Một số bất biến của đẳng cấu symplectic

chơng Itính bất biến của đa tạp con lagrangTrong chơng này, chúng tôi trình bày một số tính chấtcơ bản của các đa tạp con Lagrang trong đa tạp symplectic và ánh xạ đẳng cấu giữa các đa t

đỗ thị tuyết

Một số bất biến của đẳng cấu

symplectic

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2009

Vinh - 2009

Më ®Çu 1

Ch¬ng I tÝnh bÊt biÕn cña ®a t¹p con Lagrang 3

I §a t¹p symplectic 3

II §a t¹p con Lagrang 8

Ch¬ng II tÝnh bÊt biÕn cña c¸c cÊu tróc t¬ng thÝch vµ ¸nh x¹ Nijenhui 17

I C¸c cÊu tróc t¬ng thÝch trªn ®a t¹p symplectic 17

II ¸nh x¹ Nijenhui trªn ®a t¹p symplectic 27

KÕt luËn 31

Tµi liÖu tham kh¶o 32

Mở đầu

Nh chúng ta đã biết, hình học symplectic ra đời cách

đây hơn hai thế kỷ và nó phát triển mạnh mẽ vào nhữngnăm 1970 với nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toánhọc nh:Weinrstein, Gromov, Taube, và có nhiều ứng dụngtrong hình học, vật lý học, cơ học, và hệ động lực

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tínhchất bất biến cơ bản trên đa tạp symplectic qua nhóm đẳngcấu symplectic

Luận văn đợc trình bày trong hai chơng

Chơng I Tính bất biến của đa tạp con Lagrang

Trong chơng này, chúng tôi trình bày một cách có hệthống các khái niệm cơ bản của hình học symplectic nh: Cáckhái niệm cơ bản về đa tạp symplectic, đẳng cấusymplectic, đa tạp con Lagrang nhằm phục vụ cho việc trìnhbày chơng sau Chơng này đợc chia làm hai phần

I Đa tạp symplectic

II Đa tạp con Lagrang

Chơng II Tính bất biến của các cấu trúc tơng thích

và ánh xạ Nijenhui

I Các cấu trúc tơng thích trên đa tạp symplectic

Trong phần này, chúng tôi trình bày khái niệm và một

số tính chất của các cấu trúc tơng thích

II ánh xạ Nijenhui trên đa tạp symplectic.

Trong phần này, chúng tôi trình bày các tính chất của

ánh xạ Nijenhui trên đa tạp symplectic

Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa Sau đại học trờng Đạihọc Vinh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới

Thầy giáo hớng dẫn PGS.TS nguyễn hữu quang đã đặt

bài toán và chỉ dẫn đề cơng nghiên cứu Tác giả cảm ơn cácthầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tậntình cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Tácgiả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán,Khoa Sau đại học, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

chơng Itính bất biến của đa tạp con lagrang

Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số tính chấtcơ bản của các đa tạp con Lagrang trong đa tạp symplectic

và ánh xạ đẳng cấu giữa các đa tạp symplectic

I đa tạp symplectic

trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi chiều có cơ sở đếm đợc và M có tập bản đồ Ta kýhiệu và tơng ứng là các không gian tiếp xúc và đối

-tiếp xúc với M tại điểm p M.

Nh ta đã biết (xem ), một ánh xạ song tuyến tính, phảnxứng đợc gọi là dạng symplectic trên nếu

và chỉ nếu là song ánh, trong đó ánh xạ:

Khi đó đợc gọi là đa tạp symplectic và ký hiệu và

đợc gọi là cấu trúc symplectic trên

1.2 Nhận xét Giả sử Khi đó

là đa tạp symplectic.

Chứng minh Thật vậy,

Vậy đóng trong

Hay

Hay là đơn ánh

Vậy là dạng symplectic tại

Nếu là đa tạp symplectic thì dim chẵn

Ta ký hiệu Với mỗi bản đồ của

và , khi đó là cơ sở trong Mỗi phần tử đều có sự biểu diễn: Mỗi phần

tử có dạng , do đó là một bản đồ trong Khi đó đợc gọi là phân thớ đối tiếp xúc của

Ta chú ý tới 1-dạng trên , ; đợc gọi là dạng

đúng trên Khi đó là một cấu trúcsymplectic trên ( đợc gọi là 2-dạng chính tắc trên ).Vì vậy là một đa tạp symplectic

1.3 Định nghĩa Giả sử là hai đa tạpsymplectic, ánh xạ đợc gọi là đẳng cấu symplectic

nếu là vi phôi và

Nếu có một đẳng cấu symplectic thì ta nói

đẳng cấu với và viết

Ví dụ: Ta xét

Khi đó, và là các đa tạp symplectic Ta xét ánh xạ : :

Ta thấy là một đẳng cấu sympiectic Thật vậy Dễ thấy rằng là một vi phôi giả sử là Jacobi của và tơng ứng có toạ độ là , ta có:

Tơng tự

Giả sử là vi phôi: Ta đặt:

trong đó và Vì là vi phôi nên cũng làmột vi phôi ( đợc gọi là cái nâng của )

1.4 Bổ đề Giả sử là đa tạp khả vi -chiều và

là một dạng trên Khi đó với

Chứng minh Giả sử với , ta có:

1.5 Mệnh đề là đẳng cấu symplectic từ

Chứng minh Giả sử tơng ứng là hai dạng đúng trên

theo bổ đề 1.4, ta có: và

Ta suy ra:

=

Mặt khác:

Nh vậy là đẳng cấu symplectic từ



1.6 Nhận xét Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu symplectic

làm thành nhóm với phép hợp thành các ánh xạ và

đợc ký hiệu là

Thật vậy, ở đây ta chỉ chứng minh với mỗi thì cũng thuộc

T * M1 f1 T * M2

M1 f M2

1

II đa tạp con lagrang

Giả sử M và X là hai đa tạp khả vi, dim X < dim M vì là

ánh xạ khả vi từ X vào M.

đợc gọi là phép dìm nếu là đơn ánh với

đợc gọi là phép nhúng nếu và chỉ nếu là dìm và

Chứng minh Giả sử là phép nhúng đóng Ta chứng minh

là tập compact trong với mọi compact trong

Do compact, Hausdoff nên đóng trong

Khi đó đóng trong

đóng trong (vì đợc trang bị tôpô cảm sinh)

compact trong

compact trong (vì là phép đồng phôi)

compact trong

Ngợc lại, giả sử là phép nhúng và compact với mọi compact trong Ta cần chứng minh đóng trong

Ta xét dãy bất kỳ trong và

Do là đa tạp nên với có lân cận compact của saocho phần đuôi của dãy nằm trong

Ta xét dãy , Do compact nên có dãycon hội tụ về

Vậy đóng trong



1.8 Định nghĩa Giả sử là đa tạp symplectic -chiều

và là đa tạp con của Với phép nhúng chìm Khi

đó đợc gọi là đa tạp con Lagrang nếu và

1.9 Ví dụ Cho với hệ toạ độ địa phơng ,

là 2-dạng trên Xét

.Khi đó là đa tạp con Lagrang của

Thậy vậy, ta cần kiểm tra các điều kiện để là đa tạp con Lagrang của

Khi đó là phép nhúng và khả vi, đơn ánh và đồngphôi lên ảnh Mặt khác là tập đóng trong

Vậy là đa tạp con Lagrang của

Nhận xét Giả sử là đa tạp khả vi - chiều Ta ký hiệu:

Ta xét:

Khi đó rõ ràng đóng trong và

gi¶ sö vµ lµ hai trêng vect¬ trªn , cã to¹

Chứng minh Dễ thấy rằng là đa tạp con -chiều trong

(vì phụ thuộc vào ) và đóng trong (thựcchất là đồ thị của trong )

Nhận xét ánh xạ

là phép nhúng đóng

( vì nếu thì ) ; với

Thật vậy, giả sử là một hệ toạ độ địa phơng, saocho các điểm trong có dạng: Khi đó,

điểm có toạ độ là:

)

Và là trờng vectơ trên có toạ độ

)

Ta có:

1.12 Mệnh đề là đa tạp con Lagrang của

Chứng minh Theo nhận xét trên, ta có là đa tạp concủa và

.Mặt khác:

Bây giờ ta xét hai đa tạp symplectic -chiều

và một vi phôi trong biểu đồ sau:

Ta đặt: và ; ( đợc gọi là dạng xoắn trên )

Ta ký hiệu:

Khi đó là một đa tạp con của và đợc gọi là đồ thị của 1.13 Mệnh đề là đẳng cấu symplectic khi và chỉ khi là đa tạp con Lagrang của Chứng minh Ta xét ánh xạ

Khi đó:

Từ đó là Lagrang

là đẳng cấu symplectic



1.14 Mệnh đề Đẳng cấu symplectic bảo tồn đa tạp con

Lagrang.

Chứng minh Giả sử và là hai đa tạp symplectic và là đẳng cấu symplectic

Ta xét là đa tạp con Lagrang của

Khi đó là một đa tạp con của ( vì vi phôi )

Giả sử là 2 trờng vectơ trong và là 2 trờngvectơ trong , sao cho: ,

Nh ta đã biết, một trờng mục tiêu tiêu chuẩn trong bản đồ

của đa tạp symplectic đó là hệ trờng vectơ

thỏa mãn:

, ;

1.15 Bổ đề Giả sử là đa tạp symplectic - chiều với bộ

ba tơng thích và là các trờng vectơ thỏa

trong là trờng mục tiêu tiêu chuẩn trong

Chứng minh Ta xét là hệ độc lập tuyến tínhtrong thỏa mãn:

;

Từ đó: ;

;

Vậy: là trờng mục tiêu tiêu chuẩn trong  1.16 Mệnh đề Giả sử và là hai cấu trúc tơng thích với ; là trờng mục tiêu tiêu chuẩn nói trong bổ đề (1.15) và là đẳng cấu symplectic: Khi đó

là trờng mục tiêu tiêu chuẩn trong Chứng minh:

;

;

VËy: lµ trêng môc tiªu tiªu chuÈn trong



chơng IItính bất biến của các cấu trúc tơng thích

và ánh xạ NiJenhui

I các cấu trúc tơng thích trên đa tạp symplectic

2.1 Định nghĩa Một cấu trúc hầu phức trên đa tạp

symplectic là việc đặt tơng ứng mỗi điểm với một

ánh xạ tuyến tính ; thỏa mãn các điều kiệnsau:

Ta xét :

Khi đó là cấu trúc hầu phức trên Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra đợc ánh xạ là ánh xạ tuyến tính Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh Ta có:

Vậy:

;

Nh ta đã biết, một đa tạp khả vi đợc gọi là đa tạp Riemann nếu trên nó đã đợc trang bị một cấu trúc Riemann và ta ký hiệu là Chẳng hạn: là hàm số khả vi và luôn dơng trên Ta đặt ; Khi đó là một đa tạp Riemann 2.2 Nhận xét Mọi đa tạp khả vi luôn có thể trang bị đợc một cấu trúc Riemann Thậy vậy, với mọi luôn có sự biểu diễn:

(ở đây là một bản đồ của ) Ta xét ;

Dễ thấy là tích vô hớng trong và khả vi theo Ta đặt: , với mọi ( ở đây là phân hoạch đơn vị trên tơng ứng với cấu trúc khả vi ) Khi đó là một cấu trúc Riemann trên Ta chứng minh là tích vô hớng trên ; Với mọi ;  Ta có:

;

; .

;

TiÕp tôc ta chøng minh lµ hµm sè kh¶ vi phô thuéc vµo ( tøc lµ ta cÇn chøng minh lµ hµm sè kh¶ vi víi mäi ) Ta cã: ;

Do vµ kh¶ vi víi mäi Nªn ta suy ra lµ hµm sè kh¶ vi víi  2.3 §Þnh nghÜa Gi¶ sö lµ ®a t¹p symplectic Mét cÊu tróc hÇu phøc trªn gäi lµ t¬ng thÝch víi nÕu cã ¸nh x¹: :

lµ mét mªtric Riemann trªn

Chó ý Trªn cã thÓ trang bÞ c¸c cÊu tróc sau:

là dạng symplectic : : là dạng songtuyến tính không suy biến, phụ thuộc khả vi vào

là một mêtric Riemann : là tích vôhớng, phụ thuộc khả vi vào

là cấu trúc hầu phức : : tuyến tính

Thậy vậy, với thì là không gian vectơsymplectic

Nh ta đã biết (Xem ), trên không gian vectơ luôn tồntại cấu trúc hầu phức tơng thích với Nghĩa là:

;

Mặt khác và phụ thuộc khả vi vào nên phụ thuộc khả

vi vào

2.5 Mệnh đề Giả sử là đa tạp symplectic,

là một vi phôi và là một cấu trúc hầu phức

t-ơng thích với với mọi Khi đó

Chứng minh Với và ta có:

; (vì tơng thích với )

; (vì có tính chất giao hoán)

; (vì là cấu trúc hầu phức)

= ; ; (vì

phản xứng) ;



Bây giờ ta xét là bộ ba tơng thích trên Ta đặt: :

;

trong đó đợc xác định bởi ; Và :

;

đợc xác định bởi ;

Khi đó, ta có:

Thậy vậy:

;

;

;



2.6 Mệnh đề Giả sử là hai cấu trúc symplectic trên

và là cấu trúc hầu phức tơng thích với Khi đó

; với , là một họ cấu trúc hầu phức tơng thích với

Chứng minh:

đóng

Ta có:

tơng thích với Ta đặt:

Và

Vì là cấu trúc Riemann trên nên cũng cấu trúc Riemann trên Do và không suy biến nên không suy biến Vì vậy là họ cấu trúc symplectic tơng thích với 2.7 Mệnh đề Giả sử là hai cấu trúc hầu phức trên đa tạp symplectic tơng thích với và hai số thỏa mãn ,

Khi đó , với tơng thích với

Để chứng minh mệnh đề này ta cần bổ đề sau:

2.8 Bổ đề là cấu trúc hầu phức trên ;

Do và là hai ánh xạ tuyến tính: nên cũng là ánh xạ tuyến tính:

Từ phụ thuộc khả vi vào nên cũng phụ thuộc khả vi vào

Thật vậy:

Ta đặt : ;

Ta có:

Vậy là cấu trúc hầu phức trên Bây giờ ta trở lại chứng minh mệnh đề 2.7 Ta cần chứng minh tơng thích với Vì và tơng thích với , nên: ;

;

ở đây và là các cấu trúc Riemann trên Ta đặt:

Thì khi đó là các cấu trúc Riemann trên Mặt khác:

 Bây giờ ta xét và là các đa tạp symplectic và ánh xạ là đẳng cấu symplectic Ta chú ý tới ánh xạ ; trong đó: là cấu trúc hầu phức trên và ( nghĩa là: ) 2.9 Mệnh đề là cấu trúc hầu phức trên Chứng minh: Do tuyến tính và tuyến tính tại mọi điểm của nên tuyến tính tại mọi điểm của và khả vi nên khả vi Thậy vậy:

;



2.10 Mệnh đề và tơng thích trên

Chứng minh Với mọi ta có:

Do cấu trúc Riemann trên nên cũng là cấu trúc Riemann trên Nhận xét là bộ ba tơng thích trên Nh vậy bộ ba tơng thích đợc bảo tồn qua đẳng cấu sympleitic Giả sử là bộ ba tơng thích trên và là bộ ba tơng thích trên Bây giờ ta xét đa tạp tích với cấu trúc khả vi tích Khi đó: và mỗi đợc viết dới dạng: ; , Ta xét 2-dạng vi phân trên , đợc xác định bởi: ở đây: , ; ; Ta chú ý tới ánh xạ ;

và : ( )

.

2.11.Bổ đề là cấu trúc hầu phức trên Chứng minh Thậy vậy: Do tuyến tính và khả vi nên cũng tuyến tính và khả vi

;

Vậy

 2.12 Mệnh đề là các cấu trúc tơng thích trên Chứng minh Với , , ta có:

Mặt khác, do , mà tơng ứng là các cấu trúc Riemann trên nên là các cấu trúc Riemann trên

Do đó, từ bổ đề ta suy ra là bộ ba tơng thích trên

II ánh xạ nijenhui trên đa tạp symplectic

2.13 Định nghĩa giả sử là đa tạp hầu phức, là tập tất cả các trờng vectơ khả vi trên ánh xạ:

:



xác định bởi:  ; đợc gọi là ánh xạ Nijenhui. 2.14 Nhận xét Giả sử là ánh xạ Nijenhui Khi đó: i )  có tính song tuyến tính phản xứng ii )  

iii )   Chứng minh: i)  là song tuyến tính



  ; ,

Tơng tự

   ; ;

Ta có: 

 ;

Vậy:  có tính song tuyến tính phản xứng ii)  

Ta có:

 ;

iii)  

Ta có:   (theo ii) 

 ;



2.15 Mệnh đề Giả sử là đa tạp symplectic với bộ ba

t-ơng thích và là liên thông Lêvi -Sivita trên

Chứng minh Do là đa tạp symplectic, là cấu trúc hầu phức tơng thích với Nên tồn tại cơ sở

trên Khi đó, :

Ta có:

Khi đó:

Từ đó suy ra  ;



Giả sử và là các cấu trúc tơng thích với

ánh xạ : là các đẳng cấu symplectic  ,  là các

ánh xạ Nijenhui Khi đó ta có mệnh đề sau:

2.16 Mệnh đề Đẳng cấu symplectic bảo tồn ánh xạ

Nijenhui.

Chứng minh:





 ;