HÀM sồ bậc 2 và các vấn đề LIÊN QUAN (vy)

Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.. Giải hệ tìm tham số m.Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?... Bài 2: Chứng minh rằng các

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT

I Lí thuyết

1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng 2 ( )

ax +bx c+ = a≠

2 Công thức nghiệm: Ta có ∆ =b2−4ac

• Nếu ∆ <0 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2

2

b

a

• Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 ; 2

3 Hệ thức Viét: Nếu phương trình có hai nghiệm x x thì 1, 2 S x1 x2 b;P x x1 2 c

Giả sử x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 ax2+bx c+ =0 (a≠0) Ta có:

x +x = x + x x +x − x x = x +x − x x

• x1−x2 = (x1−x2)2 = (x1+x2)2−4x x1 2

x +x = x +x x −x x +x = x +x  x +x − x x 

x +x = x + x = x +x − x x = x +x − x x  − x x

x x x x

+ + =

x − = ±x x +x − x x

x −x =(x1−x2) (x1+x2)

x −x = ( ) ( 2 2) ( ) ( )2

x −x x +x x +x = x −x  x +x −x x 

x −x ( = ( 2 2) ( 2 2)

x +x x −x

x +x = 2 3 2 3 ( 2 2) ( 4 2 2 4)

( )x +( )x = x +x x −x x +x

4 Ứng dụng hệ thức Viét

a Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax2+bx c+ =0 (a≠0)

• Nếu a b c 0 x1 1;x2 c

a

• Nếu a b c 0 x1 1;x2 c

a

b Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số ,x y biết S x y P xy= + , = thì ,x y là hai nghiệm của

phương trình bậc hai 2

0

X −SX P+ =

c Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax2+bx c+ =0 (a≠0) có hai nghiệm x x thì 1, 2

2

1 2

ax +bx c a x x+ = − x x−

d Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax 2 +bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔∆≥ 0

2 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔∆ = 0

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔∆ > 0

5 Hai nghiệm cùng dấu ⇔∆≥ 0 và P > 0

6 Hai nghiệm trái dấu ⇔∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔∆≥ 0; S > 0 và P > 0

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔∆≥ 0; S < 0 và P > 0

9 Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

5 Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.

Tổng quát: Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình Thay x = x0 vào 2 phương trình ta

được hệ với ẩn là các tham số

Giải hệ tìm tham số m.Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai.

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 2

6 14 0

4x −8x+ =3 0

30x 30x 7,5 0

5 2

7 x2− +(1 3)x+ 3 0= 8 (1− 2) x2−2 1( + 2)x+ +1 3 2 0=

2 3x + + =x 1 3 x+1

Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

1 2 ( )

ax + ab+ x b+ =

3 x2−(2m−3)x m+ 2−3m=0 4 x2+2(m+2) x−4m−12 0=

7 x2−2mx m− 2− =1 0 8 (m+1)x2−2 2( m−1)x− + =3 m 0

Bài 3:

a Chứng minh rằng với , ,a b c∈¡ thì phương trình sau luôn có nghiệm:

(x a x b− ) ( − + −) (x b x c) ( − + −) (x c x a) ( − ) =0

b Chứng minh rằng với , ,a b c là ba số thực phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

0

x a x b x c+ + =

c Chứng minh rằng phương trình: c x2 2+(a2− −b2 c x b2) + 2 =0 vô nghiệm với , ,a b c là độ dài ba

cạnh của tam giác

d Cho phương trình ax2+bx c+ =0 Biết a≠0,5a+4b+6c=0 Chứng minh phương trình đã cho

có hai nghiệm

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng.

Bài 4: Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 2

x − x− = Tính:

2 2

1 2

C

3 3

1 2

1 2

E x= +x F =(3x1+x2) (3x2 +x1)

Bài 5: Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 x2−3x− =7 0 Tính:

1 1 2 2 1 2

A= x − x x + x − x x

1 1 2 2

1 2 2 1

B

=

+

C

Bài 6: Không giải phương trình 3x2 +5x− =6 0 Hãy tính:

2 1 1 1

A

B

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số

Bài 7:

a Cho phương trình ( ) 2 ( )

m− x + m− x m− = Xác định m đê phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b Cho phương trình ( ) 2 ( )

2m−1 x −2 m+4 x+5m+ =2 0 Tìm m để phương trình có nghiệm

c Cho phương trình (a−3)x2−2(a−1)x a+ − =5 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 8: Cho phương trình x2−2(m+1)x+4m=0.(1)

1 Tìm m để (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

2 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại

3 Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu

4 Tìm m để (1) có hai nghiệm dương phân biệt

5 Tìm m để (1) có hai nghiệm âm phân biệt

6 Tìm m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

7 Tìm m để (1) có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 2x1−x2 = −2

8 Tìm m để (1) có hai nghiệm x x sao cho 1, 2 2 2

1 1 1 2

A= x + x −x x nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 9: Định m để phương trình thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra:

1.(m+1)x2 −2(m+1) x m+ − =3 0; (4x1+1 4) ( x2+ =1) 18

2 mx2−(m−4) x+2m=0; ( 2 2)

1 2 1 2

2 x +x =5x x .

1 2 1 2

4 x +x =5x x .

x − m+ x m+ + = 3x x1 2−5(x1+x2)+ =7 0

1 2

x =x

1 2 6

x +x =

Bài 10: Cho phương trình bậc hai 2

1 0

x −mx m+ − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1, 2 sao cho biểu thức 2 21 2( )

2 1

x x R

+

= + + + đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 11: Cho phương trình: ax2+bx c+ =0(a≠0 ) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k>0) là: 2 ( )2

1

kb = +k ac

Dạng 5: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.

Bài 12: Cho phương trình x2−(2m−3) x m+ 2−3m=0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 1< <x1 x2 <6

Bài 13: Cho phương trình x2+2(a+3)x+4(a+ =3) 0

1 Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

2 Xác định a để phương trình có nghiệm phân biệt lớn hơn 1−

Bài 14: Cho phương trình 2 ( ) ( )

1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa x1< <1 x2

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài 15: Tìm m để phương trình x2−mx m+ =0 có nghiệm thỏa mãn x1≤ − ≤2 x2

Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số

Bài 16:

1 Cho phương trình 2− + − =

2 4 0

x mx m Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m

2 Cho phương trình 8x2−4(m−2)x m m+ ( −4) =0 Định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số 1− và 1

Bài 17: Cho phương trình 2− + − =

2 4 0

1 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x x với mọi m.1, 2

2 Tìm biểu thức liên hệ giữa x x không phụ thuộc vào m.1, 2

3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 1 2

2 1

5 2

x + x = −

Bài 18: Cho phương trình (m−1)x2−2(m+1) x m+ =0

1 Giải và biện luận phương trình theo m

2 Khi phương trình có hai nghiệm x x :1, 2

a Tìm hệ thức giữa x x độc lập với m.1, 2

b Tìm m sao cho x1−x2 ≥2

Bài 19: Cho phương trình (m−4) x2−2(m−2) x m+ − =1 0 Chứng minh rằng nếu phương trình

có hai nghiệm x x thì 1, 2 4x x1 2 −3(x1+x2) + =2 0

CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I Lí thuyết

1 Hàm số bậc nhất

• Hàm số bậc nhất là hàm sô được cho bởi công thức y ax b a= + ( ≠0).

• Hàm số bậc nhất xác định với mọi x∈¡ và có tính chất đồng biến khi a>0, nghịch biến khi

0

a<

• Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng Cắt trục tung tại điểm B( )0;b và cắt trục hoành

tại điểm A b;0

a

  (trong đó a gọi là hệ số góc).

• Cho hai đường thẳng ( )d y ax b a: = + ( ≠0) và ( )d′ :y a x b a= ′ + ′ ′( ≠0):

( )d cắt ( )d′ ⇔ ≠a a′ ( ) ( )d ⊥ d′ ⇔a a ′= −1

( )d song song ( )d a a

b b

′

=



b b

′

=





2 Hàm số 2

y ax=

• Tính chất: Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0 Nếu a<0 thì hàm số nghịch biến khi x>0 và đồng biến khi x<0

• Đồ thị hàm số là một parabol với đỉnh là gốc tọa độ và nhận Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

3 Xét parabol ( ) 2

:

P y ax= và đường thẳng ( )d y mx n: = +

Hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d là nghiệm của phương trình ax2−mx n− =0 *( )

• ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt ⇔( )* có hai nghiệm phân biệt.

• ( )d cắt ( )P ⇔( )* có nhiệm

• ( )d tiếp xúc ( )P ⇔( )* có nghiệm kép.

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 20: Vẽ đồ thi các hàm số sau:

1.y=2x−5 2.y= −0,5x+3

Bài 21: Vẽ đồ thị hàm số y ax= 2 khi:

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng.

Bài 22: Viết phương trình đường thẳng ( )d biết:

1 ( )d đi qua A( )1;2 và B(− −2; 5)

2 ( )d đi qua M( )3;2 và song song với đường thẳng ( ) : 2 1

5

3 ( )d đi qua N(1; 5− ) và vuông góc với đường thẳng ( ) : 1 3.

2

d′ y= − x+

4 ( )d đi qua D( )1;3 và tạo với chiều dương trục Ox một góc 30 0

5 ( )d đi qua E( )0;4 và đồng quy với hai đường thẳng ( )∆ :y=2x−3;( )∆′ :y= −7 3x

6 ( )d đi qua E( )0;4 và cách gốc O một khoảng bằng 12

5 .

Bài 23: Gọi ( )d là đường thẳng y=(2k−1)x k+ −2 với k là tham số.

1 Định k để ( )d đi qua điểm ( )1;6

2 Định k để ( )d song song với đường thẳng 2 x+3y− =5 0

3 Định k để ( )d vuông góc với đường thẳng x+2y=0

4 Chứng minh rằng không có đường thẳng ( )d nào đi qua điểm 1;1

2

A− 

5 Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng ( )d luôn đi qua một điểm cố định.

Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol.

Bài 24:

1 Biết đồ thị hàm số y ax= 2 đi qua điểm (− −2; 1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị ( )P đó.

2 Gọi A, B là hai điểm lần lượt trên ( )P có hoành độ lần lượt là 2 và 4− Tìm tọa độ A, B từ đó suy

ra phương trình đường thẳng AB.

Bài 25: Cho hàm số 1 2

2

y= − x

1 Khảo sát và vẽ đồ thị ( )P của hàm số trên.

2 Lập phương trình đường thẳng ( )d qua A(− −2; 2) và tiếp xúc với ( )P

3 Trên ( )P lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ 2;1− Viết phương trình đường thẳng MN.

4 Xác định hàm số y ax b= + biết rằng đồ thị ( )D của nó song song với đường thẳng MN và chỉ

cắt ( )P tại một điểm.

Bài 26: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol ( ) 1 2

:

4

P y= − x và đường thẳng ( )d y mx: = −2m−1

1 Vẽ đồ thị ( )P

2 Tìm m sao cho ( )d tiếp xúc với ( )P

3 Chứng tỏ rằng ( )d luôn đi qua một điểm cố định A thuộc ( )P

Bài 27: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol ( ) 2( )

P y ax a= ≠ và đường thẳng ( )d y kx b: = +

1 Tìm k và b, biết ( )d đi qua hai điểm A( ) (1;0 ;B 0; 1− )

2 Tìm a biết ( )P tiếp xúc với ( )d vừa tìm được ở câu 1.

3 Vẽ ( )d và ( )P vừa tìm được ở trên.

4 Gọi ( )d′ là đường thẳng đi qua điểm 3; 1

2

C − 

  và có hệ số góc m Chứng minh rằng qua điểm C

có hai đường thẳng ( )d′ tiếp xúc với ( )P ở câu 2 và vuông góc với nhau.

Bài 28: Cho parabol ( ) 1 2

:

4

P y= − x và điểm I(0; 2− ) Gọi ( )d là đường thẳng qua I và có hệ số

góc m.

1 Vẽ ( )P CMR ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B.

2 Tìm m để AB ngắn nhất.

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I Lí thuyết

1 Phương trình chứa ẩn ở mẫu số

• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

• Quy đồng mẫu số để đưa về phương trình bậc hai

• Giải phương trình bậc hai trên

• So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

2 Phương trình chứa căn thức

A B





A B

≥





3 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

• f x( ) k(0 k ) f x( ) ( ) k

= −



¡

• f x( ) g x( ) f x( ) ( ) ( ) g x( )

= −



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

f x











4 Phương trình trùng phương: ax2 +bx c+ =0(a≠0)

• Đặt x2 = ≥t 0

• Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t

• Giải phương trình bậc hai trên

• So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

5 Phương trình có dạng (x a x b x c x d+ ) ( + ) ( + ) ( + ) =e với a d b c+ = +

• Đặt t x= 2+ +(a d x k x) + = 2+ +(b c x k) + với k=12(ad bc+ )

• Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t và giải.

ax +bx +cx +bx a+ = a≠

• Chia hai vế của phương trình cho x2 ≠0

x

= + với điều kiên t ≥2 và đưa về phương trình bậc hai ẩn t và giải.

ax −bx +cx −bx a+ = a≠

• Chia hai vế của phương trình cho x2 ≠0

x

= − và đưa về phương trình bậc hai ẩn t và giải.

8 Phương trình có dạng ax4+bx3+cx2+dx e+ =0 với

2

; 0

e

 

 

• Đặt

• Đưa về phương trình bậc hai ẩn t và giải.

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 29: Giải các phương trình sau:

+

2

2 2

=

5

2 x 1 + x 1= 4

7

2

x

−

Dạng 2: Giải phương trình chứa căn thức

Bài 30: Giải các phương trình sau:

2x −3x−11= x −1 2 (x−1 2) ( x−3) = − −x 9

6 x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 5

7 x−2 x− −1 x− =1 1 8 2x+ −5 3x− =5 2

9 8+ x + 5− x =5 10 x+ −1 x− =7 12−x

11 x− −3 x = 2x+ −1 3x+4 12 x− +2 2x− +5 x+ +2 3 2x− =5 7 2

Dạng 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 31: Giải các phương trình sau:

4.x2−3x+ + − =2 x 1 0 5 2 3− x =2(x−3) 6.( )2

3x−1 −4 x− + =1 5 0

Dạng 4: Giải phương trình bậc cao

Bài 32: Giải các phương trình sau:

3.x3+3x2−2x− =6 0 4 x3+6x2+3x−10 0=

5 3 2

4 0

Bài 33: Giải các phương trình sau:

2x+1 −8 2x+1 − =9 0

3 6 3

5 ( 2 ) (2 2 )

2 x −2x +3 x −2x + =1 0 6.(x2−3x+4) (x2 −3x+2) =3

Bài 34: Giải các phương trình sau:

3.( 2 ) ( )

6x+7 3x+4 x+ =1 6

1

+ +