Một số bất biến của tích trộn lẫn các iđêan luận văn thạc sỹ toán học

NGUYỄN THẾ HÙNGMỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA TÍCH TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS... MỞ ĐẦUCác bất bi

NGUYỄN THẾ HÙNG

MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA

TÍCH TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An - 2011

MỤC LỤC

1.1 Thứ tự từ 4

1.2 Iđêan khởi đầu 5

1.3 Định nghĩa cơ sở Gr¨obner 6

1.4 Dãy khớp, độ dài môđun 6

1.5 Chiều Krull 8

1.6 Vành, môđun phân bậc 8

1.7 Số bội 9

1.8 Dãy chính quy 9

1.9 Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford 9

2 Chiều, số bội, độ sâu và chỉ số chính quy Castel-nuovo - Mumford của tích trộn lẫn các iđêan 13 2.1 Chiều và số bội 13

2.2 Độ sâu 19

2.3 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 24

MỞ ĐẦU

Các bất biến trong Đại số luôn được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Trong Đại số giao hoán, chiều, số bội, độ sâu, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là các bất biến quan trọng của vành và môđun Tích trộn lẫncác iđêan là các iđêan đơn thức không chứa bình phương Chúng có dạng

(IqJr + IpJs)S, trong đó Iu (tương ứng Jv) là iđêan sinh bởi tất cả các đơnthức bậc u không chứa bình phương trong vành A := K [x1, x2, xn] (t.ư.bậc v trong B := K [y1, y2, yN]), 0 < p < q ≤ n, 0 < r < s ≤ N

và S := K [x1, x2, xn, y1, y2, yN] Chúng được đưa ra bởi Restuccia vàVillarreal (Xem [6] và [9]) Một số bất biến đại số của các iđêan này đã đượctính toán trong các bài báo gần đây [5] và [7], [4] Kết quả trong [4] đã mởrộng kết quả của [5] Chúng tôi sẽ nghiên cứu và trình bày lại một cách chitiết các kết quả của [4]

Luận văn này được chia thành 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn như:Vành và môđun phân bậc, Cơ sở Gr¨obner, Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằmphục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2 Chiều, số bội, độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo

- Mumford của tích trộn lẫn các iđêan

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh Nhân dịp này

tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến TS Đào ThịThanh Hà cùng với thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tácgiả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này Mặc dầu đã rất cốgắng, song luận văn không thể tránh những thiếu sót, rất mong nhận đượcnhững đóng góp quý báu của các thầy, các cô và các bạn.

Xin chân thành cảm ơn!

Đại học Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơα1−β1, , αn−

βn là một số âm (Nói cách khác, nếu tồn tại 0 ≤ i < n sao cho α1 =

β1, , αi = βi nhưng αi+1 < βi+1)

1.1.3 Định nghĩa Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định nhưsau :

x1α1 xnαn<glex x1β1 xnβn nếu deg(x1α1 xnαn) < deg(x1β1 xnβn) hoặc

deg(x1α1 xnαn) = deg(x1β1 xnβn)

và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơα1−β1, , αn−βn

là một số âm Nói cách khác, x1α1 xnαn<glex x1β1 xnβn nếu α1+ + αn <

β1 + + βn hoặc α1 + + αn = β1 + + βn và x1α1 xnαn<lex x1β1 xnβn.1.1.4 Định nghĩa Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như sau :

x1α1 xnαn<rlex x1β1 xnβn nếu deg(x1α1 xnαn) < deg(x1β1 xnβn) hoặc

deg(x1α1 xnαn) = deg(x1β1 xnβn)

và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơα1−β1, , αn−βn

là một số dương Nói cách khác, nếu tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho αn =

βn, , αi+1 = βi+1, nhưng αi > βi

1.2 Iđêan khởi đầu

1.2.1 Định nghĩa Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinhbởi các đơn thức

Như vậy một iđêan đơn thức có dạng I = (x1a1 xnan|(a1, , an) ∈ A), trong

đó A ⊆ Nn

1.2.2 Định nghĩa Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ R = K[x1, , xn] Từkhởi đầu của f, ký hiệu là in≤(f ), là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ

1.3 Định nghĩa cơ sở Gr¨ obner

1.3.1 Định nghĩa Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R Tậphữu hạn các đa thức khác không g1, , gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨obnercủa I đối với thứ tự từ ≤, nếu:

1.4 Dãy khớp, độ dài môđun

1.4.1 Định nghĩa Một dãy đồng cấu các R - môđun

−→ Mi fi

−→ Mi+1 −−→ Mi+1 i+2 −→

được gọi là một dãy khớp nếu Imfi = Kerfi+1 với mọi chỉ số i

Một dãy khớp có dạng:

0 −→ M −→ Nf −→ P −g → 0

được gọi là một dãy khớp ngắn

1.4.2 Định nghĩa Một R - môđun M khác môđun không được gọi là mộtmôđun đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chínhnó

1.4.3 Định nghĩa Một dãy hợp thành của một R - môđun M là một dãygiảm gồm một số hữu hạn các môđun con

M ⊃ M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0

sao cho Mi−1/Mi là một môđun đơn, i = 1, , n Khi đó số n được gọi là

độ dài của dãy hợp thành này Môđun M có một dãy hợp thành được gọi làmột môđun có dãy hợp thành

1.4.4 Định lí (Định lý Jordan - Holder) Nếu R - môđun M có một dãyhợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài

n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều

có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp thành, và có thể mở rộng thànhmột dãy hợp thành

1.4.5 Định nghĩa Giả sử M là R- môđun Ta nói rằng M có độ dài hữuhạn nếu M có dãy hợp thành Khi đó độ dài củaM được ký hiệu là `(M )hay

`R(M ) (nếu muốn nhấn mạnh R là vành cơ sở) là độ dài của dãy hợp thànhnào đó của M Nếu M không có dãy hợp thành thì ta quy ước `R(M ) = ∞.1.4.6 Mệnh đề Cho R- môđun M, khi đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉnếu M vừa là Noether vừa là Artin Có nghĩa là M thỏa mãn điều kiện dãytăng và giảm các môđun con

1.4.7 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán và

0 −→ M −→ Nf −→ P −g → 0

là một dãy khớp ngắn của các R-môđun và R đồng cấu

(i) R-môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu cả L và N đều có độ dàihữu hạn

(ii) Khi tất cả L, M, N đều có độ dài hữu hạn thì `(M ) = `(L) + `(N )

1.5.2 Định nghĩa Cho R là mộ vành giao hoán Chặn trên độ dài của tất

cả các dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố của R được gọi là chiều Krull của

R hay đơn giản là chiều của vành R và ký hiệu dimR

1.5.3 Định nghĩa Iđêan 0 : M được gọi là linh hóa tử của M và ký hiệu

= {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ R}

1.5.4 Định nghĩa Cho R- môđun M, dimRAnn(M ) được gọi là chiều củamôđun M và ký hiệu dim(M )

1.6 Vành, môđun phân bậc

Vành R = ⊕t≥0Rt gọi là Z-phân bậc nếu Ri = 0 với mọi i < 0 và

RiRj ⊆ Ri+j Chúng ta chỉ xét vành Noether phân bậc chuẩn trên mộttrường K, tức R0 = K và R sinh bởi R1 như một đại số trên K, nói cáchkhácR = K [R1] Trong những trường hợp này có thể xem R = S/I, trong đó

S = K [x1, x2, xn] và I là iđêan thuần nhất của S (số n chính là dimKR1).Môđun M được gọi là Z-phân bậc trên vành phân bậc R nếu M = ⊕i∈ZMi

và RiMj ⊆ Mi+j Phần tử m ∈ M gọi là phần tử thuần nhất nếu i có để

m ∈ Mi Nếu m 6= 0, số i đó gọi là bậc của m và viết deg m = i Chúng

ta cũng ký hiệu thành phần phân bậc Mi bởi [M ]i Với p ∈ Z, mô đun dịch

chuyển M (p) chính là môđun M nhưng các thành phần phân bậc được địnhnghĩa lại như sau:

[M (p)]i = [M ]p+i

1.7 Số bội

Cho q là iđêan tham số (thuần nhất) của M, tức là iđêan sinh bởi d phần

tử thuần nhấta1, , ad ∈ M sao cho`(M(a1, ad)M ) < ∞ Khi đó hàm Hilbert

Hq,M(t) = `(Mqt M ), t ∈ Z

trở thành đa thức khi t  0 Đa thức đó gọi là đa thức Hilbert và ký hiệu là

Pq,M(t) Viết Pq,M(t) dưới dạng công thức sau:

Pq,M(t) = e0(q, M )



t + dt

1.8.1 Định nghĩa Cho R là một vành và M là R - môđun Ta nói rằng

a ∈ R là ước của 0 đối với M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho ax = 0 và a

còn được gọi là M chính quy

1.8.2 Định nghĩa ChoR là một vành vàM làR - môđun Một dãya1, , an

các phần tử của R được gọi là M - dãy (hay dãy M chính quy) nếu thỏamãn 2 điều kiện sau:

(i) a1 là M chính quy, a2 là Ma1M chính quy, , an là Mn

P

i=1

aiM - chính quy.(ii) Mn

1.9 Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford

Áp dụng định lý Hilbert về xoắn đối với trường hợp M là một môđunphân bậc hữu hạn sinh trên S, ta suy ra M có một giải tự do phân bậc tối

Trong đó aki, k = 1, , q; 1 ≤ i ≤ βk là những số nguyên Các số βi được gọi

là số Betti thứ i của M Số β0 chính là số phần tử tối tiểu của M và ta sẽ kýhiệu là µ(M ) Các số a01, , a0β0 chính là các bậc của các phần tử trong một

hệ sinh thuần nhất tối tiểu của M Một cách tổng quát ai1, , aiβi là các bậcsinh của một hệ sinh thuần nhất tối tiểu của môđun xoắn thứ i của M (tức

Kerϕi−1) Số

gen(M ) = max{a01, , a0β0}

Được gọi là bậc sinh của M Chúng ta cũng dùng đến ký hiệu

in deg(M ) = inf{n/[M ]n 6= 0} = inf{a01, , a0β0}

(ta quy ước in deg(0) = ∞) Chẳng hạn khi R = S/I thì µ(R) = 1 và

gen(R) = in deg(R) = 0 Chú ý rằng nếup ∈ Z thì gen(M (p)) = gen(M ) −

p, in deg(M (p)) = in deg(M ) − p Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạnsinh chiềud Ta ký hiệu m = R+ = ⊕i>0Ri là iđêan thuần nhất cực đại của R

và Hmi (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i củaM với giá làm Khi

đó Hmi (M ) cũng là môđun phân bậc trên R Định lý triệt tiêu Grothendiecknói rằng Hmi (M ) = 0 nếu i < depth(M ) hoặc i > dim(M ) Hơn thế nữa

Hmi (M ) là môđun Artin, nên các thành phần phân bậc Hmi (M ) = 0 khi pđủlớn Vì vậy, nếu với mỗi môđun phân bậc N, ta đặt

1.9.1 Định nghĩa Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M là số

reg(M ) = reg0(M ) = regdepth(M )(M )

Từ những tính chất vừa nêu ở trên ta suy ra regp(M ) luôn là một số nguyênnào đó (tức khác ±∞ ), nếu M 6= 0 Vì vành đa thức S = K [x1, x2, xn] cótất cả các đối đồng điều đều bằng 0 và Hmn(S) = Kx1−1, , xn−n ta suy ra

reg(S) = 0 Hơn nữa, từ dãy khớp

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford có thể định nghĩa thông qua các bậcdịch chuyển nêu trong (1.6) Kết quả sau đây do Mumford phát biểu cho cáclược đồ và được Eisenbud-Goto tổng quát cho mọi môđun phân bậc

1.9.2 Định lí Cho là một môđun phân bậc hữu hạn sinh trên S Khi đó:

reg(M ) = max{aij − i | i = 0, , q v`a j=1, ,βi}

Trong đó aij là các số xác định ở giải tự do tối tiểu (1.1) Nói riêng

reg(M ) ≥ max{a0j | j=1, ,β0}=gen(M)

Như vậy, reg(M ) cho chúng ta một chặn trên cho bậc sinh cực đại của M.

Đó là một ý nghĩa quan trọng của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford.Sau đây là một số kết quả hay được sử dụng để nghiên cứu chỉ số chính quyCastelnuovo-Mumford Bổ đề đầu tiên là của Castelnuovo phát biểu cho lược

đồ và sau đó mở rộng cho môđun

1.9.3 Bổ đề Cho r ≥ gen(M ) Nếu Hmi (M )r−i = 0 với mọi i ≤ d thì

reg(M ) ≤ r

1.9.4 Bổ đề Cho

0 → M → N → P → 0

Là dãy khớp ngắn các R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

(i) reg(M ) ≤ max{reg(N ), reg(P ) + 1};

(ii) reg(N ) ≤ max{reg(M ), reg(P )};

(iii) reg(P ) ≤ max{reg(N ), reg(M ) − 1}

CHIỀU, SỐ BỘI, ĐỘ SÂU VÀ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO - MUMFORD CỦA TÍCH

TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN

Tích trộn lẫn các iđêan là các iđêan đơn thức không chứa bình phương códạng (IqJr + IpJs)S, trong đó Iu (tương ứng Jv) là iđêan sinh bởi tất cả cácđơn thức bậc u không chứa bình phương trong vành A := K [x1, x2, , xn]

(t.ư bậc v trong B := K [y1, y2, , yN]), 0 < p < q ≤ n, 0 < r < s ≤ N và

S := K [x1, x2, , xn, y1, y2, , yN] Chúng được đưa ra bởi Restuccia vàVillarreal (xem [6] và [9]) Một số bất biến đại số của các iđêan này đã đượctính toán trong các bài báo gần đây [5] và [7], [4]

Trong luận văn này chúng ta sẽ xem xét một trường hợp rộng hơn, cụ thể

là chúng ta xét các iđêan dạng (I1J2 + I2J1)S trong đó trong đó I1 ⊆ I2,

J1 ⊆ J2 và chúng lần lượt là họ tùy ý các iđêan của A, B Chúng ta gọi

(I1J2 + I2J1)S là tích trộn lẫn của I1, I2 và J1, J2

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng có thể xác định một số bất biến của tích hỗn tạpcủa bốn iđêan I1, I2, J1, J2 Các bất biến ở đây là: Chiều, Bội số, Bậc, Chỉ sốchính quy Castelnuovo - Mumford

2.1 Chiều và số bội

Ta luôn ký hiệu A := K [x1, x2, , xn], B := K [y1, y2, , yN] và đặt

S := K [x1, x2, , xn, y1, y2, , yN] Cho I là một iđêan của A, ta ký hiệu bởi

IS hoặc (I) iđêan của S sinh bởi I Trước tiên chúng ta cần bổ đề sau

2.1.1 Bổ đề Cho I là iđêan của A, J là iđêan của B Khi đó trong vành S

chúng ta có (I) ∩ (J ) = (I)(J )

Chứng minh Xét thứ tự từ ≤ trên S thì hạn chế ≤1 của nó trên K[x] (t.ư

≤2 trên K[x]) cũng là một thứ tự từ Ký hiệu iđêan khởi đầu của một iđêan

α là in≤(α) Khi đó:

in≤(IS) in≤(J S) ⊆ in≤(IS)(J S) ⊆ in≤((IS)∩(J S)) ⊆ in≤(IS)∩in≤(J S) (1)

Kết quả đầu tiên được suy ra từ tính chất in≤(f g) = in≤(f )in≤(g) trong khihai kết quả sau được suy ra từ tính chất nếu a ⊆ b thì in≤(a) ⊆ in≤(b) Nếu

F = {f1, , fr} ⊂ K[x] là một cơ sở Gr¨obner của I thì nó thỏa mãn tiêuchuẩn của Buch Nghĩa là phần dư cả phép chia S - đa thức tùy ý S(fi; fj)

cho F là 0, ∀ 1 ≤ i < j ≤ 1 Trường hợp này không thay đổi khi ta thay

K[x] bởi K[x, y] vì thế F cũng là một cơ sở Gr¨obner của IS và

in≤(IS) = (in≤1(f1), , in≤1(fr))

Tương tự, nếu G = g1, , gs} ⊂ K[y] là cơ sở Gr¨obner của J thì in≤2(J S) =(in≤2(g1), , in≤2(gs)) Từ in≤1(fi), in≤2(gj) nguyên tố cùng nhau, chúng ta

cóin≤(IS)∩in≤(J S) = in≤(IS)in≤(J S) Kết hợp với (1) cho tain≤(IS)(J S) =

in≤((IS) ∩ (J S)) Theo một tính chất cơ bản của iđêan khởi đầu (xem ([2],

Bây giờ ta tính chiều của tích hỗn tạp 2 cặp iđêan Quy ước rằngdim0 =

S(J2)



(2)

S(I1 + J1)

Kết hợp với (2) ta có điều phải chứng minh

2.1.4 Ví dụ Đặt Ip (t.ư Jq) là iđêan của A (t.ư B) sinh bởi tất cả các đơnthức không chứa bình phương bậc p (0 < p ≤ n) (t.ư 0 < q ≤ N) biến x (t.ư

y) Khi đó từ ([5], chú ý 1.3)

B(Jq) = q − 1.

Với mọi số nguyên 1 ≤ q < s ≤ n và 1 ≤ t < r ≤ N chúng ta có Is ⊂ Iq và

Jr ⊂ Jt Khi đó định lý trên cho ta

Giả sử M là S-mô đun phân bậc hữu hạn sinh Chuỗi Hillbert - Poincare

hM(t) = Xk≥0`(Mk)tk

của M có thể viết là

hM(t) = fM(t)

(1 − t)d.

Với d là bậc của M và nếu M 6= 0, thì fM(1) > 0

2.1.5 Bổ đề Cho I ⊆ A, J ⊆ B là các iđêan thuần nhất Khi đó:

(i) hS/(I+J )(t) = hA/I(t)hB/J(t)

(ii) hS/(IJ )(t) = hA/I (t)

(1−t) S + hB/J (t)

(1−t) n − hA/I(t)hB/J(t).Chứng minh (i) Từ

S(I + J )

j≥0

`((BJ )j)tj





Từ chuỗi Hilbert - Poincare, kết hợp với dãy khớp trên cho ta

hB

 J (t)(1 − t)n − hA

hB

 (t)(1 − t)n − hA

I1 (t)hB

A

 I2 (t)(1 − t)N +

hB

 (t)(1 − t)n.

B

 (t)(1 − t)n + hAI1 (t)hB

Giả sử M là S-mô đun phân bậc hữu hạn sinh chiều d > 0 Để mọi t  0,

độ dài là một đa thức và nó có thể viết

e(M ) = fM (3)

Bây giờ ta áp dụng công thức này vào việc tính số bội của tích trộn lẫn củahai cặp iđêan Trong kết quả tiếp theo chúng ta sử dụng ký hiệu δii = 1 và

δji = 0 nếu i 6= j, với i, j là các số nguyên

2.1.7 Định lí Cho I1 ⊆ I2 ⊆ A, J1 ⊆ J2 ⊆ B là các iđêan chính thuầnnhất khác 0 Giả sử dimAI1 = d1, dimAI2 = d2, dimBJ1 = D1 và

là một dãy khớp ngắn của S-môđun phân bậc khác o Khi đó

Dấu bằng xảy ra khi depthP 6= depthM − 1

Dấu bằng xảy ra khi depthN 6= depthP

(iii) depthP ≥ min{depthM − 1, depthN }

Dấu bằng xảy ra khi depthM 6= depthN

Chứng minh Việc chứng minh những bất đẳng thức trên xem ở tài liệu ([2],mệnh đề 1.2.9) Nếu depthP > depthM − 1, từ bất đẳng thức (ii) kéo theo

nguyên) Kết hợp với bất đẳng thức (i) ta có

depthM ≤ depthN

Bởi vậy

depthN = depthM = min{depthM, depthP }

Nếu depthP < depthM − 1,từ bất đẳng thức (iii) kéo theo

depthP ≥ depthN

Mặt khác từ

min{depthM, depthP }=depthP,

kết hợp với bất đẳng thức (i) cho ta depthP ≤ depthN

Bởi vậy

depthN = depthP = min{depthM, depthP }

Như vậy, nếu

depthP 6= depthM − 1

chúng ta luôn có

depthN = min{depthM, depthP }

Việc chứng minh (ii) và (iii) là tương tự