Một số đặc trưng của đồng cấu mở rộng

Trongluận văn này, với sự mong muốn của bản thân đợc nghiên cứu về lý thuyết môđun, đặcbiệt là các mở rộng đồng cấu của môđun trên vành Artin và sự gợi ý của giáo viên hớngdẫn, thầy PGS.

Trờng đại học vinh

Trờng đại học vinh

Vinh - 2009

Mở đầu

Hai yếu tố chính trong lý thuyết môđun là.môđun nội xạ và môđun xạ ảnh Trongluận văn này, với sự mong muốn của bản thân đợc nghiên cứu về lý thuyết môđun, đặcbiệt là các mở rộng đồng cấu của môđun trên vành Artin và sự gợi ý của giáo viên hớngdẫn, thầy PGS TS Ngô Sỹ Tùng, tôi sẽ trình bày lại theo cách riêng của mình về "Một

số đặc trng của đồng cấu mở rộng".

Mục đích chính của luận văn là dựa vào bài báo "Injectivity relative to closedsubmodules, Journal of Algebra 321(2009) 548-557" của các tác giả Engin mermut,Catarina Santa-Clara, Patrick F Smith năm 2009 trình bày tờng minh vấn đề trọng tâm

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngành Đại số - lý thuyết

số, Khoa Toán, Khoa sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và nghiên cứu đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các Thầy Cô giáo Tổ toánTrờng trung học phổ thông Nguyễn Du - tỉnh Nghệ An đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giảtrong quá trình hoàn thành luận văn

Sự quan tân giúp đỡ của gia đình và bạn bè là nguồn động viên, cổ vụ và tiếp thêmsức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài

Dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rấtmong nhận đợc sự góp ý của Thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

Chơng 1 Các khái niệm cơ bản

Đ1 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

1.1 Định nghĩa.

Định nghĩa 1: Cho vành R, M là môđun trái trên R kí hiệu R M (hay gọn

M ) và 0 A≠ là môđun con của M , A đợc gọi là môđun con cốt yếu, kí hiệu A

* M (hay A M< ) nếu ∀ ⊆B Mm , B≠0 thì B∩ ≠A 0 hay

Định nghĩa 2: Môđun U đợc gọi là uniform hay đều nếu mọi môđun con

khác 0 của U đều là cốt yếu trong U Hay U là môđun đều khi và chỉ khi với mọi

m

0≠ A B U, ⊆ ⇒ ∩ ≠A B 0

môđun con khác 0 của Z đều cốt yếu trong Z

Ví dụ 2: Xét Z - môđun Q , với Q là nhóm cộng các số hữu tỷ Khi đó Q là Z

môđun đều

Ví dụ 3: Không gian véctơ V trên trờng K (V là K - môđun) khi đó:

Nếu dim V ≥ 2, vì V là tổng trực tiếp các không gian con một chiều, nên V không

đều

Nếu dim V = 1 thì V là K - môđun đều và chúng ta thấy rằng môđun con cốt yếu

của V chỉ là V

1.2 Tính chất của môđun con cốt yếu

Cho môđun M và A là môđun con của M Khi đó:

K

=

I

Chú ý: Tính chất này không đúng trong vô hạn.

4) Cho A K M⊆ ⊆m m Khi đó nếu:

/

K A* M A thì / K * M (chiều ngợc lại không đúng).5) Cho :f M →N là đồng cấu môđun và B * N Khi đó:

( )

1

f− B * M

trong đó f−1( )B là tạo ảnh của môđun B

6) Cho A i⊆m M i⊆m M i I,( ∈ ) Nếu tồn tại ⊕I A i (tổng trực tiếp trong) và

bé) trong M nếu với mỗi môđun con E M≠ ta đều có A E M+ ≠ (một cách

t-ơng đt-ơng, A E M+ = ⇒ =E M ) Khi đó ta ký hiệu A⊂oM

Ví dụ 1) Đối với mọi môđun M ta đều có 0⊂oM

2) Mọi Z - môđun tự do chỉ có môđun tầm thờng 0 là đối cốt yếu.

Chứng minh 1) Giả sử F là Z - môđun tự do với cơ sở {e i I i ∈ } Khi đó

i I

F = ⊕e Z

Giả sử A là môđun con khác không của F và 0 a A≠ ∈ Khi đó a biểu diễn

duy nhất dới dạng

Ta có aZ E F+ = , nghĩa là A E F+ = , trong đó E F≠ Điều này chứng tỏ

A không là môđun con cốt yếu của F

3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong Q là đối cốt yếu trong Z Q Z

Thật vậy, giả sử A là môđun con của Q , sinh bởi tập

{q q1, , ,2 q n} ⊂Q

và E là môđun con của Q sao cho A E Q+ = Khi đó

{q q1, , ,2 q n} ∪E

là một hệ sinh của Q Điều này chứng tỏ A Z ⊂oQ

Trong đó kí hiệu Q là Z Z - môđun Q

3) Nếu : Mϕ →N là đồng cấu môđun và A⊂oM thì ϕ( )A ⊂oN

Trong đó kí hiệu ϕ( )A là ảnh của môđun A qua đồng cấu ϕ.

Chứng minh 1) Giả sử D là môđun con trong M sao cho A D M+ = Khi

đó B D M+ = và theo luật môđula ta có

( A1+ A) + =D M Khi đó, do A1⊂oM

nên A D M+ = Lại do A⊂oM nên D M= , điều nàychứng tỏ

Do đó N =ϕ( )A + =D D, và ta có điều phải chứng minh

không là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho

a K∉

Chứng minh (⇐) Nếu K là môđun con tối đại trong M và a K∉ thì

aR K M+ = Bởi vậy aR không là đối cốt yếu trong M

(⇒) Để chứng minh phép kéo theo này ta sử dụng bổ đề Zorn

Đặt Γ là tập tất cả các môđun con B của M , B M≠ sao cho aR B M+ =

{B B M aR B M, }

Γ = ≠ + =

Tập Γ ≠ ∅ do aR không là đối cốt yếu Giả sử A là một dây chuyền trong

Γ (theo quan hệ bao hàm) Khi đó dễ thấy

Mặt khác, hiển nhiên B0 +aR M= , nghĩa là B0∈Γ Khi đó theo bổ đề Zorntrong Γ có phần tử tối đại K

Ta chứng tỏ K là môđun con tối đại trong M Thật vậy, giả sử có môđun con E của M sao cho K E∈ và K ≠E Khi đó E không thuộc Γ Đồng thời

M =aR K+ ⊂aR E+ ⊂M ⇒aR E M+ =

Bởi vậy E M= , chứng tỏ K là tối đại trong M

Đ 2 Môđun nội xạ

2.1 Định nghĩa

Cho R- môđun trái M , môđun M đợc gọi là nội xạ nếu với mọi R - môđun X ,với mọi môđun con A X⊆m , với mọi đồng cấu :f A→M Luôn tồn tại đồng cấu mởrộng: f*:X →M của f ( f*/A≡ f )

2.2 Ví dụ

khi đó môđun Q nội xạ.

Ví dụ 2: Xét vành các số nguyên Z , khi đó Z là Z - môđun và Z - không nội xạ 2.3 Tính chất

Trong định nghĩa chỉ cần A* X hay:

Môđun M nội xạ khi và chỉ khi

Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi I <R R

mọi đồng cấu (R - môđun trái)

:

f I →M , tồn tại a M∈ sao cho ( )f x =xa x I,∀ ∈

trong đó kí hiệu I <R R để chỉ rằng I là ideal trái của R

Chứng minh (⇒) Giả sử môđun M nội xạ và : f I →M là đồng cấu R

-môđun trái Do định nghĩa nội xạ nên tồn tại *

Khi đó x I∀ ∈ ta có:

( ) ( ).1 *( ).1 *( )1

xa= (1)

( )⇐ Giả thiết có điều kiện Baer, ta chứng minh môđun M

nội xạ theo định nghĩa

Xét biểu đồ bên với mọi môđun N , với mọi

môđun X⊆m N , với mọi đồng cấu :g X →M Ta chỉ ra

- Chứng minh S thoả mãn Zorn:

Lấy họ { ,B h } t t ⊂ S, t∈Λ sắp thứ tự toàn phần trong S

Đặt C B t X C Nm m

Λ

= ∪ ⇒ ⊆ ⊆ (vì { }B là dãy lồng thắt) và : t k C→M xác địnhvới x C∈ ⇒ ∃t x B: ∈ t Đặt k x( ) =h x t( )

Kiểm tra đợc: (C k, ) ∈ S, (k là đồng cấu mở rộng của g ) và (C k là cận, )

trên của {( ,B h ), t t t ∈Λ} Suy ra S thoả mãn Zorn Suy ra S có phần tử tối đại là

kiểm tra đợc α là đồng cấu và là mở rộng của k suy ra * α là mở rộng của g

Đ 3 Bao nội xạ

3.1 Định nghĩa

Cho môđun M , E đợc gọi là bao nội xạ của môđun M nếu thoả mãn các

điều kiện sau:

Định lí: Cho môđun M Khi đó:

i) Luôn tồn tại bao nội xạ của M

ii) E M là mở rộng cốt yếu tối đại trong tất cả các mở rộng cốt yếu( )

của M

iii) E M là mở rộng nội xạ tối tiểu trong tất cả các mở rộng nội xạ của ( ) M

tồn tại đồng cấu :g A→M sao cho: f = p g o , với p là phép chiếu tự nhiên

- Môđun A đợc gọi là xạ ảnh nếu A là M - xạ ảnh với mọi môđun M

- Môđun A đợc gọi là tựa xạ ảnh nếu A là A- xạ ảnh

(⇒) Giả sử P là môđun xạ ảnh và α: A→B là một toàn cấu còn ϕ: P i→B là

một đồng cấu tuỳ ý khi đó gọi πi: P →P i là phép chiếu tự nhiên, ta có hợp thành

ϕπi: P →B Do P xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu k: P →A sao cho biểu đồ sau giao

Nghĩa là αk = ϕπi.

Bây giờ gọi ài: P i →P là phép nhúng chính tắc ta gọi h = kài là đồng cấu từ

P i tới A Hơn nữa ta có: αh = αkπi = ϕπiài = ϕ Điều này chứng tỏ P i là xạ ảnh.(⇐) Xét biểu đồ giao hoán:

trong đó là α toàn cấu, ψ là đồng cấu, ϕ là phép nhúng chính tắc, còn h i là đồngcấu có đợc do tính xạ ảnh của P i , αh i = ψài

Có thể giả thiết rằng P= ⊕P i là tổng trực tiếp ngoài Khi đó ta có thể thiếtlập một đồng cấu

h P= ⊕P →A

(x i) a ∑h x i( )iVới mọi x = (xi)∈ P ta có:

Chơng 2 Một số đặc trng của đồng cấu mở rộng

Đ1 Môđun Artin - môđun Noether

A i− ⊂ ⊂A i A i+ ⊂

là ổn định (hay dừng) nếu nó chỉ chứa một số hữu hạn các A khác nhau i

2) R - môđun phải M đợc gọi là Noether (tơng ứng Artin) nếu mỗi tập con

không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại (tơng ứng tối tiểu)

3) Vành R đợc gọi là vành Noether phải (tơng ứng Artin phải) nếu môđun

R

R là Noether (tơng ứng Artin).

Chú ý Các môđun Noether còn đợc gọi là môđun với điều kiện tối đại, còn

các môđun Artin gọi là môđun với điều kiện tối tiểu.

1.2 Định lí Giả sử A là môđun con của môđun M Các điều kiện sau là

t-ơng đt-ơng:

a) Môđun M là Noether.

b) Môđun A và môđun thơng M A là Noether./

c) Mọi chuỗi tăng A1⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ các môđun con của môđun M đềudừng

Chứng minh (a) ⇒ (b) Do mỗi tập hợp khác rỗng những môđun con trong

A là tập hợp khác rỗng những môđun con trong M nên trong tập hợp này có phần

tử tối đại Bởi vậy môđun A là môđun Noether.

Bây giờ ta chứng minh M A là Noether Giả sử/

p M →M A

là phép chiếu chính tắc và Γ ={B i I i ∈ } là tập hợp khác rỗng những môđun controng M A Khi đó trong / M tập hợp các môđun con { 1( ) }

i

P− B i I∈ có phần tửtối đại ( )0

1

i

P− B , với B là phần tử tối đại trong i0 Γ Do đó M A Noether./

(b) ⇒ (c) Giả sử A1⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ là chuỗi tăng các môđun con trong M

Điều đó chứng tỏ dãy ban đầu dừng

(c) ⇒ (a) Giả sử ngợc lại, trong M có tập hợp khác rỗng Γ của nhữngmôđun con và tập này không chứa phần tử tối đại Khi đó đối với A∈Γ tìm đợc

Điều này trái với giả thiết (c)

Đối với môđun Artin ta có mệnh đề tơng tự sau:

1.3 Định lí Giả sử A là môđun con của môđun M Các điều kiện sau là

t-ơng đt-ơng:

(a) Môđun M là Artin.

(b) Môđun A và môđun thơng M A là Artin./

(c) Mọi chuỗi giảm A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ các môđun con của M đều dừng.(Phép chứng minh hoàn toàn đối ngẫu với phép chứng minh của định lí 1.2)

(tơng ứng, Artin) thì nó lại là Noether (tơng ứng Artin).

Chứng minh Giả sử

1

n

i i

=

=∑ Ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n

Với n=1 mệnh đề là hiển nhiên đúng Giả thiết rằng mệnh đề đúng với n−1 Khi

là Nother (Nếu L Artin thì M cũng Artin với cùng lập luận trên).

hữu hạn sinh thì M là Noether (tơng ứng, Artin).

Chứng minh Với mọi a M∈ xét ánh xạ

Từ đó suy ra rằng nếu môđun R là Noether (tơng ứng, Artin) thì aR cũng R

là Noether (Artin) Bây giờ giả sử {a a1, , ,2 a là hệ sinh của M , n}

1

n

i i

M a R

=

=∑ Khi đó mệnh đề suy ra đợc từ hệ quả 1.4

Ví dụ 1 Vành các số nguyên Z xem nh là Z - môđun là Noether nhng không là Artin.

Thật vậy, nếu a Z∈ , a≠0, a≠ ±1 thì

2 3

aZ ⊃a Z ⊃a Z ⊃

là một chuỗi giảm vô hạn Do đó Z không là Artin Z

Mặt khác aZ ⊃bZ khi và chỉ khi b là ớc của a Bởi vậy mọi chuỗi tăng của môđun con trong Z đều dừng, nghĩa là Z Noether Z

ng-ợc lại đối với vành là không xẩy ra: sau này ta sẽ chứng minh rằng mọi vành Artin

đều Noether Tuy nhiên vẫn có những môđun Artin nhng không là Noether.

Ví dụ 2 Mọi không gian véctơ hữu hạn chiều vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin.

Thật vậy, giả sử V là không gian véctơ trên thể K K và {e1, ,e là một cơ n}

sở của nó Khi đó

0⊂e K ⊂e K e K+ ⊂ ⊂ V

là dãy hợp thành trong V , do các thơng của dãy là đơn.

Ví dụ 3 Không gian véctơ vô hạn chiều V không là Noether và cũng không là K

Đ2 Các định nghĩa

2.1 Định nghĩa Cho R là vành nào đó Một môđun con K của R - môđun

M đợc gọi là đóng (trong M ) nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M

(hay K chỉ có mở rộng cốt yếu duy nhất là chính nó)

nếu với mọi môđun con đóng L của R - môđun M , mỗi đồng cấu từ L vào X

đều mở rộng tới M vào X

2.3 Định nghĩa Cho vành R một R - môđun X đợc gọi là c - nội xạ nếu

môđun X là M - c - nội xạ với mọi R - môđun M

Định nghĩa trên chỉ ra rằng:

Nếu R- là miền Dedekind thì R- môđun X là c - nội xạ nếu và chỉ nếu tồn tại

R- môđun Y sao cho Y là tích trực tiếp của các R môđun đơn và một R- môđunnội xạ thoả mãnX đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của Y

R nếu tồn tại một ideal trái tối đại C của Rsao cho D là ideal lớn nhất của R chứatrong C

ii) Vành R đợc gọi là vành nguyên thuỷ bên trái nếu ideal tầm thờng 0 là

ideal nguyên thuỷ bên trái của R

2.5 Tính chất

i) Mọi hạng tử trực tiếp của R - môđun M đều đóng trong M

ii) Nếu L là một môđun con bất kì của R - môđun M thì luôn tồn tại, nhờ bổ

đề Zorn, một môđun con K của M tối đại với tính chất L là môđun con cốt yếu của K và trong trờng hợp này K là một môđun con đóng của M

2.6 Định nghĩa Một môđun M đợc gọi là một mở rộng môđun nếu mọi

môđun con đóng đều là hạng tử trực tiếp

đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

2.8 Định nghĩa Một môđun M đợc gọi là một môđun nửa đơn thuần nhất

nếu tồn tại một môđun đơn U sao cho M đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các môđun U

2.9 Định nghĩa Một vành R đợc gọi là bị chặn đầy đủ trái nếu với mỗi ảnh

đồng cấu nguyên tố của R, mọi ideal trái cốt yếu đều chứa một ideal hai phía khác

0

Noether trái bị chặn đầy đủ trái

2.11 Tính chất

i) Nếu R là một vành FBN trái thì / R P là vành Artin với mọi ideal nguyên

thuỷ trái P của R

i) Nếu R là vành nửa hoàn toàn thì / R P là vành Artin với mọi ideal trái

nguyên thuỷ P của R

Đ3 Một số đặc trng của đồng cấu mở rộng

kì và : Kϕ → X là đồng cấu, sao cho /K kerϕ là một hạng tử trực tiếp củamôđun M ker/ ϕ Thì ϕ có thể mở rộng lên đồng cấu : Mθ → X

Chứng minh: Đặt L ker= ϕ Theo giả thiết ta có: /K kerϕ là hạng tử trựctiếp của M ker/ ϕ suy ra tồn tại một môđun con H ker/ ϕ của M ker/ ϕ sao cho:

3.2 Hệ quả Cho R là vành, cho K là một môđun con của R - môđun M ,

X là R- môđun và A là một ideal của R sao cho AX =0 Nếu /K AK là hạng

tử trực tiếp của môđun M AK thì mọi đồng cấu : K/ ϕ → X có thể mở rộng tới

nửa đơn Khi đó các phát biểu sau đây tơng đơng

i) Mọi đồng cấu : Kλ →X đều mở rộng tới : Mà →X

ii) Với mọi môđun con L của K mà / K L đẳng cấu với một môđun con nào

đó của X thì /K L là một hạng tử trực tiếp của M L /

Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử L là môđun con bất kì của K sao cho /K L

đẳng cấu với một môđun con Y của X và đặt : /α K L→Y là đẳng cấu Vì X là

môđun nửa đơn nên Y là hạng tử trực tiếp của X Đặt : Xπ →Y là phép chiếu

chuẩn tắc Xét ánh xạ : Kλ → X đợc định nghĩa:

( )m (m L), m K

λ =α + ∀ ∈ Khi đó λ là một ánh xạ và:

Theo giả thiết tồn tại một đồng cấu : Mà → X sao cho / Kà ≡λ

Đặt v=πà: M →Y , với mọi z M∈ thì v z( )∈Y , vì α là đẳng cấu nên tồn

tại y K∈ sao cho: v z( ) =α( y L+ ) =λ( )y =à( )y =πà( ) ( )y =v y , suy ra

( ) 0

v z y− = hay z y kerv− ∈

h K∈ Vậy với mọi

M L= K L ⊕ kerv L hay /K L là hạng tử trực tiếp của M L /

ii) ⇒ i) Giả sử : Kλ →X là đồng cấu môđun Đăt L ker= λ khi đó theo

định lí đồng cấu môđun ta có: K ker/ λ≅Imλ, với Imλ là môđun con của X

Theo giả thiết ta có: K ker/ λ là hạng tử trực tiếp của M ker/ λ Theo bổ đề 3.1thì ϕ có thể mở rộng lên đồng cấu : Mà → X

là vành Artin nửa nguyên tố Khi đó các phát biểu sau đây tơng đơng với K là mộtmôđun con của R- môđun M

i) SK = ∩K SM

ii) /K SK là hạng tử trực tiếp của môđun M SK/

iii) Với mọi /R S - môđun X , mọi đồng cấu : Kϕ →X đều mở rộng đợctới M

iv) Mọi R đồng cấu :ϕ K →R S/ đều mở rộng đợc tới M

v) Với mọi ( R S - môđun đơn U , với mọi R - đồng cấu : K/ ) ϕ →U đều mởrộng đợc tới M

Chứng minh:

i) ⇒ ii) Vì /R S là vành Artin nửa nguyên tố, M SM là môđun nửa đơn và/

do vậy tồn tại môđun con H của M chứa SM sao cho:

ii) ⇒ iii) Ta có S là iđêan 0 trong vành / R S do vậy đối với / R S môđun X

thì SX =0 Kết hợp với giả thiết /K SK là hạng tử trực tiếp của M SK và theo/

hệ quả 3.2 ta có (iii)

iii) ⇒ iv) Xét X là /R S Khi đó / R S là / R S - môđun Do vậy với mọi

iv) ⇒ v) Vì /R S là vành Artin nửa nguyên tố Giả sử U là / R S - môđun

đơn Khi đó tồn tại u U u∈ , ≠0sao cho u< >=U .

khi đó f là toàn cấu môđun nên ( R S kerf/ ) / ≅U

Suy ra tồn tại π: /R S →( R S kerf/ ) / ≅U

Vì U là /R S -môđun đơn nên U - xạ ảnh Do đó tồn tại : h U →R S/ saocho biểu đồ sau giao hoán hay g h ido = u Do vậy /R S Imh= ⊕kerg.

∃