Môđun suy biến, suy biến bậc 2 và cs môđun

Khi lớp các CS-môđun ra đời, lý thuyết môđun đ-ợc phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành.. Ta biết rằng bản thân vành R có thể đ-ợc xem là một

bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học vinh

Ch-¬ng 2 CS-m«®un vµ m«®un suy biÕn, suy biÕn bËc hai 16

2.2 M«®un suy biÕn bËc hai vµ m«®un suy biÕn cña vµnh c¸c

Mét sè ký hiÖu

C¸c kÝ hiÖu chóng t«i chñ yÕu dùa theo F.W Anderson- K.R Fuller[1] ,

N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F Smith- R Wisbauer [3]

Z(M) : M«®un con suy biÕn cña M

Z2(M) : M«®un con suy biÕn bËc 2 cña M

Mở đầu Vấn đề nghiên cứu các lớp môđun đã đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm

và đạt đ-ợc nhiều kết quả sâu sắc, đặc biệt có ứng dụng rất tốt cho việc đặc tr-ng vành thông qua tính chất của một lớp xác định các môđun trên chúng Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và xạ ảnh đ-ợc xem nh- hai cột trụ trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành Năm 1960 Utumi nhận xét rằng vành chính quy liên tục là mở rộng vành chính quy tự nội xạ, ông đã

mở rộng khái niệm liên tục cho vành bất kỳ[13] Jeremy[6], Mohamed và Bouhy [8], Goel và Jain [17] đã suy rộng khái niệm liên tục của vành cho các môđun Tiếp đó Chatters và Hanajavis đã đ-a ra khái niệm CS-môđun ( Hay là môđun extenđing) [2] Khi lớp các CS-môđun ra đời, lý thuyết môđun đ-ợc phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành Đinh Văn Huỳnh, Smith, Wisbauer và Nguyễn Việt Dũng là những ng-ời đã nghiên cứu và đạt nhiều thành tích về CS-môđun và viết thành [3]

Ta biết rằng bản thân vành R có thể đ-ợc xem là một R-môđun (phải) trên chính nó nên một số kết quả trên môđun có thể chuyển cho vành.Trong lớp các iđêan (phải) của vành, ta đặc biệt chú ý đến lớp các iđêan (phải) cốt yếu trong vành đó Nếu I là iđêan (phải) cốt yếu của vành R (không suy biến) thì R-môđun (phải) R/I đ-ợc gọi là R-môđun phải xiclic suy biến

Xuất phát từ ý t-ởng trên đây h-ớng nghiên cứu của luận văn chủ yếu dựa vào môđun con cốt yếu để nghiên cứu các môđun con suy biến, không suy biến và suy biến bậc hai.Từ đó liên hệ môđun suy biến, suy biến bậc hai với CS-môđun và môđun suy rộng của CS-môđun là môđun thoả mãn (C11)

Luận văn đ-ợc chia làm ba ch-ơng:

Ch-ơng 1: Trình bày các khái niệm, ví dụ và một số kiến thức có liên

quan đến luận văn Kết quả của ch-ơng này mới chỉ tìm ra những ví dụ minh họa cho các khái niệm

Ch-ơng 2: Nghiên cứu một số tính chất của môđun suy biến, suy biến bậc

hai và CS-môđun Kết quả chính của ch-ơng này là định lý 2.2.1; hệ quả 2.2.2; định lý 2.2.3; định lý 2.2.4

Ch-ơng 3: Từ các kết quả của ch-ơng hai, ta có cách chứng minh khác

“Nếu M là CS-môđun thì Z2(M) luôn đóng trong M.”; đồng thời lập mối liên

hệ môđun suy biến bậc hai với CS-môđun, môđun thoả mãn (C11) ( Hệ quả

3.2; Định lý 3.3; định lý 3.4 và định lý 3.9 )

Luận văn bắt đầu từ tháng 2/2002 đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng

đại học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của Phó Giáo s- - Tiến sỹ Ngô Sỹ Tùng

Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo

h-ớng dẫn, ng-ời đã dìu dắt tận tình, chu đáo nh-ng cũng không kém phần

nghiêm khắc, đã giúp tác giả mạnh dạn độc lập suy nghĩ,vững tin trong b-ớc

đ-ờng đầu nghiên cứu khoa học; đã dành cho tác giả những ý kiến chỉ đạo quý

báu và đặc biệt là sự động viên trong suốt quá trình học tập cũng nh- làm luận

văn

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã đ-ợc sự dạy bảo tận

tình của GS.TS Hà Huy Khoái, GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Nguyễn

Quý Dy, TS Nguyễn Thành Quang, TS Lê Quốc Hán,TS Mai Văn T- Tác

giả xin trân trọng cảm ơn các thầy- các Nhà Khoa học, Nhà giáo đã giành sự

giúp đỡ, chỉ bảo cho tác giả

Cũng nhân dịp này, tác giả xin đ-ợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong

khoa Toán, khoa Sau đại học tr-ờng Đại học Vinh và tất cả bạn bè đồng

nghiệp đã động viên giúp đỡ để luận văn đ-ợc hoàn thành đúng kế hoạch

Cuối cùng, tác giả rất mong đ-ợc sự góp ý chân tình của các thầy giáo, cô

Trong ch-ơng này, chúng tôi đ-a ra một số định nghĩa ,ví dụ và tính chất cơ

sở Tất cả các vành đ-ợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị và mọi môđun là

môđun phải unita ( Nếu không nói gì thêm)

1.1 Các định nghĩa và ví dụ

Môđun con N của môđun M đ-ợc gọi là môđun con cốt yếu trong M, nếu

với  K ↪M; K  0 thì K  N  0 Nếu N là môđun con cốt yếu của M ta

nói M là mở rộng cốt yếu của N (Quy -ớc nếu 0 M thì M = 0)

( Ví dụ: Môđun M M ; nℤ ℤ )

Môđun U gọi là đều ( Uniform) nếu bất kì các môđun con A, B khác 0 của

U thì A B 0, hay mọi môđun con của U là môđun cốt yếu trong U

(Ví dụ: ℤ-môđun ℤ là đều Vì bất kì 0  A ,B ↪ ℤ thì A= mℤ,

B = nℤ ,với m, n ℕ* và AB = mnℤ0)

Môđun con N của môđun M đ-ợc gọi là đóng trong M nếu N không có mở

rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N đ-ợc gọi là đóng trong M nếu với

mọi môđun con K của M và N K thì K = N

(Ví dụ: A và B là hai môđun con của M thoả mãn M=AB thì

môđun B là đóng trong M.)

Môđun M đ-ợc gọi là CS-môđunnếu với mỗi môđun con A của M luôn tồn

tại môđun con X của M sao cho A X M Tức là mọi môđun con của M

cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M hay mọi môđun con đóng của M là

hạng tử trực tiếp Một CS-môđun còn gọi là môđun thoả mãn tính (C1)

(Ví dụ: ℤ-môđun ℤ là CS-môđun ,vì bất kì môđun con của ℤ

thì nℤ ℤ và ℤ = ℤ0

ℤ-môđun (ℤ/pℤ) (ℤ/p2ℤ) là CS-môđun.)

Cho M là R-môđun, X và U là các môđun con của M Môđun X đ-ợc gọi là

phần bù giao của U trong M nếu X là môđun tối đại trong M và thoả mãn

(Ví dụ: A và B là hai môđun con của M thoả mãn M=AB thì B là phần

bù giao của A trong M Vì nếu BE↪M và AE=0 thì theo luật môđula ta

có ( AE) +B = (A+B)E = ME = E , mà AE = 0 nên B = E.)

Môđun M đ-ợc gọi thoả mãn (C11) nếu mọi môđun con của M có phần bù giao là hạng tử trực tiếp của M Nghĩa là mỗi môđun con N của M tồn tại hạng tử trực tiếp K của M sao cho K là phần bù giao của N trong M

(Ví dụ: Với p là số nguyên tố thì ℤ-môđun M=(ℤ/pℤ) (ℤ/p3ℤ) thoả mãn (C11).)

Cho M là R-môđun Khi đó:

Z(M) = { m  M |I R: mI = 0}, là môđun con của M và gọi là môđun con suy biến của M

Z(M) = 0 thì M đ-ợc gọi là môđun không suy biến (nonsingular)

Z(M) = M thì M đ-ợc gọi là môđun suy biến (singular)

0  Z(M)  M thì M không phải là môđun suy biến và cũng không phải là môđun không suy biến Ta gọi Z2(M) là Môđun suy biến bậc 2 của M xác

định bởi Z2(M)/ Z(M) là môđun suy biến của M/ Z(M)

Ta thấy ℤ6 chỉ có môđun cốt yếu là ℤ6 vì thế

Z(ℤ6) = { x  ℤ6 \ x ℤ6 } = 0 Nh- vậy ℤ6-môđun ℤ6 là không suy biến

↪ *

Vành R gọi là suy biến ( không suy biến ) là vành suy biến ( không suy biến) phải và suy biến (không suy biến) trái

( Ví dụ: Vành ℤ6 là vành không suy biến )

Ta gọi giao tất cả các môđun con tối đại của M là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M và kí hiệu là Rad(M) Nếu M không có môđun tối

đại thì ta quy -ớc Rad (M) = M

(Ví dụ: Giả sử K là một thể, coi KK là nh- một K-không gian véc tơ, Rad(KK)=0 vì 0 là môđun con tối đại duy nhất của KK

Rad(ℚℤ)=ℚℤ, vì trong ℚℤ không có môđun con tối đại.) Cho M và A là các R-môđun Môđun A gọi là M- nội xạ nếu với mọi

môđun con X của M và mọi đồng cấu f: X  A thì tồn tại đồng cấu

f*: M  A là mở rộng của f sao cho f * i = f

Hay ta có biểu đồ sau giao hoán

X i M

f f*

A

Trong đó i là phép nhúng đồng nhất

Môđun M đ-ợc gọi là nội xạ nếu M là A-nội xạ với mọi môđun A

(Ví dụ: ℤ -môđun ℤ không phải là ℤ nội xạ

Suy ra N M

Nếu A  K Do N/K M/K  N/K  ((A + K)/K)  0,

Tồn tại n + k1 = a + k' + k2  a = n + k1 - k' - k2  N Và a  0,

Lúc đó ta có a  A  N  0 Vậy N M

e) Lấy 0  X↪ B Ta cần chứng minh X  f-1 (A)  0

- Nếu f(X) = 0  X↪ f-1(0)↪ f-1(A)  X  f-1(A) = X  0

M , ta có biểu diễn x = 

F i i

x , với F hữu hạn thuộc T, theo

tr-ờng hợp trên thì

F

i  Mi tồn tại và sự biểu diễn đó là duy nhất

Tiếp theo ta lấy 0  X↪iFMi, suy ra tồn tại 0  x  X mà x 

b) Chứng minh: L  K M

Lấy 0  N↪M, nếu N  (K  L) = 0 thì N  K = 0 và N L = 0

Suy ra (N  L)  K = 0 (Vì nếu có n + 1 = k thì suy ra n = k -1

n  N và n  K  L  n = 0 và k = 1 = 0) Lúc đó theo tính tối đại của

1.2.3.Mệnh đề: Nếu M là R-môđun, K là môđun con cốt yếu của M, với mỗi

a  M thì tồn tại L là môđun cốt yếu của R để aL ↪ K

Chứng minh: Giả sử a  M Đặt L = { r  R ; ar  K } Khi đó L là iđêan phải của R

Thật vậy, L  vì 0  L

Giả sử r, r'  L, r''  R

Ta có ar', ar  K  ar + ar'  K  a(r + r')  K  r + r'  L

a(r r'') = (ar)r''  K Do ar  K, K là môđun, suy ra rr''  L

aL↪K Điều này là hiển nhiên

a

f (K)= { a  R ; ar  K } = L Mà K M, nên theo mệnh

đề 1.2.1 thì L R 

1.2.4.Mệnh đề: Cho môđun M

a) Nếu A là môđun con của M thì Z(A)=A  Z(M)

b) Mỗi xM, gọi r(x)={ R sao cho x=0} là linh hoá tử (phải) của x Khi đó xZ(M)  r(x) RR

Ng-ợc lại, nếu r(x) RR lấy I = r(x) và ta có xI = 0

xtR ( { xt} là cơ sở của F ) Do M suy biến nên F/K suy biến Vì thế mỗi xt +KF/K tồn tại Iđêan It RR để (xt+K)It=0

hay là xt + K↪K với mọi t T Do It RR suy ra xtIt xtRR Mặt khác,

xtIt↪

T t

Ng-ợc lại , muốn chứng minh M suy biến ta chứng minh A/B suy biến

Lấy bất kỳ a A Gọi I = {  R\a B}

Xét đồng cấu f : RR  A   a

Có f-1(B) = I và B A nên I RR

Ta có (a+B )I =B = 0 ( 0 của th-ơng A/B) Suy ra a+B Z (AB),

hay là A/B = Z (A/B) Vậy A/B suy biến

( Nh- vậy,nếu A/B có B A thì A/B suy biến Nói chung ng-ợc lại

không đúng.Ví dụ A A/0 suy biến nh-ng 0 không cốt yếu trong A)

b) Bất kì 0 X↪ A, Lấy 0x  X thì x+ B  Z (A/B) Suy ra tồn tại

I RR để ( x+B)I = 0 hay là xI B Do A không suy biến nên xI 0 , mà

1.2.6.Mệnh đề: a) Môđun con, môđun th-ơng, tổng của các môđun suy biến

là môđun suy biến

b)Môđun con ,tích trực tiếp, mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến là môđun không suy biến

c) Nếu B và A/B không suy biến thì A không suy biến ( Mở rộng của môđun không suy biến là môđun không suy biến.)

Chứng minh:

a) Hiển nhiên thấy môđun con của môđun suy biến là suy biến

Môđun th-ơng : Cho môđun M suy biến , xét môđun th-ơng M/K

Ta có (x+K)I = O vì xI=0 với I RR

Tổng các môđun: Tổng các môđun suy biến: Cho { Ai }F suy biến

A là môđun suy biến b) Hiển nhiên thấy môđun con của môđun không suy biến là môđun không suy biến

Tích trực tiếp của các môđun không suy biến:

Cho { Ai }F là họ các môđun không suy biến Xét j

Cho A là môđun không suy biến và A M Ta phải chứng minh mở rộng cốt yếu M của A là không suy biến

Thật vậy, Z(A) = A  Z(M) ( Theo mệnh đề 1.2.4), mà Z(A) = 0 nên

A  Z(M) = 0 Mà A là môđun cốt yếu trong M Suy ra Z(M) = 0

c) Nếu B và A/B không suy biến ta phải chứng minh A không suy biến

Thật vậy: Ta có O  B  A  A/B  0 là dãy khớp

Xét đồng cấu tự nhiên:  : A  A/B

Ta có  (Z(A))  Z(A/B) Mà Z(A/B) = 0

(Do A/B không suy biến) nên  (Z(A)) = 0

Do đó Z(A)  B Vì vậy B không suy biến nên Z(B) = 0

Vì vậy Z(A) = 0 hay là A không suy biến 

1.2.7.Mệnh đề:

a) Nếu f : A  B là đồng cấu thì f(Z(A))  Z(B)

b) Xét R R -môđun M Nếu I R R thì xI xR R. , với x thuộc cơ sở của M

Chứng minh:

a) Bất kì x  Z(A),  I RR : xI = 0 và f(x)  f(Z(A))

f(xI) = f(x) I = 0 Suy ra f(x)  Z(B) Vậy f(Z(A))  Z(B)

b) I RR ; bất kỳ x thuộc cơ sở của M

2.1.Một số tính chất của CS-môđun

2.1.1.Bổ đề: Giả sử M là môđun nào đó

a Cho A là mô đun con tuỳ ý của M Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp

của M thì A đóng trong M

b Hạng tử trực tiếp của M thì đóng trong M

c Nếu K là môđun con đóng trong L và L là môđun con đóng trongM, thì

K là môđun con đóng trong M

b) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M Ta có M = A B Lấy N  M

sao cho A N thì A  B NB Từ đó 0 N B ,suy ra N B =0 Xét

phép chiếu : A B  A, ta có ker = B, mà N B =0

nên N ker =0  N là đơn cấu.Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A

Mà A↪N  N = A Vậy A đóng trong M 

c) Tr-ớc hết ta chứng minh : Nếu môđun con A đóng trong M, mọi

môđun Q M sao cho A ↪Q thì Q/A M/A (1) Thật vậy, giả sử

môđun A đóng trong M, bất kỳ môđun Q M sao cho A ↪Q ; P là môđun

con của M sao cho A↪ P và ( Q/A) ( P/A ) = 0 Do Q M nên A= QP P Suy ra A = P Cho nên Q/A M/A

Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M: Lấy K’ là phần bù giao của K trong L; L’ là phần bù giao của L trong M Khi đó theo mệnh đề 1.2.2.b thì

L L’ M và theo (1) ta có (LL’)/L M/L Theo mệnh đề 1.2.1.d ta thấy(LL’)/K M/K và (KK’)/K L/K

Bấy giờ (LL’)/K=(L/K)((KL’)/K Do đó :

(KK’ L’)/K = ((KK’)/K)((KL’)/K) M/K

Giả sử K V với V là môđun con của M Khi đó K(K’L’) = 0, cho nên V(K’L’) = 0 Suy ra (V/K) ((KK’ L’)/K) = K  K = V

Điều này chứng tỏ K đóng trong M

2.1.2.Hệ quả: Bất kỳ hạng tử trực tiếp của CS- môđun là CS -môđun

Chứng minh:

Giả sử A M hay M = A  B ta thấy A đóng trong M Ta phải chứng minh A là CS môđun Thật vậy, lấy bất kỳ môđun T đóng trong A Do A đóng trong M và sử dụng bổ đề 2.1.1 ta có T đóng trong M Mà M là CS- môđun nên T M  M = T  K với K↪ M

2.1.3.Định lý: Giả sử R là vành R-môđun M là CS môđun với chiều Godie

hữu hạn nếu và chỉ nếu

i) M là tổng trực tiếp của hữu hạn của các môđun con đều

ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều 2 là CS- môđun

Giả sử M là CS môđun với chiều goldie hữu hạn khác 0 Ta chứng minh

i, và ii, Thật vậy, giả sử môđun U đóng trong M là môđun con đều cực đại của M

Từ giả thiết ta có M = U  U' với U' là môđun con nào đó của M Theo

hệ quả 2.1.2 ta có U' là CS- môđun Bằng ph-ơng pháp quy nạp (hay tiếp tục nh- trên) và trên chiều Goldie hữu hạn ta có U' là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều Do đó U là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều và ta có i, Ta cũng dễ thấy mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều 2 cũng là CS-môđun cho nên ta có ii,

Ng-ợc lại, giả sử ta có i, và ii, Ta phải chứng minh M là CS-môđun với chiều Goldie hữu hạn

Thật vậy, chẳng hạn M = U1  U2   Un; n ℕ*

; Ui là môđun đều với mọi 1  i  n Giả sử V là môđun con đều cực đại của M thoả mãn V  M;

V  Ui = 0 với 1  i  n Không mất tính tổng quát giả sử i = 1

Đặt U' = U2  U3  Un Tồn tại môđun K tối đại trong M sao cho

VU1 là cốt yếu trong K Ta thấy K không có mở rộng cốt yếu thực sự nên K

đóng Theo luật modular thì K = U1  (K  U') Ta thấy K  U' đóng trong

K, theo mệnh đề 2.1.1 thì K  U' đóng trong M Hay là K  U' đóng trong U' Bằng ph-ơng pháp quy nạp trên chiều Goldie hữu hạn, ta có K  U' là hạng tử trực tiếp của U' Do đó K = (K  U')  U1 là hạng tử trực tiếp của U'  U1 suy ra K là hạng tử trực tiếp của M Ta thấy K có chiều Goldie 2, theo giả thiết K là CS môđun nên V là hạng tử trực tiếp của K do đó V là hạng tử trực tiếp của M

Giả sử L là môđun con đóng trong M, sao cho W là môđun con đều cực

đại của L Theo bồ đề 2.1.1 ta có W là môđun con đóng trong M

Theo chứng minh trên W là hạng tử trực tiếp của M1 Do vậy M =WM' Với M' là môđun con nào đó của M Bấy giờ L = W  (L  M' ) và L  M' là các môđun con đóng trong M (theo bồ đề 2.1.1.)

Bằng ph-ơng pháp quy nạp trên chiều Goldie hữu hạn của L ta có L  M'

là hạng tử trực tiếp của M và cũng là hạng tử trực tiếp của M’ Do đó L là hạng

tử trực tiếp của M Ta có kết quả M là CS môđun 