Chuyên đề của giáo viên toán, tam thức bạc 2 và ứng dụng

Chứng minh bất đẳng thức.. Chỳ ý : Khi khụng muốn diễn đạt bởi "ngụn ngữ" biệt thức ∆ thỡ cú thể dựng kỹ thuật "tỏch bỡnh phương" như lời giải trờn... 2.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ

Chuyờn đề thỏng 3/2015:

Người bỏo cỏo: Vừ Quỳnh Trang

-Tam thức bậc hai và ứng dụng

I.Nhắc lại về lý thuyết.

1.Định lý về dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) cú ∆ = b2 - 4ac

* Nếu ∆ < 0: af(x) > 0 ∀ x ∈ R

* Nếu ∆ = 0: af(x) > 0 ∀ x ≠- (hay af(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R)

* Nếu ∆ > 0: f(x) cú hai nghiệm là x1,x2( giả sử x1 < x2 ).Khi đú:

+/ af(x) > 0 ∀ x ∉[x1;x2]

+/ af(x) < 0 ∀ x ∈(x1;x2) 2.Đặc biệt: +/ af(x) > 0, ∀ x ∈ R ⇔

+/ af(x) < 0, ∀ x ∈ R ⇔

II.Cỏc ứng dụng.

1 Chứng minh bất đẳng thức.

Thớ dụ 1 : Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ với mọi x ta cú :

a) b x2 2+(b2+c2−a )x c2 + 2>0 b) c2x2 - 2(a2 - b2)x + 2a2 + 2b2 - c2 ≥ 0 , ∀x

c) pa2+qb2 > pqc2 , ∀p, q thoả mãn p+q =1

Phõn tớch : Vế trỏi là tam thức bậc hai f(x) với hệ số của x2 là b2 >0 nờn cú ngay lời giải

Giải :a) f(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ <x 0 ⇔(b2+c2−a )2 2−4b c2 2 <0

⇔ (b2+c2−a2+2bc)(b2+c2−a2−2bc) 0< ⇔ [(b c)+ 2−a )][(b c)2 − 2−a ] 02 <

⇔ (b + c +a)(b + c −a)(b −c +a)(b−c −a) < 0 ⇔ (a + b + c)(b + c −a)(b + a −c)(c + a −b) > 0

Vỡ a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc nờn bất đẳng thức cuối cựng hiển nhiờn đỳng

Chỳ ý : Ngược lại, cỏc bạn cú thể chứng minh được nếu cỏc số dương a, b, c thỏa món

f(x) > 0 với mọi x thỡ a, b, c chớnh là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc

Câu b, c c/m tơng tự

Thớ dụ 2 : Cho a3>36 và abc = 1

Chứng minh : a2 2 2

Phõn tớch : bc 1

a

= nờn bất đẳng thức cần chứng minh vỡ đối xứng với b và c nờn cú thể viết về dạng

tam thức bậc hai đối với b + c

Giải : (*) ⇔ 2 a2 3

+ − + + − > ⇔ (b c)2 a(b c) a2 a2 3 0

−

 + −  + >

Với a3>36 thỡ bất đẳng thức trờn luụn đỳng

Chỳ ý : Khi khụng muốn diễn đạt bởi "ngụn ngữ" biệt thức ∆ thỡ cú thể dựng kỹ thuật "tỏch bỡnh

phương" như lời giải trờn

Thớ dụ 3: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác.x,y,z là ba số thoả mãn ax + by + cz = 0.

Chứng minh : a) P = xy + yz + zx ≤ 0 b) Q = ayz + bxz + cxy ≤ 0

Giải: a) Từ ax + by + cz = 0 ⇒ z = - Thay vào P ta có:

P = xy - - = (cxy - axy -bxy - by2 - ax2) = [- ax2 - xy(a+b-c) - by2]

Xét f(x) = - ax2 - xy(a+b-c) - by2

Có ∆x = y2[(a+b-c)2- 4ab] = y2( a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ac)

= y2[c( c- a - b) + a(a - b - c) + b(b - a - c)] ≤ 0

( Do a,b,c lµ c¹nh tam gi¸c nªn c- a - b < 0, a - b - c < 0, b - a - c < 0)

Suy ra : f(x) = - ax2 - xy(a+b-c) - by2 ≤ 0 ∀x

Hay P ≤ 0 (®pcm)

C©u b lµm t¬ng tù

Thí dụ 4 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có : cos A cos B cos C 3

2

Phân tích : Vì cosA cosB 2cosA B

2

+

và cosC = 1 2sin2C

2

− nên có thể làm xuất hiện tam thức bậc hai đối với

C

sin

2

Giải : (**) ⇔ 2sin cosC A B 1 2sin2 C 3

−

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

A B

2

−





− ∈ − π π

  và

C 0;

π

∈  thì hệ trên tương đương với A = B = C tức là tam giác ABC đều

Chú ý : Bài toán tổng quát cho bài trên là : Trong tam giác ABC

a) Với x, y, z > 0 thì ta có : cos A cos B cos C x2 y2 z2

b) Víi mäi x, y ,z ,ta lu«n cã: xycosC + yzcosA + zxcosB ≤ x2 + y2 + z2

Các bạn có thể dùng kỹ thuật "tam thức bậc hai" hoặc công cụ véc-tơ để giải quyết Khi cho các giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt là x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác) thì ta có vô số các bất đẳng thức cụ thể

VÝ dô: Cho x = , y = z = ,thay vµo c©u a ta cã bµi to¸n sau: c/m 3cosA + (cosB + cosC) ≤

Thí dụ 5 : Cho t <z < y chứng minh : (x + y + z + t)2 > 8(xz + yt) (1)

Giải :

Ta cã: (1) ⇔ f(x) = x2 + 2x(y - 3z + t) + ( y+ z +t)2 -8yt > 0

XÐt f(x): cã ∆' = (y - 3z + t)2 - ( y+ z +t)2 + 8yt = - 4z(2y -2z + 2t) + 8yt = 8(z - t)(z - y) < 0 , (v× t <z

< y)

vµ hÖ sè a = 1 > 0

Nªn f(x) > 0 ⇒ ®pcm

Bài tập tương tự

1Chøng minh víi mäi x,α ta cã:

(1 sin+ α)x −2(sinα +cos )x 1 cosα + + α >0

2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :

a) sin A sin B sin C2 2 2 9

4

+ + ≤ b) sinA.sin sinB C 1

3 Tìm x, y thỏa mãn : (x2+y )(x2 2+ =1) 4x y2

Các bài tập khác :

1 Xỏc định cỏc gúc của tam giỏc ABC sao cho biểu thức F= 3 cos B 3(cos A cos C)+ + đạt giỏ trị lớn nhất

2 Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC, biết rằng sinA + sinB + cos(A + B) = 1,5

3 Biết rằng : 4x2+y2+2x y 4xy 2.+ + ≤

Chứng minh : − ≤ +2 y 2x 1≤

4 Định dạng tam giỏc ABC thỏa món: 1cos A 1cos B 1cos C 5

5* Xỏc định cỏc gúc của tam giỏc ABC sao cho biểu thức :

2

2

6.Cho x, y, z,là các số thực thoả mãn: Chứng minh: 1 ≤ x ≤

(HD: Từ gt,tìm y + z = S và yz = P.Khi đó y, z là nghiệm pt t2 -St +P = 0.Dùng đk để pt có nghiệm.)

2.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất.

Chú ý: Tìm min,max của hàm số y = ax2 + bx + c (a≠ 0) trên [α;β]: Hoành độ đỉnh là : x0 = -

a) a > 0: +)nếu x0 ∈ [α;β] thì min y = f(x0), maxy = max

+)nếu x0 ∉ [α;β] thì min y = min, max y = max b) a < 0: +) nếu x0 ∈ [α;β] thì max y = f(x0), miny = min

+)nếu x0 ∉ [α;β] thì min y = min, max y = max

Th í dụ 1 : Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ pt:

Tìm a để xy nhỏ nhất

Giải :

Đặt S = x + y, P = xy.Ta có S = 2a - 1;

x2 + y2 = S2 - 2P = a2 + 2a - 3 ⇒ P = [(2a - 1)2 - ( a2 + 2a - 3 )] = (3a2 - 6a + 4)

Điều kiện để hệ có nghiệm là:

S2 - 4P ≥ 0 ⇔ (2a - 1)2 - 2(3a2 - 6a + 4) ≥ 0 ⇔ - 2a2 + 8a - 7 ≥ 0 ⇔ 2 - ≤ a ≤ 2 +

Ta sẽ tìm a để P = (3a2 - 6a + 4) đạt min trên [2 - ; 2 + ]

Hoành độ đỉnh là a0 = 1 < 2 - , parabol P quay bề lõm lên trên nên min P = P(2 - )

Vậy với a = 2 - thì xy đạt nhỏ nhất

Thí dụ 2:Tìm a để GTNN của y = 4x2 - 4ax + a2 -2a trên [-2;0] bằng 2

Giải:

Hoành độ đỉnh: x0 =

+) Nếu ∈ [-2;0]: Khi đó min y = y(x0) = y( ) = - 2a ycbt ⇔ - 2a = 2 ⇔ a = -1

+) Nếu ∉ [-2;0]:

*) < -2 ⇔ a < -4: Khi đó min y = y(-2) = a2 + 6a + 16 ycbt ⇔ a2 + 6a + 16 = 2 ⇔ a2 + 6a + 14 = 0: VN

*) > 0 ⇔ a > 0: Khi đó min y = y(0) = a2 - 2a

ycbt ⇔ a2 - 2a = 2 ⇔ a2 - 2a -2 = 0 ⇔ a=1+ hoặc a = 1 - ( loại)

Kết luận : a = 1 hoặc a=1+

Thí dụ 3: Cho x, y thoả mãn: 36x2 + 16y2 - 9 = 0 (1) Tìm min, max của T = y - 2x + 5 (2)

Giải:

Từ (2) ta có: y = 2x + T - 5,thay vào (1) ta có: f(x) = 100x2 + 64(T - 5)x + 16(T-5)2 - 9 = 0 (3)

PT (3) có ∆' = 322(T-5)2 - 100[16(T-5)2 - 9] = 900 - 576(T-5)2

PT (3) có nghiệm ⇔∆' ≥ 0 ⇔ 900 - 576(T-5)2 ≥ 0 ⇔ 16(T-5)2 ≤ 25 ⇔ ≤ ⇔ ≤ T ≤

Vậy: min T = ⇔ ; max T = ⇔

Thí dụ 4 : Tìm min, max của hàm số y = (Đại học s phạm hà nội,khôi A năm 2001)

Giải:

Ta có: y - 1 = =

Đặt t = sin2x, t ∈ [0;1], hàm số trở thành: y - 1 =

Xét hàm số f(t) = 3t2 - 2t +2, có ∆' = - 5 <0, a = 3 >0 và - = ∈ [0;1],nên:

*)min f(t) = f() = ⇒ max(y - 1) = ⇔ max y = + 1 = ,đạt đợc khi sin2x =

*) max f(t) = max = f(1) = 3 ⇒ min(y - 1) = ⇔ min y = + 1 = ,đạt đợc khi sin2 =1

KL: max y = , min y =

Thí dụ 5: Tìm a, b sao cho hàm số y = có GTNN là - 1 và GTLN là 4.

Giải:

+) Ta có: y = 4 ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ a2 + 16b -64 =0 (1)

+) Lại có: y = -1 ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ a2 -4b -4 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt: ⇔ hoặc

Thí dụ 6:Tìm min,max của: S =

+ + (1)

Giải:

+) Khi x = 0: suy ra S = 1 (2)

+) Khi x ≠ 0: Chia tử và mẫu của S cho x2, và đặt = t, ta đợc: (S-1)t2 + (S+1)t + S-1 = 0 (3)

Phơng trình (3) có nghiệm ⇔ ∆ = -3S2 + 10S -3 ≥ 0 ⇔ ≤ S ≤ 3 (4)

Kết hợp (2) và (4) ta có: min S = khi t = = = 1 ,tức là x = y

max S = 3 khi t = = = -1, tức là x = -y

Bài tập luyện tập:

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của P = , với x > 0

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của A =

Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của B =

Bài 4: Cho x2 + y2 + xy = 1,Tìm GTLN,GTNN của C= x2 + 2y2 - xy

Bài 5: Cho 2x2 + y2 + xy ≥ 1.Tìm GTLN,GTNN của D = x2 + y2

Bài 6: Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 = 1 Tìm min, max của S =

3.Một số bài toán về phơng trình và hệ pt.

Thí dụ 1:

Cho hpt: ,trong đó a ≠ 0 và (b -1)2 -4ac < 0.Chứng minh hệ vô nghiệm

Giải:

*)TH1: a > 0: Giả sử hệ có nghiệm là (x0, y0, z0) Khi đó ta có:

Cộng vế theo vế 3 pt trên ta có: [ax0 + (b -1)x0+ c] + [ay0 + (b -1)y0+ c] + [az0+ (b -1)z0+ c] = 0 (1) Đặt f(t) = at2+(b-)t+ c,theo gt: (b-1)2 -4ac < 0 nên f(t) > 0 ∀t

Do đó:

( 0) 0 ( 0) 0 ( 0) 0

f x

f y

f z

<



 <



 <



⇒ f(x0) + f(y0) + f(z0) < 0 (Mâu thuẫn với (1))

Vậy khi a > 0 hệ vô nghiệm

*)TH 2: a < 0: c/m tơng tự

Thí dụ 2: Gọi d là tổng chiều dài các đoạn nghiệm trên trục số của hệ bpt: -2 ≤ x2+px+q ≤ 2 Chứng minh: d ≤ 4

Giải:

Hệ đã cho tơng đơng với:

Xét ∆1= p2-4(q-2) và ∆2= p2-4(q+2).Ta có ∆1= ∆2 + 16.Có hai khả năng:

TH1: ∆1 ≤ 0 ⇒ ∆2 < 0: Khi đó bpt (1) có nhiều nhất là 1 nghiệm nên hệ có nhiều nhất là 1 nghiệm

Tức là d = 0 < 4

TH2: ∆1 > 0:

+) Nếu ∆2 ≤ 0: suy ra (2) đúng ∀x.Do đó nghiệm của hệ là nghiệm của (1), tức là: ≤ x ≤ (3)

Khi đó d = = ≤ = 4 ( Do ∆2 ≤ 0)

+) Nếu ∆2 > 0: Nghiệm của (2) là: x ≤ hoặc x ≥ (4)

Từ (3), (4) suy ra nghiệm hệ là: ≤ x ≤ hoặc ≤ x ≤

Khi đó: d = [ - ] + [ - ] = - = - (5)

Do ∆2 > 0 nên ≤ = + 4 (6)

Từ (5) và (6) suy ra d ≤ 4

Vậy trong mọi trờng hợp thì d ≤ 4(đpcm)

Thí dụ 3: Chứng minh hệ bpt sau, với a > 0 luôn vô nghiệm:

Giải:

Giả sử hệ có nghiệm

Từ bpt (1) suy ra x > 0, từ bpt (2) suy ra y ≥ 2a

Ta có (1) ⇔ f(x) = x2-4ax+y2 ≤ 0 (3)

f(x) có ∆ = 4a2-4y2 ≤ 0 (Do y ≥ 2a) ⇒ f(x) ≥ 0,∀x,Nên bpt (3) có nghiệm khi và chỉ khi ⇔ ( ∆ = 4a2-4y2 = 0 ⇔ y = 2a vì a > 0)

Thay vào bpt (2) ta có: (2a)2 - 2a + 2a ≤ 0 ⇔ 4a2 ≤ 0 ⇔ a = 0( trái giả thiết a > 0)

Vậy hệ vô nghiệm(đpcm)

Bài tập tơng tự:

Bài 1: Cho x, y, z là nghiệm của hệ: Chứng minh: - ≤ x, y, z ≤

Bài 2: Cho a, b, c thoả mãn: Chứng minh: a, b, c ∈ [- ; ]

Bài 3: Cho x, y, z thoả mãn: Chứng minh: 1 ≤ x ≤