Môđun đối đồng điều địa phương thỏa mãn tính chất về linh hóa tử luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI HỒNG PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI HỒNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI HỒNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2012

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

3

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian mêtric 3

1.2 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính – Chuẩn của ma trận 5

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Các khái niệm không gian vectơ, ma trận và định thức là những công cụ rấtquan trọng trong Đại số tuyến tính Bài toán cơ bản nhất của Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong Đại sốđại cương, Giải tích hàm, Hình học giải tích, Quy hoạch tuyến tính để giảicác bài toán về phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất,tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn đi qua ba điểm Đại

số tuyến tính cũng có nhiều ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, côngnghệ ) và khoa học xã hội (kinh tế, thống kê, quản lý ), vì các mô hình phituyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng môhình tuyến tính

Phương pháp số trong Đại số tuyến tính (hay còn gọi là phương pháptính đại số tuyến tính) là một bộ phận quan trọng của Toán học tính toán đãgóp phần hiệu quả để giải quyết các bài toán trong công nghệ, kỹ thuật, kinh

tế, xã hội Công cụ nghiên cứu của Phương pháp số trong Đại số tuyến tínhbao gồm nhiều yếu tố của Toán và Tin học, do đó nội dung của nó vượt ngoàiphạm vi bộ môn Giải tích số (Phương pháp tính)

Luận văn sẽ giới thiệu một số lời giải các bài toán về phương pháp sốtrong Đại số tuyến tính và được thực hành tính toán bởi các phần mềm Maple,Mathematica Đó là các bài toán cơ bản sau đây:

- Giải phương trình phi tuyến (Phương pháp chia đôi, phương phápNewton - Raphson, Newton – Cantorovic…)

- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss – Jordan

- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp chia ô

- Giải hệ phương trình tuyến tính 3 đường chéo

- Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp chia ô

- Phân rã ma trận

- Giải phương trình tuyến tính trong không gian Banach

Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS.Nguyễn Thành Quang - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ để tác giảhoàn thành luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lýthuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại họcVinh đã giảng dạy và hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tổ chức, tạo điều kiệnthuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu theo chươngtrình đào tạo sau đại học liên kết giữa hai trường đại học

Xin cảm ơn các thầy cô đồng nghiệp Trường THPT Long Trường, giađình, bạn hữu của tôi đã quan tâm giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừaqua

Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn,song chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chỉ bảocủa quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

Nghệ An, ngày 01 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Mai Hồng Phương

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian mêtric1.1.1 Định nghĩa. Cho không gian tuyến tính V trên trường F (F là trường

số thực  hoặc trường số phức ), ta gọi ánh xạ

Một không gian mêtric (M, ρ) được gọi là không gian mêtric đầy đủ,

nếu mỗi dãy Cauchy trong M là dãy hội tụ

Không gian tuyến tính định chuẩn ( , )V được gọi là không gian định

chuẩn đầy đủ hoặc không gian Banach, nếu với mêtric cảm sinh bởi chuẩn

Tập hợp M m n( )F các ma trận cấp m n trên F, là không gian tuyến tính trên

Ta thu được các kết quả sau đây:

1.1.2 Mệnh đề Mỗi không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoặc phức) hữu

hạn chiều F n đều là không gian đầy đủ.

1.1.3 Mệnh đề Không gian C a b0 ; các hàm thực liên tục trên đoạn a b;  với hàm khoảng cách xác định như sau là một không gian đầy đủ:

 , 

t a b

ρ(x, y) = max y(t) - x(t)



1.2 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính và ma trận

1.2.1 Định nghĩa Cho f là một ánh xạ từ không gian tuyến tính định chuẩn

U, U vào không gian tuyến tính định chuẩn V, V Ta nói f là ánh xạ

bị chặn, nếu tồn tại một số thực dương m sao cho:

f x m x  x U

Giả sử f là ánh xạ bị chặn, ta gọi số thực dương nhỏ nhất trong các số

m sao cho f x( )V m x U,  x U là chuẩn của ánh xạ f và được ký hiệu kí

hiệu là A q p Trường hợp riêng A q p ký hiệu lại là A và với p p 1,2,

chuẩn ma trận được tính theo công thức sau:

maxmax,

, ,

m ij j

i n ij i

trong đó  A= a ij m.n  là ma trận cấp m n và λ 1 là giá trị riêng lớn nhất của

ma trận A*A ( với A* là ma trận liên hợp của A)

Trong phần mềm math để tính chuẩn vectơ x p, với p 1,2, ta dùngcâu lệnh sau:

Plus@@ Abs [x]

Max [Abs[x]]

Sqrt [x.Conjugate[x]]

Lệnh sẵn có trong phần mềm math.:

Norm[x,p] cho chuẩn p của vectơ x (với 1 p  );

chuẩn vô cùng: Norm[x, ∞],

chuẩn 2 của x có thể dùng lệnh Norm[x].

Tính chuẩn ma trận A p với p 1,2,:

B = Transpose[A];Max[Table[plus@@Abs[B[[i]]],{i,1,length[B]}]]

Max[Table[plus@@Abs[A[[i]]],{i,1,length[A]}]]

Sqrt[Max[Re[Eigenvaluse[Conjugate[Transpoose[A]].A]]]]

Các lệnh có sẵn trong phần mềm math tương ứng là

Norm[A, 1], Norm[A, ∞], Norm[A]

(trường hợp A là ma trận chữ nhật thì Norm[A] là các trị số lớn nhất của các

trị số Singular của ma trận A)

Ví dụ Cho x 1 3  2 4,1 và ma trận

1 1 + i 1,2 A= 2 0 - 1 2i - 0,1 2,3

1.3 Ánh xạ co1.3.1 Định nghĩa Ánh xạ f từ không gian mêtric( , )M  vào chính nó được

gọi là ánh xạ co trên M và nếu tồn tại số thực  [0,1)sao cho

ρ f(x), f(y) αρ ; x, y M  

1.3.2 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co) Mỗi ánh xạ co f trên không gian mêtric đầy đủ ( , )M  tồn tại duy nhất điểm bất động (tức là tồn tại duy nhất điểm  thuộc M sao cho f( ) =  , vì vậy định lý này còn có tên nguyên lý điểm bất động).

Chứng minh Trước hết ta thấy ánh xạ co là ánh xạ liên tục, vì khi cố định y

thuộc M , cho x dần tới y, từ bất đẳng thức

Điều đó chứng tỏ dãy  x là dãy Cauchy và vì không gian đã cho là n

không gian đầy đủ, nên tồn tại sao cho lim xn

( ( ), )f ( ( ), ( ))f f ( , ) ( , )

            

Do đó  f( ) , tức là  là điểm bất động duy nhất của f ▄

1.4 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co1.4.1 Định lý. Cho F u là hàm thực một biến, liên tục, không giảm trên 

đoạn 0,2r ; phương trình  F u  u có nghiệm duy nhất là u 0 và

Dãy  u không tăng và bị chặn dưới bởi 0, nên có giới hạn là số n u nào

đó thỏa mãn F u  u Vậy u 0 và do đó nlim ρ(x , x )= 0 (m > n)m n

Điều đó chứng tỏ  x là dãy Cauchy, nghĩa là phương trình n f x  x

có nghiệm là nào đó, chuyển m ra vô hạn ta có ρ(ξ, x ) u n  n

Nếu x' là nghiệm nào đó của phương trình f x  x, thì

1.4.2 Hệ quả. Cho hình cầu đóng S tâm tại x , bán kính 0 r trong không gian

mêtric đầy (M, ρ) và hàm thực liên tục F u , không giảm trên   0,2r ,

F r  r , phương trình F u  u có nghiệm duy nhất là u 0 Khi đó: 1) Nếu ánh xạ f S:  S thỏa mãn

0 ρ(f(x), x ) r - F(r) và ρ(f(x), f(y)) F(ρ(x, y)), 

thì phương trình f x  x có nghiệm duy nhất, là giới hạn của dãy lặp đơn với tốc độ hội tụ ρ(x , ξ) u n  n với u0 2 ,r u n1 F u n ;

F u u u có nghiệm duy nhất là 0; Ánh xạ f S: 2  S thỏa mãn

ρ(f(x, y), f(x', y') ) F(ρ(x,x'), ρ(y, y') )  Khi đó phương trình xf x x ,  có nghiệm duy nhất, là giới hạn của dãy lặp

 x : n x tùy ý 0 x n f x x n, n1 và có tốc độ hội tụ ρ(x , x) u n  n với u0 2r

và u là nghiệm lớn nhất của phương trình n u F u u  , n 1.

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 Phương pháp chia đôi

Để giải phương trình một ẩn f x  , bằng khảo sát hàm số và vẽ đồ  0thị, ta tìm được khoảng tách nghiệm, đó là đoạn a b mà trên đó ,  f x liên 

tục, biến thiên đơn điệu và f a f b  khi đó khoảng     0 a b phương trình, 

f x  có nghiệm duy nhất Tiếp theo là giải tìm nghiệm trên khoảng đó

với độ chính xác theo yêu cầu

Đơn giản nhất ta có nghiệm x x 0 x0 , trong đó 0

Rõ ràng là nếu f x  , thì  0 0 x là nghiệm đúng của phương trình.0

Ngược lại, thì một trong hai đoạn a x, 0 , x b là khoảng tách nghiệm, ta ký0, 

hiệu là đoạn a b và có nghiệm 1, 1 x x 1 x1, trong đó

Tiếp tục quá trình đó đến bước k, hoặc ta có f x  và  k 0 x k là

nghiệm đúng cần tìm, hoặc có nghiệm gần đúng là x x k x k , trong đó

x ba

F  f  f ;  1 

T n

X  x  x như sau: giả sử nghiệm cần tìm là , nghiệmgần đúng có trước là X k Khai triển hàm F   theo Taylor đến cấp 1 tại

 

F X' k 1 từng bước là việc làm không đơn giản, nên nhiều khi người ta

dùng Công thức lặp Newton cải biên:

Các dòng lệnh trong Math lần lượt là: khai báo hàm vectơ ba chiều (ba

biến) f x y z ; dòng 2 là đạo hàm  , ,  f x y z và đặt tên là ' , ,  g x y z ; dòng , , 

3 là giá trị nghiệm gần đúng ban đầu (tự cho) và nghịch đảo của đạo hàm tạinghiệm gần đúng ban đầu; cuối cùng là lặp 5 lần tìm các nghiệm gần đúngtiếp theo bằng công thức lặp Newton cải biên

Trong Math cho ta nghiệm gần đúng giải bằng phương pháp Newton

nhờ lệnh đơn giản sau:

FindRoot[{f1[x1, x2, …, xn]} = 0],

f2[x1, x2, …, xn]=0,

… ,

Tuy nhiên khi ta cho nghiệm ban đầu  1 2 

T n

Newton-2.3.1 Định lý Cho hình cầu đóng S , tâm x 0 bán kính r trong không gian

Banach V ; hàm thực h u ,ua b b a r, ,    hai lần khả vi liên tục,

phương trình h u  có đúng một nghiệm trên   0 a b và ,  h b  ; hàm  0

:

f S  B có đạo hàm đến cấp 2, tồn tại A f x' 0  là ánh xạ tuyến tính1

liên tục trên S, A f x ( ) 0 c h a ( ),vớic [ '( )]h a  1

Chứng minh * Đặt F x = x - Af x ; H u = u + ch u Khi đó các phương       

trình f x  và   0 h u  tương đương với   0 x F x   và u H u   và cácphép lặp

 

-1 n+1 n 0 n

* Hàm H u không giảm, vì đạo hàm của nó là   H u'( )  F x'( )  0 Vì thếbằng quy nạp, ta chứng minh được dãy u , u ,…,u , không giảm và do đó nó 0 1 n

có giới hạn là v nào đó Vì tính liên tục của H , nên

n n n n

Vậy   ▄

2.3.2 Định lý Cho hình cầu đóng S , tâm x , bán kính 0 r trong không gian

Banach V ; Hàm thực h u u   a b b a r, ,    hai lần khả vi liên tục, phương trình h u  có đúng một nghiệm trên   0 a b và ,  h b  ; hàm  0

:

tục trên S, Af x( )0 ch a( ), với c [ '( )]h a 1

x x  u a r thì Af x''( ) ch u"( ).

Khi đó công thức lặp Newton-Cantorovich:

x n1 x n   f x'( ) ( ),n 1 f x n   n

hội tụ đến nghiệm duy nhất  của phương trình f x  và có đánh  0

giá   xn   v un , trong đó v là nghiệm của phương trình h u  và  0

u

Đặt q 1 ch u'( )1 ta sẽ chứng minh q 1 và áp dụng định lý Banach

về ánh xạ ngược (mỗi đơn ánh tuyến tính A bị chặn từ không gian Banach E

vào không gian Banach E' tồn tại ánh xạ tuyến tính ngược A 1 bị chặn) suy

ra tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A f’ x .   mà -1

Vì h '' 0 và h u ( ) 00 nên nghiệm v của phương trình h u ( ) 0

không lớn hơn điểm cực tiểu u’ của hàm h(u) (v u ') Suy ra u1 u' và

u

u

0 = h(u )- h(u )- h'(u )(u - u )= h''(u)(u - u )du Suy ra h’’ = 0,

với uu u0, 1 Dẫn tới h’ u = h’ u < 0 , mâu thuẫn. 1  0

0 1

0

1

0 1

x x

x

u

u u

1 1 1 1

1

1 1

ch u c h u c

Bây giờ lại thay x , u , c , A tương ứng bởi 1 1 1 1 x , u , c , A các giả thiết 2 2 2 2

của định lý (2.3.1) được thỏa mãn

Ta dễ dàng tính được nghiệm thập phân gần đúng với sai số tùy ý Chẳng hạn sai số đến 4 chữ số thập phân, ta dùng lệnh

Máy sẽ cho ra kết quả

Kết quả nghiệm gần đúng của phương trình là x = 0,7230

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

3.1 Phương pháp Gauss-Jordan3.1.1 Giải hệ phương trình AX B

Giả sử C = A B là ma trận mở rộng của hệ (0)   AX B (với

- c và cộng vào hàng k với k i1 Kết quả được C  1

-Bước 2: Tìm số lớn nhất theo môđun trong các số c ij (1), với

- c và cộng vào hàng k với k i2 Kết quả được C  2

-Tiếp tục đến bước r, khi mà n cột đầu của ma trận C r chỉ có r hàngkhác 0, ta sẽ suy ra kết quả cần tìm

Số lớn nhất theo mô đun của năm cột đầu của C (2) không kể đến hàng 1

và hàng 4 bằng 2,79052 (hàng 3 cột 5 ) Chia hàng 3 của C (2) cho 2,79052, rồinhân kết quả đó với 0,141264; 2, 23457; 0,682156 lần lượt cộng vào cáchàng 1; 2; 4 của C (2) ta được C (3)

Giải hệ trên trong phần mềm Maple

Vào các lệnh xác định các phương trình của hệ:

Với v hằng số tùy ý

3.1.2 Giải phương trình ma trận ô AX B

Với phương trình ma trận AX B, trong đó A là ma trận khả nghịch

thì có thể dùng lệnh trong Math: x = Inverse[A].B để giải, đối với hệ phương

trình đại số tuyến tính (m phương trình, n ẩn) ta có thể dùng lệnh

LinearSolve[A,B] để giải Tuy nhiên, trong thực tế kỹ thuật thường gặp cácphương trình ma trận AX B (mà A là ma trận vuông cấp rất cao; B là matrận chữ nhật, không nhất thiết là ma trận cột) Khi đó, có thể máy tính không

đủ bộ nhớ để giải theo các lệnh trên Trường hợp này ta phải chia ô, để đưabài toán đã cho về những bài toán có kích cỡ nhỏ hơn, máy tính mới có thểgiải được

Giả sử phương trình AX B có ma trận A vuông và khả nghịch; matrận mở rộng là C A B Ta chia ma trận C thành ma trận ô dạng:

Chọn cấp của ma trận C11 càng lớn càng tốt, nhưng phải chọn sao cho

nó phải là ma trận khả nghịch và không khó khăn tìm ma trận nghịch đảo

Lần lượt nhân vào phía trái của (*) các ma trận –C ,…, – C rồi cộng 21 k1

vào các băng thứ 2,…, thứ k của C ta được

(1) (1) (1)

12 1 1 1 (1) (1) (1) (1) 22 2 2 1

nếu chia ô sao cho ô 11

146 292

292 584

C  

C thành 3 băng từ trên xuống có 3, 2, 2 hàng Thực hiện biến đổi Gauss ta được

Dưới đây trình bày cách giải trong Mathematica Hệ n phương trình n

ẩn (với các hệ số lấy ngẫu nhiên gồm 6 chữ số có nghĩa trong khoảng từ -5đến 5) bằng phương pháp Gauss-Jordan mà ở bước thứ h ta chia hàng h cho

a[i_,j_,k]:=If[i!=k,a[i,j,k-1]-a[i,k,k-1]*a[k,k,k-1]^(-1)*a[k,j,k-1],a[k,k,k-1]^(-x[i_]:=a[i,n+1,n];Table[x[k],{k,1,n}]

Để chia ô ma trận mở rộng C = [A B], trong đó A, B là hai ma trận cókiểu là hm x hm, hm x n, ta dùng chương trình:

d[i_,j_,k]:=If [ i!=k,d[i,j,k-1]-d[i,k,k-1].Inverse[d[k,k,k-1]].d[k,j,k-1],

Inverse[d[k,k,k-1]].d[k,j,k-1]]

Print[“dap so:”,Partition[Flatten[Table[d[i,h+1,h],{i,1,h}]],n]]

Đáp số:{{78.5975, 78.7044, 105.358},{71.6352, 72.1384, 96.9811}, {-285.774, -287.396, -386.264},{141.434, 142.491, 191.66}}

Đối với ma trận A quá lớn thì cần tính từng hàng trong từng bước của

ma trận ô, lưu trữ trong các máy khác nhau của hệ thống nhưng có thể cùng

sử dụng dữ liệu chung để giải Trong trường hợp cấp của ma trận A khôngchia hết cho m thì việc chia ô phức tạp hơn

3.1.3 Giải hệ ba đường chéo

Ma trận ô A được gọi là ma trận gần 2k + 1 đường chéo, nếu các ô thứ

pq của A bằng 0 khi p > q + k +1 hoặc q > p + k +1; khi đó gọi hệ phươngtrình AX = B là hệ gần 2k + 1 đường chéo

Ta áp dụng phương pháp Gauss giải hệ gần 3 đường chéo AX = B, với

A, B cho ở dưới, trong đó ai, bi, ci, và di là các ma trận có kiểu phù hợp nhau