Điều kiện cực trị bậc 2 và độ nhạy nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộc

KHOA TOÁN************** NGUYỄN THỊ HUẾ ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN K

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HUẾ

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI

VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN

TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018

KHOA TOÁN

**************

NGUYỄN THỊ HUẾ

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI

VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN

TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Văn Tuyên

Hà Nội – Năm 2018

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quátrình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tàikhóa luận tốt nghiệp.

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn VănTuyên đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu và hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,

cô giáo và toàn thể bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Huế

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Tuyênkhóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nàokhác

Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thànhtựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Huế

Lời mở đầu 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tập lồi và hàm lồi 3

1.1.1 Tập lồi và các tính chất của tập lồi 3

1.1.2 Hàm lồi và một số tính chất của hàm lồi 4

1.2 Các tập tiếp xúc 5

1.2.1 Nón tiếp tuyến 5

1.2.2 Tập tiếp xúc bậc hai 8

1.3 Điều kiện cực trị bậc nhất 14

2 Điều kiện cực trị bậc hai và độ nhạy nghiệm 16 2.1 Điều kiện tối ưu 16

2.2 Độ nhạy nghiệm 26

Tài liệu tham khảo 32

Lời mở đầu

Lý thuyết tối ưu được hình thành với tư cách là một lý thuyết toánđộc lập Có thể nói lý thuyết tối ưu bắt đầu từ các bài toán quy hoạchtuyến tính, tiếp đó là các bài toán quy hoạch lồi Đối tượng nghiêncứu của lý thuyết tối ưu được mở rộng và hình thành những hướngnghiên cứu khác nhau ngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tế.Trong lý thuyết tối ưu, các điều kiện cực trị bậc nhất thường đóngvai trò như các điều kiện cần tối ưu Các điều kiện cực trị bậc haikhông những bổ sung cho các điều kiện cực trị bậc nhất mà còn đóngvai trò quan trọng trong các điều kiện đủ và trong việc nghiên cứutính ổn định nghiệm tối ưu

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các bài toán tối ưu, đặc biệt làcác bài toán tối ưu có ràng buộc, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Điềukiện cực trị bậc hai và độ nhạy nghiệm của các bài toán tối ưu có ràngbuộc”

Mục đích của khóa luận là trình bày một cách có hệ thống, cáckiến thức cơ bản và quan trọng nhất về điều kiện cực trị bậc hai và

độ nhạy nghiệm của các bài toán tối ưu có ràng buộc

Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày dựa trên cuốnsách chuyên khảo [3] Nonlinear Optimization năm 2006

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chính củachương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của tập lồi và hàmlồi, tập tiếp xúc, điều kiện cực trị bậc nhất

Chương 2 trình bày về điều kiện cực trị bậc hai và độ nhạy nghiệm

của bài toán có ràng buộc Mục 2.1 sẽ trình bày về điều kiện cực trịbậc hai Mục 2.2 sẽ trình bày độ nhạy của nghiệm tối ưu.

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Tập lồi và hàm lồi

1.1.1 Tập lồi và các tính chất của tập lồi

Định nghĩa 1.1 Một tập X của Rn được gọi là tập lồi nếu x, y ∈ X

ta có

λx + (1 − λ) y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]

Nghĩa là nếu x, y ∈ X thì đoạn thẳng [x.y] ∈ X

Đặc biệt, nếu n = 1 thì tập lồi là một khoảng một đoạn hay nửakhoảng Nếu α1, , αn là các số thực không âm,

Định lý 1.1 Một tập X ⊂ Rn là một tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổhợp của các điểm X đều nằm trong X

Định lý 1.2 Nếu {Xi} , i ∈ J là một họ các tập lồi thì X = ∩i∈JXi

là một tập lồi

Định nghĩa 1.2 Cho X là một tập con của Rn Khi đó bao lồi của

X ký hiệu là convX, là giao của tất cả các tập lồi chứa X Bao lồicủa X là một tập lồi

Định lý 1.3 Cho X là một tập con của Rn Khi đó bao lồi của X làtập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của X

Định nghĩa 1.3 Một điểm x0 của tập lồi X được gọi là điểm cựcbiên nếu x0 không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằmtrong X Tức là không tồn tại hai điểm x1, x2 ∈ X và λ ∈ (0; 1) để

x0 = λx1 + (1 − λ) x2

Định lý 1.4 Cho X ⊆ Rn là một tập lồi, compact Khi đó X là baolồi của tất cả các điểm cực biên của nó

1.1.2 Hàm lồi và một số tính chất của hàm lồi

Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi

Định nghĩa 1.4 Cho X là một tập lồi trong Rn và hàm f : X → R(i) f được gọi là hàm lồi nếu

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y)với mọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ [0; 1]

(ii) f được gọi là hàm lồi chặt nếu (1.3) là bất đẳng thức ngặt vớicác điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1)

(iii) Nếu hàm −f là lồi (lồi chặt) thì ta nói f là hàm lõm (lõm chặt).(iv) Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine.Thực ra, tại λ = 0 và λ = 1 thì (1.3) luôn đúng cho nên để chotiện, đôi khi ta chỉ cần xét λ ∈ (0; 1).

Bổ đề 1.2 Cho X ∈ Rn là một tập lồi và x ∈ X Khi đó

TX(x) = KX(x),

ở đó, KX(x) := {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0}

Kí hiệu X là tập hợp được cho bởi hệ

X = {x ∈ X0 : g(x) ∈ Y0}, (1.1)

ở đó g : Rn → R khả vi liên tục, Y0 và X0 lần lượt là các tập lồi đóngtrong Rm, Rn.

Định nghĩa 1.6 Hệ (1.1) được gọi là chính quy metric tại điểm

x0 ∈ X nếu tồn tại ε > 0 và C sao cho tất cả ˜x và ˜u thỏa mãnk˜x − xk ≤ ε và k˜uk ≤ ε ta có thể tìm thấy xR ∈ X0 thỏa mãn

tiếp tuyến của hệ gồm các phương trình và bất phương trình Xét hệ

Bổ đề 1.3 Giả sử rằng tồn tại một điểm xM F ∈ intX0 sao cho

hOgi(x0), xM F − x0i < 0, i ∈ I0(x0)hOhi(x0), xM F − x0i = 0, i = 1, , p,

(1.7)

và hệ {∇hi(x0), i = 1, , p} độc lập tuyến tính Khi đó hệ (1.5) làchính quy metric

Các giả thiết của Bổ đề 1.3 với X0 = Rn được biết đến như là điềukiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian - Fromovitz Trong trường hợpnày, điều kiện chuẩn hóa này tương đương với chính quy metric

Bổ đề 1.4 Hệ (1.5) với X0 = Rn thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràngbuộc Mangasarian - Fromovitz tại một điểm x0 khi và chỉ khi nó chínhquy metric tại x0

Định nghĩa 1.7 Hướng w được gọi là tiếp xúc bậc 2 tới X ⊂ Rn tạiđiểm x0 ∈ X theo hướng s, nếu tồn tại một dãy điểm xk ∈ X, k =

1, 2, , và một dãy τk > 0, k = 1, 2, , sao cho τk ↓ 0 và

Ký hiệu ok là hiệu của vế trái và vế phải của phương trình cuốicùng, chúng ta có thể viết

τ = τk và k → ∞, rất gần với tập hợp X:

dist(x(τk), X) = o(τk2)

Từ Định nghĩa 1.7, ta thấy rằng s là hướng tiếp xúc (bậc nhất):

s ∈ TX(x0) Thật vậy, nếu w là hướng tiếp xúc bậc 2, khi đó giới hạncủa Định nghĩa 1.7 là tồn tại, điều đó suy ra rằng

Định nghĩa 1.7 Với ∀α > 0 chúng ta thu được

wj Định nghĩa 1.7 thỏa mãn cùng với dãy của các điểm xj,k và các vôhướng τj,k, k = 1, 2 Chúng ta có thể tìm xj,k(j) và τj,k(j) sao cho

xj,k(j) − x0 − τj,k(j)s

1

2(τj,k(j))2 − wj ≤ εj.Bởi vậy

Bổ đề 1.5 Nếu X là một tập lồi đa điện, thì

TX2(x0, s) = TTX(x0)(s)

Chứng minh Chúng ta nhắc lại rằng nếu X là một tập lồi đa điện,thì nón tiếp xúc TX(x0) là đồng nhất cùng với nón của hướng chấpnhận được KX(x0) và cả hai nón này là đa điện: chúng được xác địnhbởi hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính

Ký hiệu bởi ai, i = 1, 2, , m, là các vector xác định các bất đẳngthức hoạt tại x0, chúng ta có thể viết

TX (x0) = {s ∈ Rn : hai, si ≤ 0, i = 1, , m} Xét hướng s ∈ TX (x0) và dãy

x (τk) = x0 + τks + τ

2 k

2 wcùng với τk ↓ 0 Vector w là phần tử của tập tiếp xúc bậc 2 khi và chỉkhi dist (x (τk) − X) = o(τk2) Điều này tương đương với

hai, x (τk) − x0i ≤ o τk2
, i = 1, 2, , m (1.9)

Với mỗi i = 1, , m, có thể có 2 trường hợp Nếu hai, si = 0 thì (1.9)

có nghĩa đúng khi và chỉ khi hai, wi ≤ 0 Nếu hai, si < 0 thì (1.9) thỏamãn với ∀w ∈ Rn Cho nên w ∈ Tk2(x0) khi và chỉ khi

hai, wi ≤ 0 với mọi i sao cho hai, si = 0

Điều đó tương đương với sự bao gồm w ∈ TTX(x0)(s)

Bây giờ xét tập X của các điểm x ∈ Rn thỏa mãn hệ thống các mốiliên hệ

(1.12)

với

I00(ˆx, s) = i ∈ I0(ˆx) : h∇gi(ˆx) , si = 0 Chứng minh Cho s ∈ TX (ˆx) và w là phần tử của tập vế phải (1.12)

Xét quỹ đạo parabolic (1.8) Với mỗi i ∈ I0(ˆx) chúng ta có thể khaitriển gi(x (τ )) như sau:

Thực tế chúng ta sử dụng gi(ˆx) = 0 với i ∈ I0(ˆx) Hai trường hợp

có thể xảy ra Nếu i /∈ I00(ˆx, s) thì h∇gi (ˆx) , si < 0 Khi đó với mỗi

w ∈ Rn chúng ta có gi(x (τ )) < 0 với mọi τ > 0 đủ nhỏ Trong trườnghợp thứ 2, khi i ∈ I00(ˆx, s), số hạng thứ nhất biến mất Nhưng nếu

w là phần tử của định nghĩa (1.12), thì số hạng thứ 2 không dương.Tương tự như vậy áp dụng với các ràng buộc cho các đối số Chúng

ta kết luận rằng nếu w thỏa mãn điều kiện vế phải của (1.12), khi đó

gi(x (τ )) ≤ o τ2
, i ∈ I0(ˆx) ,

|hi(x (τ ))| ≤ o τ2
, i = 1, , p,dist (x (τ ) , X0) = o τ2

Để chứng tỏ phần đảo, giả sử rằng w ∈ TX2 (ˆx, s) Khi đó chúng ta

có (1.14) cùng với dãy τk ↓ 0 Xét khai triển (1.13) chúng ta kết luậnrằng w là một phần tử của vế phải (1.12)

Từ 2 mệnh đề cho đa diện X0 và điều kiện dưới Robinson, tập tiếpxúc bậc 2 được xác định (1.10) là một hình nón lồi đóng

1.3 Điều kiện cực trị bậc nhất

Định lý 1.6 Giả sử ˆx là cực tiểu địa phương của bài toán min

x∈X f (x)với f : Rn → R, X ⊂ Rn và f (·) khả vi tại ˆx Cho TX(ˆx) là nón tiếptuyến của tập X tại ˆx Khi đó

−Of(ˆx) ∈ [TX(ˆx)]◦ (1.15)

Ngược lại, nếu hàm f (·) là lồi, tập X là lồi, và một điểm ˆx ∈ X thỏamãn hệ thức (1.15), thì ˆx là cực tiểu toàn cục của bài toán min

x∈X f (x)

Định lý 1.7 Cho ˆx là một cực tiểu địa phương của bài toán

min f (x)với giả thiết gi(x) ≤ 0, i = 1, , m,

hi(·), i = 1, , p, là affine Nếu điểm ˆx ∈ X và các nhân tử ˆλi ≥

0, i = 1, , m, và ˆµi ∈ R, i = 1, , p, thỏa mãn các điều kiện (1.17)

- (1.18), thì ˆx là một cực tiểu toàn cục của bài toán (1.16)

Điều kiện cực trị bậc hai và độ

nhạy nghiệm

2.1 Điều kiện tối ưu.

Trong mục này chúng ta nghiên cứu các điều kiện cực trị bậc hai chocác các bài toán tối ưu trơn có ràng buộc Các kết quả này bổ sungcho các điều kiện tối ưu bậc nhất đã được trình bày trong Chương 1.Chúng ta xét bài toán có dạng tổng quát sau

min

x∈X f (x) (2.1)Chúng ta giả sử rằng X là tập con của Rn và f : Rn → R khả vi liêntục đến cấp hai

Định lý 2.1 Giả sử rằng ˆx là nghiệm tối ưu của bài toán (2.1) Khi

đó, với mọi s ∈ TX (ˆx) sao cho h∇f (ˆx) , si = 0, ta có

h∇f (ˆx) , wi + 2f (ˆx) s ≥ 0 với mọi w ∈ T2

X (ˆx, s) (2.2)Chứng minh Xét hàm số x(τ ) xác định trong (1.8) cùng x0 = ˆx Nếu

s ∈ TX (ˆx) và w ∈ TX2 (ˆx, s), tồn tại dãy của điểm xk ∈ X, xk → ˆx và

vô hướng τk ↓ 0, sao cho

xk − ˆx − τks − τ

2 k

f (x (τk)) − f (ˆx) = τkh∇f (ˆx) , si + τ

2 k

2 h∇f (ˆx) , wi+ τ

2 k

2 h∇f (ˆx) , wi + τ

2 k

2

2f (x) s ≥ o τ2

k

Theo giả thiết, số hạng đầu tiên của vế trái bằng 0 Chia cả 2 vế cho

τk2 và cho τk ↓ 0, chúng ta thu được biểu thức (2.2)

Kết quả tổng quát cho phép ta biểu diễn điều kiện bậc hai chonhiều lớp các bài toán tối ưu phi tuyến Một lớp quan trọng nhất làcác bài toán tối ưu với các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức:

min f (x)với giả thiết gi(x) ≤ 0, i = 1, , m,

min h∇f (ˆx) , wi + 2f (ˆx) s

với giả thiết w ∈ TX20(ˆx, s) ,

h∇gi(ˆx) , wi ≤ − 2gi(ˆx) s , i ∈ I00

(ˆx, s) ,h∇hi(ˆx) , wi = − 2hi(ˆx) s , i = 1, , p,

Định lý 2.2 Giả sử rằng X0 là một tập lồi đa diện và điểm cực tiểuđịa phương ˆx ∈ X của bài toán (3.72) thỏa mãn điều kiện Robinson.Khi đó với mọi s ∈ TX (ˆx) sao cho h∇f (ˆx) , si = 0 thì điều kiện sau

TX20(ˆx, s) = TTX0(ˆx)(s) Hơn nữa, ta có

TTX0(ˆx) (s) ⊃ TX0(ˆx)

Vì thế bài toán tiếp theo là

min h∇f (ˆx) , wi + 2f (ˆx) svới giả thiết w ∈ TX0(ˆx) ,

h∇gi(ˆx) , wi ≤ − 2gi(ˆx) s , i ∈ I00(ˆx, s) ,h∇hi(ˆx) , wi = − 2hi(ˆx) s , i = 1, , p,

tối ưu: ˆw.

Ký hiệu ¯λi, i ∈ I00(ˆx, s) và ¯µi, i = 1, , p, cho nhân tử Lagrangeliên kết cùng các ràng buộc Điều kiện cần và đủ của định lí tối ưucho bài toán (2.6)

ưu của bài toán (2.6) bằng với giá trị Lagrangian :

Số hạng đều tiên của Lagrangian biến mất và chúng ta kết luận rằng

Chúng ta có thể đề cập đến giả thiết rằng X0 là đa diện cho phépchúng ta sử dụng rõ ràng cấu trúc của tập tiếp xúc bậc 2 Nó có thểchấp nhận được để phát triển điều kiện bậc 2 cho tập lồi X0 và chúngbao hàm lẫn nhau

Trong sự phát triển của điều kiện đủ bậc 2 cho bài toán (2.3).Chúng ta có thể giả định rõ ràng những hạn chế, khả năng của điềukiện nhưng chúng ta giả thiết sự tồn tại tối ưu của nhân tử Lagrange.Tập (1.11) có thể rộng hơn tiếp xúc hình nón và chúng ta vẫn ký hiệubằng TX Chúng ta cũng không giả thiết bất kỳ câu trúc đặc biệt nàocủa tập X0 trừ tính lồi và tính chính xác

Định lý 2.3 Giả thiết rằng điểm ˆx thỏa mãn các điều kiện tối ưu bậcnhất của bài toán (2.3) và ˆΛ (ˆx) là tập các nhân tử Lagrange ˆλ, ˆµcủa bài toán này Giả thiết rằng với mọi s 6= 0 trong tập (1.11) saocho h∇f (ˆx) , si = 0, ta có

sup(λ,ˆˆµ)∈ ˆ Λ(ˆ x)

D

s, ∇2xxLx, ˆˆ λ, ˆµsE > 0 (2.7)

Khi đó ˆx là cực tiểu địa phương của (2.3)

Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử ˆx không

là cực tiểu địa phương Khi đó tồn tại một dãy điểm khả thi yk saocho yk → x và

f yk
< f (x) với mọi k (2.8)Chúng ta xác định dãy

Từ điều kiện cần của tối ưu mà h∇f (ˆx) , si ≥ 0 Theo (2.8), h∇f (ˆx) , si =

0 Bằng giả thiết (2.7), chúng ta chọn ˆλ, ˆµ ∈ ˆΛ (ˆx) sao cho

D

s, ∇2xxL

ˆ

x, ˆλ, ˆµ

sE

> 0 (2.9)

Theo công thức Taylor

f yk
= f (ˆx)+ x) , yk − ˆx+1

2

k − ˆx, ∇2f (ˆx) yk − ˆx
+δ yk − ˆx
,

(2.10)cùng với δ y

k− ˆx

kyk− ˆxk2 → 0 Tương tự

gi yk
=gi(ˆx) + i(ˆx) , yk − ˆx

+ 12

k

− ˆx, ∇2gi(ˆx) yk − ˆx
+ γi yk− ˆx
,

hi yk
=hi(ˆx) + i(ˆx) , yk − ˆx

+ 12

k− ˆx, ∇2hi(ˆx) yk − ˆx
+ δi yk − ˆx
,

(2.11)

ở đây γi và δi là vô hạn nhỏ đối với yk− ˆx 2 Chúng ta nhân ˆλi

và ˆµi tương ứng đối với (2.11) ta được (2.10) Tổng các số hạng thứ

nhất trên vế phải thỏa mãn điều kiện tối ưu bậc nhất:

x, ˆλ, ˆµ



yk − ˆx

E+ ¯δ yk− ˆx
,

ở đây ¯δ yk− ˆx
vô hạn nhỏ cùng với yk − ˆx 2 Sử dụng (2.8) và chia

cả 2 vế cho yk − ˆx 2 ta thu được k đủ lớn cho mối liên hệ

12

D

sk, ∇2xxL

ˆ

x, ˆλ, ˆµ



sk

E+

¯

δ yk − ˆx

kyk − ˆxk2 < 0.

Khi mà k → ∞ ( trên một dãy con thích hợp), khi đó sk → s Theođó

D

s, ∇2xxL

ˆ

x, ˆλ, ˆµ

s

E

≤ 0,điều đó mâu thuẫn với (2.9)

Định lý 2.3 có thể sử dụng để thu được phiên bản tương tự củađiều kiện đủ bậc 2 Chẳng hạn, với mỗi điểm ˆx thỏa mãn điều kiện

đủ bậc 2 nửa mạnh (semi-strong), nếu tồn tại nhân tử ˆλ, ˆµ ∈ ˆΛ (ˆx)thỏa mãn

D

s, ∇2xxL

ˆ

x, ˆλ, ˆµ

s

E

> 0, (2.12)với mọi s 6= 0 thu được trong mặt phẳng:

ˆ

D(ˆx) = {s ∈ Rn :h5gi(ˆx), si = 0 với mọi i sao cho ˆλ0 > 0,

h5hi(ˆx), si = 0, i = 1, , p}

Chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện từ giả thiết của định lí 2.3

Giả sử s là phần tử khác không của TX (ˆx) sao cho h∇f (ˆx) , si = 0.Điều kiện cần đầu tiên bao hàm rằng:

bằng không Điều đó đưa đến rằng h∇gi(ˆx) , si = 0 khi mà ˆλi > 0.Như vậy s ∈ ˆD (ˆx) Vì thế giả thiết của định lí 2.3 là thỏa mãn.

Ví dụ 2.1 Cho Q là ma trận đối xứng n chiều Xem xét bài toán tốicực tiểu của một dạng toàn phương trên mặt cầu đơn vị S:

min hx, Qxivới giả thiết 1 − kxk2 = 0

Chúng ta phân tích bài toán sau, ở đó chúng ta tìm ra điều kiệntối ưu bậc nhất

Qx − µx = 0,thỏa mãn bởi vecto riêng Q và tương ứng giá trị riêng của giá trị nhân

tử Lagrange µ Chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện bậc 2 để tìm nghiệm tốiưu

Cho µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn là các giá trị riêng của Q và cho z1, , zn

là các vector trực giao tương ứng có độ dài đơn vị Giả thiết ˆx = zk

và ˆµ = µk Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cầu S tại ˆx có dạng: