Về một bất biến của đẳng cấu tôpô chính quy

Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bấtbiến tôpô, tức là tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục.Tôpô đại số là một nhánh lớn của tôpô mà tr

ĐỖ QUANG THƯƠNG

VỀ MỘT BẤT BIẾN CỦA ĐẲNG CẤU TÔPÔ CHÍNH QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2016

ĐỖ QUANG THƯƠNG

VỀ MỘT BẤT BIẾN CỦA ĐẲNG CẤU TÔPÔ CHÍNH QUY

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN TIẾN DŨNG

Nghệ An - 2016

2.1 Phương pháp phân loại knot (link) của Kauffman 242.2 Phân loại một số bất biến knot (link) 33

Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bấtbiến tôpô, tức là tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục.Tôpô đại số là một nhánh lớn của tôpô mà trong đó người ta dùng công cụđại số để khảo sát các bất biến của tôpô.

Lý thuyết Knot (Nút thắt) là một bộ phận quan trọng của tôpô học Theotôpô học, lý thuyết Knot nghiên cứu về các knot toán học Các knot xuấthiện trong các biểu tượng, hình thức trang trí trong các nhà thờ, công trìnhkiến trúc từ thời tiền sử như là biểu tượng tinh thần và tâm linh Theo ngônngữ toán học, K là một knot nếu có một phép đồng phôi của đường tròn đơn

vị C vào không gian 3-chiều mà ảnh là K [2]

Lý thuyết Knot đã được phát triển đầu tiên vào năm 1771 bởi nhà toánhọc Alexandre -Théophile Vandermonde, ghi nhận một cách rõ ràng tầm quantrọng của đặc tính tôpô khi nghiên cứu về các thuộc tính của knot được liên

hệ với hình học vị trí Nghiên cứu về knot đã được bắt đầu vào thế kỷ 19 bởicác công việc của Gauss Trong những năm 1860, Lord Kelvin đã đề xuất lýthuyết trong đó các nguyên tử là các knot trong aether và điều này đã dẫnđến bảng phân loại hoàn toàn đầu tiên về các knot của Peter Guthrie Tait.Tait, vào năm 1885 đã công bố một bảng phân loại của các knot lên đến mườiđiểm giao và tiếp đó đưa ra một số dự đoán về phân loại knot Dự đoán này

đã thúc đẩy các nhà toán học quan tâm nghiên cứu về lý thuyết Knot

Lý thuyết Knot có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật

lý, toán học, sinh học Vào cuối năm 1970, William Thurston giới thiệu hình

học hyperbolic vào nghiên cứu các knot với định lý hyperbolic hóa Nhiềuknot đã được chỉ ra là knot hyperbolic, những knot này có ý nghĩa trong việc

sử dụng hình học để định nghĩa các bất biến knot mới Năm 1984, VaughanJones [4] đã sử dụng các đại số Hecke kiểu A để nghiên cứu các đại số VonNeumann, từ đó phát hiện một cách phân loại bất biến knot mới mà ngàynay được biết đến với tên gọi đa thức Jones Tiếp sau đó những đóng góp từEdward Witten, Maxim Kontsevich [8] và những nhà toán học khác đã chỉ

ra sự kết nối sâu sắc giữa lý thuyết Knot và các phương pháp toán học trong

cơ khí thống kê và lý thuyết trường lượng tử Trong những thập kỷ gần đây,các nhà khoa học đã quan tâm trong việc nghiên cứu các knot vật lý để hiểucác giả thuyết nút thắt trong DNA và các polyme khác Ngoài ra lý thuyếtKnot cũng góp vai trò quan trọng trong việc xây dựng các máy tính lượng tửthông qua các mô hình tính toán lượng tử tôpô

Một trong những mục tiêu chính của lý thuyết Knot cổ điển là phân loạihoàn toàn các bất biến knot Nhiệm vụ này đã được nhiều nhà toán học trongcác lĩnh vực khác nhau quan tâm nghiên cứu Theo cách tiếp cận đại số, một

số nhà toán học đã đề xuất những cách phân loại khác nhau thông qua cáccông cụ đại số như Reidemeister [12], Alexander [6], Vaughan Jones [10, 11],Kauffman [7] và Birman-Murakami-Wenzl [1, 9]

Trong đề tài này, chúng tôi trình bày lại một phương pháp để phân loạicác bất biến knot (link) được đề xuất bởi nhà toán học L H Kauffman Đây

là một cách phân loại các bất biến knot sử dụng công cụ đại số là các đathức Laurent thông qua các đẳng cấu tôpô chính quy của các biểu đồ knottrên mặt phẳng dựa vào tài liệu tham khảo chính là bài báo [7] của L H.Kauffman và một số tài liệu khác liên quan đến phân loại bất biến knot vàlink như [5], [6] và [12] Phương pháp phân loại này chỉ ra rằng, mỗi bất biếnknot (link) tương ứng với một đa thức Laurent có hai biến độc lập và giaohoán với nhau Nghĩa là tập hợp các bất biến knot (link) tương ứng với tập

hợp các đa thức Laurent hai biến lấy giá trị trên một mở rộng của vành sốnguyên.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược trình bày trong hai chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi trình bày một

số kiến thức cơ sở của lý thuyết tôpô, lý thuyết Knot nhằm làm cơ sở choviệc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau Trong chương này,chúng tôi cũng hệ thống lại một số phương pháp phân loại bất biến knot tiêubiểu bằng công cụ đại số Chương 2: chúng tôi trình bày lại một phương phápphân loại các bất biến knot (link) của Kauffman Sử dụng phương pháp này,chúng tôi phân loại một số bất biến knot (link)

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đếnThầy, người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi chotác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy (cô) giáo trong bộmôn Đại số, các thầy (cô) giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Caohọc 22 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủnhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu

- Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập tại Trường

Nghệ An, tháng 07 năm 2016

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, dựa trên các tài liệu [5, 6, 8] chúng tôi hệ thống lại một

số kiến thức cơ sở về Lý thuyết Knot cổ điển và sau đó trình bày tổng quanmột số cách phân loại bất biến knot dựa trên cách tiếp cận đại số Nhữngkiến này được sử dụng để trình bày nội dung chính trong Chương 2

1.1 Lý thuyết Knot cổ điển

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Mục này nhắc lại một số khái niệm cơ bản liên hệ đến lý thuyết Knot.1.1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X, họ τ các tập con của X được gọi làmột Tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(T1) φ, X ∈ τ;

(T2) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I thì ∪

i∈IGi ∈ τ;(T3) Nếu Gi ∈ τ, i = 1, 2, , n; n ∈N, thì ∩n

i=1Gi ∈ τ.Tập hợp X cùng với tôpô τ trên nó được gọi không gian tôpô và ký hiệu

là (X, τ ) hay X

1.1.1.2 Định nghĩa ChoX vàY là hai không gian tôpô Ánh xạf : X → Y

được gọi là liên tục tại điểm x trong X nếu mọi tập mở V trong Y chứa f (x)

thì có tập mở U của X chứa x sao cho f (U ) chứa trong V Ta nói f liên tụctrên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X

1.1.1.3 Định nghĩa Ánh xạf : X → Y giữa hai không gian tôpô(X, τX), (Y, τY)

được gọi là phép đồng phôi nếu thỏa mãn các tính chất

(i) f là một song ánh;

(ii) f : X → Y là ánh xạ liên tục;

(iii) Ánh xạ ngược f−1 là liên tục (f là ánh xạ mở)

Nếu tồn tại một ánh xạ f thỏa mãn các tính chất trên thì X, Y được gọi

là đồng phôi với nhau Khi đó, X, Y được gọi là đẳng cấu tôpô với nhau

1.1.1.4 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y

được gọi là phép nhúng của X trong Y nếu f là phép đồng phôi giữa X vàkhông gian con f (X) của Y

1.1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô và các ánh xạ f, g :

X → Y là các phép nhúng Hàm liên tục H : X × [0, 1] → Y được gọi làđẳng cấu tôpô từ f đến g nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

(i) H(x, 0) = f (x), với mọi ∀x ∈ X;

(ii) H(x, 1) = g(x),với mọi ∀x ∈ X;

(iii) H(x, t) là một phép nhúng với mọi ∀x ∈ X, ∀t ∈ [0; 1]

1.1.1.6 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô, trong đó giả sửrằng Y là compact và Hausdorff Cho f, g : X → Y là các phép nhúng Tanói rằng f đẳng cấu bao đến g (ta viết f ∼ g) nếu có một hàm liên tục

F : Y × [0, 1] → Y mà các hàm có dạng Ft : Y → Y, Ft(y) = F (y, t) với mọi

1.1.1.7 Định nghĩa a Knot là ảnh của phép nhúng một đường tròn S1 vàokhông gian Euclide R3.

Một knot là một đường cong đóng trong không gian Euclide R3 và mọiknot K đều đồng phôi với nhau trong R3 Vì ta luôn xác định được một phépđồng phôi f : S1 → K

Hình 1.1: Một số knot đồng phôi với nhau

b Link là phép nhúng của một tập hợp các đường tròn vào không gian

ba chiều R3 Số lượng đường tròn nhúng vào R3 để tạo thành một link đượcxem như số thành phần của link Mỗi knot là một link có một thành phần

1.1.1.9 Định nghĩa Ảnh phép chiếu của một knot (link) xuống không gianEuclide R2 được gọi là biểu đồ knot (tương ứng, biểu đồ link) Nghĩa là, mỗibiểu đồ knot (biểu đồ link) là sự biểu diễn một knot (link) trong mặt phẳng

Ví dụ 5

Hình 1.7: Hình ảnh điểm giao

1.1.1.10 Định lí Cho trước hai biểu đồ link của hai link K1 và K2 Khi

đó, K1 là tương đương với K2 nếu và chỉ nếu biểu đồ link cho K1 có thểđược biến dạng đến biểu đồ link cho K2 bởi một dãy hữu hạn các dịch chuyểnReidemeister (Xem 1.2.1)

1.1.1.11 Nhận xét (i) Trong biểu đồ knot không tồn tại các kiểu biểu đồsau

(ii) Bởi định lý 1.1.1.10, việc nghiên cứu các tính chất của knot (link)trong R3 hoặc việc phân loại chúng nay được giới hạn nhiệm vụ đó trên cácbiểu đồ knot (link) trong R2

(iii) Một knot có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng biểu đồ knot khácnhau Chẳng hạn như ta có ba biểu diễn của knot hình số 8

1.1.1.12 Định nghĩa Bất biến knot (link) là tập hợp (theo nghĩa bao hàm)các knot (link) tương đương

Chú ý Ở đây khái niệm tương đương của hai knot hoặc link được địnhnghĩa trong 1.1.1.8.

1.2 Một số cách phân loại bất biến knot (link) bằng

công cụ đại số

Trong mục này chúng tôi tóm lược một vài cách phân loại bất biến knot thú

vị thông qua sử dụng các kiến thức đại số của các nhà toán học Reidemeister[12], Alexander [6] và Jones [10, 11] Những cách tiếp cận này, ít nhiều có mốiliên hệ với phương pháp phân loại của Kauffman, được trình bày ở chương 2

1.2.1 Phép dịch chuyển Reidemeister

Để phân loại các bất biến knot trong lý thuyết Knot cổ điển, Reidemeister

đã xây dựng một chuỗi các dịch chuyển hình học để chuyển một biểu đồ knot(link) về một biểu đồ link mới mà đẳng cấu tôpô bao với biểu đồ link ban đầu.Điều này có nghĩa rằng, hai biểu đồ knot (link) là cùng thuộc một lớp bấtbiến tôpô bao nếu tồn tại một chuỗi dịch chuyển Reidemeister chuyển mộtbiểu đồ knot (link) thành biểu đồ còn lại Chuỗi dịch chuyển Reidemeisterhình thành một quan hệ tương đương trên tập hợp các biểu đồ link và khi đómột bất biến đẳng cấu tôpô bao là một lớp tương đương Việc phân loại cácbất biến được hiểu là xác định tập thương được hình thành dựa trên quan hệtương đương ở trên Chú ý rằng quan hệ tương đương này được định nghĩatrong 1.1.1.6 và 1.1.1.8 Xem ở tài liệu [5, 6, 8]

1.2.1.1 Định nghĩa Phép dịch chuyển Reidemeister bao gồm ba kiểu dịchchuyển sau trong không gian R3

Phép dịch chuyển Reidemeister I cho phép ta thêm hay bớt một điểm giaotrên biểu đồ knot;

1.2.1.2 Nhận xét (i) Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister làm thay đổi biểu

đồ link nhưng không làm thay đổi link mà nó biểu diễn

Chú ý rằng hai biểu đồ link L, L0 đẳng cấu tôpô bao với nhau thì ta kýhiệu L ∼ L0

(ii) Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister trên biểu đồ knot K tương ứng mộtdãy hữu hạn các dịch chuyển trên K

Ví dụ 6 Sử dụng phép dịch chuyển Reidemeister chứng tỏ rằng, biểu đồknot K và knot tầm thường là cùng thuộc một lớp bất biến knot K tươngđương với knot tầm thường

Cho K ⊂ S3 là một knot hay link được định hướng và F ⊂ S3 là mộtliên thông được định hướng mở rộng (spanning) trên bề mặt của K Cho

1.2.2.2 Định nghĩa Cho K, F, θ ở trên Đa thức Alexander ∆K(t) là lớpcân bằng của đa thức ∆K(t) = det(θ − tθ0), trong đó θ0 là ma trận chuyển vịcủa θ.

Ví dụ 7 Nếu knot K là tầm thường thì ∆K(t) = 1

1.2.2.3 Định nghĩa Cho một knot định hướng K, đa thức ∇K(z) với biến

z gọi là đa thức Conway nếu thỏa mãn hai tính chất sau:

(i) Nếu K là knot tầm thường thì ∇K(z) = 1

(ii) Giả sử rằng K+, K−, K0 là các biểu đồ Skein có

∇K+(z) − ∇K−(z) = z∇K0(z)

Trong đó, các biểu đồ Skein sau:

Ví dụ 9 Nếu K là link tầm thường thì ∇K(z) = 0.

1.2.2.4 Mệnh đề Đa thức Alexander, đa thức Conway và hàm thế vị tential) được liên hệ với nhau bởi công thức sau:

1.2.3 Nhóm xoắn

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa các bất biến knotvới cấu trúc nhóm, cụ thể là nhóm xoắn Bất biến knot sẽ tương ứng với cáclớp tương đương trong cấu trúc nhóm Để nghiên cứu bất biến knot chúng tađưa về nghiên cứu nhóm xoắn

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở nhóm xoắn [13].1.2.3.1 Định nghĩa Một xoắn là một tập của ndây, tất cả chúng đều đượcgắn với thanh ngang ở phía trên và phía dưới, mà mỗi dây cắt bất kỳ mặtphẳng nằm ngang giữa hai thanh chỉ tại một điểm

Ví dụ 11 Hình dưới đây mô tả xoắn tầm thường

1.2.3.2 Mệnh đề Nếu hai xoắn tương đương thì chúng có cùng hoán vị

Ví dụ 12 Trong hình dưới chúng ta có thể thấy một ví dụ của hai xoắntương đương

Hình 1.12: Hai xoắn tương đương

Hình 1.13: Phép nhân hai xoắn

Kết quả của xoắn được gọi là phép nhân của α và β và kí hiệu bởi αβ.Nói chung, không có αβ = βα Thật vậy, αβ và βα không cần phải là xoắntương đương

Mặc dù không nhất thiết giao hoán, phép nhân các xoắn có tính kết hợp,

vì (αβ)γ = α(βγ)

Hình 1.14: Phép nhân hai xoắn có tính kết hợp

Chúng ta có thể kiểm tra phép nhân của hoán vị xoắn αβ và βα Chúngtương ứng là



1 2 3

3 2 1

và



1 2 3

2 1 3

 Vì vậy, hai phép nhân của các xoắn làkhông tương đương

Để biểu thị B là một nhóm dưới tác động của phép nhân, ta cần phải tìmmột phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo Phần tử đơn vị,  đơn giản làxoắn tầm thường, vì α = α = α

Hình 1.15: Phần tử đơn vị nhóm xoắn

Tìm phần tử ngược cho α bất kỳ, xét nghịch ảnh α∗ của α Nếu ta xétthanh dưới là nghịch ảnh, do đó nghịch ảnh là ảnh của α được chiếu vàotrong nghịch ảnh này Nó có αα∗ = α∗α =  Phần tử ngược được kí hiệu

1.2.3.3 Định lí (Alexander’s) Cho một knot tùy ý Khi đó, nó tương đươngvới một knot sinh bởi một xoắn.

1.2.3.4 Định nghĩa Một biểu đồ knot định hướng được gọi là có một tâm

x ∈ R3 nếu mọi cung trong biểu đồ knot có cùng định hướng đối với điểm x.1.2.3.5 Định lí Knot bất kỳ mà biểu đồ của nó luôn có một điểm tâm

1.2.3.6 Định nghĩa Giả sử rằng B∞ là hợp của các nhóm B1,B2, ,Bn,

hay B∞ = ∪k≥1Bk Ta có thể thực hiện hai hoạt động trong B∞; chúngđược gọi là dịch chuyển Markov :

• Nếu β là một đơn vị của nhóm Bn, thì M1 là hành động biến đổi vàotrong n-xoắn, γβγ−1, trong đó γ là phần tử của Bn Phần tử γβγ−1 là liênhợp với β

• M2 là hành động biến đổi vào một n-xoắn, β vào trong hai n + 1-xoắn,

βσn hay βσn−1, trong đóσn là một phần tử sinh của Bn+1 trong(n + 1)-nhómxoắn

Hình 1.17: Dịch chuyển Markov

1.2.3.7 Định nghĩa Giả sử rằng α và β là phần tử của B∞ Nếu ta biếnđổi α vào β bởi thực hiện dịch chuyển Markov M1, M2 và nghịch đảo củachúng M1−1, M2−1 bằng số hữu hạn lần Khi đó, α gọi là quan hệ tương đươngMarkov hayM-tương đương đến β và nó ký hiệu bởi α∼Mβ Nếu còn β∼Mα

thì α và β được gọi là tương đương Markov

1.2.3.8 Định lí Giả sử K1 và K2 là hai knot định hướng được hình thành

từ xoắn β1 và β2 tương ứng Khi đó,

K1 ∼= K

2 ⇔ β1∼Mβ2

1.2.4 Đa thức Jones

Từ phần trước ta đã có sự tương ứng sau:

knot ⇒ xoắn ⇒ nhóm xoắn BnGiả sử, ta có một ánh xạ từ nhóm xoắn Bn vào một số loại hệ thống đại

số A có cấu trúc chúng ta đã biết Mục đích là gán một phần tử của A vớimột knot Vaughan Jones đã vô tình phát hiện ra rằng một trong các đại số

mà ông nghiên cứu với mục đích khác có cấu trúc tương tự nhóm xoắn Ông

đã xây dựng một hàm mà nó bất biến với cả hai kiểu dịch chuyển Markov.Hàm này, được viết dưới biến phức q Mỗi đa thức như thế nó có một knotphức tạp tương ứng và đa thức đó người ta gọi là đa thức Jones [6, 10, 11]

nó khái quát hóa và mạnh hơn đa thức Alexander

1.2.4.1 Định nghĩa Đa thức Jones VK(t) là một đa thức Laurent biến t

được gán đến một link định hướng K để thỏa mãn các tính chất sau

(i) VK(t) bất biến dưới đẳng cấu tôpô bao;

(ii) Vunknot = 1;

(iii) t−1VK+ − tVK− = (√

t − √1

t)VK0.trong đó

1.2.4.2 Mệnh đề Cho K là link tầm thường có m-thành phần Khi đó

(iii) Nếu K là knot hình số 8 thì VK(t) = t2 + t−2− t − t−1 + 1

1.2.4.3 Định nghĩa VK(t) = L. K(t−1/4), trong đó LK là đa thức bracketchuẩn hóa

1.2.4.4 Định lí VK(t) định nghĩa ở trên thỏa mãn tính chất từ (1) đến (3).1.2.4.5 Định lí Cho K là một link, cho K1, K2, , Kn là các thành phầncủa nó Cho K0 là link lấy được từ K bằng cách đảo ngược một hướng củamột bộ phận (ví dụ, K1) Cho λ = lk(K1, K − K1) là tổng các số liên kết của

K, với phần còn lại của K Khi đó VK 0(t) = t−3λVK(t)

CHƯƠNG 2

MỘT BẤT BIẾN CỦA ĐẲNG CẤU TÔPÔ CHÍNH QUY

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp phân loại các bấtbiến knot (link) dựa trên khái niệm đẳng cấu tôpô chính quy được giới thiệubởi L H Kauffman [7] Tiếp đó, chúng tôi đề xuất quy trình nhằm biểu diễnmột biểu đồ knot (link) và dẫn đến biểu diễn knot(link) bởi một đa thứcLaurent hai biến Cuối cùng sử dụng quy trình đã đề xuất chúng tôi tiếnhành phân loại một số bất biến knot và link

2.1 Phương pháp phân loại knot (link) của KauffmanCách tiếp cận của Kauffman cho việc phân loại các bất biến knot dựa trên

sự phân tích các phép dịch chuyển của Reidemeister và một định lý cơ bảncủa ông ấy được phát biểu ở 1.1.1.10 Cụ thể, Kauffman đã tập trung xem xétdịch chuyển kiểu II và kiểu III của Reidemeister, từ đó xây dựng khái niệmđẳng cấu tôpô chính quy và sử dụng khái niệm này để hình thành phươngpháp phân loại bất biến knot

Hình dưới đây trình bày các dịch chuyển Reidemeister