Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng_2

Có nhiều phương pháp nghiên cứu về bán dẫn như: các phương pháp ab intio, phương pháp liên kết chặt, phương pháp thế kinh nghiệm, …Mặc dù có những thành công nhất định nhưng chưa có phư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ LỮ HOÀNG ANH

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA Ge

BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Minh Hạnh

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Phạm Thị Minh Hạnh- người

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin được cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong khoa Vật lý và các Thầy, Cô giáo phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, đóng góp

ý kiến quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và

nghiên cứu

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Tác giả:

Vũ Lữ Hoàng Anh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Thị Minh Hạnh Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong

luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam

đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các

thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Tác giả:

MỞ ĐẦU………

1 Lí do chọn đề tài……… 1

2 Mục đích nghiên cứu……… 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2

5 Phương pháp nghiên cứu……… 2

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài……… 3

7 Cấu trúc luận văn……… 3

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỦ YẾU NGHIÊN CỨU VỀ BÁN DẪN 1.1 Sơ lược về bán dẫn Ge……… 4

1.1.1 Cấu trúc tinh thể của bán dẫn Ge……… ……… 4

1.1.2 Một số ứng dụng quan trọng của Ge……… 5

1.2 Một số phương pháp chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn……… 7

1.2.1 Các phương pháp ab-initio……… 7

1.2.2 Phương pháp liên kết chặt……… 12

1.2.3 Các thế kinh nghiệm……… 16

1.2.4 Phương pháp thống kê mômen……… 19

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA TINH THỂ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG 2.1 Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng……… 26

2.2 Năng lượng tự do của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương……… 32

2.3 Các đại lượng nhiệt động……… 35

2.3.1 Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể……… 35

2.3.2 Hệ số dãn nở nhiệt và hệ số nén đẳng nhiệt……….………… 37

2.3.3 Các đại lượng nhiệt động khác……… 39

CHƯƠNG 3: CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA Ge Ở ÁP SUẤT P = 0 3.1 Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể……… 40

3.2 Các tính chất nhiệt động của Ge ở áp suất P = 0……… 44

3.2.1 Cách xác định thông số……… 44

3.2.2 Các tính chất nhiệt động của Ge ở áp suất P = 0……… 45

KẾT LUẬN……… 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, do nhu cầu phát triển ngày càng cao của khoa học kĩ thuật và đặc biệt là công nghệ chế tạo vật liệu mới đã thu hút được rất nhiều nhà khoa học nói

chung cũng như của các nhà vật lý nói riêng Một trong những đối tượng thu hút sự

nghiên cứu của nhiều ngành khoa học đó chính là vật liệu bán dẫn Sự phát triển của

các transistor bằng Ge đã mở ra vô vàn ứng dụng của điện tử học trạng thái rắn Từ

năm 1950 cho tới đầu thập niên 1970, lĩnh vực này đã tạo ra một thị trường ngày

càng tăng cho Ge Bên cạnh đó, nhu cầu về Ge trong các mạng liên lạc viễn thông

bằng cáp quang, các hệ thống quan sát ban đêm bằng hồng ngoại và các xúc tác

polyme hóa đã gia tăng một cách mạnh mẽ Các ứng dụng này chiếm tới 85% nhu

cầu tiêu thụ Ge toàn thế giới vào năm 2000… Như vậy việc nghiên cứu các tính

chất của Ge , trong đó có tính chất nhiệt động là cơ sở quan trọng để các nhà khoa

học chế tạo ra các vật liệu bán dẫn thoả mãn yêu cầu thực tế

Có nhiều phương pháp nghiên cứu về bán dẫn như: các phương pháp ab intio,

phương pháp liên kết chặt, phương pháp thế kinh nghiệm, …Mặc dù có những

thành công nhất định nhưng chưa có phương pháp nào thực sự hoàn hảo, còn có

những hạn chế, ví dụ như kết quả thu được đạt độ chính xác chưa cao, khả năng ứng

dụng cho hệ tương đối nhỏ,…Như vậy, việc nghiên cứu về bán dẫn nói chung và

tính chất nhiệt động của Ge là vấn đề có tính thời sự và có ý nghĩa khoa học

Phương pháp thống kê mômen ( PPTKMM ) do Giáo sư Nguyễn Tăng đề

xuất và đã được nhóm nghiên cứu của Giáo sư Vũ Văn Hùng phát triển mạnh trong

30 năm trở lại đây PPTKMM có thể áp dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt

động, đàn hồi, chuyển pha… của các loại tinh thể khác nhau như: kim loại, hợp

kim, tinh thể và hợp chất bán dẫn,…với các cấu trúc lập phương tâm diện, lập

phương tâm khối, kim cương, sunfua kẽm,…trong khoảng rộng của nhiệt độ từ 0(K)

đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác dụng của áp suất Gần đây một số kết quả

nghiên cứu về bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc sunfua kẽm đã được công

bố trong một số công trình như nghiên cứu tính chất nhiệt động và mô đun đàn hồi

của tinh thể và hợp chất bán dẫn bằng PPTKMM trong luận án tiến sĩ của Phạm Thị

Minh Hạnh[1]; nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên tính đàn hồi của Si bằng

PPTKMM trong luận văn thạc sĩ của Hoàng Thị Hương Trà[5]; nghiên cứu tính

chất nhiệt động của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương khi có khuyết tật bằng

PPTKMM trong luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Thuỳ[4]; nghiên cứu sự tự khuếch

tán và khuếch tán của tạp chất trong bán dẫn bằng PPTKMM trong luận án tiến sĩ

của Phan Thị Thanh Hồng[2];…Có nhiều kết quả thu được phù hợp tốt với số liệu

thực nghiệm đã công bố Tuy nhiên chưa có công trình nào nghiên cứu về tính chất

nhiệt động của Ge bằng PPTKMM Vì vậy việc nghiên cứu về Ge cũng như tính

chất nhiệt động của nó bằng PPTKMM trở nên cần thiết Đó là lí do chọn đề tài: “

Nghiên cứu tính chất nhiệt động của Ge bằng phương pháp thống kê mômen‖

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất nhiệt động của Ge bằng phương pháp thống kê mômen

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu một số lý thuyết chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn

- Tìm hiểu phương pháp thống kê mômen và áp dụng phương pháp thống kê mômen để nghiên cứu tính chất nhiệt động của Ge

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các tính chất nhiệt động của Ge ở áp suất không trong khoảng rộng nhiệt độ

từ 300K đến 1200K

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thống kê mômen

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

- Xây dựng được các hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng tích, nhiệt dung riêng đẳng áp

- Áp dụng tính cho Ge Các kết quả sẽ được so sánh với thực nghiệm

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

- Chương 1: Một số phương pháp chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn

- Chương 2: Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động

của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương

- Chương 3: Các tính chất nhiệt động của Ge ở áp suất P = 0

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỦ YẾU NGHIÊN CỨU VỀ BÁN

DẪN

1.1 Sơ lược về bán dẫn Ge

1.1.1 Cấu trúc tinh thể của bán dẫn Ge

Germanium (Ge) là nguyên tố thuộc nhóm 4 của bảng tuần hoàn Những tính chất hóa học của Ge đã được Mendeleev tiên đoán từ năm 1771 Ge là một nguyên

tố màu trắng ánh xám, cứng có nước bóng kim loại và cấu trúc tinh thể tương tự

như kim cương Ge có tính chất chung trong cấu tạo nguyên tử của chúng là có 4

electron hóa trị ở trên phân lớp ngoài Giữa các nguyên tử Ge có sự liên kết đồng

hóa trị, mỗi nguyên tử liên kết với 4 nguyên tử xung quanh bằng cách trao đổi

electron của chúng với nhau ( Hình 1.1)

Hình 1.1: Tinh thể Ge

Hạt nhân bên trong của nguyên tử Ge mang điện tích +4 Như vậy các điện tử hóa trị ở trong liên kết cộng hóa trị sẽ có liên kết rất chặt chẽ với hạt nhân Do vậy,

mặc dù có sẵn 4 điện tử hóa trị nhưng tinh thể bán dẫn có độ dẫn điện thấp Ở nhiệt

độ 0K, cấu trúc lý tưởng như ở hình 1.2 là gần đúng và tinh thể bán dẫn như là một

chất cách điện

Hình 1.2: Cấu trúc tinh thể Ge

Ngoài ra, một điều quan trọng cần lưu ý là Ge là chất bán dẫn, với các tính chất điện nằm giữa các kim loại và các chất cách điện Ở trạng thái nguyên chất, á

kim này là chất kết tinh, giòn và duy trì độ bóng trong không khí ở nhiệt độ phòng

Các kỹ thuật tinh chế khu vực đã dẫn tới việc sản xuất Ge kết tinh cho ngành công

nghiệp bán dẫn với hàm lượng tạp chất chỉ ở cấp độ 10−10

1.1.2 Một số ứng dụng quan trọng của Ge

Không giống như phần lớn các chất bán dẫn khác, Ge có vùng cấm nhỏ, cho phép nó phản ứng rất hiệu quả với ánh sáng hồng ngoại Vì thế nó được sử dụng

trong các kính quang phổ hồng ngoại và các thiết bị quang học khác trong đó đòi

hỏi các thiết bị phát hiện cực kỳ nhạy với tia hồng ngoại Chiết suất của ôxít

gecmani và thuộc tính tán sắc của nó làm Ge là hữu ích trong các thấu

kính camera góc rộng và trong kính vật của các kính hiển vi

Các transistor từ Ge vẫn còn được sử dụng trong một số hộp dậm chân của các nhạc công muốn tái tạo các đặc trưng âm khác biệt cho âm "fuzz" từ thời kỳ ban

đầu của rock and roll, đáng chú ý có Fuzz Face của Dallas Arbiter

Ge là vật liệu quang học hồng ngoại có tầm quan trọng cao và có thể dễ dàng cắt, đánh bóng thành các thấu kính hay cửa sổ Cụ thể, nó được sử dụng như là thấu

kính vật trong các camera nhiệt làm việc trong khoảng bước sóng 8-14 micron chụp

hình nhiệt thụ động Vật liệu này có chiết suất rất cao (4,0) và vì thế cần được bọc

lót chống phản xạ Cụ thể, lớp bọc lót chống phản xạ đặc biệt rất cứng như cacbon

tựa kim cương (DLC) (chiết suất 2,0) là phù hợp tốt nhất và sản sinh ra bề mặt cứng

như kim cương có thể chống chịu được các tác động môi trường khác nhau

Hợp kim gecmanua silic (hay "silic-gecmani", SiGe) rất nhanh chóng trở thành vật liệu bán dẫn quan trọng, dùng trong các mạch IC tốc độ cao Các mạch IC

dùng các tính chất của kết nối Si-SiGe có thể nhanh hơn nhiều so với các mạch chỉ

dùng silic

Một vài hợp chất của Ge có độc tính thấp đối với động vật có vú, nhưng lại có độc tính cao đối với một vài loại vi khuẩn nào đó Tính chất này làm cho chúng trở

thành có ích như là các tác nhân chữa trị bằng hóa chất

Các tinh thể Ge độ tinh khiết cao được dùng trong các máy dò cho kính quang phổ gamma

Nghiên cứu của Cục quản lý Thực phẩm và Dược phẩm Hoa Kì (FDA) đưa ra kết luận rằng Ge, khi sử đụng như là chất bổ sung dinh dưỡng, "thể hiện một số

nguy hiểm tiềm tàng cho sức khỏe con người"

Trong những năm gần đây Ge được gia tăng sử dụng trong các hợp kim của các kim loại quý Ví dụ, trong hợp kim bạc sterling, nó được thêm vào để giảm vết

bẩn màu, tăng chống xỉn màu, và làm tăng phản ứng của hợp kim đối với xơ cứng

kết tủa

Ngoài ra Ge còn được dùng:

Tác nhân trong sản xuất hợp kim

Phosphor trong các đèn huỳnh quang

với: là một hàm sóng nhiều hạt thực của hệ (có sự đối xứng chính xác),

EMB là năng lượng riêng,

   r , Ri μ

tương ứng là các hệ tọa độ điện tử, ion các chỉ số i và μ tương ứng đánh số tất cả các điện tử và ion

Hàm Hamilton của hệ có dạng:

p ,p tương ứng là các toán tử xung lượng của ion thứ μ và thứ i

Việc giải chính xác phương trình (1.2) trong một chất rắn là điều không thể

Cần nhiều phép đơn giản để làm bài toán này có thể giải được Phép đơn giản hóa

đầu tiên tách riêng chuyển động điện tử và chuyển động ion là phép gần đúng Born-

 μ          μ    

2 μ

khi sử dụng hàm mật độ [14], [17] Các phương pháp hàm mật độ dựa trên cơ sở

định lý Hohenberg-Kohn [14] có các nội dung chính sau:

- Năng lượng tổng cộng của một hệ gồm các điện tử tương tác có thể đươc biểu diễn như một hàm chỉ phụ thuộc vào mật độ điện tích điện tử:

với: Ne là số điện tử trong hệ

Khi đó E ≡ E[ρ] và ta có thể chuyển bài toán nhiều điện tử thành bài toán một điện tử

Mật độ điện tử trạng thái cơ bản ρ (r)gs  làm cực tiểu phiếm hàm E[ρ]:

E[ (r)]   E[ gs(r)Năng lượng E[ρgs(r )] biểu diễn phần đóng góp điện tử vào năng lượng tổng cộng của hệE[gs(r) :

là ở chỗ ta thực sự không biết dạng chính xác của phiếm hàm E[ρ] Tuy nhiên, bài

toán này có thể giải được bằng cách áp dụng phương pháp Kohn và Sham [17] Với

phương pháp này, phiếm hàm năng lượng điện tử E[ (r)]  được tách thành 4 thành

phần

E[ ]=T [ ]+E [ ]+E [ ]+E [ ]     (1.7) với:

Te[ρ] là động năng của các điện tử,

Eion[ρ] là năng lượng của tương tác điện tử-ion

E [ ] là số hạng tính đến các hiệu ứng tương quan và trao đổi điện tử và

chưa biết Ta có thể viết một biểu thức hình thức đối với một thế tương quan – trao

đổi khi sử dụng đạo hàm phiếm hàm

   

 

XC XC

Vì khó đánh giá động năng của các điện tử Te[p] một cách trực tiếp từ mật độ

điện tích điện tửρ r  , Kohn và Sham đề xuất sử dụng các quỹ đạo một nguyên tử

Bây giờ có thể áp dụng nguyên lý biến phân cho chương trình (1.7) và từ đó

thu được một hệ phương trình đối với các quỹ đạo Kohn và Sham i(r) :

Trong phương trình một điện tử loại Schrodinger đơn giản ( 1.12 ) còn tồn tại

là chưa biết thế tương quan trao đổi xc

 Nếu biết phiếm hàm E [ ]xc  ,

phương pháp Kohn-Sham sẽ cho giá trị chính xác của năng lượng trạng thái cơ bản

đối với dạng hàm tương quan trao đổi là phép gần đúng mật độ địa phương(LDA),

trong đó E [ ]xc  được giả định là hàm trơn và thay đổi chậm một cách hợp lý của ρ:

LDA

E ρ = ε r ρ r dr với: ε là mật độ tương quan trao đổi của khí điện tử đồng nhất có mật độ XCđiện tử ρ

Một số ưu điểm của việc sử dụng các phương pháp ab-initio:

- Có khả năng nghiên cứu các pha vật liệu khác nhau và có thể được để mô hình hóa các môi trường liên kết phức tạp như thủy tinh và các chất rắn vô định

hình Nó cũng có thể được sử dụng để mô hình hóa các vật liệu không sẵn có số liệu

- Nhiều loại nguyên tử khác nhau có thể dễ dàng được bao hàm vào trong các tính toán nhờ sử dụng các giả thế thích hợp

Nhược điểm của các phương pháp ab-initio:

- Khả năng tính toán phức tạp đòi hỏi giới hạn khả năng ứng dụng của phương pháp cho các hệ tương đối nhỏ

1.2.2 Phương pháp liên kết chặt

Khi nghiên cứu các tính chất của hệ mô hình lớn hơn đòi hỏi một phương pháp đơn giản hơn và ít cần tính toán hơn Một trong các cách đơn giản hóa trực tiếp dựa

trên các kỹ thuật của phép gần đúng mật độ địa phương từ các nguyên lý đầu tiên là

phương pháp hàm Hamilton liên kết chặt (TB) Các chi tiết của phương pháp này đã

được mô tả bởi Harrison [13]

Trong phương pháp này năng lượng toàn phần E đối với trạng thái cơ bản của

hệ có thể được làm gần đúng như một tổng của hai số hạng là số hạng năng lượng

cấu trúc vùng EBS và số hạng thế đẩy Urep

 

 i BS rep n rep

n

E R =E +U =ε +U (1.14) với:  R (ii 1, , N) là tọa độ của các nguyên tử

Năng lượng cấu trúc vùng EBS là tổng của các trị riêng εn đối với điện tử lấp đầy, trong đó { εn } là một hệ trị riêng đối với hàm Hamilton H của hệ

H    n n n (1.15)

Các trị riêng εn của điện tử có thể phụ thuộc cực kỳ phức tạp vào các tọa độ

 Ri

Để tìm các năng lượng điện tử {εn} ta cần xây dựng và chéo hóa ma trận làm Hamilton {Hmn} với các phần tử

Hmn  m H n (1.16)

Các hàm riêng thực {Ψn} của hàm Hamilton (1.15) chưa biết và vì vậy thông thường cần khai triển chúng theo một cơ sở của các hàm đã biết Trong các phân tử

hoặc các chất rắn, một cơ sở thuận lợi đối với một phép khai triển như vậy có thể có

một cách tự nhiên Các hàm riêng của chúng ta có thể được khai triển thành tổ hợp

tuyến tính của các quỹ đạo nguyên tử (LCAO )

trong trường hợp của Si hoặc C, ta có thể chọn cơ sở quỹ đạo nguyên tử nhỏ nhất là

các quỹ đạo hóa trị s, px, py và pz nằm trên từng nguyên tử trong hệ Khi đó tổng số

các hàm cơ sở trong hệ của chúng ta sẽ là 4N

Thay (1.17) vào phương trình (1.16), thấy các phân tử ma trận Hmn thu được như những sự kết hợp tuyến tính của các phân tử ma trận giữa các quỹ đạo cơ sở:

Hi , j   i H j (1.18)

Nếu xem xét trường hợp đơn giản nhất của hai nguyên tử Si với các quỹ đạo

px, py và pz của chúng tương ứng song song với nhau và các quỹ đạo px nằm trên

cùng một trục, các phần tử ma trận Hiα ,Hjβ đều có thể được biểu diễn bởi một hệ nhỏ

của các số hạng mà chúng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nguyên tử Rij

Hai số hạng chéo khác nhau chính là “ các năng lượng quỹ đạo nguyên tử ” Es và Ep

:

Các phần tử ma trận giữa các hàm p vuông góc với nhau ( như Hipy,jpy ) được coi như triệt tiêu do tính trực giao của các hàm cơ sở

Trong trường hợp chung ( chẳng hạn như trong mạng Si tinh thể thực ), khi các quỹ đạo nguyên tử không được sắp xếp theo một cách đơn giản như thế, các quỹ

đạo p có thể được phân tích về mặt hình học như là các vectơ cho phép chúng ta

quy bài toán này về trường hợp trước và còn biểu diễn các phần tử không chéo Hiα,jβ

như các kết hợp tuyến tính của các số hạng Vssσ, Vspσ, Vppσ,Vppπ

Các phần tử chính để xây dựng ma trận hàm Hamilton { Hmn} là các số hạng

Vssσ, Vspσ, Vppσ, và Vppπ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nguyên tử Trong cách

tiếp cận TB kinh nghiệm ( ETB ), các số hạng này được làm khớp với các kết quả

của các tính toán từ các nguyên lý đầu tiên và được tham số hóa ở dạng của các hàm

đơn giản phụ thuộc vào khoảng cách

Thế đẩy Urep ở ( 1.16 ) bao gồm hai số hạng là số hạng năng lượng đẩy giữa các điện tích hạt nhân Zi và số hạng hiệu chỉnh việc tính gấp đôi năng lượng điện

tử- điện tử trong số hạng cấu trúc vùng EBS :

i j

i,j ij

Z Z1

2 R (1.19)

Trong (1.19), ta giả thiết rằng Urep có một sự phụ thuộc đơn giản từ hình học nguyên tử và có thể được biểu diễn như là tổng của các thế hai hạt tương tác gần chỉ

phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cặp nguyên tử tương ứng Bằng cách như đối

với các phần tử ma trận hàm Hamilton TB, thế đẩy có thể được làm khớp với số liệu

ab-initio

Các lực nguyên tử được tính nhờ định lý Hellmann-Feynman Trong trường

hợp của các quỹ đạo cơ sở cố định (không chuyển động với các nguyên tử ), các lực

tiếng khác là các hàm Hamilton trực giao của Goodwin, Skinner và Pettofor [12],

Kwon và cộng sự [18]…Các hàm Hamilton TB không trực giao khác đối với Si gần

đây do Bernstein và cộng sự [8] đề xuất

Một số ưu điểm của phương pháp liên kết chặt:

- Cung cấp thông tin về cấu trúc điện tử của vật liệu mô hình

- Hiệu quả tính toán cao hơn nhiều so với các phương pháp ab-initio

Một số nhược điểm của phương pháp liên kết chặt:

- Phụ thuộc vào việc làm khớp với số liệu thực nghiệm hoặc các tính toán

ab-initio Việc làm khớp hàm Hamilton TB để đồng thời tái sinh các pha với liên

kết hay hình học khác nhau (chẳng hạn như pha lỏng và vô định hình) là một vấn đề

thuộc về kỹ xảo và đôi khi hoàn toàn không thể thực hiện

- Số hạng năng lượng đẩy chỉ có thể xác định bằng một công thức kinh

nghiệm ( nghĩa là có thể không được làm khớp với các tính toán ab-initio )

- Việc làm khớp với số liệu nào đó làm cho phương pháp “ chuyên môn hóa

hơn ” một chút so với các kỹ thuật ab-initio Chẳng hạn như hàm Hamilton TB của

Kwon, Biswas và cộng sự [18] là tốt đối với các tính toán lực và năng lượng toàn

phần nhưng không tốt đối với phổ dao động hoặc các tính toán cấu trúc vùng

- Cần tính toán ít nhất một bài toán trị riêng hoặc vectơ riêng của ma trận trên từng bước của mô phỏng MD Điều này giới hạn khả năng ứng dụng của

phương pháp cho các hệ chứa hàng trăm nguyên tử nhưng không phải hàng nghìn

phân tử

1.2.3 Các thế kinh nghiệm

Một trong những phương pháp đơn giản và trực tiếp nhất để nghiên cứu các

tính chất động lực và cấu trúc của các chất rắn là dùng thế tương tác kinh nghiệm

giữa các nguyên tử Thế này mô tả các tương tác nguyên tử trong vật rắn và chứa

một số các thông số có thể điều chỉnh Các thông số này được làm khớp với các số

liệu thực nghiệm và các kết quả của các tính toán ab-initio theo cách sao cho thế tái

sinh một cách tốt nhất có thể có các đường cong năng lượng liên kết đối với các pha

đối xứng cao khác nhau của chất rắn được nghiên cứu Đối với Si, các pha làm khớp

đối xứng phổ biến nhất là các cấu trúc lập phương kiểu kim cương (dc), lập phương

đơn giản (sc), lập phương tâm mặt (fcc ), lập phương tâm khối (bcc) và lục giác

Để triển khai (1.21) có ích cho tính toán thực tế các hàm thành phần υNcần phải nhanh chóng tiến đến không theo sự tăng n Rõ ràng tính chất này phụ thuộc

vào bản chất của liên kết trong vật liệu được nghiên cứu Chẳng hạn như đối với các

tinh thể khí trơ ( Ar, Kr, Xe), chỉ các tương tác cặp là quan trọng và (1.21) được rút

Cách để giải quyết là sử dụng nhiều số hạng hơn trong khai triển (1.21) nhằm tính

đến các tương tác nhiều hạt trong vật liệu

Một trong các thế giữa các nguyên tử nổi tiếng áp dụng sớm nhất cho Si là thế Keating[15] Thế này bao gồm các số hạng tương tác hai hạt và ba hạt

tương tác đối với các số hạng tương tác hai hạt và ba hạt bị giới hạn tới các nguyên

tử lân cận đầu tiên Do đó, các chỉ số j và k chỉ đánh số theo các nguyên tử lân cận

gần nhất của nguyên tử i cho trước (chính xác là bốn nguyên tử lân cận gần nhất đối

với một mạng kim cương lý tưởng) Đối với các méo dạng nhỏ không làm thay đổi

topo liên kết của mạng, mô hình Keating có thể cung cấp một hiểu biết nào đó đối

với cấu trúc mạng

Một mô hình khác được sử dụng rộng rãi hiện nay để nghiên cứu các tính chất

cấu trúc và động lực của Si là thế kinh nghiệm Stillinger-Weber (SW)[22] Thế này

lúc đầu được làm khớp với các pha silic tinh thể (c-Si) và lỏng (l-Si) Giống như mô

hình Keating thế này bao gồm các đóng góp tương tác hai hạt và ba hạt

Ngoài ra còn một số thế khác như thế của Biswas và Hamann, thế tương tác giữa các nguyên tử mới phụ thuộc vào môi trường (EDIP) đối với Si do Bazant,

Kaxiras và cộng sự đưa vào…

Một số ƣu điểm của các thế kinh nghiệm:

- Có hiệu quả về mặt tính toán

- Dễ áp dụng ở dạng mã chương trình

Một số nhƣợc điểm của các thế kinh nghiệm:

- Khả năng chuyển kém cho các pha mà thế không được làm khớp Việc tái

sinh vô định hình của Si đòi hỏi sự làm khớp tường minh cho pha này

- Khả năng chuyển rất kém giữa các pha với môi trường liên kết khác nhau

- Không sẵn có các tính chất cấu trúc điện tử

Tóm lại, trong nghiên cứu bán dẫn, khi sử dụng các phương pháp trên mặc dù

đã thu được những thành công nhất định, nhưng mỗi phương pháp đều có những

hạn chế nhất định như khả năng tính toán quá lớn đòi hỏi giới hạn khả năng ứng

dụng của phương pháp cho các hệ tương đối nhỏ, có phương pháp lại đòi hỏi vào

việc làm khớp với số liệu thực nghiệm mà việc làm khớp đôi khi hoàn toàn không

thể thực hiện được, có phương pháp thì không sẵn có các tính chất cấu trúc điện tử

…Vì vậy, việc sử dụng những phương pháp này để nghiên cứu tính chất nhiệt động

của bán dẫn còn chưa thực sự hiệu quả

Trong những năm gần đây, xuất hiện một phương pháp thống kê mới rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các vật liệu Đó là phương

pháp thống kê mômen (PPTKMM) PPTKMM do GS Nguyễn Tăng đề xuất [23] và

đã được phát triển để nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi điều hòa

[19], [20], [21] Bằng PPTKMM đối với tinh thể lập phương tâm khối và lập

phương tâm diện khuyết tật điểm các tác giả đã tìm được biểu thức giải tích đối với

một loạt các đại lượng nhiệt động như: độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút

mạng, hằng số mạng, năng lượng tự do của hệ, hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng

nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng tích, nhiệt dung riêng đẳng áp, ở các nhiệt độ và áp suất

khác nhau Chính vì vậy việc hoàn thiện lý thuyết này để áp dụng nghiên cứu cho

tinh thể bán dẫn Ge là cần thiết và có ý nghĩa Tiếp theo chúng tôi xin trình bày nội

dung chính của PPTKMM

1.2.4 Phương pháp thống kê mômen

(Nội dung được trích dẫn trong [1])

1.2.4.1 Mômen trong vật lý thống kê

* Các công thức tổng quát về mômen

Trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê, mômen được định nghĩa như sau:

Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên q1, q2,…qn tuân theo quy luật thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố (q1, q2,…qn) Hàm này phải thỏa mãn điều

kiện chuẩn hóa Trong lý thuyết xác suất người ta định nghĩa cấp mômen cấp m như

Như vậy đại lượng trung bình thống kê q chính là mômen cấp một và

1 1(q  q ) là mômen trung tâm cấp hai Từ các định nghĩa trên chúng ta thấy rằng về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố  (q1, q2,…qn) hoàn toàn có

ở đây […,…] là dấu ngoặc poisson lượng tử

Như vậy, nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm được mômen Tuy nhiên việc tính các mômen không phải là việc đơn giản Ngay đối với hệ cân bằng nhiệt

động dạng của  thường đã biết ( phân bố chính tắc, chính tắc lớn…) nhưng việc

tìm các mômen cũng rất phức tạp

Giữa các mômen quan hệ với nhau, mômen cấp cao có thể biểu diễn qua mô men cấp thấp hơn Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa

các mômen đã được xây dựng trong [27], [28] Các hệ thức đó đóng vai trò quan trọng

trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến

Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng tọa độ suy rộng Qi Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng:

0 i i i

ˆ

ˆ ˆ

với H0 là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng

Bằng một phép biến đổi trong [3] các tác giả đã thu được hệ thức tổng quát, chính xác biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kỳ F và tọa độ Q của hệ với k

Hamiltonian H:

 

  2m 2m

… a biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với Hamitonnian H

Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và Qk Muốn

vậy, cần phải biết các đại lượng 

a

F và

(2m)

k a

Fa

Fa



 xác định từ các phương trình động lực

Trường hợp đặc biệt FQ ta có biểu thức chính xác đối với phương sai:

trong đó … biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian H

Ngoài ra tác giả còn thu được hệ thức chính xác khác:

 n  n+1  2m 2m 2m+n

k + a

Công thức (1.32) còn được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mômen cấp cao [27] Muốn vậy, tác giả còn đưa vào định nghĩa toán tử tương quan

cấp cao qua mômen cấp thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua mômen cấp 1 Khi

đó, chúng ta thu được biểu thức khá phức tạp và cồng kềnh Tuy nhiên, đối với các

hệ cụ thể nó có thể có dạng đơn giản, gọn gàng hơn

* Công thức tổng quát tính năng lượng tự do:

Trong vật lý thống kê, năng lượng tự do cho ta thông tin đầy đủ về tính chất nhiệt động của hệ vì vậy việc xác định nó đóng vai trò quan trọng Trong vật lý

thống kê, năng lượng tự do liên hệ với tổng trạng thái bởi hệ thức:

dưới dạng gần đúng Trong [27] phương pháp mômen đã được áp dụng để xác định

công thức tổng quát tính năng lượng tự do:

Xét một hệ lượng tử đặc trưng bởi Hamiltonian có dạng:

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày các phương pháp chủ yếu đã được

sử dụng để nghiên cứu về bán dẫn như: các phương pháp ab-intio, phương pháp liên

kết chặt, phương pháp sử dụng các thế kinh nghiệm…

Cũng trong chương này, chúng tôi đã trình bày nội dung của phương pháp thống kê mômen để làm cơ sở cho những nghiên cứu trong các chương tiếp

theo

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA TINH THỂ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC

KIM CƯƠNG

2.1 Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng

Sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác giữa các hạt trong bán dẫn có cấu trúc kim cương có dạng [1]:

jα jβ jγ jη α,β,γ,η jα jβ jγ jη

ở đây aj là vị trí cân bằng của hạt thứ j

Dạng của số hạng

2 i

jα jγ jη α,γ,η jα jβ jγ jη

jα jγ jη p β α,γ,η