Dáng điệu tiệm cận của một số bất biến của lũy thừa các iđêan phủ

We investigate these invariants for large enough powers ofcover ideals of balanced hypergraphs, and unimodular hypergraphs.. We obtainsome main resutls for non-increasing property of dep

VI N H N L M KHOA H¯C V C˘NG NGH VI T NAM VI NTO

H Nºi - 2019

Tâm t›t

Cho R = k[x1; : : : ; xn] l v nh a thøc n bi‚n tr¶n tr÷íng k v H = (V; E) lsi¶u ç thà tr¶n t“p ¿nh V = f1; : : : ; ng vîi t“p c⁄nh E: Ta li¶n k‚t vîi H mºt

i ¶an phı li¶n k‚t vîi hai lîp si¶u ç thà unimodular v c¥n b‹ng, khi lôy thła

ı lîn Düa tr¶n vi»c nghi¶n cøu c¡c ¿nh nguy¶n cıa c¡c a di»n lçi, lu“n ¡n

¢ ⁄t ÷æc c¡c k‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh gi£m cıa h m º s¥u

v t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy B¶n c⁄nh â, lu“n

¡n công ÷a ra c¡c ch°n tr¶n hæp lþ cho t‰nh Œn ành cıa hai b§t bi‚n

÷æc nghi¶n cøu

Lu“n ¡n ÷æc chia l m 3 ch÷ìng

Trong Ch÷ìng 1; chóng tæi giîi thi»u mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v•mŁi quan h» giœa i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng v si¶u çthà; tr…nh b y l⁄i cæng thøc Takayama; nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§tquan trång cıa cıa a di»n lçi câ li¶n quan ‚n phøc b“c; nh›c l⁄i b i to¡nquy ho⁄ch tuy‚n t‰nh

Trong Ch÷ìng 2; chóng tæi t“p trung nghi¶n cøu v• t‰nh gi£m cıa h

m º s¥u v ch°n tr¶n ch¿ sŁ Œn ành cıa h m º s¥u cıa lôy thła c¡c i ¶anphı

Trong Ch÷ìng 3; chóng tæi t“p trung nghi¶n cøu v• t‰nh ti»m c“ntuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła c¡c i ¶an phı

Abstract

Let R = k[x1; : : : ; xn] be a polynomial ring in n variables over a fieldk; and H = (V; E) be a hypergraph with vertex set V, edge set E: Weconsider a square-free monomial ideal corresponding to H as follows:

J(H) := \ (xi j i 2 E) R:

E2E

J(H) is called cover ideal of H: The main aim of this thesis focuses onstudying the stability of two important invariants in commutative algbra,which are depth and Castelnuovo-Mumford regularity (regularity forshort) We investigate these invariants for large enough powers ofcover ideals of balanced hypergraphs, and unimodular hypergraphs

It is based on investigating polytopes with integral vertices We obtainsome main resutls for non-increasing property of depth functions and theasymptotic behavior of regularity of cover ideals In addition, this thesisalso gives a suitable upper bound for the index of depth stabbility, and areasonable bound for the stable position of regularity

This thesis is divided into three chapters

Chapter 1, we introduce some basic notation, and resutls about the rela-tions between square-free monomial ideals and hypergraphs; recall Takayama’s formula; study some useful properties of polytopes

Chapter 2; we consider the non-increasing property of depth functions and show a suitable upper bound for the index of depth stabbility

Chapter 3; we investigate the asymptotic behavior of regularity of pow-ers of cover ideals

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi ÷æc ho n th

nh d÷îi sü h÷îng d¤n cıa TS Trƒn Nam Trung v GS.TS L¶ Thà Thanh

Nh n C¡c k‚t qu£ vi‚t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷æc sü nh§t tr‰ cıac¡c çng t¡c gi£ tr÷îc khi ÷a v o lu“n ¡n C¡c k‚t qu£ ÷æc n¶u trong lu“n ¡n

l trung thüc v ch÷a tłng ÷æc ai cæng bŁ trong b§t ký cæng tr…nh n okh¡c

T¡c gi£

Nguy„n Thu H‹ng

Líi c£m ìn

Lu“n ¡n n y ÷æc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n, ch¿ b£o væ còng t“nt¥m v s¥u s¡t cıa Thƒy, Cæ tæi: TS Trƒn Nam Trung v GS.TS L¶ ThàThanh Nh n Thƒy v Cæ ¢ bä ra r§t nhi•u cæng søc ” khæng ch¿ d¤nd›t, gi£ng d⁄y cho tæi v• ki‚n thøc, kinh nghi»m v t÷ duy cıa ng÷íi l mTo¡n, m cÆn luæn ch¿ b£o cho tæi c¡ch thøc nh…n nh“n cıa ng÷íi l mTo¡n trong cuºc sŁng Thƒy, Cæ ¢ khæng ngłng ki¶n nh¤n, h‚t lÆng lol›ng cho mºt håc trÆ câ væ v n khâ kh«n c£ v• ki‚n thøc v søc khäenh÷ tæi Tæi xin ÷æc b y tä t§m lÆng bi‚t ìn væ h⁄n ‚n Thƒy, Cæ

Tæi xin ÷æc b y tä lÆng bi‚t ìn væ còng s¥u s›c ‚n GS.TSKH L¶Tu§n Hoa Thƒy ¢ luæn quan t¥m v s¡t sao Łi vîi tæi tr¶n con ÷íng håct“p Thƒy ¢ t⁄o måi i•u ki»n thu“n læi ” tæi câ cì hºi tham gia c¡c hºi th£oquan trång, c¡c buŒi håc v• c¡c v§n • mîi Vîi t§m lÆng cıa m…nh, tæixin ÷æc tr¥n trång c£m ìn Thƒy

Tæi công tr¥n trång c£m ìn Vi»n To¡n håc, Trung t¥m o t⁄o sau ⁄ihåc, c¡c phÆng chøc n«ng cıa Vi»n To¡n håc, ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n læi ”tæi håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i Vi»n Tæi công tr¥n trång c£m ìnGS.TSKH Ngæ Vi»t Trung, GS.TSKH Nguy„n Tü C÷íng, PGS TS.Nguy„n Cæng Minh ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n læi ” tæi ÷æc tham gia c¡c sinhho⁄t khoa håc cıa phÆng ⁄i sŁ, Vi»n To¡n håc, c¡c seminar t⁄i Vi»nnghi¶n cøu cao c§p v• To¡n v c¡c seminar t⁄i ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi °cbi»t, tæi xin ÷æc b y tä lÆng c£m ìn s¥u s›c tîi TS o n Trung C÷íng.Ti‚n s¾ ¢ r§t t“n t¥m, nhi»t th nh gi£ng d⁄y c¡c ki‚n thøc n•n t£ng v• ⁄i sŁgiao ho¡n cho tæi trong nhœng n«m ƒu l m nghi¶n cøu sinh

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u - tr÷íng ⁄i håc Khoa håc;Ban chı nhi»m Khoa To¡n Tin - tr÷íng ⁄i håc Khoa håc; ⁄i håc Th¡iNguy¶n ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n læi nh§t, phò hæp nh§t ” tæi vła ho n

th nh vi»c håc t“p, vła £m b£o cæng vi»c gi£ng d⁄y cıa m…nh t⁄i Tr÷íng.Tæi xin c£m ìn c¡c anh, chà nghi¶n cøu sinh ang håc t“p, nghi¶n cøu t⁄iPhÆng ⁄i sŁ, Vi»n To¡n håc ¢ gióp ï tæi trong håc t“p v cuºc sŁng.

CuŁi còng, tæi xin ÷æc b y tä sü bi‚t ìn væ h⁄n tîi BŁ, Mµ v anh chà

em trong gia …nh tæi °c bi»t l Chçng v hai con nhä, nhœng ng÷íi ¢luæn hy sinh r§t nhi•u, luæn lo l›ng, mong mäi tæi ti‚n bº tłng ng y, tłngth¡ng Lu“n ¡n n y tæi xin ÷æc d nh t°ng cho nhœng ng÷íi m tæi y¶uth÷ìng

T¡c gi£

Nguy„n Thu H‹ng

H = (V;E) si¶u ç thà vîi t“p ¿nh V v t“p c⁄nh E

J(H) i ¶an phı li¶n k‚t vîi si¶u ç thà H

I(H) i ¶an c⁄nh li¶n k‚t vîi si¶u ç thà H

‘(I) º tr£i gi£i t‰ch cıa i ¶an I

dstab(I) ch¿ sŁ Œn ành º s¥u cıa i ¶an I

reg(I) ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford cıa i ¶an I

Hmi(M) mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng thø i cıa M vîi gi¡ mG(I) t“p sinh ìn thøc tŁi ti”u cıa i ¶an I

phøc ìn h…nh

I i ¶an Stanley-Reisner li¶n k‚t vîi phøc ìn h…nhk[ ] v nh Stanley-Reisner cıa phøc ìn h…nh

F( ) t“p c¡c m°t cüc ⁄i cıa phøc ìn h…nh

(I) phøc ìn h…nh li¶n k‚t vîi i ¶an I

A(H) ma tr“n li¶n thuºc cıa si¶u ç thà H

(I) phøc b“c

st F phøc ìn h…nh con sao cıa F trong

Im lôy thła thæng th÷íng thø m cıa i ¶an I

I(m) lôy thła h…nh thøc thø m cıa i ¶an I

G = (V (G); E(G)) ç thà vîi t“p ¿nh V (G) v t“p c⁄nh E(G)

0(G) ch¿ sŁ gh†p c°p câ thø tü

ai(M) b“c khæng tri»t ti¶u lîn nh§t cıa Hmi(M)

Danh s¡ch h…nh v‡

1.1 Si¶u ç thà 14

1.2 Si¶u ç thà c¥n b‹ng 16

1.3 Si¶u ç thà c¥n b‹ng nh÷ng khæng unimodular 17

1.4 Phøc ìn h…nh 19

2.1 ç thà H4 36

2.2 ç thà C5 45

2.3 Mºt gh†p c°p cıa C5 45

Möc löc

1.1 º s¥u v ch¿ sŁ ch‰nh quy 10

1.2 Si¶u ç thà c¥n b‹ng v si¶u ç thà unimodular 13

1.3 Mºt sŁ c¡ch mæ t£ i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng 18 1.3.1 I ¶an Stanley-Reisner 18

1.3.2 I ¶an phı cıa si¶u ç thà 20

1.4 Cæng thøc Takayama 22

1.5 T“p lçi a di»n v b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh 25

1.6 Phøc b“c v a di»n lçi 28

Ch÷ìng 2 T‰nh Œn ành cıa h m º s¥u 35 2.1 T‰nh gi£m cıa h m º s¥u v ch°n tr¶n ch¿ sŁ Œn ành 35

2.2 D¡ng i»u cıa h m º s¥u cıa i ¶an phı li¶n k‚t vîi si¶u ç thà c¥n b‹ng 38

22.3 D¡ng i»u h m º s¥u cıa i ¶an phı li¶n k‚t vîi ç thà hai

phƒn 43

3.1 Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła c¡c i ¶an ìn thøc khæng

chøa b…nh ph÷ìng 523.2 D¡ng i»u ti»m c“n cıa c¡c b§t bi‚n ai(R=J(H)s) v ch¿ sŁ

ch‰nh quy reg J(H)s 54

Mð ƒu

Trong ⁄i sŁ, °c bi»t l ⁄i sŁ giao ho¡n, t‰nh Œn ành cıa c¡c b§t bi‚n lnhœng v§n • ÷æc quan t¥m bði nhi•u nh nghi¶n cøu Nh…n l⁄i làch sßph¡t tri”n cıa nhœng v§n • n y, ta câ th” th§y nâ ¢ ÷æc nghi¶n cøu tł r§tl¥u Th“t v“y, nhœng n«m 50 cıa th‚ k 20 mºt k‚t qu£ kinh i”n cıa Hilbert

- Samuel [47] ¢ ch¿ ra r‹ng h m º d i ‘(R=ms), trong

â (R; m) l v nh Noether, àa ph÷ìng, l mºt a thøc khi sŁ mô s l ı lîn, b“ccıa a thøc n y ch‰nh l chi•u cıa v nh R: ‚n n«m 1979, c¡c k‚t qu£ M.Brodmann [9], [10] ¢ ch¿ ra r‹ng t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚tfAss(R=Is)gs2N v d¢y fdepth(R=Is)gs2N Œn ành khi sŁ mô cıa i ¶an ılîn Còng n«m â, S McAdam - P Eakin [48] công chøng minh ÷æcr‹ng fAss(R=Is)gs2N l t“p Œn ành khi s ı lîn (trong â Is l bao âng nguy¶ncıa Is)

Cho ‚n nay, c¡c b i to¡n tr¶n v¤n ang thu hót ÷æc sü quan t¥mnghi¶n cøu cıa r§t nhi•u nh to¡n håc B¶n c⁄nh â, công xu§t hi»n th¶mmºt v i c¡c b§t bi‚n kh¡c ÷æc nghi¶n cøu mºt c¡ch t‰ch cüc nh÷: ch¿ sŁch‰nh quy Castelnuovo-Mumford ([17], [18], [25], [46], [56]), ch¿ sŁch‰nh quy cıa h m Hilbert ([40, 57]), sŁ mô rót gån ([38])

Möc ‰ch ch‰nh cıa lu“n ¡n l nghi¶n cøu t‰nh Œn ành cıa hai trong

sŁ c¡c b§t bi‚n k” tr¶n, â l : nghi¶n cøu t‰nh Œn ành cıa h m º s¥u v t

‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford

Ta bi‚t r‹ng lîp c¡c i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng l nhœng i

¶an quen thuºc v câ nhi•u øng döng Lîp i ¶an n y cho th§y sü k‚t nŁim⁄nh m‡ giœa ⁄i sŁ giao ho¡n vîi Tæpæ v TŒ hæp Ch‰nh v… v“y,lu“n ¡n cıa chóng tæi t“p trung nghi¶n cøu c¡c b§t bi‚n câ li¶n quan ‚nlôy thła cıa lîp i ¶an quan trång n y

Cho H = (V; E) l mºt si¶u ç thà ìn tr¶n t“p ¿nh V = f1; : : : ; ng v

t“p c⁄nh E = fE1; : : : ; Emg: I ¶an phı li¶n k‚t vîi si¶u ç thà H l i ¶an ìnthøc khæng chøa b…nh ph÷ìng, ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau:

YJ(H) := ( xi j l mºt phı ¿nh tŁi ti”u cıa H):

i2

I ¶an n y cÆn ÷æc x¡c ành bði ph¥n t‰ch nguy¶n sì:

J(H) = \ (xi j i 2 E):

E2E

B i to¡n ƒu ti¶n m chóng tæi quan t¥m nghi¶n cøu l d¡ng i»u cıa h m

º s¥u depth R=J(H)s, trong â H l mºt si¶u ç thà c¥n b‹ng K‚t qu£ cıa M.Brodmann [10] cho ta bi‚t r‹ng depth R=Is, vîi I R l i ¶an

thuƒn nh§t l h‹ng sŁ khi sŁ mô s ı lîn Hìn nœa æng cÆn ch¿ ra r‹nglim depth R=Is 6 dim R ‘(I); vîi ‘(I) l º tr£i gi£i t‰ch cıa i ¶an I

s!1

C¡c t¡c gi£ J Herzog, A Rauf, M Vladoiu [36] ¢ gåi và tr‰ nhä nh§t mt‰nh Œn ành b›t ƒu x£y ra l ch¿ sŁ Œn ành º s¥u cıa h m º s¥u, kþhi»u l dstab(I) Tuy nhi¶n, n‚u nh÷ giîi h⁄n cıa d¢y depth R=Is l ho n

to n rª r ng th… vîi s < dstab(I), d¡ng i»u cıa h m º s¥u v¤n l v§n • phøct⁄p Chflng h⁄n trong [26] c¡c t¡c gi£ ¢ ch¿ ra r‹ng n‚u I l i ¶an ìn thøc b§t

ký trong v nh a thøc th… h m º s¥u cıa nâ l mºt h m sŁ håc hºi tö b§t

ký Ch‰nh v… th‚, khi I = J(H) chóng tæi t…m hi”u hai c¥u häi r§t tünhi¶n nh÷ sau:

1) D¡ng i»u cıa h m º s¥u cıa i ¶an I s‡ nh÷ th‚ n o khi

s < dstab(I)?

2) T…m ch°n tr¶n cho dstab(I)?

Vîi I R = k[x1; : : : ; xn] l i ¶an ìn thøc H m º s¥u cıa I gåi l

h m gi£m n‚u depth R=Is > depth R=Is+1 vîi måi s > 1: N«m 2005, J.Herzog, T Hibi [31] ¢ ÷a ra gi£ thuy‚t r‹ng: n‚u I l i ¶an ìn thøc

khæng chøa b…nh ph÷ìng th… h m º s¥u cıa nâ l h m gi£m Tuy nhi¶n,

v o n«m 2014 cho gi£ thuy‚t cıa J Herzog v T Hibi Cho ‚n hi»n nay,ng÷íi ta bi‚t ‚n mºt v i lîp i ¶an ìn thøc m h m º s¥u cıa nâ câ t‰nh gi£m,chflng h⁄n: i ¶an ìn thøc m t§t c£ c¡c lôy thła cıa nâ câ th÷ìng tuy‚n t

‰nh [31], i ¶an phı cıa ç thà hai phƒn [14] v mºt sŁ c¡c lîp kh¡c (xem[14, 27, 37, 39, 51])

Trong lu“n ¡n n y, ƒu ti¶n chóng tæi nghi¶n cøu c¥u häi 1) cho i ¶anphı cıa lîp si¶u ç thà c¥n b‹ng Chóng tæi chøng minh ÷æc r‹ng

depth R=J(H)s, vîi H lmºt si¶u ç thà c¥n b‹ng, l h m gi£m (xem ành lþ2.2) H» qu£ l h m depth R=J(H)s vîi H l mºt si¶u ç thà

unimodular (xem H» qu£ 2.5) công l h m gi£m, bði v… måi si¶u ç thàunimodular •u l c¥n b‹ng (xem M»nh • 1.14)

Trong tr÷íng hæp ç thà, ta bi‚t c¡c si¶u ç thà c¥n b‹ng l lîp ç thà haiphƒn Do â chóng tæi thu ÷æc k‚t qu£ v• d¡ng i»u cıa h m º s¥u cıa i

¶an phı li¶n k‚t vîi ç thà hai phƒn giŁng nh÷ trong [14]

Łi vîi c¥u häi thø 2), v o n«m 2005 J Herzog, A Qureshi [35] ÷a ra

mºt gi£ thuy‚t l dstab(I) < ‘(I), trong â I l i ¶an ìn thøc khæng chøa b…

nh ph÷ìng v ‘(I) := dim R(I)=mR(I) l º tr£i gi£i t‰ch cıa i ¶an I:

Gi£ thuy‚t óng cho mºt v i lîp i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng,chflng h⁄n: i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng Veronese [31], i

¶an polymatroidal [35], i ¶an c⁄nh cıa mºt ç thà [58],

Khi nghi¶n cøu c¥u häi n y Łi vîi lîp si¶u ç thà c¥n b‹ng v ular, chóng tæi ch¿ ra ÷æc r‹ng dstab(J(H)) 6 n (xem ành lþ 2.3 v H»qu£ 2.5), trong â n l chi•u cıa v nh a thøc R: Tuy r‹ng ch÷a ⁄t ‚n gi£thuy‚t cıa J Herzog v A Qureshi [35], nh÷ng ch°n m chóng tæi ⁄t ÷æc lhæp lþ (theo ngh¾a dstab(J(H)) bà ch°n tr¶n bði mºt h m tuy‚n t‰nhtheo sŁ bi‚n cıa v nh R) Hìn nœa, Łi vîi ç thà hai phƒn chóng tæi ¢ ⁄t

unimod-÷æc ch°n tr¶n cho ch¿ sŁ Œn ành º s¥u óng nh÷ gi£ thi‚t m J Herzog

v A Qureshi ÷a ra

ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford cıa lôy thła i ¶an phı li¶n

k‚t si¶u ç thà unimodular H, kþ hi»u l reg J(H)s

Ta bi‚t r‹ng ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford l mºt b§t bi‚nquan trång trong ⁄i sŁ giao ho¡n v H…nh håc ⁄i sŁ B§t bi‚n n y cung c§pnhi•u thæng tin v• º phøc t⁄p cıa c§u tróc ⁄i sŁ cıa mæ un ph¥n b“c N‚uành ngh¾a ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford cıa mæ unph¥n b“c hœu h⁄n sinh M tr¶n mºt ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n R theo b“c tri»tti¶u nhä nh§t cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng, th… ch¿ sŁ ch‰nh quyCastelnuovo - Mumford ch‰nh l ch°n tr¶n b“c cüc ⁄i cıa mºt h» sinh tŁiti”u thuƒn nh§t cıa M M°t kh¡c, n‚u R l v nh a thøc tr¶n tr÷íng k vîi ph¥nb“c chu'n v M l R mæ un, ta bi‚t r‹ng gi£i tü do tŁi ti”u cıa M câ º d ihœu h⁄n v khi â ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford cıa M lch°n tr¶n cho t§t c£ c¡c b“c sinh cıa c¡c mæ un con xo›n cıa M:

Vi»c t‰nh to¡n hay t…m ch°n cho ch¿ sŁ ch‰nh quy l mºt v§n • khâ,nh÷ng ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa luÿ thła c¡c i ¶an thuƒn nh§t câ d¡ng i»ur§t µp Khi R l v nh a thøc v I R l i ¶an thuƒn nh§t, n«m 1999 D.Cutkosky-J Herzog-N V Trung [18] ºc l“p vîi V Kodiyalam [46] chøngminh r‹ng: tçn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n khæng ¥m d; e v s0 sao cho reg(Is) =

ds + e vîi måi s > s0: Hìn nœa, câ th” ch°n tr¶n h» sŁ d qua b“c lîn nh§tcıa c¡c phƒn tß sinh cıa I: N‚u I ÷æc sinh bði c¡c phƒn tß còng b“c th…

d ch‰nh l b“c cıa c¡c phƒn tß sinh â Tuy nhi¶n, vi»c x¡c ành ch‰nhx¡c sŁ e v và tr‰ m t‰nh tuy‚n t‰nh x£y ra v¤n cÆn l c¡c c¥u häiphøc t⁄p Mºt c¡ch tü nhi¶n, D Eisenbud v B Ulrich [20] °t ra c¡c c¥uhäi nh÷ sau: SŁ e ÷æc x¡c ành nh÷ th‚ n o v ch°n tr¶n n o cıa s0

l hæp lþ? Hai v§n • ÷æc n¶u ra ð tr¶n thu hót ÷æc sü quan t¥m cıar§t nhi•u t¡c gi£ (xem [3, 4, 6, 7, 13, 27]) Chóng ta công bi‚t ‚n mºt sŁch°n phò hæp cho s0 chflng h⁄n khi I l i ¶an c⁄nh cıa ç thà rłng v ç thàunicyclic [3, 7, 45]; hay I l i ¶an m nguy¶n sì [6, 13] M°t kh¡c, tł

ành ngh¾a

reg Is = 1 + reg R=Is = 1 + maxfai(R=Is) + i j i = 0; : : : ; dim R=Ig;

ta câ th” °t ra c¥u häi t÷ìng tü nh÷ d¡ng i»u ti»m c“n cıa reg Is: li»u r‹ng

ai(R=Is) câ ph£i l h m tuy‚n t‰nh khi s ı lîn hay khæng? Tuy

nhi¶n, S Cutkosky [17] ¢ ÷a ra mºt v‰ dö r‹ng lims!1 reg Is l mºt sŁ

s

væ t , n¶n i( ) khæng ph£i l h m tuy‚n t‰nh khi ı e

Łi vîi c¡c i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng, n«m 2010 L T.Hoa v T N Trung [41] ¢ ch¿ ra r‹ng ai(R=Is) l h m tüa tuy‚n t‰nh vîi s ılîn vîi h» sŁ ƒu khæng Œi Nh÷ng b§t bi‚n ai(R=Is) câ ti»m c“n ‚n h mtuy‚n t‰nh khi s ı lîn hay khæng v¤n l c¥u häi mð

Nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng l nhœng i

¶an quan trång v câ þ ngh¾a lîn v… sü k‚t nŁi giœa c¡c nh¡nh quantrång trong to¡n håc vîi nhau V… v“y, chóng tæi công t“p trung nghi¶ncøu ch¿ sŁ ch‰nh quy Łi vîi mºt lîp i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nhph÷ìng °c bi»t â l i ¶an phı cıa si¶u ç thà unimodular

Khi J(H) l i ¶an phı cıa si¶u ç thà unimodular Chóng tæi chøngminh ÷æc t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa b§t bi‚n ai(R=J(H)s) ( xem ành

lþ 3:10) Tł â câ th” suy ra t‰nh ti»m c“n ‚n h m tuy‚n t‰nh cıa regJ(H)s (xem ành lþ 3:11) Chóng tæi công ch°n tr¶n ÷æc sŁ e v s0thæng qua h⁄ng cıa si¶u ç thà, b“c sinh cüc ⁄i cıa i ¶an phı J(H)

Cæng cö m chóng tæi sß döng ” nghi¶n cøu hai b i to¡n k” tr¶n l

cæng thøc Takayama [54], mºt sü mð rºng cıa cæng thøc Hochster cho vi»c

t‰nh mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng cıa i ¶an ìn thøc b§t ký B‹ngvi»c sß döng cæng thøc Takayama, chóng tæi chuy”n vi»c nghi¶n cøu b ito¡n ⁄i sŁ sang nghi¶n cøu c¡c v§n • tŒ hæp, cö th” ð ¥y l nghi¶n cøuc¡c phøc b“c (xem ành ngh¾a (1.10)), sau â tł phøc b“c chuy”n quanghi¶n cøu ¿nh nguy¶n cıa mºt a di»n lçi trong Rn : V… v“y câ th” nâi,chóng tæi ¢ sß döng lþ thuy‚t v• a di»n lçi nh÷ mºt ch…a khâa quantrång ” ⁄t ÷æc c¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n Ngo i ra chóng tæi công sß

Ch÷ìng 1 chóng tæi giîi thi»u c¡c ki‚n thøc cƒn thi‚t cho to n bº lu“n

¡n Ch÷ìng n y bao gçm s¡u möc Möc 1:1 tr…nh b y l⁄i ành ngh¾a vmºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n v• mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng, º s¥u, ch¿ sŁch‰nh quy Castelnuovo - Mumford, b§t bi‚n ai Möc 1:2 tr…nh b y l⁄ic¡c kh¡i ni»m cì b£n cıa hai lîp si¶u ç thà ÷æc chóng tæi dòng tronglu“n ¡n: si¶u ç thà unimodular v si¶u ç thà c¥n b‹ng Möc 1:3, giîi thi»ul⁄i ba lîp i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng li¶n k‚t vîi hai Łi t÷æng

tŒ hæp l : i ¶an Stanley-Reisner li¶n k‚t vîi phøc ìn h…nh, i ¶an phı v i

¶an c⁄nh li¶n k‚t vîi si¶u ç thà Trong Möc 1:4, chóng tæi tr…nh b y v•çng i•u rót gån cıa c¡c phøc ìn h…nh v cæng thøc Takayama TrongMöc 1:5, chóng tæi d nh ” nâi v• t“p lçi a di»n v b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t

‰nh Möc 1:6 chóng tæi chøng minh chi ti‚t c¡c t‰nh ch§t v• c¡c ¿nhnguy¶n cıa a di»n lçi, c¡c t‰nh ch§t n y ÷æc dòng r§t nhi•u lƒn trongc¡c ch÷ìng sau

Trong Ch÷ìng 2; chóng tæi chøng minh t‰nh Œn ành cıa h m º s¥ucıa i ¶an phı Trong Möc 2:1, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ v§n • chungv• t‰nh gi£m cıa h m º s¥u v ch°n tr¶n cho ch¿ sŁ Œn ành º s¥u Łi vîi i

¶an thuƒn nh§t trong v nh a thøc Möc 2:2, chóng tæi nghi¶n cøu t‰nhgi£m cıa d¢y fdepth R=J(H)sgs2N, vîi J(H) l i ¶an phı cıa si¶u ç thà c¥nb‹ng (xem ành lþ 2:2), tł â suy ra t‰nh gi£m cıa depth R=J(H)s, vîiJ(H) l i ¶an phı cıa si¶u ç thà unimodular (xem H» qu£ 2:5) v ÷a rach°n tr¶n cho ch¿ sŁ Œn ành º s¥u (xem ành lþ 2:3) Trong möc 2:3,chóng tæi nghi¶n cøu t‰nh gi£m cıa d¢y fdepth R=J(G)sgs2N, vîi J(G)

l i ¶an phı cıa lîp ç thà hai phƒn (xem ành lþ 2:15)

Ch÷ìng 3 chóng tæi d nh ” nghi¶n cøu v• t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh

cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford, công nh÷ cıa c¡c b§tbi‚n ai: Cö th” trong Möc 3:1, chóng tæi giîi thi»u chung b i to¡n v•ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa i ¶an ìn thøc trong v nh a thøc, công nh÷ ºng cìd¤n ‚n v§n • nghi¶n cøu cıa chóng tæi Möc 3:2, chóng tæi chøng minht‰nh ti»m c“n cıa b§t bi‚n ai(R=J(H)s) (xem ành lþ 3:10), vîi J(H) l i ¶anphı cıa si¶u ç thà unimodular, ¥y l mºt k‚t qu£ mîi Łi vîi b§t bi‚n n y Tłd¡ng i»u cıa ai(R=J(H)s), chóng tæi chøng minh ÷æc k‚t qu£ quantrång v• t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa luÿ thła i

¶an phı l reg J(H)s = d(J(H))s + e (xem ành lþ 3:11), trong â e 6 dimR=J(H) d(J(H)) + 1 v s > r n2 + 1

C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n ÷æc chóng tæi cæng bŁ trong c¡c b i b¡o [28],[29], [30]

Mºt sŁ thu“t ngœ ti‚ng Vi»t chóng tæi düa v o Lu“n ¡n Ti‚n s¾ Khoahåc cıa GS TSKH L¶ Tu§n Hoa [1]

Trong möc n y ta x†t R l mºt v nh giao ho¡n Noether, ph¥n b“cchu'n, m l i ¶an ph¥n b“c cüc ⁄i cıa R v M l R mæ un hœu h⁄n sinh Khiâ

Gi£ sß gi£i nºi x⁄ cıa R mæ un M l :

Ta câ mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh tri»t ti¶u v khæng tri»t ti¶u cıa mæ un

Łi çng i•u àa ph÷ìng nh÷ sau

ành lþ 1.1 ([12, ành lþ 3:5:7, trang 132]) Cho M l R mæ un Khi â:

1) Hmi(M) 6= 0 vîi i = dim M ho°c i = depth M;

2) Hmi(M) = 0 vîi i < depth M ho°c i > dim M:

N‚u M l mºt R mæ un ph¥n b“c hœu h⁄n sinh, th… mæ un Łi çng i•u

àa ph÷ìng Hmi(M) công l R-mæ un ph¥n b“c v tri»t ti¶u t⁄i b“c ı lîn i•u

â ÷æc th” hi»n thæng qua k‚t qu£ sau:

ành lþ 1.2 ([11, ành lþ 16:1:5, trang 348]) Cho R l v nh ph¥n b“cd÷ìng v M l R mæ un ph¥n b“c hœu h⁄n sinh, khi â tçn t⁄i sŁ nguy¶nd÷ìng r sao cho Hmi(M)t = 0 vîi måi i > 0 v vîi måi t > r:

Chi ti‚t hìn v• ành ngh¾a v t‰nh ch§t cıa mæ un Łi çng i•u àaph÷ìng câ th” xem trong [11] v [12]

Ta bi‚t r‹ng phƒn tß a 2 R ÷æc gåi l phƒn tß M-ch‰nh quy n‚u ax 6=

0 vîi måi 0 6= x 2 M: Mºt d¢y a1; : : : ; at 2 R ÷æc gåi l d¢y ch‰nh quyn‚u c¡c i•u ki»n sau tho£ m¢n:

1) (a1; : : : ; at)M 6= M;

122) ai+1 l phƒn tß M=(a1; : : : ; ai)M-ch‰nh quy, vîi måi i = 1; : : : ; t 1.

D¢y a1; : : : ; at 2 R ÷æc gåi l d¢y ch‰nh quy cüc ⁄i n‚u khæng th” t…m

÷æc mºt phƒn tß at+1 2 R sao cho a1; : : : ; at+1 l d¢y ch‰nh quy cıa R:Chóng tæi quan t¥m ‚n d¢y ch‰nh quy thuƒn nh§t cüc ⁄i, tøc l d¢ych‰nh quy cüc ⁄i m c¡c phƒn tß cıa d¢y l c¡c phƒn tß thuƒn nh§t Khi â

º d i cıa c¡c d¢y ch‰nh quy cüc ⁄i trong i ¶an cüc ⁄i m l mºt sŁ khæng

Œi SŁ n y ÷æc gåi l º s¥u cıa M; ÷æc kþ hi»u l depth M:

Câ th” th§y sau chi•u th… º s¥u cıa v nh l b§t bi‚n quan trång cânhi•u øng döng trong ⁄i sŁ giao ho¡n ” câ th” t‰nh ÷æc º s¥u câ r§tnhi•u c¡ch Tuy nhi¶n trong lu“n ¡n n y, chóng tæi dòng k‚t qu£ sau [12,ành lþ 3:5:7, trang 132] ” x¡c ành º s¥u cıa mºt R mæ un M chotr÷îc

depth M := minfi j Hmi(M) 6= 0g: (1.1)T‰nh tri»t ti¶u cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng l mºt thæng tinquan trång Tł t‰nh tri»t ti¶u cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng, chóng ta

câ thæng tin v• º s¥u, v• c¡c b§t bi‚n ai(M) v ch¿ sŁ ch‰nh quyCastelnuovo-Mumford cıa R mæ un hœu h⁄n sinh M (chi ti‚t hìn v• ch¿

sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford câ th” xem trong [19], [52] v [55]).C¡c b§t bi‚n n y ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.3 Cho M l R mæ un ph¥n b“c hœu h⁄n sinh v i > 0

bi‚n thu hót ÷æc sü quan t¥m r§t lîn cıa c¡c nh nghi¶n cøu trong nhœngn«m gƒn ¥y (xem chflng h⁄n [13], [18], [25], [27], [46], [56], ).

N‚u R = k[x1; : : : ; xn] l v nh a thøc tr¶n tr÷íng k v M l R mæ un ph¥nb“c hœu h⁄n sinh Theo ành lþ Hilbert v• xo›n, M câ gi£i tü do tŁi ti”u câ

º d i hœu h⁄n (x¡c ành duy nh§t sai kh¡c mºt flng c§u) nh÷ sau:

l gi£i tü do tŁi ti”u cıa M: Khi â ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa M l :

reg(M) := maxfj i j i;j(M) 6= 0g: (1.4)Chó þ 1.5 Nh…n v o gi£i tü do d„ th§y r‹ng n‚u I l mºt i ¶an cıa R th…

V‰ dö 1.6 Cho R = k[x1; x2; x3; x4] v I = (x1; x2) \ (x3; x4): Ta câ gi£i tü

do tŁi ti”u cıa R=I l

14c⁄nh E: Trong suŁt lu“n ¡n n y, chóng tæi ch¿ x†t si¶u ç thà ìn, tøc l n‚u

Ei; Ej 2 E sao cho Ei Ej th… Ei = Ej Nh÷ v“y, n‚u mØi c⁄nh cıa si¶u çthà câ lüc l÷æng b‹ng hai th… H l mºt ç thà Do â, si¶u ç thà l kh¡i ni»mtŒng qu¡t cıa ç thà

Chó þ r‹ng n‚u E = fE1; : : : ; Emg th… ta câ th” x¡c ành ÷æc si¶u çthà H thæng qua mºt ma tr“n li¶n k‚t vîi si¶u ç thà ÷æc gåi l ma tr“n li¶nthuºc v kþ hi»u l A(H) = (aji)m n; trong â aji = 0 n‚u i 2= Ej v aji = 1 n‚u i 2

Ej:

V‰ dö 1.7 Cho H = (V; E) l si¶u ç thà vîi t“p ¿nh V = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g

v t“p c⁄nh E = fE1 = f1; 2; 3; 4g; E2 = f1; 2; 7; 8g; E3 = f1; 2; 3; 5g; E4 = f4; 5; 6gg:

Ma tr“n li¶n thuºc li¶n k‚t vîi H l :

13

2 1 1 0 0 0 0 1A(H) = 6 1 1 1 1 0 0 0 0

6H…nh 1.1: Si¶u ç thà

E1; : : : ; Ek l c¡c c⁄nh ph¥n bi»t cıa H;

i1; : : : ; ik l c¡c ¿nh ph¥n bi»t cıa H thäa m¢n it; it+1 2 Et vîi

t = 1; : : : ; k 1;

ik; i1 2 Ek:

b) H ÷æc gåi l si¶u ç thà c¥n b‹ng n‚u måi chu tr…nh l· cıa H (x¡cành duy nh§t sai kh¡c ho¡n và cıa c¡c ¿nh v c¡c c⁄nh) câ mºt c⁄nhchøa ‰t nh§t ba ¿nh cıa chu tr…nh

Nh“n x†t 1.9 Ma tr“n A = (aij)m n ÷æc gåi l c¥n b‹ng n‚u nâ khængchøa c¡c ma tr“n vuæng con câ d⁄ng

1; f1; 2; 3g; 2; f2; 3; 5g; 3; f1; 3; 4g; 1trong â c⁄nh E1 = f1; 2; 3g cıa chu tr…nh chøa 3 ¿nh cıa chu tr…nh.

4

E3H…nh 1.2: Si¶u ç thà c¥n b‹ng

Mºt lîp si¶u ç thà con cıa lîp ç thà c¥n b‹ng m chóng tæi nghi¶n cøu,

â l c¡c si¶u ç thà unimodular Lîp n y ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.11 Si¶u ç thà H ÷æc gåi l unimodular n‚u måi ma tr“nvuæng con cıa ma tr“n li¶n thuºc A(H) câ ành thøc l 1; 0 ho°c 1:

Nh“n x†t 1.12 Ma tr“n A = (aij)m n ÷æc gåi l ma tr“n unimodular ho n to

n n‚u måi ma tr“n vuæng con cıa nâ câ ành thøc l 1 ho°c 0; ho°c 1 Do

â, si¶u ç thà H l si¶u ç thà unimodular n‚u ma tr“n li¶n thuºc cıa nâ l matr“n unimodular ho n to n

V‰ dö 1.13 Si¶u ç thà trong V‰ dö 1.7 l si¶u ç thà unimodular

Hai lîp si¶u ç thà n y câ mŁi quan h» nh÷ sau

M»nh • 1.14 ([5, V‰ dö 1, trang 172]) Si¶u ç thà unimodular l si¶u çthà c¥n b‹ng

Ng÷æc l⁄i, câ nhœng si¶uç thà l c¥n b‹ng nh÷ng khæng unimodular

1; E2; 2; E3; 3; E4; 4; E5; 5; E6; 6; E7; 7; E1; 1

v chu tr…nh n y câ c⁄nh E1 chøa 3 ¿nh 1; 4; 7 cıa chu tr…nh.

ph֓ng

Cho R = k[x1; : : : ; xn] l v nh a thøc n bi‚n tr¶n tr÷íng k Mºt ìn thøctrong R l mºt bi”u thøc câ d⁄ng xa := xa11 xann ; trong â x = fx1; : : : ; xng

v a = (a1; : : : ; an) 2 Nn: I ¶an I R ÷æc gåi l i ¶an ìn thøc n‚u nâ câ mºtt“p sinh gçm c¡c ìn thøc Tł BŒ • Dickson (xem [2, BŒ • 4:6, trang 43])

ta th§y måi i ¶an ìn thøc •u câ t“p sinh ìn thøc tŁi ti”u v t“p n y l hœuh⁄n Khi â ta kþ hi»u t“p sinh tŁi ti”u cıa I l G(I): I ¶an I ÷æc gåi l i ¶an ìnthøc khæng chøa b…nh ph÷ìng n‚u c¡c ìn thøc cıa t“p G(I) •u câ d⁄ng

xa vîi a 2 f0; 1gn:

1.3.1 I ¶an Stanley-Reisner

Mºt phøc ìn h…nh tr¶n t“p V = f1; : : : ; ng l t“p hæp bao gçm c¡ct“p con cıa V thäa m¢n t‰nh ch§t sau: n‚u F 2 v H F th… H 2 Vîi F = fi1; : : : ; isg f1; : : : ; ng b§t ký, ta °t xF = xi 1 xi s :

ành ngh¾a 1.16 Cho l mºt phøc ìn h…nh tr¶n t“p ¿nh V = f1; : : : ;

ng I ¶an Stanley-Reisner li¶n k‚t vîi l mºt i ¶an ìn thøc khæng chøa b…

nh ph÷ìng ÷æc x¡c ành nh÷ sau:

I := (xF j F 2= ) R:

Nh“n x†t 1.17 Vîi mØi F 2 , ta gåi F l mºt m°t cıa Ta kþ hi»u dim F :=j

F j 1 v gåi l chi•u cıa m°t F Khi â dim( ) := maxfdim F j F 2 g gåi l chi•ucıa phøc ìn h…nh : M°t lîn nh§t theo quan h» bao h m ÷æc gåi l m°tcüc ⁄i cıa N‚u kþ hi»u t“p c¡c m°t cüc ⁄i l F( ) th… ta câ = hF j F 2 F( )i :N‚u khæng chøa m°t n o th… ta gåi l phøc ìn h…nh trŁng

19Vîi mØi F 2= , ta gåi F l mºt khæng m°t cıa Khæng m°t F ÷æc gåi lcüc ti”u cıa n‚u F l mºt khæng m°t v khæng câ mºt t“p con thüc sü n ocıa F l khæng m°t cıa : Theo ành ngh¾a 1.16, câ th” th§y I ÷æc sinhbði c¡c ìn thøc t÷ìng øng vîi c¡c khæng m°t cıa Hìn nœa, n‚u F; G f1; :: : ; ng v F G, th… xF j xG, do â ta th§y G(I ) gçm c¡c ìn thøc t÷ìng øngvîi c¡c khæng m°t cüc ti”u cıa

Ngo i ra, I câ th” x¡c ành thæng qua ph¥n t‰ch nguy¶n sì nh÷ sau:

V‰ dö 1.20 Cho V = f1; 2; 3; 4; 5g, n‚u l t“p bao gçm t§t c£ c¡c t“p con(bao gçm c£ t“p ;) cıa c¡c t“p ff1; 2; 3g; f1; 4g; f3; 4g; f5gg, th… l phøc

ìn h…nh tr¶n V vîi dim( ) = 2 Khi â

I ¶an Stanley-Reisner li¶n k‚t vîi l :

I = (x 2 x 4 ; x 2 x 5 ; x 3 x 5 ; x 4 x 5 ; x 1 x 5 ; x 1 x 3 x 4 )

= (x1; x2; x3; x4) \ (x2; x2; x5) \ (x1; x2; x5) \ (x4; x5):

Ng÷æc l⁄i, n‚u I l i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng th… nâ l i

¶an Stanley-Reisner t÷ìng øng vîi mºt phøc ìn h…nh ÷æc x¡c ành:

(I) := ffi1 : : : ; irg V j x i 1 : : : x i r 2= Ig:

Chó þ r‹ng n‚u I ch¿ l i ¶an ìn thøc th… (I) l phøc ìn h…nh t÷ìng

p

G(I) = fx1a1 xnan j (a1; : : : ; an) 2 Nng th… G(p ) = f x

i j ai 6= 0g:I

Nh÷ v“y câ th” th§y mŁi quan h» t÷ìng øng mºt Q

-mºt giœa t“p c¡cphøc ìn h…nh tr¶n V v t“p c¡c i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìngcıa R: Nhí mŁi quan h» n y m ta câ th” nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t cıa

i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng thæng qua c¡c Łi t÷æng tŒhæp v ng÷æc l⁄i

1.3.2 I ¶an phı cıa si¶u ç thà

Cho H l si¶u ç thà tr¶n t“p ¿nh V v t“p c⁄nh E T“p con C V

÷æc gåi l t“p phı ¿nh (gåi t›t l phı) cıa H n‚u C \ E =6 ;; vîi måi

E 2 E: Khi â i ¶an phı cıa H ÷æc x¡c ành l :

V‰ dö 1.21 Tł V‰ dö 1.10 ta th§y t“p c¡c phı tŁi ti”u cıa H l :

ff3g; f1; 2g; f1; 5gg: Khi â, i ¶an phı cıa H l :

Łi vîi mºt si¶u ç thà cho tr÷îc, hai i ¶an phı v

h» r ng buºc thæng qua ành ngh¾a sau

c⁄nh s‡ câ mŁi quan

ành ngh¾a 1.22 ([49, ành ngh¾a 1:35, trang 16]) Cho I = (xa1 ; : : : ;

xar ) l i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng Łi ng¤u Alexander cıa I,

kþ hi»u l I ; l i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng ÷æc x¡c ành:

I = ma1 \ : : : \ mar ;trong â mai = (xjjj 2 ai; j 6= 0):

Nh“n x†t 1.23 Tł c¡c Cæng thøc (1:7) v (1:9), còng vîi ành ngh¾a

1:22 ta câ I(H) = J(H):

1.4 Cæng thøc Takayama

Gi£ sß l phøc ìn h…nh chi•u d tr¶n t“p V = f1; : : : ; ng; °t Fi( ) = f 2 jdim( ) = ig, ta kþ hi»u kFi ( ) l k-khæng gian v†ctì câ cì sð l fe j 2 Fi( )g:

phøc con n y ÷æc gåi l phøc ìn h…nh sao cıa F: Phøc ìn h…nh

÷æc gåi l phøc nân n‚u tçn t⁄i mºt ¿nh i 2 V sao cho = st (i) Łi vîiphøc nân ta câ Hei( ; k) = 0 vîi måi i (xem [59, M»nh • 5.2.5, trang140])

4) Phøc ìn h…nh gåi l phøc acyclic n‚u Hei( ; k) = 0 vîi måi i: Do v“y måi nân •u l phøc acyclic

23Khi R = k[x1; : : : :xn] l v nh a thøc n bi‚n tr¶n tr÷íng k ta th§y

m = (x1; : : : ; xn) l i ¶an ph¥n b“c cüc ⁄i duy nh§t cıa R: Gåi I l mºt

i ¶an ìn thøc cıa R: Tł Cæng thøc (1:1) ta câ:

depth(R=I) = minfi j Hmi(R=I) 6= 0g:

Do R=I câ c§u tróc cıa Nn-ph¥n b“c n¶n Hmi(R=I) l Zn-mæ un ph¥n b“c tr¶n R=I: Vîi mØi = ( 1; : : : ; n) 2 Zn, ta kþ hi»u Hmi(R=I) l th nh phƒn ph¥n b“c t⁄i b“c cıa Hmi(R=I): Chó þ r‹ng Hmi(R=I) l mºt k-khæng gian v†ctì ” câ th” t‰nh ÷æc chi•u cıa khæng gian v†ctì

n y, chóng ta sß döng mºt cæng thøc ÷æc ÷a ra bði Takayama [54, ành

lþ 1] Cæng thøc n y l mºt sü mð rºng cıa cæng thøc Hochster [43, ành

lþ 4:1] cho i ¶an ìn thøc khæng chøa b…nh ph÷ìng.

Vîi mØi = ( 1; : : : ; n) 2 Zn; ta °t CS := fi j i < 0g v gåi l Łi gi¡ cıa Khi I

l i ¶an ìn thøc, gåi (I) l phøc ìn h…nh t÷ìng øng

pvîi i ¶an Stanley-Reisner I: Ta x¡c ành mºt phøc ìn h…nh nh÷ sau:

(I) := fF nG j G F V vîi måi xb 2 G(I);

(1.10)

tçn t⁄i i 2= F sao cho i < big

v gåi l phøc b“c cıa I øng vîi :

Tr¶n thüc t‚ ành ngh¾a (1.10) r§t khâ ” x¡c ành Do â D H Giang

v L.T Hoa [23] ¢ mæ t£ l⁄i (I) d÷îi d⁄ng thu“n læi hìn nh÷ sau:

BŒ • 1.26 ([23, BŒ • 1:1]) (I) l phøc ìn h…nh bao gçm c¡c m°t câd⁄ng F nG ; trong â G F V thäa m¢n x 2= IRF vîi RF = R[xi

1 j

i 2 F ]:

Khi â Cæng thøc Takayama (trong ([54, ành lþ 1]) ÷æc ph¡t bi”u l⁄i(trong [50, ành lþ 1:1]) nh÷ sau:

ành lþ 1.27 dimk Hmi(R=I) = dimk Hei CS j 1( (I); k):

V‰ dö 1.28 1) [50, V‰ dö 1:3] N‚u = (0; : : : ; 0); th… (I) = (I), v…

vîi måi F 2 F( ); ta câ IRF 6= RF v v… v“y x = 1 2= IRF :

Vîi i ¶an ìn thøc I R, chóng tæi quan t¥m ‚n lôy thła thæng th÷íng Im

v lôy thła h…nh thøc I(m) cıa I; trong â lôy thła h…nh thøc I(m) vîi m >1; cıa i ¶an ìn thøc I ÷æc x¡c ành l giao cıa c¡c th nh phƒn nguy¶n sìcıa Im øng vîi c¡c i ¶an nguy¶n tŁ tŁi ti”u cıa I:

Łi vîi i ¶an Stanley-Reisner

V Trung, X Zheng ch¿ ra r‹ng i ¶an phı J(H) cıa si¶u ç thà c¥n b‹ng H

l khæng xo›n, câ ngh¾a l J(H)m = J(H)(m); vîi måi m > 1 (t÷ìng tü câ th”xem [24, ành lþ 4:6 v M»nh • 4:10])

Công t÷ìng tü nh÷ v“y khi H l si¶u ç thà unimodular, J Herzog, T.Hibi v N V Trung [33, ành lþ 1:1] ¢ chøng minh ÷æc r‹ng i ¶an phıJ(H) l khæng xo›n

Do â k‚t hæp Nh“n x†t 1:30 vîi BŒ • 1:29 v flng thøc (1.8) ta câ k‚t qu£ câ þ ngh¾a sau:

Trong phƒn ti‚p theo cıa ch÷ìng n y chóng tæi tr…nh b y l⁄i mºt sŁkh¡i ni»m cì b£n v mºt v i k‚t qu£ v• t“p lçi a di»n C¡c k‚t qu£ â l nhœng

kÿ thu“t quan trång gióp chóng tæi chøng minh c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıalu“n ¡n

Trong möc n y chóng tæi x†t khæng gian Euclid Rn vîi t‰ch væh÷îng ÷æc cho bði:

hx; yi = x1y1 + + xnyn;trong â x = (x 1 ; : : : ; x n ) 2 Rn; y = (y 1 ; : : : ; y n ) 2 Rn:

Mºt t“p con K trong Rn ÷æc gåi l t“p afin n‚u a + (1 )b 2 K vîi måi a; b

2 K v måi 2 R

Ta bi‚t r‹ng K = a + L, trong â a 2 K v L l khæng gian v†ctì con cıa

Rn, L ÷æc gåi l khæng gian con song song vîi t“p afin K (xem [42,M»nh • 1.1, trang 3]) Chi•u cıa L ÷æc gåi l chi•u cıa t“p afin K v

kþ hi»u l dim K: N‚u X l mºt t“p con b§t ký trong Rn th… giao cıa c¡c t“p afin chøa X ÷æc gåi l bao afin cıa X.

Cho a 2 Rn sao cho a 6= (0; : : : ; 0) v 2 R : Khi â ta câ t“p

H = fx 2 Rn : ha; xi = g

l mºt si¶u phflng trong Rn (xem [42, H» qu£ 1.1, trang 4]) C¡c t“p câ d⁄ng:

H+ = fx 2 Rn : ha; xi > g v H = fx 2 Rn : ha; xi 6 g

÷æc gåi l c¡c nßa khæng gian âng.

ành ngh¾a 1.32 Giao cıa hœu h⁄n c¡c nßa khæng gian âng trong Rn

÷æc gåi l t“p lçi a di»n Nâi c¡ch kh¡c t“p lçi a di»n l t“p nghi»m cıa mºth» hœu h⁄n c¡c b§t ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng nh÷ sau:

hai; xi 6 bi; i = 1; : : : ; m (ai 2 Rn; bi 2 R); (1.12)ho°c câ th” bi”u di„n d÷îi d⁄ng ma tr“n: Ax 6 b; trong â A l matr“n c§p m n vîi c¡c dÆng ÷æc x¡c ành bði c¡c v†ctì ai 2 Rn v

b = (b1; : : : ; bm) 2 Rm: Mºt t“p lçi a di»n bà ch°n ÷æc gåi l mºt a di»nlçi

ành ngh¾a 1.33 Cho P l mºt t“p lçi a di»n trong Rn v H l mºt

si¶u phflng, H ÷æc gåi l si¶u phflng tüa n‚u H \ P =6 ; v P n‹m trongmºt nßa khæng gian âng x¡c ành bði H: N‚u H l si¶u phflng tüa cıa Pth… H \ P ÷æc gåi l mºt m°t cıa P

Nh“n x†t 1.34 C¡c m°t cıa t“p lçi a di»n công l t“p lçi a di»n (xem[42, M»nh • 1.16, trang 21])

Chóng tæi công quan t¥m ‚n kh¡i ni»m chi•u cıa t“p lçi a di»n.

ành ngh¾a 1.35 Cho P l t“p lçi a di»n trong Rn : Chi•u cıa P, kþ hi»udim P l chi•u cıa bao afin cıa nâ Mºt j m°t cıa P l mºt m°t câ chi•u l j.N‚u dim P = t th… ta câ:

B§t flng thøc hai; xi 6 bi cıa H» (1.12) ÷æc gåi l thła n‚u nâ ÷æc suy

ra bði c¡c b§t flng thøc kh¡c trong h», do â ta câ th” lo⁄i bä c¡c b§t flngthøc thła trong h» H» (1.12) gåi l rót gån n‚u nâ khæng chøa c¡c b§tflng thøc thła, nâi c¡ch kh¡c khæng câ b§t flng thøc n o cıa h» câ th” bä

i ־c

ành lþ 1.36 [53, ành lþ 8.1, trang 101] Cho P l mºt t“p lçi a di»n ÷æcx¡c ành bði h» Ax 6 b N‚u khæng câ b§t flng thøc n o cıa h» A+x 6 b+ lthła trong Ax 6 b, th… tçn t⁄i t÷ìng øng mºt - mºt giœa c¡c m°t cüc ⁄i Fcıa P v c¡c b§t flng thøc hai; xi 6 bi trong A+x 6 b+ Hìn nœa F = fx 2 P :