phân bậc với phân

bậc (⨁𝑖𝑀𝑖)𝑛 = ⨁𝑖(𝑀𝑖)𝑛 Với mọi 𝑛 thì ∏ (𝑀𝑖 𝑖)𝑛 là nhóm Abel con của ∏ 𝑀𝑖 𝑖, khi đó có

thể định nghĩa ∏ 𝑀∗ 𝑖 𝑖 = ⨁𝑛(∏ (𝑀𝑖 𝑖)𝑛) là 𝑅-môđun con của ∏ 𝑀𝑖 𝑖 và ∗∏ 𝑀𝑖 𝑖 là môđun phân bậc

(ii) Cho 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun phân bậc Khi đó 𝑀⨂𝑅𝑁 là 𝑅-môđun phân bậc với

phân bậc (𝑀⨂𝑅𝑁)𝑛 sinh bởi các phần tử tích ten xơ 𝑥⨂𝑦 trong đó 𝑥, 𝑦 là phần tử thuần

nhất và deg 𝑥 + deg 𝑦 = 𝑛 Hơn nữa 𝑀⨂𝑅− , −⨂𝑅𝑁 là các hàm tử khớp phải trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)

Định nghĩa 1.7.3 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc và với số nguyên 𝑖, định nghĩa 𝑀(𝑖) là

bản sao của 𝑅 với phân bậc �𝑀(𝑖)�𝑛 = 𝑀𝑖+𝑛 Đồng cấu 𝑅-môđun 𝑓: 𝑀 → 𝑁 giữa các

môđun phân bậc, được gọi là thuần nhất bậc 𝑖 nếu 𝑓(𝑀𝑛) ⊆ 𝑁𝑖+𝑛 với mọi số nguyên 𝑛 (như vậy cấu xạ trong ℳ∗ (𝑅) là thuần nhất bậc 0) Chú ý là 𝑓 có thể xem như là đồng cấu

𝑀(𝑖) → 𝑁 trong ℳ∗ (𝑅)

Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun tự do nếu 𝐹 có cơ sở gồm các phần tử thuần nhất

Có thể gọi 𝐹 là môđun ∗t ự do để nhận biết trong phạm trù ℳ∗ (𝑅)

Mệnh đề 1.7.4 Cho 𝐹 được gọi là 𝑅-môđun phân bậc Tập 𝑆 ≠ 0 những phần tử phân

bậc của 𝐹 là cơ sở của 𝐹 khi và chỉ khi với bất kì môđun phân bậc 𝑌, mỗi ánh xạ thuần

nh ất 𝑓: 𝑆 → 𝑌, nghĩa là nếu 𝑥 ∈ 𝑆 thì deg 𝑓(𝑥) = deg 𝑥, đều có thể mở rộng tới một đồng

cấu duy nhất 𝑓̃: 𝐹 → 𝑌

Định nghĩa 1.7.5 Môđun phân bậc 𝑃 được gọi là môđun ∗x ạ ảnh nếu 𝑃 là vật xạ ảnh

trong phạm trù ℳ∗ (𝑅) Hiển nhiên môđun ∗tự do là môđun ∗xạ ảnh

Định nghĩa 1.7.6 Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun ∗ph ẳng nếu 𝐹⨂𝑅− , −⨂𝑅𝐹 là các hàm tử khớp trong phạm trù ℳ∗ (𝑅) Hiển nhiên môđun ∗xạ ảnh là môđun ∗phẳng Chúng ta thấy phạm trù ℳ∗ (𝑅) là đủ xạ ảnh, nghĩa là mọi môđun phân bậc 𝑀 đều là ảnh toàn cấu thuần nhất của một môđun ∗tự do 𝐹 nào đó Như vậy sẽ tồn tại phép giải ∗tự do hay ∗xạ ảnh trong phạm trù ℳ∗ (𝑅) Để xây dựng các môđun đồng điều địa phương trong phạm trù này ta cần các kết quả so sánh về phép giải ∗xạ ảnh và những kết quả về đồng điều nói chung đối với phạm trù ℳ∗ (𝑅) Các kết quả này sẽ tương tự như trong phạm trù ℳ(𝑅), chỉ khác là ta kiểm tra được các đồng cấu là thuần nhất Vậy chúng ta cũng có các khái niệm về hàm tử dẫn xuất trái, dãy nối dương, dãy nối dương mạnh,…

C HƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG

2.1 Hàm t ử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic

Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅 Các trường hợp khác sẽ được nói rõ

Định nghĩa 2.1.1 Chúng ta đã biết ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun và 𝑅-đồng cấu vào chính nó Với 𝑀 là 𝑅-môđun, ta ký hiệu 𝐿𝐼𝑖(𝑀) là

môđun dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼 (𝑀)

Chú ý 2.1.2 (i) Hàm tử ∧𝐼 không là khớp trái và cũng không là khớp phải nên 𝐿𝐼0 ≠ ∧𝐼 Tuy nhiên, 𝐿𝐼0 là hàm tử khớp phải và các hàm tử dẫn xuất trái với 𝑖 > 0 của nó giống với

(ii) Hai ideal 𝐼 và 𝐽 được gọi là tương đương căn nếu tồn tại số dương 𝑛 và 𝑚 sao cho

𝐼𝑛 ⊆ 𝐽 và 𝐽𝑚 ⊆ 𝐼 Nếu hai ideal 𝐼 và 𝐽 là tương đương căn thì theo Bổ đề 1.3.3 ∧𝐼 (𝑀) ≅ ∧𝐽(𝑀), với mọi môđun 𝑀 Hơn nữa đây là đẳng cấu tự nhiên Thật vậy, giả sử có đồng

cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁 Theo Bổ đề 1.3.3 đẳng cấu ℎ𝑀: ∧𝐼 (𝑀) → ∧𝐽(𝑀) xác định bởi ℎ𝑀(𝑥𝑡+

𝐼𝑡𝑀) = (𝑥𝑡+𝑛+ 𝐽𝑡𝑀), tương tự cho đẳng cấu ℎ𝑁: ∧𝐼 (𝑁) → ∧𝐽(𝑁) Do đó kiểm tra được

biểu đồ sau giao hoán

∧𝐼 (𝑀)ℎ�� ∧𝑀 𝐽(𝑀)

∧𝐼(𝑁)ℎ�� ∧𝑁 𝐽(𝑁) Như vậy tồn tại đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử ∧𝐼 (−) và ∧𝐽(−) Do đó theo Hệ quả 1.5.6 thì 𝐿𝐼𝑖(−) đẳng cấu tự nhiên với 𝐿𝑖𝐽(−), với mọi 𝑖 ≥ 0

(iii) Giả sử 𝑅 là vành Noether và 𝑀 là 𝑅-môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại phép giải tự

do của môđun 𝑀 mà các thành phần môđun tự do này là hữu hạn sinh Do ∧𝐼 là hàm tử khớp trong phạm trù các 𝑅-môđun hữu hạn sinh, nên 𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 0, với mọi 𝑖 ≥ 0 và do đó

𝐿𝐼0(𝑀) = ∧𝐼 (𝑀)

(iv) Có đẳng cấu tự nhiên ∧𝐼 (𝑀) = lim⟵ 𝑀/𝐼𝑛𝑀 ≅ lim⟵ (𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀) = 𝑇𝐼(𝑀) Do

𝐿𝐼𝑛(𝑃) = 0 cho mọi môđun xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, nên theo Hệ quả 1.1.6 thì tồn tại phép biến đổi đẳng cấu tự nhiên các dãy hàm tử {𝐿𝑛𝑇𝐼}𝑛≥0, và {𝐿𝐼𝑛}𝑛≥0 Như vậy các hàm tử 𝐿𝐼𝑖 đôi khi xem như là các hàm tử 𝐿𝑖𝑇𝐼, hay các môđun 𝐿𝐼𝑖(𝑀) có thể xem như là môđun dẫn xuất trái

thứ 𝑖 của 𝑇𝐼(𝑀)

Định lý 2.1.3 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử rằng lọc {𝐼𝑛𝑀}𝑛∈ℕ là “d ừng”, nghĩa là tồn tại

s ố nguyên dương 𝑛 sao cho 𝐼𝑡𝑀 = 𝐼𝑛𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛 Khi đó toàn cấu tự nhiên

𝜑𝑀: 𝐿𝐼0(𝑀) →∧𝐼 (𝑀) là đẳng cấu

Ch ứng minh Xét dãy khớp ngắn 0 → 𝑁→ 𝑃𝑓 → 𝑀 → 0, với 𝑃 là môđun xạ ảnh Khi đó 𝑔

có các phức sau

𝑁/𝐼𝑡𝑁 𝑓�⎯⎯� 𝑃/𝐼𝑡 𝑡𝑃 𝑔�⎯⎯� 𝑀/𝐼𝑡 𝑡𝑀 → 0, ∧𝐼 (𝑁) ∧�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼(𝑓) 𝐼 (𝑃) ∧�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼(𝑔) 𝐼 (𝑀) → 0

Theo Chú ý 2.1.2 (i) thì chỉ cần chứng minh Im ∧𝐼 (𝑓) = Ker ∧𝐼 (𝑔) là đủ Đặt 𝐾𝑡 = Ker𝑔𝑡

và có thể xem 𝑁 như là môđun con của 𝑃 Khi đó 𝐾𝑡 = (𝑁 + 𝐼𝑡𝑃)/𝐼𝑡𝑃 ≅ 𝑁/(𝐼𝑡𝑃 ∩ 𝑁), hơn nữa (𝐾𝑡) là hệ nghịch toàn cấu Mặt khác có dãy khớp

Với các đồng cấu chính tắc ℎ𝑡: 𝑁/𝐼𝑡𝑁 → 𝑁/(𝐼𝑡𝑃 ∩ 𝑁) ≅ 𝐾𝑡, chúng ta có đồng cấu chính

tắc ℎ ∶ ∧𝐼 (𝑁) → lim⟵𝐾𝑡 Do biểu đồ giao hoán

∧𝐼 (𝑁) ∧�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼(𝑓) 𝐼 (𝑃)

nên nếu ℎ là toàn cấu thì Im ∧𝐼 (𝑓) = Im(lim⟵𝑖𝑡) = Ker ∧𝐼 (𝑔) Do đó chỉ cần chứng minh

ℎ toàn cấu Vì ℎ𝑡 toàn cấu nên đặt 𝐻𝑡 = Kerℎ𝑡 thì 𝐻𝑡 ≅ 𝐼𝑡𝑃 ∩ 𝑁/𝐼𝑡𝑁, và {𝐻𝑡} là hệ nghịch

với các đồng cấu 𝜋𝑡𝑘 cảm sinh từ đồng cấu của hệ {𝑁/𝐼𝑡𝑁}

Do dãy khớp các hệ nghịch

0 → {𝐻𝑡} {𝑗�⎯⎯⎯⎯⎯� {𝑁/𝐼𝑡} 𝑡𝑁} {ℎ�⎯⎯⎯⎯� {𝐾𝑡} 𝑡} → 0 nên nếu {𝐻𝑡} thỏa M-L thì ℎ là toàn cấu (Mệnh đề 1.2.8) Theo giả thuyết tồn tại số nguyên

dương 𝑛0 sao cho 𝐼𝑡𝑀 = 𝐼𝑛0𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0, mà 𝐼𝑡𝑀 ≅ (𝐼𝑡𝑃 + 𝑁)/𝑁, nên 𝐼𝑡𝑃 +

𝑁 = 𝐼𝑛0𝑃 + 𝑁 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0 Do đó với bất kì 𝑘 > 0 và với mọi 𝑡 ≥ 𝑘 + 𝑛0, ta có

𝜋𝑡𝑘 = �(𝐼𝑡𝑃 ∩ 𝑁) + 𝐼𝑘𝑁�/𝐼𝑘𝑁 = �𝑁 ∩ 𝐼𝑘(𝐼𝑡−𝑘𝑃 + 𝑁)�/𝐼𝑘𝑁 = �𝑁 ∩ 𝐼𝑘(𝐼𝑛 0𝑃 + 𝑁)�/𝐼𝑘𝑁

Biểu thức trên không phụ thuộc vào 𝑡, điều này chỉ ra rằng {𝐻𝑡} thỏa M-L ∎

Môđun Artin hiển nhiên thỏa giả thuyết định lý trên Do đó có hệ quả sau

Hệ quả 2.1.4 Giả sử 𝑀 là môđun Artin Khi đó toàn cấu tự nhiên

(ii)⟹(iii) Được suy ra từ toàn cấu𝜑𝑀: 𝐿𝐼0(𝑀) →∧𝐼 (𝑀)

2.2 Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul

Trong phần này các vành đều là vành Noether Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ

Chúng ta đã biết môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼, ký

hiệu 𝐻𝐼𝑖(𝑀), có thể định nghĩa bởi

𝐻𝐼𝑖(𝑀) = lim⟵

𝑡

Ext𝑅𝑖(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)

Điều này gợi ý định nghĩa sau Có thể xem như là đối ngẫu của khái niệm trên

Định nghĩa 2.2.1 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀

theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼(𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼(𝑀) = lim

⟵ 𝑡

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)

Định nghĩa này là đúng đắn, do {Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)} là một hệ nghịch Thật vậy, lấy phép giải

xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀 Khi đó với mọi 𝑡 ≥ 0 có phức 𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘ Vì {𝑅/𝐼𝑡, 𝜋𝑡𝑘} là hệ nghịch nên có biến đổi dây chuyền sau

Do đó với 𝑖 ≥ 0 biểu đồ sau giao hoán (do Tor𝑖𝑅 là hàm tử)

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) Tor�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� Tor𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑘,1𝑀) 𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘, 𝑀)

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑙, 𝑀)

Vậy với mọi 𝑖 ≥ 0 thì {Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)} là một hệ nghịch ∎

Chú ý 2.2.2 Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu Khi đó tồn tại biến đổi dây chuyền treo trên 𝑓, dẫn tới đổi dây chuyền treo trên 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑓

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) → Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑁)

Tương tự như vậy dựa vào Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, −) là hàm tử hiệp biến, có thể kiểm tra được 𝐻𝑖𝐼(−)

là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun vào chính nó Các hàm tử này nói chung là không khớp Do 𝐻0𝐼(𝑀) ≅ lim

⟵ 𝑡

(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑀) nên kiểm tra được tồn tại phép

biến đổi đẳng cấu tự nhiên các hàm tử 𝐻0𝐼(−) và ∧𝐼 (−) Bây giờ ta sẽ xây dựng {𝐻𝑖𝐼(−)}𝑖≥0 thành một dãy nối dương

Giả sử 0 → 𝐴→ 𝐵𝑓 → 𝐶 → 0 là dãy khớp ngắn Khi đó ta có biểu đồ giao hoán các phức, 𝑔

với các dòng là khớp (𝐹∘, 𝑄∘, 𝑅∘ là phép giải xạ ảnh tương ứng)

0 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘→ 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅∘ → 0

0 → 𝑅/𝐼𝑘⨂𝐹∘→ 𝑅/𝐼𝑘⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑘⨂𝑅∘ → 0

Dựa vào 𝛿𝑖𝑡: Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝐶) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡, 𝐴), 𝑡 ≥ 0 thì biểu đồ sau giao hoán

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝐶) → Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝐴) ↓ ↓

𝛿𝑖𝑘�Tor𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑘, 1𝐶)(𝑧̅)� = 𝛿𝑖𝑘�𝜋���������������� = 𝜋𝑡𝑘⨂1𝑅𝚤(𝑧) ����������������� 𝑡𝑘⨂1𝐹𝚤−1(𝑥)

Từ đó tồn tại đồng cấu nối 𝐻𝑖𝐼(𝛿): 𝐻𝑖𝐼(𝐶) → 𝐻𝑖−1𝐼 (𝐴) Từ dãy khớp dài của Tor dẫn tới

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝐶′) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡, 𝐴′)

Từ đó biểu đồ sau giao hoán

𝐻𝑖𝐼(𝐶) → 𝐻𝑖−1𝐼 (𝐴) ↓ ↓

Trong lớp môđun này thì giới hạn nghịch khớp trái, nên từ dãy khớp dài các hệ nghịch

của Tor dẫn tới dãy khớp

… → 𝐻𝑛+1𝐼 (𝐵) → 𝐻𝑛+1𝐼 (𝐶)𝐻�⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑛+1𝐼 (𝛿) 𝑛𝐼(𝐴) → 𝐻𝑛𝐼(𝐵) → ⋯

… → 𝐻1𝐼(𝐶)𝐻�⎯⎯� 𝐻1𝐼(𝛿) 0𝐼(𝐴) → 𝐻0𝐼(𝐵) → 𝐻0𝐼(𝐶) → 0

↓ ↓ ↓

Do 𝐻0𝐼(𝑀) ≅ ∧𝐼 (𝑀), nên tồn tại toàn cấu toàn cấu tự nhiên 𝐿𝐼0(𝑀) → 𝐻0𝐼(𝑀)

Theo như trên thì 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = lim⟵ 𝐻𝑖(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘) và 𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 𝐻𝑖(lim⟵(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘)), với 𝐹∘ là phép giải xạ ảnh của môđun 𝑀 Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta mối quan hệ đầu tiên

giữa môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀) và môđun dẫn xuất trái 𝐿𝐼𝑖(𝑀)

Mệnh đề 2.2.3 Với mọi môđun 𝑀 và 𝑖 ≥ 0, tồn tại toàn cấu

𝜑𝑖: 𝐿𝐼𝑖(𝑀) → 𝐻𝑖𝐼(𝑀)

Ch ứng minh Chúng ta sử dụng kết quả sau.Cho dãy khớp các môđun

0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0 trong đó 𝑃𝑘(𝑘 = 0, … , 𝑖 − 1) là môđun xạ ảnh Khi đó nếu 𝑇 là hàm tử hiệp biến và cộng tính thì 𝐿𝑡𝑇(𝑀) = 𝐿𝑖+𝑡𝑇(𝐾), 𝑡 > 0

Với 𝑖 = 0 thì 𝜑0 có thể xem như là toàn cấu 𝜑𝑀 trong Chú ý 2.1.2 (i)

trong đó đồng cấu 𝜑𝑖 được cảm sinh từ đồng cấu 𝜑𝐾 Vì 𝑃𝑖−1 là môđun xạ ảnh nên 𝜑𝑃𝑖−1 là

đẳng cấu, do đó nếu dặt 𝑇 = Im�𝐿𝐼0(𝐾) → 𝐿𝐼0(𝑃𝑖−1)� thì đồng cấu thu hẹp của

𝜑𝑃𝑖−1, 𝜑�𝑃𝑖−1: 𝑇 →∧𝐼 (𝑃𝑖−1) là đơn cấu Khi đó biểu đồ trên cảm sinh biểu đồ sau

giao hoán sau với các dòng là khớp

0 → 𝐿𝐼𝑖(𝑀) → 𝐿𝐼0(𝐾) → 𝑇 → 0

0 → 𝐻𝑖𝐼(𝑀) →∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1)

Vì 𝜑�𝑃𝑖−1là đơn cấu, 𝜑𝐾 là toàn cấu nên theo “bổ đề con rắn” ta suy ra được 𝜑𝑖 là toàn cấu

∎

Chú ý 2.2.4 (i) Nếu 𝑀 là môđun hữu hạn sinh thì 𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 ≥ 0 (Chú

ý 2.1.2 (iii)) Do đó theo Mệnh đề trên 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0

(ii) 𝐻𝑖𝐼(𝑀) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 (𝑅)-môđun Thật vậy, xét dãy khớp

0 → 𝐻𝑖𝐼(𝑀) →∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1) trong chứng minh mệnh đề trên Vì ∧𝐼 (𝐾) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼(𝑅)-môđun nên

𝐻𝑖𝐼(𝑀) cũng có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼(𝑅)-môđun như là môđun con của ∧𝐼 (𝐾) Chúng

ta có thể chứng minh trực tiếp tương ứng sau là phép toán ngoài

⟵ 𝑅/𝐼𝑡 × 𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻𝑖𝐼(𝑀) �(𝑎𝑛+ 𝐼𝑛), (𝑥𝑛)� ↦ (𝑎𝑛𝑥𝑛)

M ệnh đề 2.2.5 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Khi đó các phát biểu sau là đúng

(i) V ới mọi 𝑖 ≥ 0, môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀) là 𝐼-tách, nghĩa là

𝐼𝑠𝑓𝑡𝑘: lim

⟵ 𝑠

𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) → lim

⟵ 𝑠

𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘, 𝑀)

Từ đó chúng ta có thể chứng minh được {lim

⟵ 𝑠

𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)}𝑡≥0 là hệ nghịch

Tiếp theo cần chứng minh {lim⟵

𝑡

𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)}𝑠≥0 là hệ nghịch Với 𝑠 ≥ 𝑟, ta có phép

nhúng 𝜋: 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) → 𝐼𝑟Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) Do {𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)}𝑡 và {𝐼𝑟Tor𝑖𝑅(𝑅/

𝐼𝑡, 𝑀)}𝑡 là các hệ nghịch nên tồn tại đồng cấu

lim

⟵ 𝑡

𝜋: lim

⟵ 𝑡

𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) → lim

⟵ 𝑡

𝐼𝑟Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)

Từ đó chúng ta có thể chứng minh được {lim

⟵ 𝑡

𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀)}𝑠≥0 là hệ nghịch

Cần chứng minh kết quả 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡 Lấy 𝑃∘ là phép giải xạ ảnh

của môđun 𝑀 Khi đó ta có phức 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑃∘ với 𝑡 ≥ 0 Với 𝑖 ≥ 0, ta có 𝐼𝑠 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑃𝑖 = 0 với

mọi 𝑠 ≥ 𝑡 Theo định nghĩa Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) = 𝐻𝑖(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘), nên 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) = 0 với

mọi 𝑠 ≥ 𝑡

Sau đây chứng minh (i) Chú ý rằng với hệ nghịch {𝑀𝑡} thì 𝐼lim

⟵𝑀𝑡 ⊆ lim

⟵𝐼𝑀𝑡 Do đó từ tính giao hoán của hệ nghịch chúng ta có

⟵ 𝑠

(𝐼𝑠lim

⟵ 𝑡

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀))

⟵ 𝑠

(lim

⟵ 𝑡

vì 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡

(ii) Chúng ta có Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡; 𝐷(𝑀)) ≅ 𝐷(Ext𝑅𝑖(𝑅/𝐼𝑡; 𝑀)), lim

Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡, 𝐷(𝑀))

≅ lim

⟵ 𝑡

Bổ đề 2.2.7 Cho 𝐹 là 𝑅-môđun phẳng Khi đó với bất kì số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên

𝑡0 > 𝑘 thỏa mãn

𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘; 𝐹): 𝐻𝑖�𝑥(𝑡); 𝐹� ⟶ 𝐻𝑖�𝑥(𝑘); 𝐹�

là đồng cấu không với mọi 𝑡 ≥ 𝑡0 và 𝑖 > 0

Ch ứng minh Từ Bổ đề 1.6.4 với mọi số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên 𝑡0 > 𝑘 thỏa

Hơn nữa 𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀) ≅ 𝐻𝑗𝑥(𝐾) là đẳng cấu tự nhiên

Ch ứng minh Trước tiên chúng ta chứng minh cho trường hợp 𝑖 = 1 Với mọi số nguyên 𝑡

thì dãy khớp ngắn 0 → 𝐾 → 𝐹0 → 𝑀 → 0 cảm sinh dãy khớp dài của các môđun đồng điều Koszul

cho chúng ta hệ nghịch �Im𝑔𝑗+1𝑡 � với các đồng cấu của hệ nghịch này cảm sinh từ các đồng

cấu 𝐻𝑗+1(𝜃∘𝑡,𝑘; 𝐹0), là đồng không với mọi 𝑘 và mọi 𝑡 đủ lớn theo Bổ đề 2.2.7 Do đó

�Im𝑔𝑗+1𝑡 � thỏa tiêu chuẩn M-L và lim

⟵ 𝑡

Im𝑔𝑗+1𝑡 = 0 với mọi 𝑗 ≥ 0 Mặt khác cũng từ Bổ đề

2.2.7 thì lim⟵𝐻𝑗�𝑥(𝑡); 𝐹0� = 0, 𝑗 > 0 Lấy giới hạn ngược của hai dãy khớp trên với chú ý

những kết quả ở trên, giới hạn ngược khớp trái và Mệnh đề 1.2.8 chúng ta thu được các đẳng cấu sau

lim⟵𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡); 𝑀� ≅ lim

⟵Im𝛿𝑗𝑡, lim⟵Im𝛿𝑗𝑡 ≅ lim⟵ 𝐻𝑗�𝑥(𝑡); 𝐾�, 𝑗 > 0,

𝐻 𝑗+1 (𝜃 ∘𝑡,𝑘; 𝑀)

𝐻 𝑗+1 (𝜃 ∘𝑡,𝑘; 𝐹 0 )

Im𝛿0𝑡, lim

⟵ 𝑡

Im𝛿0𝑡 ≅ Ker(lim

⟵ 𝑡

𝐻0�𝑥(𝑡); 𝐾� → lim

⟵ 𝑡

𝐻0�𝑥(𝑡); 𝐹0�)

Do biểu đồ giao hoán

𝐻0�𝑥(𝑘); 𝐾� → 𝐻0�𝑥(𝑘); 𝐹0�

𝐻0�𝑥(𝑡); 𝐾� → 𝐻0�𝑥(𝑡); 𝐹0� 𝐾/𝑥(𝑘)𝐾 ⟶ 𝐹0/𝑥(𝑘)𝐹0

lim

⟵𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 → lim

⟵𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0 Hay lim

⟵

𝑡

Im𝛿0𝑡 ≅ Ker(lim

⟵ 𝑡

𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 → lim

⟵ 𝑡

Theo Chú ý 1.6.6 thì đẳng cấu 𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀) ≅ 𝐻𝑗𝑥(𝐾) có tính chất tự nhiên

Với 𝑖 > 1, dãy khớp dài cho chúng ta các dãy khớp ngắn sau

0 → 𝐾1 → 𝐹0 → 𝑀 → 0, 0 → 𝐾𝑗+1→ 𝐹𝑗 → 𝐾𝑗 → 0, trong đó 𝐾1 = Ker(𝐹0 → 𝑀), 𝐾𝑗+1 = Ker(𝐹𝑗 → 𝐹𝑗−1), 𝑗 = 1, … , 𝑖 − 1 Áp dụng kết quả vừa chứng minh cho các dãy khớp ngắn này chúng ta thu được các đẳng cấu

lim

⟵ 𝑡

𝐻𝑗�𝑥(𝑡); 𝐾� ≅ lim

⟵ 𝑡

𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡); 𝐾𝑖−1� ≅ lim

⟵ 𝑡

𝐻1�𝑥(𝑡); 𝐾𝑖−1� ≅ lim

⟵ 𝑡

𝐻1+1�𝑥(𝑡); 𝐾𝑖−2�

≅ ⋯ ≅ lim

⟵ 𝑡

𝐻𝑖�𝑥(𝑡); 𝑀�

Đẳng cấu trên có tính chất tự nhiên do các đẳng cấu thành phần là tự nhiên ∎

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀) có thể được tính bởi đồng điều Koszul, và do đó đối với các môđun Artin thì định nghĩa của chúng ta tương

đương với định nghĩa của Tang [27]

Định lý 2.2.9 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Khi đó, với mọi 𝑖 ≥ 0 có đẳng cấu tự nhiên

𝑀/𝑥(𝑡)𝑀 ≅ lim

⟵ 𝑡

↓ ↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

↓ ↓

↓ ↓ ↓

Γ𝑅: ℳ(𝑅′) → ℳ(𝑅) là hàm tử có được bằng cách thu hẹp vô hướng (bởi 𝑓) Do đó, nếu 𝑀′

là 𝑅′-môđun thì với 𝑖 ∈ ℕ ta có 𝑅-môđun 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ𝑅 và 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅) Theo Chú ý 2.2.4 (ii) thì 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 (𝑅′)-môđun Từ đồng cấu 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ cho chúng ta đồng cấu vành ∧𝐼(𝑓):∧𝐼(𝑅) →∧𝐼 (𝑅′) Do đó 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′) còn có cấu trúc tự nhiên của

Ch ứng minh Chúng ta chỉ kiểm tra đẳng cấu ∧𝐼(𝑅)-môđun, đẳng cấu 𝑅-môđun có thể

được chứng minh tương tự nhưng ngắn gọn hơn Giả sử iđêan 𝐼 được sinh bởi 𝑟 phần tử

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟 Khi đó iđêan 𝐼𝑅′: = 𝑓(𝐼)𝐵 được sinh bởi các phần tử 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑟 trong 𝑅′,

với 𝑦1 = 𝑓(𝑥1), … , 𝑦𝑟 = 𝑓(𝑥𝑟) Đặt

𝑥(𝑡) = ( 𝑥1𝑡, 𝑥2𝑡, … , 𝑥𝑟𝑡), 𝑦(𝑡) = ( 𝑦1𝑡, 𝑦2𝑡, … , 𝑦𝑟𝑡)

Từ định nghĩa của đồng điều Koszul có đẳng cấu các 𝑅-môđun

𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′) ≅ 𝐻𝑖(𝑦(𝑡); 𝑀′)

Thật vậy, với 𝑥 = ∑ 𝑎𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑚𝑗 ∈ Ker�𝑑𝑖: 𝐾𝑖(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′ → 𝐾𝑖−1(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′�, trong đó

𝑎𝑗 ∈ 𝑅, ∀𝑗, 𝐾𝑖(𝑥(𝑡)) là môđun tự do sinh bởi hệ �𝑒𝑗1…𝑗𝑖�1≤𝑗

Do đó 𝑥 ∈ Ker �𝑑𝑖′: 𝐾𝑖(𝑦(𝑡))⨂𝑅𝑀′ → 𝐾𝑖−1(𝑦(𝑡))⨂𝑅𝑀′� Để xây dựng 𝑅-đồng cấu từ

𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′) vào 𝐻𝑖(𝑦(𝑡); 𝑀′) kiểm tra: với 𝑥 = ∑ 𝑎𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑚𝑗 ∈ Im𝑑𝑖+1, theo trên

𝑥 = ∑ 𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑎𝑗𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′ và ∃ ∑ 𝑏𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖+1𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖+1(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′, 𝑏𝑗 ∈ 𝑅, sao cho

như sau: nếu phần tử có dạng 𝑒1𝑖2…𝑖𝑝 thì 𝑠𝑝(𝑒1𝑖2…𝑖𝑝) = 0, nếu 𝑒𝑖1…𝑖𝑝, 𝑖1 ≠ 1 thì 𝑠𝑝(𝑒𝑖1…𝑖𝑝) =

𝑒1𝑖1…𝑖𝑝 Cần kiểm tra 𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝 + 𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡 = 𝑥𝑖 Với 𝑒1𝑖2…𝑖𝑝 ∈ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)),

thì ( 𝑥𝑖) vẫn đồng luân với 0 Nên 𝐻𝑖( 𝑥𝑖) = 𝐻𝑖(0): 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′) → 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′)

hay 𝑥(𝑡)𝐻𝑖�𝑥(𝑡); 𝑀′� = 0 với mọi 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟

⟵ 𝑅/𝑥(𝑡) × lim

⟵𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′) → lim

⟵ 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′) �(𝑎𝑛), (𝑥𝑛)� ↦ (𝑎𝑛𝑥𝑛)

Chỉ cần kiểm tra tương ứng trên là ánh xạ Do 𝐻𝑖𝜑𝑡𝑘(𝑎𝑘𝑥𝑘) = 𝑎𝑘𝐻𝑖𝜑𝑡𝑘(𝑥𝑘) = 𝑎𝑘𝑥𝑡, mặt khác 𝑎𝑘 − 𝑎𝑡 ∈ 𝑥(𝑡), do 𝑥(𝑡)𝐻𝑖�𝑥(𝑡); 𝑀� = 0 nên 𝑎𝑘𝑥𝑡 = 𝑎𝑡𝑥𝑡

Theo Định lý 2.2.9 ta có đẳng cấu ∧𝐼 (𝑅)-môđun

Df 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ∧𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅) ∎

2.3 Đồng điều địa phương của môđun Artin

Trong phần này chúng ta xét các vành đều là vành Noether, các môđun là môđun Artin Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường

hợp khác sẽ được nói rõ

Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra sự tương đương giữa định nghĩa của chúng ta và định nghĩa

của Greenlees-May [10] về môđun đồng điều địa phương trong trường hợp các môđun

Artin Chúng ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.3.1 Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Artin Khi đó tồn tại đẳng cấu

𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐿𝐼𝑖(𝑀)

v ới mọi 𝑖 ≥ 0 Đẳng cấu này có tính chất tự nhiên cho lớp 𝑅-môđun Artin

Chứng minh Trước tiên chứng minh một tính chất sau Phần chứng minh dựa vào

[28,Theo.3.5.8] Xét trong phạm trù ℳ(𝑅) Cho biến đổi dây chuyền các phức

Với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, đặt (𝑍𝑖)𝑛 = Ker((𝐶𝑖)𝑛 → (𝐶𝑖)𝑛−1), (𝐵𝑖)𝑛 = Im((𝐶𝑖)𝑛+1 → (𝐶𝑖)𝑛) thì

𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ = (𝑍𝑖)𝑛/(𝐵𝑖)𝑛 Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp các hệ nghịch

⟵ (𝐶𝑖)𝑛+1→ lim

𝑍 = lim⟵𝑍𝑖: … → lim⟵ (𝑍𝑖)1 → lim⟵(𝑍𝑖)0 → 0

Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp các hệ nghịch

0 → {(𝑍𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ → {(𝐶𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ → {(𝐵𝑖)𝑛−1}𝑖∈ℕ → 0

Do {(𝐶𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ thỏa M-L nên lim⟵

1(𝑍𝑖)𝑛 → lim

⟵ 𝑡

Do (𝐵𝑖)𝑛 ⊆ (𝑍𝑖)𝑛, ∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim⟵(𝐵𝑖)𝑛 ⊆ lim⟵(𝑍𝑖)𝑛 Từ dãy khớp trên sẽ có

lim⟵𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ ≅ lim⟵(𝑍𝑖)𝑛/lim⟵(𝐵𝑖)𝑛

⟵(𝐵𝑖)𝑛/(𝐵)𝑛 ≅ lim

⟵ 𝑡

1(𝑍𝑖)𝑛+1≅ lim

⟵ 𝑡

1𝐻𝑛+1(𝐶𝑖)∘ Do đó tồn tại dãy khớp

0 → lim⟵

𝑡

1𝐻𝑛+1(𝐶𝑖)∘ → 𝐻𝑛(𝐶) → lim⟵ 𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ → 0

Áp dụng kết quả này, với phép giải xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀 Từ đó có các phức 𝑅/

𝐼𝑘⨂𝐹∘, 𝑘 ≥ 0 Với các toàn cấu chính tắc thuần nhất 𝑅/𝐼𝑡 → 𝑅/𝐼𝑘, 𝑡 ≥ 𝑘, cảm sinh biến đổi dây chuyền các phức

1Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡; 𝑀) ⟶ 𝐿𝐼𝑖(𝑀) ⟶ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ⟶ 0

Do 𝑀 là môđun Artin nên theo định nghĩa Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡; 𝑀) là môđun Artin Do đó lim⟵

𝑡

1Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡; 𝑀) = 0 bởi Mệnh đề 1.2.8 và định nghĩa của lim⟵1 [13] Như vậy

𝜋𝑖(𝑀): 𝐿𝐼𝑖(𝑀)→ 𝐻≅ 𝑖𝐼(𝑀)

Tiếp theo chúng ta chứng minh các đẳng cấu này có tính chất tự nhiên Giả sử có đồng

cấu môđun Artin 𝑓: 𝑀 → 𝑁, khi đó tồn tại các đẳng cấu 𝜋𝑖(𝑀), 𝜋𝑖(𝑁) Dựa vào cách xác định các đẳng cấu này, thì biểu đồ sau giao hoán

thỏa mãn trên vành Noether 𝑅) họ đã chứng minh được 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐿𝐼𝑖(𝑀) Do đó Mệnh đề 2.3.1 nói lên sự tương đương giữa định nghĩa của chúng ta và định nghĩa của Greenlees-

May [10] về môđun đồng điều địa phương trong trường hợp các môđun Artin Tuy nhiên trong trường hợp này định nghĩa của chúng ta có nhiều tính chất hơn

(a) Dãy n ối dương mạnh

Chúng ta đã có {𝐿𝐼𝑖}𝑖≥0, {𝐻𝑖𝐼}𝑖≥0 là hai dãy nối dương từ phạm trù ℳ(𝑅) vào chính nó Theo chứng minh ở trên, tồn tại dãy các phép biến đổi đẳng cấu tự nhiên 𝜋𝑖: 𝐿𝐼𝑖 → 𝐻𝑖𝐼 cho

lớp các môđun Artin, với 𝑖 ≥ 0 Ta chứng minh {𝜋𝑖}𝑖≥0là đồng cấu của hai dãy nối dương khi xét trên lớp các môđun Artin; nghĩa là với dãy khớp ngắn môđun các Artin 0 → 𝐴

𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖+1→ lim

⟵ 𝑡

𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄𝑖+1 → lim

⟵ 𝑡

𝑡

𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖 → lim⟵

𝑡

𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖−1) sao cho lim

⟵ 𝑡

�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑓�((𝑥𝑡)𝑡) = lim

⟵ 𝑡

𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → lim

⟵ 𝑡

𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖), suy ra

(𝑧𝑡)𝑡 ∈ lim⟵

𝑡

(Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖)), 𝑧𝑡 ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖); (𝑥𝑡)𝑡 ∈ lim

⟵ 𝑡

có hệ quả sau, suy ra trực tiếp từ định lý trên

Hệ quả 2.3.2 Cho dãy khớp ngắn các môđun Artin