Tính dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương luận văn thạc sĩ toán học

Ta biết rằng trong phạm trù các môđun Noether, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của một môđun hữu hạn sinh M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun địa phương hó

MỞ ĐẦU

Địa phương hóa là một công cụ quan trọng trong Đại số giao hoán Ở

đó người ta luôn tìm cách quy vành về một vành địa phương Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh Ta biết

rằng trong phạm trù các môđun Noether, mối liên hệ giữa tập các iđêan

nguyên tố liên kết của một môđun hữu hạn sinh M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun địa phương hóa của M tại một iđêan nguyên tố p được

biểu thị bởi hệ thức sau:

Ass M Rp p={qRp:qAssR M,qp}.

Trong phạm trù các môđun Artin, người ta cũng muốn tìm một công thức tương tự như vậy cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết Tuy nhiên đến nay người ta vẫn chưa tìm được Ta biết rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêan cực đại luôn là Artin Năm 1975, R.Y Sharp đã nghiên cứu tính chất sau đây đối với môđun đối đồng điều địa phương ( )

chỉ ra rằng tính chất này không đúng trong trường hợp tổng quát nhưng đúng

trong trường hợp R là vành thương của vành Gorenstein Nói chung môđun

đối đồng điều địa phương i( )

Hm M luôn thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa yếu, nghĩa là

Trong bài báo [3], Trần Nguyên An đã nghiên cứu tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương i( )

Hm M để từ đó đưa

ra một số điều kiện để i ( )

Hm M thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả

trong bài báo [3] của Trần Nguyên An

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia

thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Tính chất dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kết quả trong bài báo [3] của Trần Nguyên An Cụ thể là chúng tôi sẽ trình bày những vấn

Nhân dịp này, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập

Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong

nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán sử dụng trong luận văn như: Địa phương hóa, giá của môđun, iđêan nguyên tố liên kết, chiều của vành và môđun, vành Gorenstein, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m - adic, môđun đối đồng điều địa phương, biễu diễn thứ cấp và tập các iđêan nguyên tố gắn kết, đối ngẫu Matlis

1.1 Địa phương hóa

1.1.1 Vành các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích Đề

các R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r s, r s, ,,   t S t rs:  ,sr,0 Khi

đó  là quan hệ tương đương trên R x S Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s là lớp tương đương chứa (r,s) và S -1 R là tập thương của R x S theo quan hệ tương

đương : S -1 R = {r/s | r R, s S}

Trên S -1

R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S -1 R trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan của vành S -1

R có dạng S -1 I = {a /s | a I, s S}, trong đó I là iđêan của R Ta có S -1

I = S -1 R    I S Do đó S -1 I là iđêan thực sự của S -1 R

khi và chỉ khi I   S

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S R p là một tập \

nhân đóng của vành R Vành S -1

R trong trường hợp này là vành địa phương,

ký hiệu là Rp, với iđêan cực đại duy nhất   1    

nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p

1.1.2 Môđun các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta có

vành các thương S -1

R Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:

m s,  m s, ,,   t S t ms:  ,sm,0 Khi đó  là quan hệ tương đương

trên M x S Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương đương  là S -1 M và ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) là m s/ Như vậy S -1 M = { m s/ | m M, s S}

1.2 Giá của môđun

1.2.1 Phổ của vành Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của

vành R Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.Với mỗi iđêan I của R , ta

Ta có Ann ( )R x và AnnR M (hoặc viết Ann ( )x và Ann M nếu không để ý đến

vành R) là những iđêan của vành R, Ann R M gọi là linh hóa tử của môđun M Hơn nữa nếu M là R -môđun hữu hạn sinh thì:

SuppM V(AnnR M) p SpecR AnnR M p

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết

1.3.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p của R

là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử xM, x 0sao cho:

 Ann ( )R x  a R ax/ 0 p

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M ( hoặc Ass M nếu không để ý đến vành R) Như vậy:

AssM p SpecR p Ann( )x víi x M

1.3.2 Tính chất (i) pAss (R M)khi và chỉ khi tồn tại môđun con Q của M,

0

Q sao cho Q R p/

(ii) Đặt = Ann ( )R x xM x, 0 Khi đó nếu p là phần tử tối đại trong

 theo quan hệ bao hàm thì pAss (R M).

(iii) R là vành Noether và M là R- môđun Khi đó, Ass M   M 0 Suy ra AssM  M0.

(iv) Cho M là R - môđun N là môđun con của M thì AssN AssM

(v) Cho M là R-môđun Khi đó: AssM SuppM.Nếu pSupp M và p tối

tiểu trong Supp M theo quan hệ bao hàm thì pAssM

(vi) Nếu M là R-môđun Noether thì tập Ass ( R M) hữu hạn

(vii).Cho p  Spec R thì AssR MpAssR M qSpec /R q Íp .

1.3.3 Bổ đề Giả sử 0MM M0 là một dãy khớp ngắn các môđun Khi đó

(i) AssMAssMAssMAssM;

(ii) SuppMSuppMSuppM

1.4 Chiều của vành và mụđun

1.4.1 Chiều Krull Cho R là vành giao hoỏn Một dóy giảm cỏc iđờan nguyờn

tố của R: p0  p1 p2   pn được gọi là một xớch nguyờn tố cú độ dài là n (i) Cho pSpec R Cận trờn của tất cả cỏc độ dài của cỏc xớch nguyờn tố

ht ( )p sup độ cao xích nguyên tố với p p .

(ii) Cận trờn của tất cả cỏc độ dài của cỏc xớch nguyờn tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR Ta cú

dimR sup ht ( )p p specR .

(iii) Cho M là R-mụđun Khi đú dim( /AnnR R M) được gọi là chiều Krull của mụđun M, ký hiệu là dim R M (hoặc dim M nếu ta khụng tập trung chỳ ý đến

vành R) Như vậy, dim R cú thể vụ hạn do ht ( )p cú thể vụ hạn và



dimM dim R Chỳ ý rằng dimM dimM, trong đú M là bao đầy đủ m –

adic của M

1.4.2 Chiều Noether Cho M là R-mụđun Chiều Noether của M, ký hiệu bởi

N – dim M, được định nghĩa như sau:

Khi M = 0 ta đặt N  dim M  1 Cho một số nguyờn d 0ta đặt

N dim M d nếu N dim M d là sai và với mỗi dóy tăng cỏc mụđun con M0M1 M2 của M, tồn tại một số tự nhiờn n sao cho 0

1

( n / n)

N dim M  M  d và với mọi n  n 0

Như vậy N  dim M 0 khi và chỉ khi M 0 và M là Noether

1.5 Vành Gorenstein

1.5.1 Định nghĩa Cho M là một R - môđun Chiều nội xạ của M là số

nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại một lời giải nội xạ

2: 0 n

của M mà I m 0 với mọi mn

Chiều nội xạ của R -môđun M được kí hiệu là inj.dim R M hoặc inj.dim M

1.5.2 Định nghĩa (i) Giả sử R là vành địa phương, Noether Khi đó R được

gọi là vành Gorenstein nếu inj.dim R R 

(ii) Nếu R là vành Noether không nhất thiết địa phương thì R được gọi là

vành Gorenstein nếu Rm là vành Gorenstein với mọi iđêan cực đại m

1.5.3 Mệnh đề Cho R là vành Noether Giả sử R là vành Gorenstein Khi

đó với mỗi tập nhân đóng S trong R , vành các thương R cũng là vành s Gorenstein

1.5.4 Hệ quả Cho R là vành Noether Khi đó nếu R là vành Gorenstein thì vành địa phương hóa Rp cũng là vành Gorenstein với mọi iđêan nguyên tố SpecR



1.5.5 Mệnh đề Giả sử R là vành Noether, x là một phần tử chính quy của vành R Nếu R là vành Gorenstein thì vành thương R/ x cũng là vành Gorenstein Điều ngược lại R m, cũng đúng khi R là vành địa phương

1.5.6 Mệnh đề Giả sử R m là vành địa phương, Noether Nếu ,  R là vành chính quy thì R là vành Gorenstein

1.6 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic

Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó chỉ có duy nhất một iđêan

tối đại

Cho R, m là một vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m Ta xét

R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý rR gồm các lớp ghép t

rm với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m - adic của R ký

hiệu bởi R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy

Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy (r n ) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n0 để SR \ p với mọi n m, n0

Dãy (r n ) được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự

nhiên n0 để r n  0 r n m với mọi t nn0

Hai dãy Cauchy  r n và  s n được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu

là    r n s n nếu dãy r n s n là dãy không Khi đó quan hệ  trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu  r n và  s n là các dãy Cauchy thì các dãy r n s n,

 r s n n cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy r n s n,

r s n n là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy  r n và  s n , tức là nếu    ,

r s r s Vì thế R được trang bị hai phép toán

hai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, R lập thành một vành Mỗi phần tử rR có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

các vành

 ,



trong đó  r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

1.7 Môđun đối đồng điều địa phương

1.7.1 Định nghĩa Giả thiết R là vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại

duy nhất của R và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d

(i) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A Grothendick Cho I là một iđêan của R Với mỗi R-môđun M, đặt

H và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I

Với mỗi R-môđun M, ta kí hiệu H M I i( ) là ‘ảnh’ của môđun M qua tác

động bởi hàm tử i

I

H Khi đó, H M I i( ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M với giá là I

(ii) Người ta gọi H I d(M) (với dimM = d) là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của môđun M

1.7.2 Định lý (i) Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó R-môđun

( )

i

Hm M là Artin với mọi số tự nhiên i

(ii) Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh, khác không, có chiều Krull dimM = d Khi đó, R-môđun H I d(M)là Artin

1.7.3 Hệ quả Cho pAssM với dim / R p= t Khi đó Hmt (M)0 và

Hm M  và AttR Hmd(M) p AssR M| dim( / )R p d

Môđun đối đồng điều địa phương cũng có thể được xây dựng là giới hạn trực tiếp của các môđun mở rộng Ext thông qua đối đồng điều của phức Cech, thông qua giới hạn trực tiếp của các môđun đồng điều phức Koszul (xem [6])

Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương cần

sử dụng cho các chứng minh ở chương sau

1.7.5 Định lý (Tính độc lập với vành cơ sở) Cho R’ là một R- đại số và M’

là một R’-môđun Khi đó ta có các đẳng cấu R-môđun:

1.7.6 Định lý (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho R’ là một R- đại số phẳng

và M là một R-môđun Khi đó ta có R’-đẳng cấu :

1.8 Biểu diễn thứ cấp và tập các iđêan nguyên tố gắn kết

Trong phần này ta nhắc lại khái niệm biễu diễn thứ cấp theo thuật ngữ

của I.G.Macdonald Ta luôn ký hiệu M là một R- môđun hữu hạn sinh và A là

một R- môđun Artin Một R- môđun S được gọi là thứ cấp nếu S0 và với mọi xR, phép nhân bởi x trên S hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh Trong

trường hợp này Rad (AnnR S)p là một iđêan nguyên tố và ta gọi S là p - thứ cấp Cho N là R- mô đun, Một biễu diễn thứ cấp của N là một sự phân tích

Dễ thấy rằng mọi biễu diễn thứ cấp của N đều có thể đưa về dạng tối

tiểu Khi đó tập hợp p p1, 2, ,p là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp n

tối tiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N, ký hiệu là

AttR N Các hạng tử S i, i1, ,n , được gọi là các thành phần thứ cấp của N

Nếu pilà tối tiểu trong AttR N thì S iđược gọi là thành phần thứ cấp cô lập Tương tự như tập các iđêan nguyên tố liên kết, ta có tính chất sau của tập iđêan nguyên tố gắn kết Giả sử 0N' N N''0là dãy khớp các R-

mô đun biễu diễn được Khi đó ta có AttR N''AttR NAttR N' Att N R ''

Bên cạnh đó ta cần một số kết quả dưới đây

1.8.1.Mệnh đề.Giả sử N là một R- môđun biễu diễn được Khi đó các điều

kiện sau là đúng

i) N 0 AttR N;

ii) Tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa Ann( ) N chính là tập các phần tử tối tiểu Att R N

1.8.2 Định lý Mọi môđun Artin đều biễu diễn được

Chú ý rằng R- môđun Artin M có cấu trúc tự nhiên như ˆR - môđun Với cấu trúc này, một môđun con của M xét như R-môđun nếu và chỉ nếu nó là

môđun con của M xét như ˆR -môđun Do đó M là ˆR - môđun Artin và ta có

mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết như sau

1.8.3 Bổ đề Att ( ) {ˆ | ˆ Att (ˆ )}

R

Định lý sau đây gọi là tính dịch chuyển địa phương hóa tổng quát yếu

1.8.4 Định lý Cho pSuppM sao cho dim R/ p = t Giả sử i ≥ 0 là một số

Hệ quả sau của định lý trên cũng được sử dụng trong luận văn

1.8.5 Hệ quả Cho pAss Mvới dim R/ p = t Khi đó t ( ) 0

Hm M  và Att (R H t (M))

Đối với môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại, G Macdonald và R Y Shap đã đưa ra công thức của tập iđêan nguyên tố gắn kết cho lớp môđun này

1.8.6 Định lý Giả sử R là R- môđun hữu hạn sinh, chiều d Khi đó

1.9 Đối ngẫu Matlis

1.9.1 Đối ngẫu Matlis Ký hiệu E ( /R m)là bao nội xạ của trường thặng dư /

R mcủa R xét hàm tử D( )  Hom ( , ( /R  E R m)) từ phạm trù R- môđun

đến chính nó Vì E( / )R m là mô đun nội xạ nên D ( ) là hàm tử khớp Ta gọi 



D ( ) là đối ngẫu Matlis Giả sử L là R- môđun, ký hiệu L là R - môđun đầy

đủ của L theo tôpô m -adic

1.9.2 Định lý (Định lý đối ngẫu Matlis) Cho (R, m ) là vành giao hóa địa

phương noether đầy đủ và M, A là các R-môđun Khi đó các mệnh đề sau là đúng

i) Nếu M là môđun Noether thì D R(M) là môđun Artin và

 R( R( ))

ii) Nếu A là môđun Artin thì D R( )A là môđun Noether và

 R( R( ))

Định lý đối ngẫu địa phương sau đây cho ta mối liên hệ giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử Ext

1.9.3 Định lý (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R, m ) là ảnh đồng

cấu của vành địa phương Gorenstein (R’, m') chiều n’ và EX tj'( , ')

R M R là toàn cấu vành Giả sử M là một R- môđun hữu hạn sinh Khi đó