Phép chuyển dịch và nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm

Nếu S là iđêan của nửa nhóm T , thì mỗi phép chuyển dịch trong bên phải hoặc bên trái của nửa nhóm T cảm sinh phép chuyển dịch bên phải hoặc bên trái của S.. Điều kiện cần và đủ để nửa n

Trờng đại học vinh

Lời nói đầu

Lý thuyết nửa nhóm là một trong những lý thuyết sâu sắc và khá quan trọng trong toán học hiện đại

Trong lý thuyết nửa nhóm, nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm có nhiều tính chất phong phú và có nhiều ứng dụng trong đại số nói riêng và trong toán học hiện đại nói chung

Nội dung của luận văn đợc chia thành ba tiết

Đ1 Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy

Trong tiết này chủ yếu là nêu các định nghĩa và một số bổ đề về phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy

Đ 2 Nhóm con cô lập của nửa nhóm

Đ 3 Nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm

Đ 4 Định lý Haouy

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS - TS Lê Quốc Hán, nhân dịp này tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ngời thầy nghiêm khắc, đầy lòng nhân ái đã dìu dắt chúng tôi đi đến hoàn thành luận văn

Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo cô giáo trong tổ Đại số cùng các bạn sinh viên đã động viên chúng tôi hoàn thành đề tài của mình

Vì thời gian có hạn bản thân còn nhiều thiếu xót nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế Kính mong sự chỉ bảo của các thầy, các cô và bạn bè

Tác giả

Nguyễn Văn Hng

Đ 1 Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy.

1.1 Các định nghĩa.

1.1.1 Định nghĩa 1.

+ ánh xạ ϕ: S →S' đợc gọi là đồng cấu nếu:

(xy) ϕ = (xϕ)(yϕ) với ∀ x,y ∈ S

ánh xạ: ϕ : S →S' đợc gọi là phản đồng cấu nếu:

(xy) ϕ = (yϕ) (x ϕ) với ∀ x,y ∈S

- Phép chuyển dịch bên phải ρvà phép chuyển dịch bên trái λ đợc gọi là liên

kết với nhau nếu:

S y , x với y

) x ( )

y

(

1.1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử S là nửa nhóm khi đó:

+ ánh xạ từ a → δ ađợc gọi là biểu diễn chính quy.

+ ánh xạ a→ λ ađợc gọi là phản biểu diễn chính quy

1.2 Mệnh đề 1.

Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải (bên trái) của nửa nhóm S là nửa nhóm con của nửa nhóm F s

1 2

1 2

Từ đó ⇒ λ1λ2∈ q⇒ q là nửa nhóm con của Fs

Tơng tự ta cũng chứng minh đối với p là nửa nhóm con của Fs

1.3 Nhận xét

Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch trong bên phải (bên trái) của nửa nhóm

S là nửa nhóm con p 0 của nửa nhóm p (hoặc nửa nhóm con q 0 của nhóm q)

ánh xạ từ a → ρ a (hoặc a → λ a) là đồng cấu (hoặc phản đồng cấu) từ nửa nhóm

S lên p 0 (hoặc q 0) đó chính là biểu diễn chính quy (hoặc phản biểu diễn chính quy) của nửa nhóm S.

ρ

= ρ

= ρ

= ρ ρ

= ρ

= λ

= λ λ

= ρ

= ρ ρ

λ , ), trong đó λ và ρlà các phép chyển dịch bên trái và bên phải liên kết với

nhau của nửa nhóm S.

Nếu ( λ1ρ1) và ( λ2, ρ2) là các phần tử thuộc S thì ( λ2λ1, ρ1ρ2) cũng thuộc S, vì với x, y tuỳ ý thuộc S ta có:

) y ) (

x ( y ) ) x ((

) y ( x ( ) ) y ((

x )) (

( ) , (

,

( λ1 ρ1 λ2 ρ2 = λ2λ1 ρ1ρ2

Tính kết hợp của phép toán đó là hiển nhiên, nên S là một nửa nhóm.

Giả sử S 0 là tập tất cả các cặp (λ a , ρ a) trong đó a ∈ S Dễ thấy rằng

S

S0 ⊆ , vì λ a và ρ aliên kết với nhau Với mọi a, b tuỳ ý ta có:

) , ( ) ,

( ) , ( ) ,

Thành thử S 0 là nửa nhóm con của nửa nhóm S và ánh xạ a α (λ a , ρ a) là

đồng cấu từ S lên S 0 Đồng cấu đó là đẳng cấu khi và chỉ khi từ các đẳng thức

Chứng minh. Theo bổ đề 1.1

) , ( ) , ( ) , ( )

1.7 Mệnh đề.

Nếu S là iđêan của nửa nhóm T , thì mỗi phép chuyển dịch trong bên phải (hoặc bên trái) của nửa nhóm T cảm sinh phép chuyển dịch bên phải (hoặc bên trái) của S.

Chứng minh.

Nếu t ∈T và x ∈ S , thì x ρt= xt ∈ S vì S là iđêan của T, và hiển nhiên

(xy) ρt = ( xy ) t = x ( yt ) = x ( y ρt), với ∀ x , y ∈ S.Tơng tự: xλ t ∈ S và λ t S là phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S

1.8 Nhận xét.

Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm S nhúng chìm đợc vào một nửa nhóm T sao cho:

(i): S là iđêan của T

(ii): Mỗi phép chuyển dịch bên phải và mỗi phép chuyển dịch bên trái của S

đợc cảm sinh bởi một phép chuyển dịch trong nào đó của T, là gì? Định lý sau

đây trả lời câu hỏi đó cho các nửa nhóm rút gọn yếu.

1.9 Định lý 1.3.

Nửa nhóm rút gọn yếu S có thể nhúng chìm đợc vào nửa nhóm T nào đó thoả mãn tính chất (i) và (ii) vừa nêu ở trên khi và chỉ khi

(iii): Mỗi phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S liên kết với một phép chuyển dịch nào đó và ngợc lại.

Chứng minh.

Giả sử S là một nửa nhóm có thể nhúng chìm đợc vào nửa nhón T sao cho thoả mãn tính chất (i) và (ii) Giả sử λ là phép chuyển dịch bên trái tuỳ ý của nửa nhóm S Theo (ii) tồn tại phần tử t ∈ T sao cho λ = λt S Thế thì ρt Slà phép chuyển dịch bên phải của nhóm S , liên kết với λ

Tơng tự: Mỗi phép chuyển dịch bên phải của nhóm S liên kết với một phép chuyển dịch bên trái của nó

Đảo lại: Giả sử S là nửa nhóm rút gọn yếu, có tính chất (iii) và giả sử T trùng với bao chuyển dịch S của nửa nhóm S thế thì S là iđêan của T theo bổ đề 1.2 Giả

sử λ là phép chuyển dịch bên trái tuỳ ý của nửa nhóm S Theo điều kiện (iii) tồn tại phép chuyển dịch bên phải ρ của nửa nhóm S, liên kết với λ Thế thì t = (λ , ρ)

T

∈ và λt S = λ theo bổ đề 1.2

Chứng minh mệnh đề đối ngẫu trong điều kiện (ii) cũng tơng tự

Đ2 Nửa nhóm con cô lập của nửa nhóm

Tiết này dành cho việc khảo sát các nửa nhóm con cô lập của nửa nhóm Khái niệm này là mở rộng khái niệm nhóm con của một nhóm

2.1 Định nghĩa.

Giả sử S là một nửa nhóm, U là tập con của S Khi đó U đợc gọi là cô lập bên trái của S nếu từ các điều kiện u∈ U, s∈S , us∈U suy ra s∈U Tập con U đợc gọi là cô lập bên phải nếu từ u∈ U,s∈S, su∈U suy ra s∈U

Tập con U đợc gọi là cô lập trong S nếu U vừa cô lập bên trái vừa cô lập bên phải trong S.

2.2 Mệnh đề.

Giả sử G là một nhóm và H là tập con của G Khi đó H là cô lập trong G khi

và chỉ khi H là nhóm con của G.

Chứng minh.

Giả sử H là cô lập trong G, khi đó, ∀ a, b ∈ H,

ta có: a = (ab−1)b ∈ H nên ab−1 ∈ H Do đó H là nhóm con của G

Đảo lại: Nếu H là nhóm con của G và a ∈ H , b ∈ Gvàba ∈ Hthì a − 1 ∈ H vì

H là nhóm con của G Do đó b = (ba) a − 1 ∈ H, vì H là nhóm con của G Vậy H cô lập bên phải

Tơng tự, H là cô lập bên trái trong G nên H là cô lập trong G

Suy ra điều phải chứng minh

2.3 Mệnh đề.

Giả sử ϕ: S → T là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm T Khi đó một tập con V của T là nửa nhóm cô lập của T khi và chỉ khi ϕ − 1(V) là một nửa nhóm con của cô lập của S.

ϕ nên ab∈ ϕ − 1 ( V ) = U , mà U cô lập nên

b ∈ U, s' = ϕ ( b ) ∈ ϕ ( u ) = V

Tơng tự, nếu u' ∈ V, s' ∈ T và s'u' ∈ V thì s ∈ V Vậy V là cô lập trong T.

2.4 Hệ quả

Giả sử T là một vị nhóm và e là đơn vị của T; ϕ : S → T là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên T Khi đó ϕ − 1(e) là nửa nhóm cô lập của S.

Chứng minh.

Hiển nhiên V = { }e là một nửa nhóm con của T Nếu u' ∈ V, s' ∈ T và u's'

∈ V thì do V = { }e nên u' = e, u's' = e Do đó s' = es' = u's' ∈ T

Tơng tự: u' ∈ V, s' ∈ T và s'u' ∈ V theo s' ∈ V Vậy V cô lập trong T áp dụng mệnh đề 2.3 suy ra điều phải chứng minh

Giả sử A là tập con tuỳ ý của nửa nhóm S Khi đó:

i) Nếu A là iđêan của S thì S\A cô lập trong S.

ii) Nếu S\A là một iđêan thật sự nguyên tố của S thì A là một nửa nhóm con cô lập của S.

Chứng minh.

i) Giả sử u ∈ S\A, s ∈ S và us ∈ S\A, ⇒ u ∉ A và us ∉ A khi đó s ∉ A thì do A S ⇒ us ∈ A mâu thuẫn Vì s ∉ A ⇒ s ∈S\A Do đó S\A cô lập trái trên S

Tơng tự S\A cô lập phải trong S ⇒ S\A cô lập trong S.

ii) Ta có A = S\(S\A) là nửa nhóm con của S ⇒ A là nửa nhóm con của S Hơn nữa S \A là iđêan của S nên S\(S\A) cô lập trong S ⇒ S\(S\A) là cô lập trong S

Mệnh đề đợc chứng minh

2.8 Định nghĩa.

Giả sử S là một nửa nhóm và A,N là các tập con tuỳ ý của S

i) Tập A đợc gọi là tập phản xạ nếu ∀x,y ∈ S, từ xy ∈A kéo theo yx ∈ A.ii) Tập con N đợc gọi là tập chuẩn tắc nếu ∀a,b,c ∈ S từ giả thiết hai trong ba phần tử abc, ac, b thuộc N suy ra phần tử thứ ba cũng thuộc N

Đảo lại: Giả sử N chuẩn tắc trong S, ta chứng minh N phản xạ và cô lập Giả sử

ab ∈ N, khi đó ab.ab ∈ N vì N là nửa nhóm con do đó:

a(ba)b ∈ N trong đó ab ∈ N ⇒ ba ∈ N vì N chuẩn tắc trong S Vậy N phản xạ

Giả sử a ∈ N , x ∈ S và ax ∈ N trong đó a ∈ N ⇒ x ∈ N vì N chuẩn tắc trong S vậy N cô lập bên trái

Tơng tự, N cô lập bên phải nên N cô lập trong S

2.10 Định nghĩa.

Một nửa nhóm S đợc gọi là một nửa nhóm phải nếu ∀ a,b ∈ S, phơng trình

ax = b có nghiệm duy nhất trong S

2.12 Mệnh đề.

Các điều kiện sau đây đối với một nửa nhóm S là tơng đơng.

i) S là nửa nhóm phải

ii) S đơn phải và chứa luỹ đẳng.

iii) S là tích trực tiếp G x E của nhóm G và nửa nhóm E các phần tử không bên phải.

Chứng minh

) ii )

i ⇒ Một nhóm phải thì đơn phải theo định nghĩa Giả sử a∈ S Vì S đơn phải ,nên tồn tại phần tử e ∈ S sao cho ae = a khi đó ae2 = ae và vì có thể giản -

ớc trái nên e2 = e

) iii )

ii ⇒ Giả sử E là tập các luỹ đẳng của S Theo điều kiện (ii) E ≠ φ Theo bổ đề 2.11 thì mỗi phần tử thuộc E là đơn vị trái trong S Đặc biệt ef = f với

E

f

,

e ∈

∀ , vậy E là nửa nhóm con các phần tử không bên phải của S

Ta chứng minh tiếp rằng S là nửa nhóm với luật giản ớc trái, tiện thể điều đó cũng chứng tỏ rằng (ii) kéo theo (i) Giả sử ca = cb (a,b, c ∈ S) và

f ∈ E ,tồn tại x ∈ S sao cho cx = f Giả sử e = xc, thế thì

e2 = xcxc = xfc = xc = e do đó a = ea = xca = xcb = eb = b

Nếu e ∈ E thì Se là nửa nhóm con của S, trong đó e là đơn vị phải (và cũng là

đơn vị trái), nếu a ∈ Se, thì ta có thể giải phơng trình ax = e trong S nhng khi đó a (xe) = e2 = e, tức là phần tử a khả nghịch bên phải trong nửa nhóm Se với đơn vị e

f , b ( e

Ta chứng tỏ ϕ là ánh xạ một - một Giả thiết rằng (a,e) ϕ = (b,f) ϕ,

Tức là ae = af (a,b∈ G; e,f∈ E) Vì g là đơn vị của nửa nhóm G nên ta có

a =ag = aeg = bfg = bg = b Do đó ae = af Vì S là nửa nhóm với luật giản ớc trái nên e = f Cuối cùng ta chứng tỏ ϕ là ánh xạ G x E lên S Giả sử a ∈ S Tồn tại e ∈ S sao cho ae = a , từ đó ae2 = ae và e2 = e vì có thể giản ớc bên trái, do đó

e ∈ E Khi đó ag ∈ Sg = G và (ag,e)ϕ = age = ae = a Vậy ϕ là đẳng cấu từ G x

E lên S và (iii) đợc chứng minh

(iii) ⇒ (i) Vì tích trực tiếp của hai nhóm phải là một nhóm phải và E,G là các nhóm phải nên E x G cũng là một nhóm phải suy ra điều phải chứng minh

Đ 3 Nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm

Tiết này dành cho việc nghiên cứu các nửa nhóm con gần cô lập nửa nhóm Đó

là khái niệm mở rộng đã đợc trình bày trong Đ2 và có liên quan đến kiến thức đã trình bày trong Đ1

3.1 Định nghĩa.

Giả sử S là một nửa nhóm Tập con U của S đợc gọi là tập gần cô lập trong S nếu tồn tại các ánh xạ λ: S→ S và ρ : S → S thoả mãn các điều kiện sau:

i) λ và ρtơng ứng là phép chuyển dịch trái và chuyển dịch phải của nửa

nhóm S và giao hoán đợc với nhau

ii) λ và ρ là các luỹ đẳng.

iii) λ và ρ liên kết với nhau, nghĩa là s ( λ t ) = ( s ρ ) t , ∀ s , t ∈ S

iv) các thu hẹp của λ và ρ trên U trùng với ánh xạ đồng nhất của U.

gần cô lập trong S đối với các ánh xạ đó

Đảo lại, giả thiết rằng U gần cô lập trong S đối với các ánh xạ λ và ρ Vì e ∈

U nên theo điều kiện (iv) ta có λ e = e và e ρ = e Do đó

eSe ⊆ λ S ρ, từ đó theo điều kiện (v) suy ra U cô lập trong eSe

Suy ra điều phải chứng minh

3.3 Chú ý.

Nói chung nếu U gần cô lập trong S đối với các ánh xạ λ và ρ thì có thể tồn tại nhiều cặp ánh xạ λ , ρ khác nhau đóng vai trò tơng ứng trong định nghĩa khái niệm gần cô lập Định lý 3.2 chứng tỏ rằng nếu U chứa đơn vị e thì cặp λ , ρ có thể thay bằng cặp λ e ,ρ e.

Chứng minh.

Giả sử E là đơn vị của U, theo định lý 3.2 ta chỉ cần chứng tỏ U cô lập trong eSe Giả sử u∈ U và eseu ∈ U.Thế thì u−1 ∈ U và vì vậy:

eseuu−1 = ese2 = ese ∈ U Điều đó chứng tỏ U cô lập bên phải trong eSe

T-ơng tự ta cũng chứng minh đợc tính cô lập bên trái của U trong eSe

Suy ra điều phải chứng minh

ρ của nửa nhóm S e.Vì se ≠ e và es ≠ eđối với s∈ Snên ta thấy ngay rằng U gần cô lập trong S đối với các ánh xạ λ và ρ

Đảo lại, giả sử U gần cô lập trong S đối với các ánh xạ λ và ρ.Đặt e=(λ , ρ)

và định nghĩa thêm phép nhân trên S∪{ }e bằng cách đặt se = s ρ, es = λ s đối với se

∈ S và e2 = e (so sánh với cách xây dựng bao chuyển dịch trong Đ1 ) ta thử thấy ngay rằng e có các tính chất cần chứng minh Điều đó kết thúc chứng minh mệnh đề

Đ 4 Định lý Haouy

Trong tiết này ta nghiên cứu về định lý Haouy, định lý này đợc chứng minh

trên cơ sở kết quả của các tiết Đ1, Đ2, Đ3

4.1 Định nghĩa.

Giả sử {Si i ∈ I} là họ các nửa nhóm đợc đánh số bởi một tập I nào đó và U

là một nửa nhóm nào đó Giả thiết rằng mỗi nửa nhóm Si chứa một nửa nhóm con

đẳng cấu với U Nh vậy với i ∈ I tồn tại một đẳng cấu ϕ : U → S i Hệ thống các

nửa nhóm và các đẳng cấu đó đợc ký hiệu bởi [ {Si i ∈ I} {; U ; ϕi i ∈ I} ]

Và ta cũng dùng một trong các ký hiệu sau đây:

Phần còn lại của bổ đề là hiển nhiên

4.3 Định lý.

1) Cái chập nửa nhóm [ {Si i ∈ I} {; U ; ϕi i ∈ I} ] có thể nhúng chìm đợc vào một nửa nhóm khi và chỉ khi đồng cấu chính tắc γ của phỏng nhóm bộ phận

g = g [S i ; U ; ϕ i] là một phép của phỏng nhóm bộ phận g vào Π*U S i là ánh xạ một - một ;

2) Đồng cấu γ là ánh xạ một - một khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện:

(i) Mỗi đồng cấu chính tắc à i: S i → Π*U S i là ánh xạ một - một

(ii) Si ài ∩ Sjà1 = U à với i ≠j trong đó à = ϕ i à i.

i y

x χ à = χ à, tức là x γ = y γ Vì γ là ánh xạ một - một nên từ đó suy ra x = y,

nếu i = j thì điều đó chứng tỏ à i là ánh xạ một - một, nếu i ≠ j thì ta kết luận rằng

j j

Đảo lại, giả thiết rằng [S i ; U ; ϕ i] nhúng chìm đợc vào một nửa nhóm T, tức là

g nhúng chìm đợc vào T bởi ánh xạ δ Thế thì theo bổ đề 4.2 ta có ψ = χ − 1 δ

Giả sử (ui, uj) là một phần tử tuỳ ý thuộc ν sao cho

ui = uϕ i , u j = u ϕ j đối với u nào đó thuộc U Thế thì

u u u

u

uiψ = ϕiψ = χiψi = δ = jψ Do đó ν ⊆ ψ  ψ − 1, nên ν* ⊆ ψ  ψ − 1 Nh vậy tồn tại một

đẳng cấu : * Si T

U → Π

ϕ sao cho ψ * =( )ν * ϕ Giả sử a∈ g và a∈ S ′ i Thế thì a

( )* i i

Chứng minh.

Giả sử Si = aiuibi ∈ S ilà một vần của từ ωvà qua bớc M vần đó biến thành aiuibi

với j ≠ ithế thì ai, uj và bi là các vần của từ ω′ ′ thu đợc từ ωnhờ một bớc M Nếu dùng bớc S để chuyển ω′ ′ sang ω′bằng cách thay thế một vần mà vần đó không kề với ai hay bi thì rõ ràng bớc M và bớc S đó có thể thực hiện theo thứ tự ngợc lại mà vẫn thu đợc từ ω′ Nếu vần u ′ kcủa từ ω′ ′ đứng ngay trớc vần ai (trờng hợp u ′ kđứng

ngay sau bi cũng xét tơng tự) và qua bớc S đợc thay thế bởi u ' mthì nếu m≠ ita lại có thể đổi thứ tự các bớc M và bớc S Nếu m=i thì lại có thể đổi các bớc S Thật vậy ω'

có thể thu đợc từ ω nhờ một bớc S và sau đó một bớc M Trong đó bớc M biến vần u'iaiuibi thành u'iaiujbj

Ta còn phải xét 3 trờng hợp: Thứ nhất, giả sử bớc M thay thế vần ai=u'i bởi u'm Lúc đó si = aiuibi= u'iuibi;và áp dụng bớc E vào ωsẽ thay thế vần si bởi umuibi sau đó

có thể dùng bớc E để thay thế u ′ m u i b ibởi u ′muibi Nh vậy ω′ có thể thu đợc từ ωnhờ hai bớc E Tơng tự ta xét trờng hợp thứ 2 khi vần đợc thay thế qua bớc S là bi Cuối cùng giả thiết rằng bớc S thay thế uj bởi um Nếu m = i thì ω′=ω Nếu m≠ i thì chỉ cần một bớc m thay thế ui cho um là ta thu đợc ω′ từ ω ⇒ Điều cần chứng minh

*

0 là một dãy riêng các phép ν- chuyển sơ cấp

Ngoài ra *

1 t

1

*

t = b b b

ω , trong đó bi ∈ S j ( i ) Giả thiết rằng ω t → ω t + 1 là một bớc S Thế thì ai =

uj(i) ∈ U ( )đối với một i nào đó và ω t + 1 thu đợc từ ω tbằng cách thay uj(i) bởi um nào

Giả sử rằng ω 1 → ω t + 1 là một bớc M Thế thì ai = ci uj (i) di đối với i nào đó, ở

đây uj (i)∈ Uj (i) và ω t + 1thu đợc từ ω t bằng cách thay uj (i) bởi um, trong đó m ≠j(i) vì ai = (cj ρ j ( i ))uj(i) ( λj(i)di) nên rõ ràng *

bằng cách thay uj(i) bởi um nếu um là một vần của từ ω t thì vì ai=(cj

* 1 t )