Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm

Ta dùng cách gọi tắt: S là một băng nửa dàn các nửa nhóm kiểu C, để chỉ S là hợp của một băng nửa dàn các nửa nhóm Sαα∈Ω, trong đó mỗi Sαcó kiểu C.. Mục đích của luận văn này là nhằm tìm

Hoµng ThÞ Thanh

Sù ph©n tÝch nöa dµn c¸c nöa nhãm

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

VInh - 2010

Bộ giáo dục và đạo tạo

Trờng Đại học Vinh

Hoàng Thị Thanh

Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm

chuyên nghành: Đại số - lý thuyết số

mã số: 60.46.05

1.2 Băng và nửa dàn Băng các nhóm 7

1.3 Phân tích một nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn vớicác thành phầnArchimed Nửa nhóm tách đợc 11

Chơng 2 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm

15

2.1 S - tơng đẳng và nửa nhóm S - phân tích đợc 15

2.2 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm

17

21

2.4 Mở rộng Nil và tích trực tiếp con 28

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34

Lời nói đầu

Lý thuyết nửa nhóm đóng vai trò chủ yếu trong việc xây dựng cơ sở toán học.Tơng đẳng là một trong những khái niệm quan trọng của lý thuyết nửa nhóm T-

ơng đẳng ρ phân hoạch miền xác định S thành các lớp tơng đơng S/ρ.

Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập X Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi

(hay giao) trong X; trong trờng hợp đó mỗi tập con hữu hạn khác của X có hợp

(hay giao) trong X Hợp (giao) của {a,b} sẽ đợc ký hiệu là a b∪ (hay a∩b);

dới Một tơng đẳng ρ trên S đợc gọi là một S - tơng đẳng nếu S/ρ là một nửadàn

Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp của

các nửa nhóm con rời nhau Sα(α ∈Ω) Để cho sự phân tích có giá trị, điều cầnthiết là các nửa nhóm con Sα(α ∈Ω) phải là các nửa nhóm thuộc loại nào đóhẹp hơn ,S chẳng hạn các nửa nhóm đơn hay các nhóm

Nếu S là một hợp rời các nửa nhóm con Sα(α ∈Ω) và nếu với mỗi,

α β ∈Ω tồn tại γ sao cho S Sα β ∪S Sβ γ ⊆Sγ, thì chúng ta nói rằng S là một

nửa dàn (hợp) các nửa nhóm conSα(α ∈Ω). Ta dùng cách gọi tắt: S là một

băng (nửa dàn) các nửa nhóm kiểu C, để chỉ S là hợp của một băng (nửa dàn)

các nửa nhóm Sα(α∈Ω), trong đó mỗi Sαcó kiểu C

Và khi S là nửa dàn các nửa nhóm Sα thì chúng ta có thể nghiên cứu nửanhóm S thông qua các nửa nhóm Sα Nh vậy có một tơng ứng tự nhiên giữa các

S - tơng đẳng với các phân tích nửa dàn

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu lý thuyết tổng quát về sựphân tích nửa dàn của các nửa nhóm theo quan điểm đạt đợc định lý dạng: Mộtnửa nhóm S có tính chất D nếu và chỉ nếu S là một nửa dàn các nửa nhóm có

tính chất D Nguồn gốc của lý thuyết chúng tôi tìm hiểu là Định lý phân tíchnửa dàn của Tamura Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo "SemilatticeDecompositions of Semigroups" của Mohan S Putcha [6], trình bày một cáchchi tiết định lý phân tích nửa dàn của Tamura với một chứng minh ngắn hơncách chứng minh của Tamura

Luận văn gồm hai chơng

Chơng 1. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán Trong chơng

này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về: tơng đẳng; băng và nửa dàn;băng các nhóm; phân tích một nửa nhóm giao hoán ra các thành phầnArchimede và các nửa nhóm tách đợc

Chơng 2 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm. Đây là nội dung chính

của luận văn Trong chơng này chúng tôi trình bày: S - tơng đẳng và nửa nhómphân tích đợc; lý thuyết phân tích nửa dàn các nửa nhóm với trọng tâm là định

lý bộ khung; mở rộng nil và tích trực tiếp con

Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán Nhândịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôitrong học tập và tập dợt nghiên cứu khoa học Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp h-ớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, khoa sau Đạihọc, tổ Đại số và PGS TS Ngô Sỹ Tùng; PGS TS NguyễnThành Quang; TS.Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quí Thầy, Cô trong khoa toán của Đại học Vinh

đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,tác giả rất mong nhận đợc những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo và cácbạn cùng lớp

Tác giả

nếu và chỉ nếu với mọi x x y y có: 1, , ,2 1 2 x y x y1ρ 1,x 2ρ 2 ⇒x x1 2ρy y1 2.

nghĩa, x x x y1 2ρ 1 2và x y y y1 2ρ 1 2, do tính bắc cầu của ρ suy ra x x y y1 2ρ 1 2

Khẳng định ngợc lại là hiển nhiên

quan hệ Γx nh sau: ( x y, ∈Γx) ⇔ ∀u v S uxv X, ∈ 1,u ∈ , uyv X∈ Khi đó Γx là

một tơng đẳng trên S và đợc gọi là tơng đẳng cú pháp của X trong S

Chúng ta nói rằng một tơng đẳng ρ bảo hòa một tập con X của nửa nhóm

1.1.4 Bổ đề Một tơng đẳng ρ bảo hòa X ⊆S nếu và chỉ nếu

x X xρ Khẳng định ngợc lại là hiển nhiên.

1.1.5 Bổ đề Đối với mọi tập con X ⊆S, quan hệ Γx là tơng đẳng lớn nhất bão hòa X

xác định Γx

Rõ ràng, X đợc chứa trong hợp của tất cả xΓx( x X Hơn nữa, nếu∈ )

∈ Γx

x X

x

Suy ra Γx bão hòa X

Giả sử ρ là một tơng đẳng bão hòa X Theo Bổ đề 1.1.4, có

∈

x X

Giả thiết rằng x yρ và u v S là các phần tử tùy ý Thế thì ux uy, ∈ 1 ρ và uxv uyvρ Từ

đó uxv X nếu ∈ uyv X vì ∈ , ρ bão hòa .X Nh vậy ( )xy ∈Γx và do đó

⊆ Γx

ρ Vậy Γx là tơng đẳng lớn nhất trên S bão hòa X

1.1.6 Định nghĩa Giả sử ρ là một tơng đẳng trên ,S và giả sử S/ρ

{x x Sρ/ }

= ∈ là tập hợp tất cả các lớp tơng đẳng của .S Khi đó tơng ứng

( x yρ ρ, ) →xyρ là một phép toán hai ngôi trên S/ρ và với phép toán đó, S/ρ trởthành một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm thơng (của S modulρ) Để chứng tỏ

Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác định trong

S/ρ nh trên có tính chất kết hợp Thật vậy, với mọi , ,x y z S ta có∈ ,

Quan hệ đối xứng ρ2 sao cho a bρ2 không phải là một tơng đẳng, vì a a e=

và a b= f trong S nhng (e f, )∉ρ2 Trong trờng hợp này, ρ2 không tơng thích

với tích của S : ( )a b, ∈ρ2 nhng (aa bb, )∉ρ2

b) Nếu ρ là một tơng đẳng của S =(Â,+), thì n mρ kéo theo

(n k+ ) (ρ m k+ ) , ∀ ∈k  Giả thiết rằng k là nguyên không âm nhỏ nhất sao

cho nρ(n k+ ) với n nào đó thuộc  Nói riêng, 0 ρk Ký hiệu m là số d còn

lại của m đợc chia bởi k: 0≤ ≤m m và m = m (mod k) Khi đó mρm Điều ngợc

lại cũng đúng, và nh vậy các tơng đẳng của (Â,+) thực chất là các tơng đẳng đãxét trong Lý thuyết số, ρbằng modk (k > 0).

Bây giờ, ta chứng minh rằng các tơng đẳng của một nửa nhóm S đóng dới

ii) Giả sử δ ⊆ S S là một quan hệ trên S Thế thì: δ c = ∩{ρ / ρlà một

Chứng minh i) Giả sử x yρ và z S Khi đó ∈ . x yρi , với mọi i I và do đó∈

zxρi zy, xzρi yz, với mọi i ∈ I, vì ρi là tơng đẳng, với mọi i ∈ I Từ đó zx zyρ và

ii) Khẳng định thứ hai đợc suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và định

nghĩa giao của các tập hợp

1.1.9 Định nghĩa Giả sử ρ là một tơng đẳng trên S Khi đó ánh xạ

: S → S/ρ, (x) = xρ là một toàn cấu và đợc gọi là đồng cấu tự nhiên.

Vì là một toàn ánh, nên để chứng tỏ định nghĩa trên hợp lý, ta chỉ cầnchứng minh là đồng cấu

Thật vậy, ∀x, y ∈S có (xy) = xyρ = xρ.yρ = (x) (y).

1.l.10 Định nghĩa Giả sử α : S →P là một đồng cấu nửa nhóm Khi đó quan hệ

{(x, y) ∈S.S | α(x) = α(y)} là một tơng đẳng trên S , đợc gọi là hạt nhân của α

và đợc ký hiệu là ker(α)

Ngời ta cũng viết ker(α) = αα -1, trong đó α -1(y) = {x∈S |α(x) = y}và αα-1

đợc hình dung nh là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải)

Sự kiện ker(α) là một tơng đẳng đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa đồng cấunửa nhóm và cách xác định ker(α) Hơn nữa, nếu ρ là một tơng đẳng trên ,S thì

ρ = ker( ) Thật vậy, xρy ⇔xρ = yρ⇔ (x) = (y)⇔(x, y)∈ker( )

Gộp các kết quả trên, ta nhận đợc:

1.1.11 Hệ quả Mỗi tơng đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh các Định lý về đồng cấu và đẳngcấu nửa nhóm

1.1.12 Định lý Giả sử α : S →P là một đồng cấu tùy ý Tồn tại duy nhất một

Tơng tự β : S/ρ → P xác định bởi β(xρ) = α(x) với mọi x ∈ S là một ánh

xạ Thật vậy, xρ = yρ⇔ (x, y) ∈ ker(α) ⇔α(x) = α(y) ⇔β(xα) = β(yα)

Từ đây cũng trực tiếp suy ra α là đơn ánh

Hơn nữa, β là đồng cấu, vì β(xρ.yρ)=β(xyρ)= α(xy) =

α(x).α(y)=β(xρ).β(yρ)

Cuối cùng, β là duy nhất vì nếu γ : S/ρ→P là một phép nhúng thỏa mãn

α =γ° thì α(x) = γ (xρ), ∀x ∈S nên β(xρ) =γ (xρ), ∀xρ∈S/ρ Do đó γ = β

1.1.13 Định lý (Định lý đồng cấu nửa nhóm) Giả sử α: S →P là đồng cấu nửa

nhất β : S/ρ→P sao cho α = β, trong đó : S →S/ρ là đồng cấu tự nhiên Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tơng tự nh chứng minh Định lý 1.1.12 ở

đây chúng ta chú ý rằng ánh xạ β cho bởi β(xρ) = α(x) là hoàn toàn xác định, vì

xρ =yρ⇒xρy ⇒(x, y) ∈ρ⇒ (x, y) ∈ ker(α) ⇒α(x) = α(y), do ρ⊆ ker(α)

Định lý đồng cấu cũng nh Định lý đẳng cấu tiếp theo là những kết quả đại

số phổ dụng tiêu biểu, nghĩa là chúng đợc thỏa mãn trong tất cả các cấu trúc đại

số (nhóm, vành, đại số Bool…)

cấu Thế thì α(S) ≃ S/ker(α)

Theo Định lý 1.1.12, chúng ta nhận đợc một phép nhúng duy nhất β: S/ker(α) →

α(S) Hơn nữa, β là toàn ánh vì α là toàn ánh từ S vào α( S ) và α = βγ với γ =ker(α) Do đó là một đẳng cấu, từ đó S/ker(α) ≃ α(S)

1.2 Băng và nửa dàn băng các nhóm

1.2.1 Định nghĩa một quan hệ≤ trên một tập X đợc gọi là một thứ tự bộ phận

nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta sẽ dùng ký hiệu

1.2.2 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của nửa nhóm S Khi đó

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên (hay dới), nếu mỗi

tập con gồm hai phần tử { }a b của, X có hợp (hay giao) trong ;X trong trờng

hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp (giao) của

1.2.5 Ví dụ 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập rỗng Thế thì X đợc sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm

của lý thuyết tập hợp Vì giao của tuỳ ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc

là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y

của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc , Y trong

lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các

nửa nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ

“nửa nhóm con hay tập rỗng của S ” bởi từ “tơng đẳng trên S ”.

2) Tập tất cả các ideal trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm

tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng nh giao, nên là một dàn con đầy đủ của

đại số Boole tất cả các tập con của S

1.2.6 Định nghĩa Nửa nhóm S đợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của S

đều là luỹ đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó, S E và S đợc gọi là tập sắp thứ tự bộ=

phận tự nhiên (a b a b S nếu và chỉ nếu ≤ , ,( ∈ ) ab ba a ).= =

1.2.7 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ phận

chúng Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Ta chứng tỏ rằng tích ab(=ba của ha) i phần tử ,a b S trùng với cận dới lớn∈

đó ab là cận dới lớn nhất của { }a b Suy ra S là nửa dàn dới.,

Mệnh đề đảo là hiển nhiên

1.2.8 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a b khi và chỉ≤

giữ định nghĩa nêu trong 1.2.4 Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa dàn nh đồng nghĩa

với từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ đợc ngầm hiểu là nửa dàn dới,nếu không nói thêm gì.

1.2.9 Ví dụ Giả sử X và Ylà hai tập hợp tuỳ ý.S = ìX Y là tích Decartes của

( x y1, 1) (x y2, 2) (= x y1, 2)với x x1, 2∈X y y;y 1, 2∈Y Tính kết hợp và luỹ đẳng của phép toán đó là hiển nhiên

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y Lý do của tên gọi đó nh sau:ì

Ta hãy tởng tợng X Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểmì

1.2.10 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S đợc phân chia thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau Sα,iα∈I ( I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con Sα

thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S

Giả sử S = ∪{Sα,iα∈I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi

cặp ,α β ∈I, tồn tại γ ∈I để cho S Sα β =Sγ. Ta định nghĩa một phép toán đại

số trong I bằng cách đặt α β γ= nếu S Sα β ≤Sγ, khi đó I trở thành một băng

đối với phép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα

ánh xạ :ϕ S→I xác định bởi ϕ( )a =α nếu a S là một toàn cấu và các∈

nửa nhóm con Sα là các lớp của tơng đẳng hạt nhân Kerϕ Đảo lại, nếu ϕ là một

toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngợc Sα =ϕ α− 1( ) của mỗi

phần tử α∈I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm , Sα iα ∈I.

1.3 Phân tích một nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn với các thành phần Archimede.

Phần này chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết các kết quả của T

Tamura và N Kimura chứng tỏ rằng mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợc

một cách duy nhất dới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Khi đó S đợc gọi là

=

m

a bx và b n =ay với , x y nào đó thuộc S

1.3.2 Định nghĩa Giả sử ρ là một tơng đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ρ đợc

gọi là luỹ đẳng nếu S/ρ là một băng

1.3.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tuỳ ý Ta xây dựng

quan hệ η trên S nh sau: a b a b Sη ( , ∈ ) nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyêndơng ,m n và các phần tử , x y S sao cho ∈ a m =bx b, n =ay

giả sử a bη và b cη (a b c S Khi đó , , ∈ ) b m =ax và c n =by với m, n là các số

nguyên dơng và ,x y S Vì S giao hoán nên ∈ nm =( )m = m m = m

chia hết c Tơng tự, c chia hết một luỹ thừa nào đó của a và do đó nm a cη . Để

chứng minh rằng η ổn định, giả sử , ,a b c S và ∈ a bη Khi đó từ a chia hết b ta có m

ac chia hết b c và rõ ràng m b c chia hết m ( )m

bc nên ac chia hết ( )bc m. Tơng tự, bc chia hết một luỹ thừa nào đó của ac và ta kết luận ac bcη Vì S giao hoán nên

ca cbη Vậy η là tơng đẳng trên S

Rõ ràng a aη 2 với mọi a S nên S/∈ η là luỹ đẳng và do S giao hoán nên

S/η giao hoán Vậy S/η là nửa dàn

Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ đợc rằng η đợc chứa trong

một luỹ đẳng ρ bất kỳ trên .S Giả sử a b a b Sη ( , ∈ ) Thế thì tồn tại các số

nguyên ,m n và các phần tử , x y thuộc S sao cho ax b= m,by a= n Vì ρ là luỹ

đẳng nên a aρ 2,b b bρ 2

Dođó( )ax ρb và ( )by ρa ⇒aρ( )by ρ( )b y2 ρ( )ba ρ( )a x2 ρ( )ax ρb

Nh vậy a bρ và ta kết luận η ρ⊆ .

1.3.5 Định lý Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợc một cách duy nhất

xác định nh trong Định nghĩa 1.3.3 Theo Định lý 1.3.4, S/η là một nửa dàn và

S/η là ảnh đồng cấu của .S Ta sẽ chứng tỏ S là nửa dàn các nửa nhóm

Archimede nếu ta chứng tỏ đợc rằng mỗi lớp tơng đơng A của S modul η là

một nửa nhóm con Archimede của S Rõ ràng A là một nửa nhóm con của S

vì S/η là luỹ đẳng Giả sử ,a b A Thế thì a b∈ η và ax b= m,a by a= n với x, y

nào đó thuộc S và m, n là các số nguyên dơng nào đó Thế thì a bx( ) =b và m+ 1

( ) = n+ 1

b ay a Từ đó bx chia hết b m+1 và b chia hết bx Suy ra bx bη nên bx A∈ Tơng tự, ay A Nh vậy a chia hết b∈ . m+1 và b chia hết a m+1 đối với ,A nghĩa là

A là Archimede

Về tính duy nhất, giả sử S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con

Archimede ,Sα aα ∈Y. Chứng minh sẽ kết thúc nếu chứng tỏ đợc rằng các Sα

là các lớp tơng đơng của S modul ,η vì Y ≅ S/η đợc suy ra một cách trực tiếp.

Giả sử ,a b S Ta chứng tỏ rằng a b∈ η khi và chỉ khi a và b cùng thuộc

Sα Nếu a và b cùng thuộc Sα thì mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa của phần tử

kia vì Sα là Archimede, và do đó ta có a bη và giả sử a S∈ α,a b S∈ β. Vì a bη

nên ta có ax b= m,a by a= n với x, y nào đó thuộc S và m, n nguyên dơng nào

đó Giả sử x S∈ α, khi đó ax S∈ αγ và b m∈Sβ Thế thì Sαγ ∩Sβ ≠ ∅ và do đó

=

αγ β Nh vây α β≤ trong nửa dàn Y Do tính đối xứng, β α≤ nên α β=

1.3.6 Định nghĩa i) Nửa nhóm giao hoán S đợc gọi là tách đợc, nếu từ hệ

thức ab a= 2 =b a b S kéo theo 2 ( , ∈ ) a b =

ii) Tơng đẳng ρ trên nửa nhóm S đợc gọi là tách đợc, nếu nửa nhóm

th-ơng S/ρ tách đợc, nghĩa là nếu ab a bρ ρ2 2 kéo theo a bρ

Rõ ràng, giao của một họ các tơng đẳng tách đợc trên S là tách đợc, suy ra

S có một đồng cấu tách đợc tối đại Ta sẽ chi tiết hoá kết quả này.

1.3.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Ta định nghĩa một

quan hệ σ trên S nh sau: a b a b Sσ γ( , ∈ ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên

1.3.9 Định lý Quan hệ σ đợc định nghĩa trong 1.3.7 là một tơng đẳng trên S

bắc cầu, giả sử a bσ và b cσ (a b c, , ∈σ) Khi đó tồn tại các số nguyêndơng m và n sao cho:

1,+

=

n n

ab b ba n =a n+ 1, bc m =c m+ 1,c cb m =b m+ 1.Giả sử k = +(n 1) (m+ − =1) 1 n m( + +1) m thế thì:,

Để chứng minh σ ổn định, giả sử a bσ , nghĩa là ab n =b n+ 1, ba n =a với n+ 1

số nguyên dơng n nào đó, và giả sử c S Thế thì: ∈

=

n n n

bc ac ac Nh vậy, ( ) ( )ac σ bc và vì S giao hoán

nên( ) ( )ca σ cb Suy ra σ là một tơng đẳng

Cuối cùng, ta chứng minh σ tách đợc Giả sử a và b là các phần tử thuộc

S sao cho ab aσ 2 và ab bσ 2 Thế thì tồn tại các số nguyên dơng m và n sao cho

Giả sử k là một số nguyên dơng nào đó sao cho ab b kρ k+ 1,a ba a kρ k+ 1 (1)Chẳng hạn k n Giả sử = k ≥2 Bằng cách xem ab là a trong biểu thức0

sau đây (nếu k =2), có

1.3.10 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách đợc Nếu a và b là

các phần tử thuộc S sao cho ab m =b m+ 1,a ba n =a n+ 1 với các số nguyên dơng nào đó thì a b=

nhất i trên S là tách đợc Theo Định lý 1.3.9 có s σ ≤i s nên a b=

1.3.11 Định lý Một nửa nhóm giao hoán là tách đợc khi và chỉ khi các thành

phần Archimede của nó là giản ớc đợc.

thành phần Archimede của S Rõ ràng Sα cũng tách đợc Ta chứng minh Sα

giản ớc đợc Giả sử , ,a b c là các phần tử thuộc Sα sao cho ac bc Vì S= α làArchimede nên tồn tại các phần tử ,x y S∈ α và các số nguyên dơng m, n sao

cho cx a và = m cy b Thế thì: = n a m+ 1 =acx bcx ba= = m, b n+ 1 =bcy acy ab= = n.Theo hệ quả 1.3.10, có a b=