Một số kết quả mở rộng các định lí đồng cấu nhóm cho trường hợp nửa nhóm

Với cấu trúcnhóm các định lý đồng cấu đợc trình bày một cách cụ thể và tơng đối đầy đủ.. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về một số kết quả mở rộng các định lý đồng cấu nhóm cho t

môc lôc Trang

 A: B  ChØ sè cña nhãm con A trong B

A.B TÝch cña hai nhãm A vµ B ( lµ nhãm con bÐ nhÊt chøa

c¶ hai nhãm Êy)

KÕt thóc chøng minh

Lời nói đầu

Trong lý thuyết nhóm các định lý đồng cấu nhóm là một nội dung rất quantrọng xuyên suốt chơng trình học và luôn đợc quan tâm nghiên cứu Với cấu trúcnhóm các định lý đồng cấu đợc trình bày một cách cụ thể và tơng đối đầy đủ Vớicấu trúc nửa nhóm, các định lý đó còn đúng nữa không? Tơng tự nh cấu trúc nhómthì trong cấu trúc nửa nhóm cũng có những định lý đồng cấu

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về một số kết quả mở rộng các định lý

đồng cấu nhóm cho trờng hợp nửa nhóm

Trình bầy các định lí đồng cấu trên nửa nhóm tơng tự các định lí Zaxenhauxơ và

định lý Joocđăng-Hônđe trong các nhóm Các kết quả chính của chơng này cũng nhcủa luận văn đợc trình bày trong Đ3

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS -TS Lê Quốc Hán Nhândịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy về sự giúp đỡ tận tình chu đáo

Ch ơng I:

Các định lý về đồng cấu nhóm

Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày các định lý đóng vai trò khá quenthuộc Sau đó nêu lên một số định lý đóng vai trò khá quan trọng trong lý thuyếtnhóm nh định lý Sơrâye, định lý Joocđăng-Hônđe

Đ1 Các định lý đồng cấu nhóm và bổ đề con bớm

1.1 Các định nghĩa :

i) Giả sử G và G’ là các nhóm với các đơn vị là e và e’ Khi đó, ánh xạ

ϕ : G → G’ đợc gọi là đồng cấu nhóm nếu thoả mãn điều kiện: ϕ(ab) = ϕ(b).ϕ(a),

∀a,b∈G Đồng cấu ϕ đợc gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ϕ tơng ứng là

đơn ánh, toàn ánh hay song ánh

Nếu G = G’ thì đồng cấu ( đẳng cấu) ϕ đợc gọi là tự đồng cấu ( tự đẳng cấu)

ii) Giả sử ϕ: G → G’ là một đồng cấu nhóm Khi đó, tập con{g∈G |ϕ(g)= e’}

đợc gọi là hạt nhân của ϕ và đợc ký hiệu là Ker(ϕ)

Tập con {ϕ(g) | g∈G } đợc gọi là ảnh của đồng cấu ϕ và đợc ký hiệu là Im(ϕ)

Dễ thấy Ker(ϕ)  G và Im(ϕ) n

⊆G’

Giả sử G là một nhóm và H là nhóm con của G, ta sẽ dùng kí hiệu

L( G,H ): = { K n

⊆G | H⊂ K }

Nói riêng L ( G, 1) là tập các nhóm con của G

1.2 Định lý Giả sử H là ớc chuẩn của nhóm G Khi đó, toàn cấu chính tắc

p : G → G/ H

g  gHcảm sinh ra ánh xạ ψ : L( G, H ) → L( G/H, 1) xác định bởi ψ(K) = p(K), với mọi K

n

⊆ H

ánh xạ ψ là song ánh

Hơn nữa, nếu A,B ∈ L(G,H) thì A và B liên hợp trong G khi và chỉ khi ψ(A), ψ(B)liên hợp trong G/ H Nói riêng A  G khi và chỉ khi ψ(A)  G/H Nếu A n

⊆ B thì |B: A | = | ψ(B) : ψ(A) |

ra p(a) ∈ p(A), p(a) ∉ p(B) Thật vậy, giả sử p(a) ∈ p(B) thì tồn tại b ∈ B sao chop(a) = p(b) suy ra aH = bH hay b-1a ∈ H Mà H⊂ B nên b-1a ∈ B suy ra a∈B

( do b∈B) mâu thuẫn Nh vậy p(A) ≠ p(B) suy ra ψ(A) ≠ψ(B) Vậy ψ là đơn ánh

ψ là toàn ánh vì tạo ảnh của nhóm con A của G/H đối với ψ là tạo ảnh toàn phầncủa A đối với p

Trực tiếp kiểm tra đợc rằng B = Ax khi và chỉ khi p( B ) = [ p(A)]p(x)

B = Ax = x-1Ax ⇒ p(B) = p( x-1Ax) = p(x-1).p(A).p(x) ( vì p là đồng cấu ) = (p(x))

-1.p(A).p(x) = [p(A)]p(x) Nh vậy B = Ax suy ra p(B) = [p(A)]p(x).p(B)=p(A))p(x)=[p(x)]-1p(A)p(x) = p(x-1)p(A)p(x) = p(x-1Ax) = p(AX) ⇒ψ(B) = ψ(Ax)( do ψ(k) = p(k)) ⇒ B =Ax ( do ψ là đơn ánh )

1.3 Định lý đồng cấu cảm ứng Giả sử A và B là các ớc chuẩn tơng ứng của

các nhóm G và G’ ϕ : G → G’ là đồng cấu nhóm thoả mãn điều kiện ϕ(A) ⊂ B Khi

đó ϕ cảm ứng một đồng cấu nhóm ϕ* : G/A → G’/B xác định bởi ϕ*(gA) = ϕ(g)B

Đồng cấu ϕ* thoả mãn hệ thức ϕ*(gA) = ϕ(g)B Hơn nữa, đồng cấu ϕ* thoả mãn

hệ thức ϕ*p = qϕ , trong đó p : G → G/A và

q: G → G’/B là các toàn cấu chính tắc

Thật vậy, nếu xA = yA ⇒x-1y ∈ A ⇒ϕ(x-1y) ∈ϕ(A) ⊂ B

⇒ϕ(x)-1ϕ(y) ∈ B ⇒ϕ(x)B = ϕ(y)B ⇒ϕ*(xA) = ϕ*(yA) Do đó ϕ* là ánh xạ

Mặt khác ϕ*(xA.yA) = ϕ*( xyA) = ϕ(xy)B = ϕ(x) ϕ(y).B = ϕ(x)B ϕ(y)B = ϕ*(xA).

Nói riêng ra, nếu ϕ là toàn cấu ( Im (ϕ) = G’), B = { e’}, A = Ker(ϕ) thì

G’/ B = G’, Im (ϕ*) = q( G’) = G’/ B = G’ và Ker(ϕ*) = p[ϕ-1(e’)] = p(A) = A ⇒ϕ*

là một đẳng cấu và ta có định lý sau:

1.5 Định lý cơ bản về đồng cấu nhóm Giả sử ϕ : G → G’ là toàn cấu nhóm

và A = Ker(ϕ) Khi đó ϕ* : G/A → G’ xác định bởi ϕ*(gA) = ϕ(g), ∀g ∈ G là một

đẳng cấu nhóm thoả mãn điều kịên ϕ*p = ϕ , trong đó p : G → G/A là toàn cấuchính tắc

1.6 Hệ quả Nếu ϕ: G → G’ là một đồng cấu nhóm thì G/Ker(ϕ) ≅ Im(ϕ)

Chứng minh Suy ra từ nhận xét : Nếu ϕ : G → G’ là đồng cấu nhóm thì :

ϕ : G →ϕ(G) = Im(ϕ) là toàn cấu nhóm áp dụng định lý 1.5 ta có điều phải chứngminh

ϕ

G G’

p q

ϕ*G/A G’/B

1.7 Định lý Nếu H  G , A  G và H⊆ A thì A/H là ớc chuẩn của G/H

Chứng minh ϕ là đồng cấu, vì ϕ( xH.yH) = ϕ( xyH) = xyA = xA.yA =

ϕ( xH).ϕ(yH) Bởi vậy ϕ là đồng cấu từ G/ H lên G/A

Theo cách xác định ϕ ta có ϕ là toàn ánh Do đó ϕ là toàn cấu suy ra Im(ϕ) = G/A

Ta có Ker(ϕ) = { xH | ϕ(xH) = e*} ( e* là đơn vị của G/ H)

Mặt khác θ(A) = p(A) và θ(B) = p(B), nên tạo ảnh toàn phần của θ(A) và θ(B)

đối với θ sẽ là A ( B ∩ H) và B Bởi vì A  B nên θ(A) θ(B) Bởi vậy theo định

lý 1.2, ta có A ( B ∩ H)  B và do đó theo Định lý 1.7 suy ra:

)HB(A

B

) H AH ( ) H BH ( ) A ( ) B

)VU(

V)VU(U

1 1 1

Chứng minh Tổ hợp các nhóm và các nhóm thờng trở nên rõ ràng nếu ta

xem trên biểu bồ của các nhóm con sau đây ( nó cho biểu đồ tên gọi nh vậy)

Ta xét hai hình bình hành tạo thành các cánh bớm và chứng minh rằng cáccạnh đối diện của các hình bình hành đó bằng nhau

Thật vậy, cạnh thẳng đứng chung của hai hình bình hành có U∩V mút trên và(U1∩V)(U∩V1) là mút dới Ta có đẳng cấu

V U (

) V U (

Đ2 Dãy chuẩn tắc, Định lý Sơrâye và định lý

G

G + đợc gọi là thơng, còn n đợc gọi là độ dài của dãy (1)

Nếu Gi+1/ Gi là nhóm xyclic ,với mọi i = 0,1, , n-1 thì G đợc gọi là nhóm đaxyclic

2.2 Định lý Giả sử G là một nhóm với dãy chuẩn tắc ( á chuẩn)

i) Nếu H là nhóm con của G thì

đẳng cấu với với một nhóm con của Gi+1/Gi

ii) Nếu H là ớc chuẩn của G thì khi lấy ảnh của các thành phần của dãy (1)qua toàn cấu chính tắc p : G  G/ H, chúng ta nhận đợc dãy chuẩn tắc ( á chuẩn) trongG/ H : { e} = G 0 ⊆n G 1 ⊆n n

⊆ G n = G/ H, trong đó

H / H G

G i = i Hơn nữa

i

1 i

G

G+ là ảnh đồng cấu của Gi+1/ Gi

Chứng minh i) Hệ thức Hi  Hi+1 và Gi Gi+1 còn trong trờng hợp dãychuẩn tắc : Hi  H, Gi Gđợc kiểm tra trực tiếp Hơn nữa, nếu sử dụng định lý

đồng cấu:

(1) H  G , A  G , H ⊂ A thì (G/H)(A/H)≅ GA

(2) B n

⊆G , H  G thì BHH≅ BB∩ H

i

1 i

i

1 i i i

1 i ) 1 ( 1 i i

1 i ) 3 ( i

1

i

G

N G G G

G ) N G ( G

G N

G + .

2.3 Hệ quả Nhóm con và nhóm thơng của nhóm đaxyclic là nhóm đaxyclic

Nhóm con của nhóm Xyclic là nhóm Xyclic và ảnh đồng cấu của nhóm Xyclic lànhóm Xyclic ta suy ra đợc hệ quả 3.3

2.4 Hệ quả Giả sử G là một p - nhóm hữu hạn mà cấp khác 1 Khi đó tồn tại

G

G+

là nhóm Xyclic cấp p

luỹ thừa của số nguyên tố p Khi đó theo định lí Xilốp, tâm của G không tầm thờng.Vì vậy trong nó có một phần tử a khác e cấp p Giả sử H là nhóm con Xyclic sinh

bởi a Theo quy nạp, nếu G ≠ H thì trong nhóm thơng G/H có thể tìm đợc một dãynhóm con thoả mãn các yêu cầu trên Lấy ảnh ngợc của dãy đó trong G ta đợc dãyphải tìm

2.5 Định nghĩa Hai dãy á chuẩn đợc gọi là tơng đơng, nếu chúng cùng độ

dài và giữa các thơng của chúng tơng ứng một - một, với các thơng tơng ứng đẳngcấu với nhau

Nếu một dãy chứa tất cả các phần tử của dãy khác thì dãy thứ nhất đợc gọi làmịn hoá của dãy thứ hai

2.6 Định lí Sơrâye Hai dãy chuẩn tắc ( á chuẩn) bất kỳ của một nhóm có các

mịn hoá đẳng cấu

{e} = A0 ⊆n A1 ⊆n n

⊆ An = G (1) {e} = B0

B A (

) B A

( A ) B A (

A ) B A

(

C

C

1 j i j 1 i

1 j 1 i i j 1 i

i 1 j 1 i

ij

1

j

+ +

+ + +

+ + +

( B ) A B

(

B ) A B

( D

D

1 i j i 1 j

1 i 1 j j i 1 j

j 1 i 1 j i

+ + +

+ +

Bổ sung vào dãy (1) các xích con (1’) và bổ sung vào dãy (2) các xích con(2’), ta đợc hai dãy chuẩn tắc ( á chuẩn ) đẳng cấu của G là các mịn hoá tơng ứng của(1) và (2) Định lí đợc chứng minh

2.7 Định lý Joocđăng - Hônđe Giả sử G là một nhóm và G = G1

⊇ Gn = { e } là một dãy chuẩn tắc sao cho mỗi nhóm Gi / Gi + 1 đều đơn đối với i

=1, , n-1 Khi đó mọi dãy chuẩn tắc khác của nhóm G có các tính chất ấy thì tơng

đ-ơng với dãy chuẩn tắc đã cho

và không có ớc chuẩn nào khác {e} và chính nó

Để chứng minh định lí 2.7, ta chú ý rằng với một sự mịn hoá {Gij} bất kỳ củadãy đã cho, đối với mỗi i, tồn tại đúng một chỉ số j sao cho Gi / Gi+1= Gi,,j/Gi,j+1 Vậydãy các thơng không tầm thờng trong dãy chuẩn tắc xuất phát và trong dãy chuẩn tắcmịn hoá là tơng đơng Định lí 2.7 đợc chứng minh

Ch ơng II:

Một số định lý đồng cấu trên nửa nhóm

Chơng này trình bày các định lý đồng cấu trong nửa nhóm tơng tự các định lýZaxenhauxơ và định lí Joocđăng - Hônđe trong các nhóm Vì trong nửa nhóm không

có khái niệm ớc chuẩn nên để xây dựng nửa nhóm thơng, ta dựa vào khái niệm tơng

đẳng, một dạng đặc biệt quan hệ tơng đơng Các kết quả chính của chơng này cũng

nh của luận văn đợc trình bày trong Đ3

Đ1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập

1.1 Định nghĩa Quan hệ hai ngôi trên tập X là một tập con ρ của tích

Đề các XìX Nếu (a,b) ∈ρ ( trong đó a,b là các phần tử thuộc X ) thì viết aρb và nói

“ a nằm trong quan hệ ρ với b”

1.2 Định nghĩa Giả sử ρ và σ là hai quan hệ hai ngôi trên tập X, “ cái hợpthành ” của ρ và σ, kí hiệu ρσ đợc định nghĩa nh sau : ( a,b) ∈ ρσ nếu tồn tại x

∈ X sao cho ( a,x) ∈ρ và (x,b) ∈σ

1.3 Mệnh đề Phép toán hai ngôi () có tính chất kết hợp cho nên tập Bx tấtcả các quan hệ hai ngôi trên tập hợp X là một nửa nhóm với phép toán ()

Ta kí hiệu: i là quan hệ bằng nhau, tức là aib ⇔ a=b,i là đơn vị của Bx.w là quan hệphổ dụng, tức w = S ì S

1.4 Định nghĩa Quan hệ ngợc ρ-1 của quan hệ ρ đợc định nghĩa nh sau: ( a,b) ∈ρ-1 khi và chỉ khi ( b,a) ∈ρ

Chú ý: 1) Từ định nghĩa suy ra (ρ-1)-1 = ρ, (ρσ)-1=σ-1ρ-1

2) Có thể thực hiện các phép toán Bun ( hợp, giao, phần bù) trên Bx

1.5 Định nghĩa Ta nói quan hệ ρ có tính chất đối xứng nếu ρ⊆ρ-1 ( do đó ρ

= ρ-1), phản xạ nếu i ⊆ρ, bắc cầu nếu ρρ⊆ρ ; Quan hệ ρ đợc gọi là quan hệ tơng

đơng nếu nó có tính đối xứng, phản xạ và bắc cầu

Nếu ρ là một quan hệ tuỳ ý trên X, đặt :

1.6 Định nghĩa Giả sử ρ là một quan hệ tuỳ ý trên X Khi đó quan hệ

ρt = ∞

= 1

n ρn = ρ∪(ρρ) ∪ (ρρρ) ∪ đợc gọi là bao đắng bắc cầu ρ

1.7 Mệnh đề ρt là quan hệ bắc cầu nhỏ nhất chứa ρ

Giả sử ( a,b), ( b,c)∈ρt suy ra ∃ m, n∈Ν∗:( a, b)∈ρm,(b,c) ∈ ρt Khi đó ( a,b)

∈ρm+n ⊆ρt

Giả sử σ là một quan hệ bắc cầu chứa ρ Nếu ( a, b) ∈ ρt ⇒ ∃ n ∈Ν∗ :( a ,b) ∈ρ⇔∃(n-1) giá trị c1,c2, , cn-1∈X sao cho aρc1 , c1ρc2 , , cn-1ρb Do ρ⊂σ

nên aσc1 ,c1σc2 , ,cn-1σb, do σ bắc cầu nên aσb,∀(a,b)∈ρt suy ra ρt ⊆σ

Nếu ρ0 là một quan hệ tuỳ ý trên X thì quan hệ ρ1 = ρ0∪ρ0∪i là quan hệ phảnxạ và đối xứng nhỏ nhất chứa ρ0 Khi đó t

1

ρ

=

ρ là quan hệ tơng ứng trên X, chứa ρ0 Quan hệ t

trong XìX và xem là một quan hệ trên X , ta có (a, b) ∈ ϕϕ-1 khi và chỉ khi

aϕ = bϕ Từ đó ϕϕ-1 là một quan hệ tơng đơng trên X và ϕ cảm sinh một cách hiểnnhiên ánh xạ một - một từ X/ϕϕ-1 lên Xϕ Ta gọi ϕϕ-1 là quan hệ tơng đơng trên

X đợc cảm sinh một cách tự nhiên bởi ϕ

1.9 Mệnh đề Giả sử ρ, ρα(ρ , ρα (α∈Λ),σ,τ là các phần tử của tập Bx cácquan hệ trên tập X Khi đó trong Bx các hệ thức sau thoả mãn:

(a,b) ∈σ(∪ρα) ⇒∃c∈X: ( a, c)∈σ, (c,b) ∈∪ρα ∃β∈Λ sao cho

(c,b) ∈ρβ⇒ (a,b) ∈σρβ⇒ (a,b) ∈ Uσρα, ∀(a,b) ∈σ(∪ρα) ⇒ đpcm

(3) Giả sử (a,b) ∈σ(∩ρα) ⇒∃c∈X: (a,c) ∈σ,(c,b)∈∩ρα⇒ (c,b) ∈ρα,

∀α∈Λ⇒ (a,b) ∈σρα, ∀α∈Λ⇒ (a,b) ∈∩σρα, ∀(a,b) ∈σ(∩ρα)

⇒ đpcm

1.10 Chú ý.

a Trong hệ thức (3) đẳng thức nói chung không xảy ra chẳng hạn lấy i’= ω\ i thì ω

2.1 Định nghĩa Ta nói quan hệ ρ trên nửa nhóm S là ổn định bên phải [trái]nếu aρb (a,b ∈S) kéo theo acρbc [acρbc], với c ∈ S.

Một quan hệ tơng đơng ổn định bên phải [trái] đợc gọi là tơng đẳng bên phải[trái] Tơng đẳng trên S là một quan hệ tơng đơng vừa tơng đẳng bên phải, vừa tơng

Nếu ta kí hiệu aρ(a∈S ) là lớp tơng đơng chứa a thì định nghĩa trên có nghĩa

aρ.bρ = (ab)ρ,∀a,b ∈ S

Nếu kí hiệu ρ là ánh xạ tự nhiên từ S lên S/ρ thì aρ = aρ nên aρ bρ =( a,b) ρ hay ρ là một đồng cấu, ta gọi ρ là đồng cấu tự nhên ( chính tắc) từ nửanhóm S lên S/ρ

Hơn nữa do S là nửa nhóm nên S/ρ cũng là nửa nhóm, ta gọi S/ρ là nửa nhómthơng của S theo mod ρ

Lý luận trên cho thấy mỗi nửa nhóm thơng của nửa nhóm S là một ảnh đồngcấu của nó Định lí sau chứng tỏ điều ngợc lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm S

đẳng cấu với một nửa nhóm thơng nào đó Nh vậy nếu ta không phân biệt các nửanhóm đẳng cấu với nhau thì bài toán bên ngoài về việc tìm tất cả các ảnh đồng cấucủa nửa nhóm S đã đợc chuyển tới bài toán bên trong tìm tất cả các tơng đẳng trên S

2.3 Định lí ( định lí cơ bản về đồng cấu) Giả sử θ là đồng cấu từ nửa nhóm

S lên nửa nhóm S’ và giả sử ρ = θθ-1.Thế thì ρ là một tơng đẳng trên S và tồn tại

đồng cấu ψ từ nửa nhóm S/ρ lên S’ sao cho ρ ψ = θ ( Trong đó ρ là đồng cấu tựnhiên từ S lên S/ρ)

θ

S S

ρ ψ

S/ρ

Chứng minh Nếu aρb và c ∈S thì (ac)θ = aθ.cθ = bθ.cθ = (bc) θ ⇒ acρbc,

t-ơng tự caρcb nên ρ là một tơng đẳng trên S ( dĩ nhiên nh đã biết ρ là một quan hệ

2.4 Định lý (định lý về đồng cấu cảm sinh ) Giả sử ϕ1 và ϕ2 là các đồng cấu

từ nửa nhóm S tơng ứng lên các nửa nhóm S1 và S2 sao cho ϕ1ϕ1-1 ⊆ ϕ2ϕ2-1 Thếthì tồn tại duy nhất đồng cấu θ từ nửa nhóm S1 lên nửa nhóm sao cho ϕ1

Giả sử có b∈S : bϕ a1thì 2 2

2 2 2 1 1 1 1

1 b ( a , b ) a b

a ϕ = ϕ ⇔ ∈ ϕ  ϕ − ⊆ ϕ  ϕ − ⇒ ϕ = ϕ nên θ đơntrị

Hiển nhiên ϕ 1 θ = ϕ 2; ta chứng minh thêm θ là đồng cấu.Thật vậy, [(aϕ1)(bϕ1)]θ = [(ab) ϕ1]θ = (ab) ϕ2 = aϕ2..bϕ2 = [(aϕ1)θ][(bϕ1)θ]

Tính duy nhất của θ là hiển nhiên vì nếu θ thoả mãn ϕ1θ = ϕ2 thì buộc phải xác định

2.6 Định nghĩa ( Tơng đẳng sinh bởi một quan hệ bất kỳ )

Dễ thấy giao tùy ý một họ các tơng đẳng là một tơng đẳng Giả sử ρ0 là mộtquan hệ tuỳ ý trên nửa nhóm S, thì tồn tại it nhất tơng đẳng w = S xS chứa ρ0 Do đótồn tại giao ρ của tất cả các tơng đẳng trên S chứa ρ0, ρ gọi là tơng đẳng trên S sinhbởi ρ0 Ta mô tả ρ trên nửa nhóm nh sau:

Ta có : ρ1 = ρ0∪ρ0-1 ∪i là quan hệ phản xạ và đối xứng bé nhất chứa ρ0 Xâydựng ρ2 nh sau : aρ2b ( a,b ∈S) khi và chỉ khi a=xcy, b =xdy và cρ1d với c,d nào đóthuộc S và x,y nào đó thuộc S1 Ta gọi việc chuyển từ a tới b hoặc ngợc lại là ρ0 bắccầu sơ cấp Dễ thấy ρ phản xạ, đối xứng và ổn định Dĩ nhiên ρ0 ⊆ ρ1 ⊆ρ2⊆ρ (ρ là t-

ơng đẳng trên S sinh bởi ρ0) Cuối cùng ρt

2 là tơng đẳng trên S chứa trong ρ và do đóbằng ρ

Nh vậy aρb khi và chỉ khi ∃c1,c2,….,cn ∈S sao cho aρ2c1, c1ρ2c2, …., cnρ2b.Cho nên ta có:

2.7 Định lý Giả sử ρ0 là một quan hệ trên nửa nhóm , ρ là tơng đẳng trên Ssinh bởi ρ0 Thế thì aρb ( a,b ∈ S) khi và chỉ khi b có thể thu đợc từ a bằng một dãy

ρ0 bắc cầu sơ cấp

2 8 Một số ví dụ

( a,b ∈G) khi và chỉ khi ab-1∈ H, là một tơng đẳng bên phải trên G, các lớp tơng

đ-ơng của ρ là các tập Ha với a ∈ G ρ tơng đẳng nếu H chuẩn tắc trong G

Giả sử H chuẩn tắc, ta chứng minh thêm ρ ổn định bên trái:

Giả sử aρb và c ∈ G ( a, b ∈ G ) , khi đó (ca)(cb)-1 = cab-1c-1 = chc-1∈ H ( do h