Một số đặc trưng về tính catenary của giá không trộn lẫn

R đợc gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q  p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.. N

Bộ giáo dục và đào tạotrờng đại học vinh

Nguyễn Thị Bích Phợng

Một Đặc trng về tính catenary

của giá không trộn lẫn

luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: ĐạI số và lý thuyếT số

Mã số: 60.46.05

Ngời hớng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Hồng Loan

Mục lục

1.5 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m – adic 06

Mở đầu

Cho R là một vành giao hoán, Noether R đợc gọi là vành catenary nếu

với mọi cặp iđêan nguyên tố q  p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ

dài Tính catenary của các vành đã đợc quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi W.Krull từ năm 1937 Những công trình của W Krull, M Nagata, I S Cohen,

D Ferand và M Raynaud nghiên cứu về tính catenary đã làm phong phú líthuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác của Đại

số giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen – Macaulay tối đại… Có hai Có hailớp vành catenary quan trọng đợc biết đến đầu tiên Lớp vành thứ nhất đợc chỉ

ra bởi W Krull trong một bài báo của ông năm 1937 và ông đợc coi là ngời

đặt nền móng nghiên cứu các giả thuyết về dãy iđêan nguyên tố Bài báo đợccông bố vào năm 1946 của Cohen đã chỉ ra lớp vành catenary tiếp theo làvành địa phơng đầy đủ theo tôpô m – adic Hầu hết các vành đợc biết đếntrong những áp dụng của toán học đều là catenary Năm 1956, Nagata đã pháthiện ra một lớp vành catenary nữa, đó là những miền nguyên địa phơng tựakhông trộn lẫn đồng thời ông cũng xây dựng một lớp những miền nguyênkhông catenary

Cho M là R – môđun Ký hiệu U M(0) là môđun con lớn nhất của M có

chiều nhỏ hơn dim M Đặt

 / M(0) 

Usupp M Supp M U

Khi đó Usupp M đợc gọi là giá không trộn lẫn của M.

Bài báo [4] của Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn

ra năm 2007 đề cập đến môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất và tínhcatenary của giá không trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh

Mục đích của luận văn này là dựa vào bài báo [4], trình bày lại một đặc trng về tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn đợc chiathành hai chơng

Chơng I: Kiến thức chuẩn bị Chơng này sẽ trình bày một số khái niệm cơ

sở có sử dụng trong luận văn nhằm làm cơ sở cho việc trình bày chơng II nh:iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết của môđun, phổ và giá

của môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m – adic, môđun đối đồng điều

địa phơng cấp cao nhất… Có hai

Chơng II: Tính catenary của giá không trộn lẫn Chơng này trình bày một

đặc trng về tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M Đó là việc chỉ rarằng tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M của M là tơng đơng với

tính chất linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất d( )

m

H M

và trình bày chứng minh tính chất đó

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn, giúp

đỡ, chỉ bảo tận tình của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏlòng cảm ơn trân trọng đến cô cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoaSau đại học trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu trờng THPT Nguyễn Trãi, bạn

bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Chơng I Kiến thức chuẩn bị

Chơng này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở có sử dụng trong luậnvăn nh: iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết của môđun,phổ và giá của môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m – adic, môđun

đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất… Có hai

1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại

Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P R vàa b R, 

mà abP thì aP hoặc b P

Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan tối đại nếu P R và P không thực

sự chứa trong một iđêan Q R của R, nghĩa là nếu tồn tại iđêan Q của vành

R mà PQR thì QP hoặc Q R

1.2 Phổ và giá của môđun

1.2.1 Phổ của vành Kí hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố củavành R. Khi đó Spec R đợc gọi là phổ của vành R.

Với

mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V I( )PSpec R P I

1.2.2 Giá của môđun Tập con

Supp M  PSpec R M 

của Spec R đợc gọi là giá của môđun M.

Với mỗi xM ta kí hiệu

R Ann x  aR ax 

R Ann M  aR aM   aR ax   x M

Ta cóAnn x và R( ) Ann M (hoặc R Ann x( )và Ann M nếu không để ý đến vành R)

là những iđêan của vành R, AnnR M đợc gọi là linh hóa tử của môđun M. Hơn

nữa, nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì

Supp M V Ann M  PSpec R Ann M P

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết

1.3.1 Định nghĩa Cho M là một R - môđun Ta gọi iđêan nguyên tố P của R

là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử xM, x 0sao cho

(0 :R ) R( )

P x Ann x Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc kí hiệu là Ass M (hoặc R

Ass M nếu không để ý đến vành R).

Ass M  PSpec R P Ann x với xM

1.3.2 Tính chất (i) P là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn

tại một môđun con Q của M sao cho QR P/

(ii) Gọi   Ann x x( ) M. Khi đó nếu P là phần tử tối đại của  thì P là

iđêan nguyên tố liên kết của M.

(iii) R là vành Noether và M là R - môđun Khi đó Ass M  khi và chỉ khi

0

M  Hơn nữa nếu M là R - môđun Noether thì tập Ass M là tập hữu hạn

(iv) Cho M là R - môđun N là môđun con của M thì Ass N Ass M

(v) Cho M là R - môđun Khi đó: Ass M Supp M Nếu PSupp M và P tốitiểu trong Supp M theo quan hệ bao hàm thì PAss M

1.3.3 Bổ đề Giả sử 0 M M  M 0 là một dãy khớp ngắn các R

–

môđun Khi đó:

(i) Ass MAss M Ass MAss M;

(ii) Supp M Supp MSupp M

1.4 Vành địa phơng

Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu nó chỉ có duy nhất một iđêan tối

đại

1.5 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m – adic

Cho ( ,R m) là một vành tựa địa phơng Ta xét R nh một vành tôpô với

cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan t,

m t 0, 1, 2, Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tùy ý rR gồm các lớp ghép  t

r m với t 0, 1, 2,

Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m – adic của R kí hiệu bởi R đợc định nghĩa

bằng cách thông thờng theo ngôn ngữ của dãy Cauchy nh sau: Một dãy

Cauchy trong R là một dãy ( ) r các phần tử của R sao cho với mọi n t  0, tồntại số tự nhiên n để 0 r n  r m m với mọi t m n, n0

Dãy( )r đợc gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi n t  0 tồn tại số tự nhiên n để0

 0  t

r r m với mọi  n n0

Haidãy Cauchy ( )r và ( ) n s đợc gọi là tơng đơng, kí hiệu là ( ) n r n ( )s n nếu dãy

(r n s n) là dãy không Khi đó quan hệ ~ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ

t-ơng đt-ơng Ta kí hiệu R là tập các lớp tt-ơng đt-ơng của các dãy Cauchy.

Chú

ý rằng nếu ( )r và ( ) n s là các dãy Cauchy thì các dãy n (r n s n), (r s cũng là n n)

các dãy Cauchy và lớp tơng đơng của các dãy (r n s n), (r s không phụ n n)thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tơng

đơng của các dãy (rn) và (sn) tức là ( ) ( ) r n r và ( ) ( ) n s n s n thì (r ns n) (r ns n)

và (r s n n) ( r s n n) Vì thế trang bị phép toán hai ngôi + và trên  ,R khi đó cùng

với hai phép toán này R lập thành một vành Mỗi phần tử rR có thể đồngnhất với lớp tơng đơng của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là

r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

Do

đó có thể xem R là vành con của vành  R Khi R R thì ta nói  R là vành đầy

đủ theo tôpô m – adic ( gọi tắt là vành đầy đủ ).

Định

nghĩa này tơng tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là m M t 

Khi đó M là một R - môđun với phép nhân vô hớng nh sau:

( , , ) , ( , , ) ,

a a a R x  x x M ta có ax (a x a x1 1, 2 2, )M

1.6 Chiều Krull của môđun

1.6.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Một dãy giảm các iđêan

nguyên tố của R: P0 P1 P2  P đợc gọi là một xích nguyên tố có độ n

dim R sup ht P Pspec R

(iii) Cho M là một R- môđun Khi đó dim R Ann M đợc gọi là chiều Krull( / R )

của môđun M, kí hiệu là dim M (hoặc R dim M nếu ta không để ý đến vành R).

Nh vậy, dim Rcó thể vô hạn do ht P( )có thể vô hạn và dim Mdim R

Chú ý rằng dim M dim M

1.6.2 Định lý Cho R là vành Noether và M là R – môđun hữu hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau tơng đơng:

(i) M là R – môđun có độ dài hữu hạn;

(ii) / R Ann M là vành Artin; R

(iii) dim M 0

1.6.3 Định lý Cho 0  M M  M 0 là một dãy khớp ngắn các R môđun Khi đó:

dim M max dim M dim M 

1.7 Chiều Noether

Cho M là R – môđun Chiều Noether của M, ký hiệu bởi N – dim M,

đợc định nghĩa nh sau: Khi M = 0 ta đặt N  dim M  1 Cho một số

nguyên d 0ta đặt N  dim M  nếu N d  dim M d là sai và với mỗi dãytăng các môđun con M0M1M2 của M, tồn tại một số tự nhiên n sao0

cho N  dim M( n1/M n) d với mọi n n0

Nhvậy N  dim M 0 khi và chỉ khi M 0 và M là Noether.

1.8 Hệ tham số

Cho R là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan tối đại duy nhất

m, M là một R - môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M   0.d

(i) Một hệ gồm d phần tử x:( , ,x1 x d)của m đợc gọi là một hệ tham số của

M nếu R(M x/( , ,1 x M   d) ) (( ) là kí hiệu độ dài của R - môđun)

(ii) Nếu x:( , ,x1 x d)là một hệ tham số của M thì hệ các phần tử ( , , )x1 x đ- i

ợc gọi là một phần của hệ tham số với mọi i 1,2, , d

(iii) Iđêan q đợc sinh bởi một hệ tham số x:( , ,x1 x d) đợc gọi là iđêan

tham số của M với q( , ,x1 x R d)

Ta có một số tính chất sau của hệ tham số

(i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của R - môđun M cũng là một hệ tham số của M.

(ii) Nếu x:( , ,x1 x d) là một hệ tham số của M thì với mọi 1,2, , i d ta

(v) Nếu x:( , ,x1 x d) là một hệ tham số của M thì x cũng là hệ tham số của

M trong đó M là bao đầy đủ m – adic của M.

1.9 Phân tích nguyên sơ

1.9.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun.

(i) Môđun con N M của M đợc gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan

nguyên tố p của R sao cho Ass M N( / )  p Khi đó ta cũng nói N là p – nguyên sơ.

(ii) Cho N là môđun con của M Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu

diễn N M1 M2 M n trong đó M là các môđun con i p - nguyên sơ i

của M Phân tích trên đợc gọi là thu gọn nếu các p là đôi một phân biệt và i

không có M nào thừa i

1.9.2 Chú ý (i) Nếu M và 1 M là các môđun con p – nguyên sơ của M thì2

1.9.3 Định lý Cho M là R – môđun Noether và N là môđun con của M Khi đó:

(i) N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;

(ii) Nếu NN1N2 N n và N N1N2  N n là hai phân tích

nguyên sơ thu gọn của N trong đó N là i p - nguyên sơ, i i 1, 2, , n và N là i

1.10 Biểu diễn thứ cấp

Trong mục này ta nhắc lại khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ của I

G Macdonal Khái niệm này có thể xem là đối ngẫu với khái niệm phân tíchnguyên sơ

1.10.1 Định nghĩa (i) R - môđun M 0 đợc gọi là thứ cấp nếu với mọi

phân biệt và không có hạng tử M nào thừa i

1.10.2 Nhận xét (i) Khái niệm môđun con nguyên sơ theo một nghĩa nào đó

đối ngẫu với khái niệm môđun con thứ cấp

(ii) Nếu M 1 và M2 là các môđun con p – thứ cấp của M thì M1 + M2 cũng là môđun con p – thứ cấp của M Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể

quy về một biểu diễn tối tiểu

1.10.3 Mệnh đề Cho M M1 M2  M n, trong đó M i là p - thứ cấp, i

1, 2, ,

i  n là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của R – môđun M Khi đó tập

 p p1, 2, ,p n là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M.

Tập

 p p1, 2, ,p n xác định nh trên đợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

M và kí hiệu bởi Att M Các hạng tử R M i,i 1, 2, ,n đợc gọi là thành phần thứ cấp cô lập Chú ý rằng các thành phần thứ cấp tối tiểu của M không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M.

1.10.4 Định lý Cho M là R – môđun Artin Khi đó M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu.

1.10.5 Bổ đề Tập các phần tử tối tiểu của Att M chính là tập các iđêan R

nguyên tố tối tiểu chứa Ann M Đặc biệt R ( ) .

1.11 Môđun đối đồng điều địa phơng

1.11.1 Định nghĩa Giả thiết R là vành Noether địa phơng, m là iđêan tối đại

duy nhất của R và M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M d

(i) Đối đồng điều địa phơng lần đầu tiên đợc định nghĩa bởi A.Grothendick Cho I là một iđêan của R Với mỗi R – môđun M, đặt

môđun vào phạm trù các R – môđun  đợc gọi là hàm tử xoắn.I

Với

mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  đợc kí hiệu là I i

I

H và đợc gọi là hàm tử đối đồng điều địa phơng thứ i với giá là I.

H Khi đó, H M đợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i I i( )

của môđun M với giá là I.

(ii) Ngời ta gọi d ( )

depth M min i H M dim M max i H M

Đặc biệt, dim M( ) 0

m

H M  và H m dim M(M là môđun Artin )

Sau đây là một số tính chất quan trọng về tập các iđêan nguyên tố gắnkết và chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất

1.12 Đối ngẫu Matlis

1.12.1 Đối ngẫu Matlis Kí hiệuE R m( / )là bao nội xạ của trờng thặng d

/

R m của R Xét hàm tử D( ) Hom R( , ( / )) E R m từ phạm trù các R –

môđun đến chính nó Vì E R m( / ) là môđun nội xạ nên D ( ) là hàm tử khớp

Ta gọi D ( ) là đối ngẫu Matlis Giả sử L là R – môđun, kí hiệu L là R – môđun đầy đủ của L theo tôpô m – adic.

1.12.2 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng

(i) Ann L R Ann D L R ( ). Đặc biệt, L 0 khi và chỉ khi D L ( ) 0

(ii) Nếu L có độ dài hữu hạn thì D L( )L. Trong trờng hợp này ta có

( )L  ( ( )).D L

 

(iii) Nếu L hữu hạn sinh thì D L( ) là R- môđun Artin Tuy nhiên, khi L là Artin thì D L( ) không nhất thiết là R- môđun hữu hạn sinh.

(iv) Nếu L hữu hạn sinh thì D L( ) L là Artin thì L. D D L( ( )) L

(v) Giả sử R đầy đủ theo tôpô m – adic Khi đó, D L( ) là R- môđun hữu hạn sinh nếu L là Artin.

1.13 Đồng cấu phẳng

Giả sử f R:  S là đồng cấu vành Khi đó mỗi S - môđun L đều có cấu trúc là R - môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trong L và tích với vô h-

ớng của phần tử rR với phần tử mL đợc cho bởi tích f r m( ) Cấu trúc R

- môđun L xác định nh thế đợc gọi là cấu trúc R - môđun xác định bởi f

Một đồng cấu f R:  S đợc gọi là đồng cấu phẳng nếu S xét nh R

-môđun xác định bởi f là R - môđun phẳng, tức là với mỗi dãy khớp

0 L L  L 0

các R - môđun, dãy cảm sinh 0 L S L S L S 0là khớp

Một đồng cấu f R:  S đợc gọi là đồng cấu hoàn toàn phẳng nếu S xét nh R - môđun xác định bởi f là R - môđun hoàn toàn phẳng, tức là với mỗi dãy

Chơng 2 Tính Catenary của giá không trộn lẫn

Mục đích của chơng này là trình bày một đặc trng về tính catenary củagiá không trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phơng

và trình bày chứng minh tính chất đó Trong chơng này ta luôn giả thiết

( , )R m là vành Noether địa phơng và M là R - môđun hữu hạn sinh với

dim M d

2.1 Vành catenary

2.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, Noether R đợc gọi là vành

catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều

có cùng độ dài

2.1.2 Chú ý (i) Khi R là vành Noether địa phơng thì dim R   Vì thế luôn

tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p với mọi cặp iđêan nguyên tố

q p của R Trong trờng hợp này, R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dãy

nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố q p đều có cùng độ dài Rõràng nếu dimR 2 thì R là catenary

(ii) Vành thơng của vành catenary cũng là vành catenary Thật vậy, giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R Khi đó, mỗi dãy iđêan nguyên tố bão hòa

giữa hai iđêan nguyên tố q p của R I/ tơng ứng với một dãy iđêan nguyên

tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố q p của R chứa I, trong đó q và p là

ảnh của q và p trong R I/ Vì thế R I/ là catenary

Có hai lớp vành catenary quan trọng đợc biết đến đầu tiên Lớp vànhthứ nhất đợc chỉ ra bởi W Krull trong một bài báo của ông năm 1937 Trong

bài báo này ông đã chỉ ra rằng nếu K là một trờng thì mọi K - đại số hữu hạn

sinh đều là vành catenary Bài báo đợc công bố vào năm 1946 của Cohen đã

chỉ ra lớp vành catenary tiếp theo là vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m - adic.Hầu hết các vành đợc biết đến trong những áp dụng của toán học đều làcatenary Năm 1956, Nagata đã phát hiện ra một lớp vành catenary nữa, đó lànhững miền nguyên địa phơng tựa không trộn lẫn đồng thời ông cũng xâydựng một lớp những miền nguyên không catenary.

2.1.3 Định nghĩa Giả sử ( , )R m là vành Noether địa phơng

(i) Vành R đợc gọi là đẳng chiều nếu dim R p( / ) dim R với mọi iđêan nguyên

tố liên kết tối tiểupAss R

(ii) Vành R đợc gọi là tựa không trộn lẫn nếu vành đầy đủ theo tô pô m –

adic R của Rlà đẳng chiều

2.1.4 Mệnh đề (i) Nếu ( , )R m là miền nguyên địa phơng Noether tựa không trộn lẫn thì R là catenary.

(ii) Tồn tại những miền nguyên địa phơng Noether không catenary.

Từ

định nghĩa vành catenary, nếu R là miền nguyên địa phơng catenary thì nó

thỏa mãn công thức chiều ht p  dim R p/ dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R Vì thế năm 1954, I S Cohen đã hỏi rằng liệu một miền nguyên địa ph-

ơng R thỏa mãn công thức chiều

/

ht p dim R p dim R

với mọi iđêan nguyên tố p của R luôn là miền catenary? Vào năm 1972, R J.

Ratliff đã trả lời đợc câu hỏi trên

2.1.5 Mệnh đề Một miền nguyên Noether địa phơng R là catenary khi và

chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

/

ht p dim R p dim R

Giả

sử R là vành địa phơng Noether với tính chất dim R p/ dim R với mọi iđêan

nguyên tố tối tiểupAss R. Ta đã biết R là catenary nếu nó thỏa mãn công

thức chiều ht p dim R p/ dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R Năm

1974, R J Ratliff đã chứng minh điều ngợc lại, kết quả này mở rộng Mệnh đề2.1.5 cho tất cả các vành địa phơng