Tính chất thu hẹp iđêan đối với nửa nhóm lũy đẳng luận văn thạc sĩ toán học

Năm 2004, trong công trình “The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property” của cùng nhóm tác giả trên đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 68, họ tiếp tục kh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỒNG THANH TRIẾT

TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 12 2011

MỞ ĐẦU

Tính chất mở rộng iđêan đối với các nửa nhóm đã được đề xuất nghiêncứu vào những năm cuối của thế kỷ hai mươi bởi J I Giacia (1991),

K D Aucoin (1999) và vào đầu thế kỷ hai mươi mốt bởi X Guo (2001)

Một vấn đề tự nhiên nảy sinh là xét tính chất thu hẹp iđêan của các nửanhóm Năm 2003, K D Aucoin, J A Dumesnil và L A Hildebrant đã khảo

sát vấn đề này trong bài báo “Semigroups with the ideal retraction property”

đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2003 Năm 2004, trong công

trình “The structure of commutative semigroups with the ideal retraction

property” của cùng nhóm tác giả trên đăng trên tạp chí Semigroup Forum số

68, họ tiếp tục khảo sát các nửa nhóm giao hoán có tính chất thu hẹp iđêan.

Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo

“The ideal retraction property for idempotent semigroups” của hai tác giả

M.E Adams và Mathew Gould, đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 74

năm 2007, nhằm tìm hiểu các nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan,

đó là lớp nửa nhóm mà mỗi phần tử của nó là lũy đẳng

Ngoài ra, dựa trên bài báo “Sequentially injective hull of acts over

idempotent semigroups” của hai tác giả M Mahmoudi và Gh Moghaddasi

Angizan, đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 74 năm 2007, chúng tôi tìm

hiểu cách xây dựng bao nội xạ liên tục của các tác động trên các nửa nhóm lũyđẳng

Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả nói trên của

M E Adams, Mathew Gould trong [4] và M Mahmoudi, Gh MoghaddasiAngizan trong [11]

Luận văn gồm có ba chương:

Chương 1 Nửa nhóm lũy đẳng

1.1. Nửa dàn các lũy đẳng Băng các nửa nhóm

1.2 Băng các nhóm

Chương 2 Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan

2.1. Nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan

2.2. Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan

Chương 3 Bao nội xạ liên tục của các tác động trên nửa nhóm lũy đẳng

3.1. S – tác động Tiêu chuẩn đầy đủ Cauchy

3.2 Bao nội xạ liên tục của các tác động trên nửa nhóm lũy đẳng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc tới PGS TS Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quantâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giảtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoasau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa Toán Trường Đại học Vinh Tác giảxin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa Toán – Ứngdụng Trường Đại học Sài Gòn

Tác giả xin được cám ơn PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS NguyễnThành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quý thầy, cô đã và đangcông tác tại Khoa Toán Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và trong suốt quá trình viết, chỉnh sửaluận văn này

Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, các bạntrong lớp Cao học 17 Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Vinh đã cộngtác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi hạn chế,thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng củaQuý thầy, cô và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG

1.1 Nửa dàn các lũy đẳng Băng các nửa nhóm

Cho S là một nửa nhóm Phần tử e S∈ được gọi là phần tử lũy đẳng (idempotent) của S nếu e2 =e

Tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng của nửa nhóm S được ký hiệu là

( ),

E S E hay đơn giản là S E nếu không sợ nhầm lẫn

Một quan hệ hai ngôi “≤“ trên tập X được gọi là một quan hệ thứ tự bộ

phận (partical order) nếu nó có các tính chất phản xạ (a a≤ với mọi a X∈ ),

phản xứng (nếu , a b X∈ , a b≤ và b a≤ kéo theo a b= ) và bắc cầu (nếu

Lấy , ,e f g thuộc S sao cho e f≤ và f ≤g. Thế thì ef = fe e= và

fg gf= = f Khi đó, eg=( )ef g e fg= ( )=ef =e, ge g fe= ( ) ( )= gf e= fe e= Suy ra e g≤ . Do đó quan hệ ”≤“ có tính bắc cầu.

Vậy “≤“ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp E

1.1.2. Định nghĩa Giả sử “≤“ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên ;X Y làmột tập hợp con của X

i) Phần tử b X∈ được gọi là cận trên của tập hợp Y nếu y b≤ với mọi

;

y Y∈

ii) Cận trên b của tập hợp Y được gọi là cận trên bé nhất của Y nếu

b c≤ với mọi cận trên c của Y Cận trên bé nhất của Y còn được gọi là hợp

của ;Y

iii) Phần tử a X∈ được gọi là cận dưới của tập hợp Y nếu a y≤ với

mọi y Y∈ ;

iv) Cận dưới a của tập hợp Y được gọi là cận dưới lớn nhất của Y nếu

d a≤ với mọi cận dưới d của Y Cận dưới lớn nhất của Y còn được gọi là giao của ; Y

v) Tập hợp sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn dưới [t.ư nửa

dàn trên] nếu mỗi tập hợp con gồm hai phần tử của X đều có giao [t.ư hợp]

trong X Nếu , a b X∈ thì giao của { , }a b được ký hiệu là a b∧ (hoặc a b∩

); hợp của { , }a b được ký hiệu là a b∨ (hoặc a b∪ );

vi) Một dàn (lattice) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận đồng thời là nửa

dàn trên và nửa dàn dưới;

vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ (complete lattice) nếu mỗi tập hợp con của X có một hợp và một giao.

Nhận xét: Dễ thấy rằng nếu Y có một giao [t.ư hợp] trong Y thì giao[t.ư hợp] đó là duy nhất.

1.1.3 Ví dụ

i) Giả sử X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S có bổ

sung thêm tập hợp rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ baohàm của Lý thuyết tập hợp

Vì giao của một họ tùy ý các nửa nhóm con của S hoặc là tập rỗng hoặc

là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ

Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo Lý thuyết tập hợp củacác nửa nhóm con thuộc ;Y hợp của Y là nửa nhóm con sinh bởi hợp theo Lý

thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y

Tất cả các lý luận vẫn có hiệu lực nếu ta thay thế cụm từ “nửa nhóm con

của nửa nhóm S ” bởi cụm từ “tương đẳng trên S ”.

ii) Tập hợp tất cả các iđêan trái [t.ư phải, hai phía] của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập hợp rỗng với quan hệ bao hàm, đóng với phép hợp cũng nhưphép giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con củanửa nhóm S

1.1.4. Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng (band) nếu mỗi phần

tử của S đều là phần tử lũy đẳng.

Giả sử S là một băng Khi đó S E= và S được sắp thứ tự với quan hệ thứ tự tự nhiên: a b≤ ⇔ ab ba a= = , ∀a b S, ∈

1.1.5. Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao a b∧ của tập hợp { , } a b ⊆S trùng với tích ab của

chúng

Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép toán

ab a≤ Lý luận tương tự, ta có ab b≤ Do đó ab là một cận dưới của { , } a b Giả sử c là một cận dưới của { , }, a b nghĩa là c a≤ và c b≤ , tức

ca ac c= = và bc cb c= = Thế thì ( )ab c a bc= ( )=ac c= , và tương tự ta có

c ab = ca b cb c= = nên c ab≤ Do đó ab là cận dưới lớn nhất của { , } a b Vậy S là một nửa dàn dưới và a b∧ = ab với mọi , a b S∈ .

Đảo lại, giả sử ( , S ≤) là nửa dàn dưới Đặt ab a b= ∧ với mọi ,a b S∈ .

Lấy , ,a b c tùy ý thuộc S Đặt d a b e b c f= ∧ , = ∧ , = ∧a e và

g d c= ∧ Khi đó ta có e b e c f≤ , ≤ , ≤a f, ≤e. Thế thì f ≤c f, ≤a và,

nghĩa là phép nhân có tính kết hợp trên ,S tức S là một nửa nhóm.

Dễ thấy ab ba= với mọi ,a b S∈ nên phép nhân giao hoán trên S

Với mỗi a S∈ , ta có a a≤ và a a≤ , suy ra a là một cận dưới của a và

a Mặt khác, nếu có c S∈ sao cho c a≤ , c a≤ thì c a≤ Do đó a là cận dưới lớn nhất của a và a, nghĩa là a a a= ∧ . Từ đó ta có a2 =aa a a a= ∧ = , nghĩa

là a E S∈ ( ). Suy ra S E S= ( )

Vậy S là một băng giao hoán.

1.1.6. Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Đặt a b≤ nếu và chỉ nếu

ab =ba =b thì ( ,S ≤) là một nửa dàn trên Tuy nhiên, để cho thống nhất, từ

đây trở đi ta xét quan hệ “≤” được xác định như ở Bổ đề 1.1.1 Hơn nữa, từ

“nửa dàn” đồng nghĩa với từ “băng giao hoán” Như vậy, các nửa dàn sẽ đượcngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không chú thích gì thêm

1.1.7. Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý và S = ×X Y là tích Đềcáccủa X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

1 1 2 2 1 2( , )( , ) ( , )x y x y = x y với mọi x x1, 2∈X và y y1, 2∈Y

Khi đó, dễ thấy phép toán đã cho có tính kết hợp trong ,S nghĩa là S là

một nửa nhóm, và mỗi phần tử của S đều là phần tử lũy đẳng Vậy S là một

Các băng chữ nhật trên X Y× và 'X Y× ' đẳng cấu với nhau nếu và chỉnếu X = X' và Y = Y'

Nếu X = 1 [t.ư Y =1], thì băng chữ nhật trên X Y× đẳng cấu với nửanhóm zero phải [t.ư trái] trên Y [t.ư X ]

1.1.8. Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau Sα với α ∈I (I là một tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S phân tích được thành các nửa nhóm Sα với α ∈I, hay S là hợp

rời của các nửa nhóm Sα, α ∈I Khi đó ta ký hiệu

1.1.9. Định nghĩa Giả sử S = ∪• {Sα /α∈I} là sự phân tích của nửa nhóm S

sao cho với mọi α và β thuộc ,I tồn tại γ ∈I để Sα Sβ ⊆ Sγ Khi đó I trở thành một băng nếu trong I xác định phép toán

αβ γ= khi và chỉ khi Sα Sβ ⊆ Sγ

Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα và viết

S = Sα α∈I

Ánh xạ : Sϕ → I được xác định bởi ( )ϕ a =α nếu a S∈ α, là một toàn

cấu và các nửa nhóm con Sα là các lớp tương đẳng Ker( )ϕ cho bởi

( , )a b ∈Ker( )ϕ nếu và chỉ nếu ( )ϕ a =ϕ( ).b

Đảo lại, nếu : Sϕ → I là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng

I thì Sα =ϕ α−1( ) với α ∈I, là một nửa nhóm con của ,S và S là hợp của băng I các nửa nhóm con Sα, α ∈I

1.1.10. Chú ý Năm 1995, J M Howie đã chứng minh được rằng: Nếu B là

một băng thì có một tương đẳng duy nhất θ sao cho Bθ là một nửa dàn và

1.2.1 Nhóm con tối đại của nửa nhóm

Giả sử S là một nửa nhóm và E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của S

Với mỗi e E∈ , tập hợp con

eSe= eae a S∈

là một vị nhóm con của S và e là đơn vị của vị nhóm con này.

Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch trong eSe lập thành một nhóm con của S và được ký hiệu bởi H Hiển nhiên e là đơn vị duy nhất của nhóm e.con H e

Một nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là một nhóm con tối đại của

S nếu G không được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác của , S

nghĩa là nếu có 'G cũng là một nhóm con thực sự của S mà G⊆G' thì

'

G G=

Với mỗi e E∈ , ta có H là một nhón con tối đại của e S

Đảo lại, nếu G là một nhóm con tối đại của S với đơn vị của G là e thì

e ∈ E và G H= e. Hơn nữa, nếu e và f là hai phần tử khác nhau của E thì

ta có

H ∩H = ∅.

1.2.2 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngược

i) Giả sử S là một nửa nhóm và a S∈ Phần tử a được gọi là phần tử

chính quy của S nếu tồn tại phần tử x S∈ sao cho axa a= (khi đó, nếu đặt

e ax= và f =xa thì e và f là các phần tử lũy đẳng của nửa nhóm ). S

Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều

là phần tử chính quy (khi đó ( )E S ≠ ∅).

ii) Giả sử S là một nửa nhóm và , a b S∈ . Phần tử b được gọi là phần

tử ngược của a nếu aba a= và bab b= (khi đó, hiển nhiên phần tử a cũng là

phần tử ngược của b , và ta có thể nói rằng a và b là hai phần tử ngược nhau

trong nửa nhóm ).S

Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của S có duy nhất một phần tử ngược Phần tử ngược duy nhất của phần tử a S∈ được kýhiệu bởi a−1 Khi đó, nếu đặt e aa= −1 và f =a a−1 thì ,e f là các phần tử lũy

đẳng của S thỏa mãn ea af= =a và fa−1=a e a−1 = −1

Rõ ràng, nếu G là một nhóm thì G là nửa nhóm ngược và do đó G là

nửa nhóm chính quy

Kết quả sau đây được sử dụng rộng rãi trong Lý thuyết nửa nhóm (có thểxem [1]):

Giả sử S là một nửa nhóm Thế thì S là nửa nhóm ngược nếu và chỉ nếu

S là nửa nhóm chính quy và tập E các phần tử lũy đẳng của S là một băng giao hoán.

1.2.3. Chú ý Giả sử nửa nhóm S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con Sα với

trong đó L là quan hệ Green trên S được cho bởi: a L b ⇔ S a S b1 = 1 ;

e

L là L – lớp tương đương chứa phần tử e

Lý luận tương tự, ta có ea H∈ e

Do đó ea=( )ea e e ae= ( )=ae.

1.2.5. Bổ đề Mỗi lũy đẳng thuộc S đều nằm trong tâm của S

Chứng minh Giả sử g E∈ và a S∈ Thế thì tồn tại f ∈E sao cho a H∈ f.Đặt e= fg(=gf). Khi đó ta có

ef = gf f =g ff =gf =e và fe= f fg( ) ( )= ff g = fg e= ,

suy ra ef = fe e= . Do đó e≤ f, và theo Bổ đề 1.2.4, ta có ea ae= Từ đó ta

có ga gfa ea ae afg ag= = = = = .

Vậy g thuộc tâm của S

Bây giờ giả sử Y là một nửa dàn đẳng cấu với E và α a eα là ánh xạ

đẳng cấu từ Y lên E Thế thì e eα β =eαβ =eβα =e eβ α , và eα ≤eβ khi và chỉ

khi α β≤ trong Y Ta sẽ viết Gα thay cho H e ,

α các phần tử của Gα sẽ được

ký hiệu bởi a bα, α, Như vậy G Gα β ⊆Gαβ

1.2.6. Bổ đề Nếu β α≤ thì ánh xạ ϕβα: Gα → Gβ cho bởi

ϕ = (ánh xạ đồng nhất của Gα).

Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.4, ϕαβ ánh xạ Gα vào Gβ.

Như vậy, ϕαβ là một đồng cấu

Nếu γ β α≤ ≤ thì với mỗi aα∈Gα, ta có

, Y

α β ∈ sao cho β α≤ , ta lấy một đồng cấu ϕαβ : Gα → Gβ sao cho nếu

γ β α≤ ≤ thì ϕ ϕγβ o = αβ ϕγα (1.1)

Giả sử ϕαα là đẳng cấu đồng nhất của Gα; S là hợp của tất cả các nhóm

Gα (α ∈Y) và ta định nghĩa tích hai phần tử bất kỳ a bα, β thuộc S (aα ∈Gα

và bβ ∈Gβ) bởi a bα β =ϕγα( )aα ϕγβ( ),bβ (1.2)

trong đó γ là tích αβ của α và β trong nửa dàn Y

Thế thì S là một nửa nhóm và là hợp của các nhóm, trong đó các phần tử lũy đẳng giao hoán với nhau hay tương đương với điều đó: S là nửa nhóm ngược và là hợp của các nhóm.

Đảo lại, mỗi nửa nhóm loại này có thể được xây dựng theo phương pháp trên.

Chứng minh Phần đảo của Định lý này đã được chứng minh do Bổ đề 1.2.6 và

Do đó ( ) ( ) ,a bc = ab c nghĩa là phép nhân có tính kết hợp trong S

Giả sử ,e eα β ∈E. Từ (1.2), ta có

e eα β =ϕαβα eα ϕαββ eβ =e eαβ αβ =eαβ và e eα β =eαβ =eβα =e eβ α.

Do đó các lũy đẳng của S giao hoán được với nhau.

Vậy S là một nửa nhóm với các lũy đẳng giao hoán được với nhau và S

là hợp của các nhóm

Nửa nhóm (ngược) là dàn của các nhóm có nhiều đặc trưng đáng quantâm Sau đây là một trong các đặc trưng đó (xem [1], trang 222)

1.2.9.Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó, S là một nửa dàn các

nhóm tương đương với hai trong ba điều kiện sau

i) S là hợp các nhóm;

ii) S là một nửa nhóm ngược;

iii) Mỗi iđêan một phía của S là một iđêan hai phía.

CHƯƠNG 2

TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI

CÁC NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG

2.1 Nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan

2.1.1. Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất thu hẹp iđêan

(ideal retraction property) nếu S không đơn và nếu I là một iđêan của S thì tồn tại một thu hẹp đồng cấu : Sϕ →I (nghĩa là : Sϕ → I là một đồng cấu

và ϕ thu hẹp trên I là ánh xạ đồng nhất của I : ϕ =I id I ).

thì S là một nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan

Thật vậy, với mỗi a E∈ , với mỗi s S∈ , ta có:

as a= (vì a E∈ ), do đó as E∈ ,và

Ta chứng minh ϕ là đồng cấu Thật vậy, lấy ,a b tùy ý thuộc S

Nếu a I E∈ ∩ thì a I∈ và a E∈ , suy ra ( )ϕ a =a và ab a= Khi đó

( ) ( )a b a b( ) a

ϕ ϕ = ϕ = (do a E∈ ) và ( )ϕ ab =ϕ( )a =a.

Do đó ( )ϕ ab =ϕ ϕ( ) ( )a b

Nếu a I E∉ ∩ . Xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu a E∈ và a I∉ thì ab a= và ( )ϕ a =e. Khi đó

Tóm lại, ta luôn có ( )ϕ ab =ϕ ϕ( ) ( )a b ∀a b S, ∈ , tức ϕ là một đồng cấu.

Dễ thấy ϕ =I id I .

Vậy S có tính chất thu hẹp iđêan.

b) Ví dụ 2 Giả sử S = {1, 2, 3} Ta xác định phép toán “ “ trên S như sau:

. 1 2 31

23

Thật vậy, vì phép nhân trên S có tính kết hợp nên S là một nửa nhóm.

Dễ thấy I = {1, 2} là một iđêan của S nên S không đơn.

Giả sử S có tính chất thu hẹp iđêan Khi đó, với iđêan I = {1, 2} của ,Stồn tại một thu hẹp đồng cấu :ϕ S →I. Thế thì (3)ϕ ∈I Xảy ra các trườnghợp sau

Trường hợp 1: Nếu (3) 1ϕ = thì (3 3)ϕ =ϕ(2) 2 1 1.1= ≠ = =ϕ ϕ(3) (3);

Trường hợp 2: Nếu (3) 2ϕ = thì (3 3)ϕ =ϕ(2) 2 1 2 2= ≠ = =ϕ ϕ(3) (3).

Cả hai trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn với ϕ là đồng cấu.

Vậy S là nửa nhóm không có tính chất thu hẹp iđêan.

2.1.3. Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm rút gọn yếu (weakly

reductive) nếu

(∀a b S ax bx, ∈ : = và xa xb= với mọi x S∈ ) ⇒ a b=

2.1.4. Mệnh đề Nửa nhóm chính quy là nửa nhóm rút gọn yếu.

Chứng minh Giả sử S là nửa nhóm chính quy và , a b S∈ thỏa mãn

Vậy S là nửa nhóm rút gọn yếu.

2.1.5. Hệ quả Mỗi băng là một nửa nhóm rút gọn yếu.

Chứng minh Giả sử S là một băng Khi đó S là một nửa nhóm chính quy.

Theo Mệnh đề 2.1.4, ta có S là nửa nhóm rút gọn yếu.

2.1.6. Định lý Giả sử S là một nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan và

: S T

Φ → là một đồng cấu từ S lên nửa nhóm , T I là một iđêan rút gọn yếu

của T Thế thì tồn tại một thu hẹp đồng cấu : Tϕ → I sao cho

α ∃ϕ ,

trong đó α:S →Φ−1( )I là một thu hẹp đồng cấu.

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh: nếu , u v S∈ sao cho ( )Φ u =Φ( ),v thì

Ta chứng minh tồn tại một thu hẹp đồng cấu : Tϕ →I sao cho

Theo lập luận trên, ta có ϕ là một ánh xạ.

Lấy ,a b bất kỳ thuộc T Vì Φ là toàn ánh nên có ,x y S∈ sao cho

( )x a

Φ = và ( )Φ y =b. Khi đó ta có

1( ), ( )x y ( )I

2.1.7 Định nghĩa

i) Giả sử ( , )C ≤ là một tập sắp thứ tự bộ phận Khi đó C được gọi là

một chuỗi (chain) nếu “ ≤ “ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên C (nghĩa là

với mọi ,x y thuộc , C ta có hoặc x y≤ hoặc y x≤ ).

ii) Giả sử S là một nửa dàn Khi đó S được gọi là một cây (tree) nếu mỗi x thuộc , S iđêan chính sinh bởi x , ký hiệu là ( ], x là một chuỗi

2.1.8. Ký hiệu Giả sử S là một nửa dàn với quan hệ thứ tự bộ phận “≤“

ii) Với e và f thuộc , S ta sẽ sử dụng ký hiệu e f để chỉ e ≤ f và

f ≤e (nghĩa là e và f không so sánh được với nhau).

2.1.9 Nhận xét

i) Giả sử S là một nửa dàn Khi đó, theo định nghĩa và ký hiệu như trên, ta có S là một cây nếu với mỗi e S∈ thì e↓ là một chuỗi

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh e↓ là iđêan sinh bởi e ( e eS↓ = )

Nếu f ∈ ↓e thì f ≤e, nghĩa là ef = fe= f. Suy ra f = ∈ef eS.

Đảo lại, nếu f ∈eS thì có u S∈ sao cho f =eu. Khi đó

2

fe ef= =e eu =e u eu= = f nghĩa là f ≤e. Suy ra f ∈ ↓e

Vậy ↓ =e eS

Chú ý rằng, nếu I là một iđêan của nửa dàn S và e I∈ thì ↓ ⊆e I

ii) Giả sử S là một nửa dàn, : Sϕ → S là một đồng cấu Khi đó ϕ bảo

toàn thứ tự trên S

Thật vậy, giả sử , e f ∈S và e≤ f. Thế thì ef = fe e= . Khi đó

( )e ( )ef ( ) ( )e f

ϕ =ϕ =ϕ ϕ và ( )ϕ e =ϕ( )fe =ϕ( ) ( ).f ϕ e

Do đó ( )ϕ e ≤ϕ( ),f nghĩa là ϕ bảo toàn thứ tự trên S

2.1.10. Định lý Giả sử S là một nửa dàn có tính chất thu hẹp iđêan Thế thì S

là một cây.

Chứng minh Nếu S là một chuỗi thì “ ≤ “ là quan hệ thứ tự toàn phần trên ,Ssuy ra “ ≤ “ cũng là quan hệ thứ tự toàn phần trên e↓ với mọi e S∈ , nghĩa là

e

↓ là một chuỗi với mọi e S∈ Do đó S là một cây.

Xét trường hợp nếu S không phải là một chuỗi Bằng phương pháp phản chứng, giả sử S không phải là một cây Khi đó có phần tử g S∈ sao cho g↓

không phải là một chuỗi Điều này có nghĩa là tồn tại ,e f ∈ ↓ g sao cho e f.Đặt I e S= ∪ f S. Thế thì I là một iđêan của S , e và f thuộc I

Theo giả thiết, S có tính chất thu hẹp iđêan, nên tồn tại một thu hẹp đồng

cấu :ϕ S → I. Vì ,e f ∈ ↓ g nên e g≤ và f ≤g Suy ra e=ϕ( )e ≤ϕ( )g và

( ) ( )

f =ϕ f ≤ϕ g Mặt khác, vì ( )ϕ g ∈ =I e S∪ f S nên ta có ( )ϕ g ∈e S hoặc( )g f S,

Đặt S = {1, 2, 3, 4} Trên tập ,S ta xác định phép toán hai ngôi “ “

được cho bởi bảng nhân Cayley như sau

. 1 2 3 41

234

1 1 1 1

1 2 1 2

1 1 3 3

1 2 3 4

Khi đó S là nửa dàn nhưng không là một cây.

Thật vậy, phép nhân trên S có tính kết hợp nên S là một nửa nhóm Nửa

nhóm S là nửa nhóm giao hoán và S E S= ( ) nên S là một băng giao hoán.

Do đó S là nửa dàn.

Lấy 4 ∈ S Ta có

↓4 = {x S x∈ / ≤4} = {x S x∈ / 4 4= x x= } = {1, 2, 3, 4}

Ta có 2, 3 ∈ ↓4 và 2 3 = 3 2 = 1 ∉ {2, 3}, suy ra 2 ≤ 3 và 2≤3

Do đó ↓4 không phải là một chuỗi

Vậy S không phải là một cây.

Theo Định lý 2.1.10 thì S không có tính chất thu hẹp iđêan.

Nhận xét Ta có thể kiểm tra S không có tính chất thu hẹp iđêan bằng lý luận

như sau

Tất cả các iđêan của S là {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3} và S Từ đó ta có

nửa nhóm S không đơn.

Xét iđêan I = {1, 2, 3} của ,S và giả sử có thu hẹp đồng cấu :ϕ S → I

Vì (4) Iϕ ∈ nên xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: (4)ϕ = 1 Khi đó

ϕ(3 4) = ϕ(3) = 3 ≠ 1 = 3 1 = ϕ(3) ϕ(4);

Trường hợp 2: ϕ(4) = 2 Khi đó

ϕ(3 4) = ϕ(3) = 3 ≠ 1 = 3 2 = ϕ(3) ϕ(4);

Trường hợp 3: ϕ(4) = 3 Khi đó

ϕ(2 4) = ϕ(2) = 2 ≠ 1 = 2 3 = ϕ(2) ϕ(4).

Cả ba trường hợp đều mâu thuẫn với giả thiết ϕ là đồng cấu

Vậy S không có tính chất thu hẹp iđêan.

2.1.12. Mệnh đề Giả sử S là một nửa dàn hữu hạn Khi đó S có tính chất thu

hẹp iđêan nếu và chỉ nếu S là một cây.

Chứng minh Giả sử nửa dàn S có tính chất thu hẹp iđêan Khi đó, theo Định

lý 2.1.10 thì ta có S là một cây.

Đảo lại, giả sử S là một cây hữu hạn và I là một iđêan tùy ý của S

Nếu x S∈ thì x↓ là một chuỗi hữu hạn nên nó có duy nhất một phần tử

lớn nhất, suy ra tập hợp x I↓ ∩ cũng có duy nhất một phần tử lớn nhất Khi

đó quy tắc

ϕ → được xác định bởi ( ) max (ϕ x = ↓ ∩x I),∀ ∈x S

là một ánh xạ, và nếu x I∈ thì max (↓ ∩x I)= ,x nghĩa là ( )ϕ x = x với mọi

Ta chứng minh ϕ là đồng cấu Thật vậy, lấy x và y tùy ý thuộc S Vì

xy xS∈ = ↓ x và xy yx yS= ∈ = ↓ y nên xy x≤ và xy y≤ Theo chứng minhtrên thì ta có ( )ϕ xy ≤ϕ( )x và ( )ϕ xy ≤ϕ( ).y

Do đó ( )ϕ xy ≤ϕ( ) ( ).x ϕ y (2.1)

Mặt khác, ta có xy∈↓ x, ( )ϕ x ∈↓ x xy, ∈↓ y, ( )ϕ y ∈↓ y Xảy ra cáctrường hợp sau