Định lí Krein - Rutman và các mở rộng

Ánh xạ tuyến tính dương và sự tồn tại vectơ riêng dương .... Định lý Krein - Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính dương mạnh là định lý được tìm ra sớm nhất về mặt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thái Nguyên Khang

ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN

VÀ CÁC MỞ RỘNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thái Nguyên Khang

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ XUÂN TRƯỜNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

MỤC LỤC

M Ở ĐẦU 1

Ch ương 1 ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 3

1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 3

1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón 3

1.1.2 Nón chuẩn 4

1.1.3 Nón chính qui 5

1.1.4 Nón sinh 6

1.1.5 Nón liên hợp 8

1.2 Ánh xạ tuyến tính dương và sự tồn tại vectơ riêng dương 9

1.2.1 Giá trị riêng và vectơ riêng 9

1.2.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính 9

1.2.3 Ánh xạ tuyến tính dương 10

1.3 Định lí Krein – Rutman 13

C hương 2 ĐỊNH LÍ KREIN –RUTMAN CHO ÁNH XẠ u 0 – D ƯƠNG 18

2.1 Ánh xạ u0 – dương 18

2.2 Định lí Krien–Rutman cho ánh xạ u0 – dương 19

C hương 3 ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG 26

3.1 Ánh xạ thuần nhất dương và Bán kính phổ mở rộng 26

3.2 Mở rộng của khái niệm dương mạnh 31

3.3 Ánh xạ e - dương 35

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

X : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X

L(X, X) : Không gian các hàm tuyến tính liên tục

B(a, )ρ : Hình cầu mở tâm a bán kính ρ

B(a, )ρ : Hình cầu đóng tâm a bán kính ρ

C

∂ : Tập tất cả các điểm biên của C

i

j 0 1 2 i 0

∏

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm 1940 trong công trình mở đầu của M.Krein và A.Rutman, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay Nó tìm được những ứng dụng rộng rãi và có giá trị trong nhiều lĩnh vực của khoa học và xã hội như trong Lý thuyết phương trình vi phân, Vật lý,

Y - sinh học, Kinh tế học

Định lý Krein - Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính dương mạnh là định lý được tìm ra sớm nhất về mặt lý thuyết cũng như về mặt ứng dụng của lý thuyết này Định lí này là mở rộng các kết quả riêng quan trọng sau đây:

- Định lí Perron, được tìm ra năm 1907, khẳng định rằng

“ Nếu A là một ma trận vuông có các số hạng là dương thì : 1) Bán kính phổ r(A) của A là số dương

2) r(A) là giá trị riêng đơn của A

3) Nếu λ ≠r(A)là một giá trị riêng của A thì λ <r(A) 4) Vectơ riêng v của A ứng với giá trị riêng r(A) có các toạ độ dương 5) v là vectơ riêng dương duy nhất của A ( chính xác tới một thừa số )

- Định lí Jentseh, được chứng minh năm 1912, mở rộng các kết quả trên cho

Mục tiêu của luận văn là giới thiệu định lí Krien – Rutman ban đầu với phép chứng minh dựa vào phương pháp hệ động lực và một vài mở rộng của định lí này, trong đó có kết quả mới tìm ra gần đây

Luận văn có 3 chương : Chương1 Trình bày định lý Krein – Rutman bằng phương pháp hệ động học

Chương2 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ u0 – dương

Chương3 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ thuần nhất dương

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê Xuân Trường, Khoa Toán Thống Kê - Đại học Kinh tế TP.HCM Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư Phạm TP.HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý báu của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học

Tôi kính gởi đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, Bộ môn Toán Giải tích và Phòng Sau Đại Học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, những lời cám

ơn chân thành và trân trọng

Tôi kính gởi đến Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành công đoàn trường, tổ Toán

- Tin trường THPT Nguyễn Huệ - Lagi - Bình Thuận, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của một học viên, những lời cảm ơn sâu sắc và trân trọng

Tôi thành thật cảm ơn các Anh chị đồng nghiệp và người thân của tôi đã giúp

đỡ tôi về mọi mặt Cảm ơn gia đình đã luôn là nguồn động viên to lớn cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện luận văn này

Thành ph ố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012

Thái Nguyên Khang

C hương 1 ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO

ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón

Định nghĩa 1.1.1

Cho X là không gian Banach trên trường số thực 

a) Tập K X⊂ được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau:

H1 : K là tập đóng, K ≠∅ ,

H2 : K K+ ⊂K ,λ ⊂K K ,∀λ ≥ 0,

H3 : K( K) { }.− = θb) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:

x y≤ ⇔ − ∈ y x KMỗi x K∈ \{ }θ gọi là dương

Ví dụ

i) K=[0,+ ∞ là nón trong  )

ii) K={(x , x ): x1 2 1 ≥0, x2 ≥0} là nón trong  2

Mệnh đề 1.1.1

Giả sử “ ≤ ” là thứ tự sinh bởi nón Khi đó:

a) Nếu x y ≤ thì x z y z, x+ ≤ + λ ≤ λy ,với mọi z X,∈ với mọi λ ≥ 0

b) Nếu xn≤ yn với mọi *

Cho K là nón chuẩn trong X Khi đó:

a) Nếu u ≤ v thì đoạn u,v : {x X : u x v}〈 〉 = ∈ ≤ ≤ bị chặn theo chuẩn

b) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , với mọi *

c) Giả sử { }xn tăng và lim xk nk a

a) Nón các hàm không âm trong C(K), LP là nón sinh

b) Nếu nón K có điểm trong u0 thì ta có tồn tại r >0 sao cho :

Mệnh đề 1.1.4

Nếu K là nón sinh thì tồn tại M 0 > sao cho với mọi x X∈ , tồn tại u,v K :∈

x u= −v, u ≤M x , v   ≤M x 

Do định lí Baire nên tồn tại n0, G mở, G ≠ ∅ sao cho n C0 ⊃ G

Do C lồi , đối xứng nên C 1 C 1C

iii) Với mọi x ≠ θ , ta có r x r

x ∈K \{ }θ , và trong trường hợp xo∈∂ thì K tồn tại * *

x ∈K \{ }θ sao cho *

o

x (x )= 0

1.2 Ánh xạ tuyến tính dương và sự tồn tại vectơ riêng dương

1.2.1 Giá t rị riêng và vectơ riêng

Cho X là một không gian vectơ và : Xϕ → là một toán tử tuyến tính Số λ được Xgọi là giá trị riêng của ϕ nếu tồn tại x X∈ , x ≠ θ sao cho (x)ϕ = λx.Vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ϕ

• Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng

• Với mọi vectơ riêng x của ϕ, V=< > là một không gian con bất x

biến một chiều của ϕ

ii) Tập (A)σ =  \ (A)ρ gọi là phổ của A

Như vậy : λ ∈σ(A)⇔ A− λ I không đơn ánh hoặc A− λ không toàn ánh INếu A− λ I không đơn ánh thì số λ gọi là giá trị riêng của A

Khi đó : ker(A− λ I) gọi là không gian riêng của A

Mỗi x ker(A∈ − λI)\{ }θ hay (Ax = λx, x≠ θ ) gọi là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ

iii) Số r(A)=sup{λ λ ∈σ: (A)} gọi là bán kính phổ của A, với A là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X

1) 0∈σ(A) 2) Mỗi λ ∈σ(A) \ 0{ }là một giá trị riêng

3) Chỉ xảy ra một trong cá khả năng sau :

- hoặc σ(A)={ }0

- hoặc (A)σ \{ }0 hữu hạn

- hoặc là một dãy tiến về 0

1.2.3 Ánh xạ tuyến tính dương

Định nghĩa

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K

a) Một ánh xạ tuyến tính A : X→ X gọi là dương nếu với mọi x ≥ θthì A(x)≥ θ hay A(K) K⊂

b) Nếu A tuyến tính, dương thì A tăng (x≤ ⇒y A(x)≤A(y))

1.2.4 Sự tồn tại vectơ riêng dương

Định lí 1.2.4

Giả sử các điều kiện sau thoả

i) A: X→ X là ánh xạ tuyến tính dương, compact

n

A (x)

vA(x)

n

+

=

+

Lấy (x )k k ⊂ ∩ thì K B {A(x ) k } có dãy con hội tụ

Vậy {A (x ) có dãy con hội tụ hayn k } A compact, và do đó theo định lí Schauder n n

1.3 Định lí Krein – Rutman

Định nghĩa

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C, với int C ≠ ∅ , và

T: X→ là một toán tử tuyến tính T được gọi là dương mạnh đối với C nếu thoả Xmãn H : T C \4 ( { }θ ⊂) int C

Định nhĩa 1.3.1

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C, với int C ≠ ∅ , T: X→ Xtoán tử tuyến tính dương mạnh và S :∑+→ ∑+ cảm sinh bởi T trên ∑+ , trong đó

C +

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C, int C ≠ ∅ và cho

T : X→ X là toán tử tuyến tính compact và dương mạnh

Khi đó : i) Bán kính phổ (T)ρ của T là dương

ii) (T)ρ là một giá trị riêng đơn của T

iii) Nếu µ ≠ ρ(T)là giá trị riêng của T thì µ < ρ(T) iv) V ectơ riêng v tương ứng với (T)ρ , có thể lấy trong int C v) v là vectơ riêng duy nhất của T trong C, chính xác đến một thừa số

Chứng minh

Để chứng minh định lí này, ta cần hai bổ đề sau

Bổ đề 1.3.4

Cho u∈∑+ và (u)ω là tập ω −giới hạn của u tương ứng với hệ động lực

S :∑+ →∑+ được xác định bởi S(u) Tu

Từ những điều này, ta thấy rằng nếu i

+

−

α ε = − α ε ≠ θ

b) Từ (a) ta có dãy con µikvà một số µ > mà 0

k

i

µ ≥ µ Vì T compact, (e )i ibị chặn (do ei =1,i=1, 2, ) nên tồn tại dãy con { }ei k sao cho

k

k

i i

Đặt Γ = γ{ : vγ∈C}

Γ là tập khác rỗng vì v0= ∈ và Γ v C là tập đóng vì C đóng

Ta chứng minh Γ là tập mở hay với mọi σ∈Γ , tồn tại ε >0: B( , )σ ε ⊂ Γ

Thật vậy, lấy σ∈ Γ khi đó H4 đưa đến Sv int Cσ∈ và do đó từ (1.3) ta có

S +uσ∈int C và do đó tồn tại ε > thỏa 0 i K 1

S + uγ∈int C, với mọi γ∈ σ−ε σ+ ε ( , )

Từ (1.3) và H4 ta có vγ∈C, với mọi γ∈ σ−ε σ+ ε nên γ∈Γ( , ) Do đó

B( , )σ ε ⊂ Γ Vậy Γ là tập mở, mà Γ là tập đóng nên Γ = Điều này có nghĩa vγ và vγ+π = − vγ cả hai đều nằm trong C mâu thuẫn với H 3

λ = Ngoài ra v∈int C (do H ) 4

Giả sử w v, w 1≠ = là một vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng µ thực Khi đó, nếu ,α β là các số thực sao cho α + β ≠ , ta có 0

Thật vậy , giả sử trái lại không tồn tại ( , ): f ( , )α β α β ∈∂ , nên C với mọi 2

▫ Nếu µ > λ thì với điều kiện β ≠ , phương trình (1.4) kéo theo 0

Ta chứng minh w C∉ Giả sử w C∈ , khi đó chúng ta có thể giả sử w int C∈ , vì

w là một vectơ riêng của T Do đó có ,α β với α < 0 thoả vα + β ∈w int C Điều này và (1.6) một lần nữa dẫn đến mâu thuẫn với H4 Vậy w C∉ Lập luận tương tự cho thấy rằng bội đại số của λ là 1 và µ < λ cho bất kỳ giá trị riêng phức của T

C hương 2 ĐỊNH LÍ KRIEN – RUTMAN CHO

• A gọi là u0 − bị chặn trên (u0 −bị chặn dưới ) nếu :

r

u

hay 1

o 0

Định lí 2.2.3

Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K Giả sử :

i) K là nón sinh, ii) A : X → là ánh X xạ u0 − dương , liên tục có vectơ riêng dương x0, tương ứng với giá trị riêng λ0 Khi đó :

1) λ là 0 giá trị riêng đơn ( bội1) của A 2) x là 0 vectơ riêng dương duy nhất của A

3) Mọi giá trị riêng khác của A đều có môđun nhỏ hơn λ 0

=  thì số chiều của không gian conX0là bội của λ 0

Nếu A compact thì dim Xn < ∞,với mọi n và tồn tại n : 0

Theo giả thiết phản chứng thì x0−t yo 0∈K\{ }θ

Nên do tính u0 –dương của A ta có tồn tại số α > , 0 * p

0 0 0 0

p∈ : A (x −t y )≥ αx

0 p 0 0 0

p 0

α <λ ) suy ra p0

0 p 0 0

Vậy dim X1 = 1

Chứng minh rằng X2 = X1 (do đó Xn = X1, với mọi n )

x≠ θ: (A−λ I) (x)=θ, (A−λ I) (x)≠ θ

Vì A (x)−λ ∈0x X1 nên theo bước trên tồn tại t≠0 : A x−λ =0x tx0 (2.1)

Có thể coi t 0> ( nếu không, ta xét –x thay cho x )

Ta chứng minh x∉ − K

Điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của t 0

Vậy X2 = X1, do đó Xn = X1, với mọi n Như vậy ta có dim X0 =dim X1 = nên 1 λ 0

là giá trị riêng đơn ( bội1) của A

Chứng minh 2)

Giả sử trái lại tồn tại x1∈K\ { }θ : x1∉〈 〉x , Ax0 1 = λ 1x1

Do tính chất 1), ta có λ ≠ λ Coi 1 0 λ > λ (vai trò 1 0 λ λ1, 0như nhau )

A(K )⊂K Gọi A là ánh xạ A xét trên 0 X 0

Ta chứng minh X , K , A0 0 0thoả điều kiện Định lí 1.2.4 Thật vậy, ta có : A0tuyến tính dương ( do A tuyến tính dương),

0

A liên tục ( do A liên tục ) và dim A (X )0 0 < ∞ ⇒ A compact 0

Như vậy, tồn tại (x, y) ( , ) X X≠ θ θ ∈ × sao cho

Ta chứng minh T bị chặn

Giả sử T không bị chặn, khi đó tồn tại (a , b ) sao cho n n a xn +b yn +x0∈ và K

n n

Qua giới hạn trong (2.4) (với n=nk) ta được a x0 +b y0 ∈ ( dK o K đóng )

Điều này mâu thuẫn , vì ax by K,+ ∉ với mọi (a,b) (0,0)≠ Vậy T bị chặn

Chứng minh T là tập đóng

Thật vậy, (a , b )n n ∈T :(a , b )n n →(a, b) Do đó a xn +b yn +x0∈ và K

a →a , b → ⇒b ax+by+x0∈ K (do K đóng ) ⇒ (a,b) T∈ Vậy T đóng

Tóm lại T đóng và bị chặn nên T là tập compact

C hương 3 ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO

ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG

3.1 Ánh xạ thuần nhất dương và Bán kính phổ mở rộng

Cho X là không gian Banach thực với thứ tự sinh bởi nón P

a) Một ánh xạ T : X→ gọi là thuần nhất dương bậc 1 nếu X

T (tx) t T(x), t= ∀ > ∀ ∈ 0, x Xb) Một ánh xạ T : X→ tăng ( tăng ngặt) nếu x yX ≤ thì Tx Ty≤ ( nếu x y< thì Tx Ty< )

4) Một cặp ( ,x)λ là cặp riêng dương nếu và chỉ nếu 1

Chứng minh tương tự ta được r (T)* ≥ µ*(x)≥ c

Chỉ cần chứng minh rằng : với mọi c< λ0, tồn tại xc∈P: Tx c ≥cxc (3.1)

Theo tính chất bất biến đồng luân của bậc Leray – Schauder ta có:

i (I (− λ − ε) (T− −u), P∩B ( )θ =i (I, P∩B ( ))θ = , t1 rong đó i là chỉ số Leray P

Schauder đối với nón P Khi đó tồn tại xε∈ ∩P B ( )1 θ thoả mãn

do điều kiện T tăng và thuần nhất dương bậc 1 Theo định lí mở rộng của phiếm

x ∈  với P x* = , và 1 c= 〈x , Tu* 〉 > 0Khi đó ta có : x ( )ε µ ≥ 〈x , x ( )* ε µ 〉 ≥ 〈x ,* µε 〉 ≥ µε Tu c (3.5)

Hơn nữa, T là compact nên tồn tại M > 0 sao cho Tx ≤M x (3.6)

Cố định ε > 0 bất kỳ, do thành phần C+

ε không bị chặn nên hoặc µ hoặc x ( )ε µ là không bị chặn Do đó tồn tại µ sao cho xε ε = , trong đó x : x ( )1 ε = ε µε Từ (3.4)

ta có : 1= xε = µε T(x (ε µ + εε) u) ≤ µεM xε + ε ≤ µu εM(1+ ε u ),

ta suy ra µ ≥ε M(1+ ε u ) tức là −1 µ ε bị chặn dưới bởi số lớn hơn 0

□ Trường hợp 1: dim X < ∞ Khi đó tồn tại dãy ε → sao cho n 0 xn → x0 với

Bằng cách lập luận tương tự được sử dụng trong đoạn trước đó cho phần còn lại , chúng ta có thể chứng minh rằng tồn tại (x ,o µ 0) với x0 = , 1 x0∈ và P λ ≥0 r (T)*

thoả mãn Tx0 = λ0x0 Vì λ0là một giá trị riêng dương với vectơ riêng dương, áp dụng tính chất 4) ta được λ ≤0 r (T)* Vậy λ =0 r (T)*

3.2 Mở rộng của khái niệm dương mạnh

1)Thật vậy,: Với t 0≥ đủ nhỏ, giả sử trái lại u tv P+ ∉ ⇒ u tv X \ P+ ∈ Khi đó

t→ ta được u X \ P0 ∈ Điều này mâu thuẫn

2) Thật vậy, Với t 0> , giả sử trái lại u tv P+ ∈ suy ra 1u v P

x ∈P Do các định lí mở rộng của các phiếm hàm dương (Hahn- Banach), ta được Tyε ≥(r (T)* − ε)yε

2 Mặt khác , bởi lý do tương tự , ta có xε∈int P sao cho *

Cho T=(t )i j n n× là ma trận không âm Khi đó xét như một toán tử tuyến tính không

âm , T là bán d ương mạnh khi và chỉ khi ma trận bất khả quy

X⊂  , khi đó

X là bất biến theo T Ta chọn x P \ int PP ∈  ,với XI = , X với mọi

Ngược lại, nếu T không phải là bán dương mạnh, tức là tồn tại x P \ int P∈  , sao cho

Chứng minh :

1 Ta chứng minh *

(x)

µ = +∞, với mọi x P \ int P∈ 

Thật vậy, theo định nghĩa ánh xạ bán dương mạnh ta có : tồn tại * *

3 Theo định lí 3.1.4 ta có tồn tại cặp riêng dương (λ0, x )0 và theo tính chất 4) ta

4 Bây giờ chúng ta chứng minh bội hình học của λ là 1 0

Giả sử rằng tồn tại x1∈Xthoả mãn Tx1 = λ0x1 nhưng x1 ≠x0 Trước tiên ta giả sử

0

0 x 1 1

x > −δ (x )x Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của δx0(x )1

Tiếp theo, chúng ta giả sử x1∈ P, bởi cùng một cách thức , một lần nữa có thể chứng tỏ x1 =t x0 Vậy bội hình học của λ là 1 0

5 Cuối cùng cho ( ,x)λ là một cặp riêng , ta muốn chứng tỏ λ ≤ λ Vì 0 x0∈int Pnên ta có

c x , d x > sao cho c(x)e Tx d(x)e0 ≤ ≤

Ví dụ : Ánh xạ dương mạnh là e – dương, với mọi e int P∈