Biểu diễn nửa nhóm và nhóm bởi cấu trúc đại số tự do tương ứng

Hoàng văn khanhBiểu diễn nửa nhóm và nhóm bởi cấu trúc đại số tự do tơng ứng Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008... Hoàng văn khanhBiểu diễn nửa nhóm và nhóm bởi cấu trúc đại số tự d

Hoàng văn khanh

Biểu diễn nửa nhóm và nhóm

bởi cấu trúc đại số tự do tơng ứng

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2008

Hoàng văn khanh

Biểu diễn nửa nhóm và nhóm

bởi cấu trúc đại số tự do tơng ứng

Chuyên ngành: đại số & lý thuyết số

Trang

Chơng I Biểu diễn nửa nhóm bởi các cấu trúc đại số tự do 4

1.1 Nửa nhóm các từ Nửa nhóm tự do 41.2 Vị nhóm tự do Định lý khuyết 101.3 Biểu diễn các nửa nhóm Định lý Evans 15

Chơng II Biểu diễn nhóm bởi tập sinh và hệ thức xác định 212.1 Nhóm tự do Định lý Neilsen - Schreier 212.2 Biểu diễn nhóm và ba bài toán cơ bản về thuật toán Dhen 272.3 Biểu diễn hữu hạn Phép biến đổi Tietze 312.4 Phơng pháp Magnus Định lý tự do 35

Lời nói đầu

Cấu trúc đại số tự do là một trong những cấu trúc đóng vai trò quantrọng trong việc nghiên cứu cấu trúc đại số nói chung

Vào những năm đầu thế kỉ XX, các tác giả: Nielsen, Schreier, Magnus…

đã đạt đợc nhiều thành tựu khoa học trong việc khảo sát nhóm tự do Mộttrong những kết quả đáng quan tâm là các tác giả đã chứng minh đợc “Nhómcon của nhóm tự do là nhóm tự do”, từ đó khảo sát các bài toán giải đợc liênquan đến nhóm con của nhóm tự do và biểu diễn của các nhóm qua cấu trúcthơng của các nhóm tự do Tiếp đến, vào giữa thế kỉ XX, lớp nửa nhóm tự dotiếp tục đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu

Các vấn đề liên quan đến nhóm và nửa nhóm tự do đợc nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu ở nhiều hớng khác nhau, nhng trong phạm vi của luậnvăn này chủ yếu chúng tôi khảo sát biểu diễn nửa nhóm và nhóm thông quacấu trúc đại số tự do tơng ứng

Luận văn đợc chia làm 2 chơng

Chơng 1: Biểu diễn nửa nhóm bởi cấu trúc đại số tự do Chúng tôi trìnhbày một số kiến thức về nửa nhóm tự do Kết quả chính của chơng này là:chứng minh định lý khuyết “Giả sử 

   là một tập con hữu hạn các từ, và

 

F  là bao tự do của nó Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X không

phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì F X  X  1” (1.2.11); nêulên một số ví dụ về biểu diễn nửa nhóm (1.3.5); chứng minh định lý Evans

“Giả sử S là một nửa nhóm đợc sinh bởi một tập đếm đợc Thế thì S có thểnhúng đợc vào một nửa nhóm đợc sinh bởi hai phần tử” (1.3.6)

Chơng 2: Biểu diễn nhóm bởi tập sinh và hệ thức xác định Chơng nàychúng tôi trình bày các phơng pháp do Neilsen và Schreier nêu ra để chứngminh một trong những định lý quan trọng nhất của nhóm tổ hợp: nhóm concủa nhóm tự do là nhóm tự do Từ đó khảo sát các bài toán giải đợc liên quan

đến nhóm con của nhóm tự do và biểu diễn của các nhóm qua cấu trúc thơngcủa các nhóm tự do Kết quả chính của chơng này là: chứng minh định lýSchreier “Giả sử X là một bảng chữ cái, H là một nhóm con tuỳ ý của nhóm tự

do FF  Tồn tại ít nhất một hệ Schreier các phần tử đại diện của F theoH

Nếu u u là hàm chọn tơng ứng thì H là nhóm tự do đợc sinh bởi cácphần tử khác đơn vị có dạng 1

sxsx , trong đó s chạy khắp các phần tử đại diện

đã chọn còn x chạy khắp X” (2.1.9); nêu lên một số ví dụ biểu diễn nhóm(2.2.5); chứng minh định lý tự do “Giả sử F là nhóm tự do với cơ sở X và r làphần tử đợc rút gọn xyclic của F sao cho r chứa một phần tử sinhxX Khi đómỗi phần tử không tầm thờng thuộc bao đóng chuẩn tắc của r trong F cũngchứa x” (2.4.2)

Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo

PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.

Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô giáo trongkhoa Toán, khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập cũng nh trong việc hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu ờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng

Tr-ban liên quan đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập vànghiên cứu tại trờng.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ cácthầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 10 năm 2008.

Danh mục ký hiệu

Trong toàn luận văn này, trừ các trờng hợp đã đợc nói rõ trong các mục,còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu

 : Tơng đẳng sinh bởi quan hệ 

  S: Nửa nhóm S đợc sinh bởi tập X

Chơng I

Biểu diễn nửa nhóm bởi các cấu trúc đại số tự do

1.1 Nửa nhóm các từ Nửa nhóm tự do

1.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một tập hợp các ký hiệu Chúng ta sẽ gọi A là

một bảng chữ cái và các phần tử của nó là các chữ cái Một dãy hữu hạn các chữ cái gọi là một từ Tập hợp tất cả các từ trên A đợc ký hiệu là 

 Chúng ta

sẽ viết uv nếu các từ u và v là nh nhau.

Tập hợp 

 là một nửa nhóm, đợc gọi là nửa nhóm các từ trên A, khi tích

đợc xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ

1.1.2 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Một tập con X của S đợc gọi

là sinh ra S một cách tự do nếu S   và mỗi ánh xạ  S  0:X  P (trong đó

P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu  :S P sao cho

  =0 Khi đó chúng ta sẽ nói rằng  là một mở rộng đồng cấu của ánh

mn 0 1 m n 0 1 m.0 1 n    m  n

Chứng minh Rõ ràng A sinh ra 

 vì tất cả các từ đều là một xâu (chuỗi)

của các chữ cái thuộc A Giả sử S là một nửa nhóm tùy ý o:  S là một

1.1.5 Định lý Nếu S đợc sinh tự do bởi X và 0:  P là một ánh xạ, thì

có một đồng cấu duy nhất  :S P

Chứng minh Theo định nghĩa, mỗi  có một mở rộng Giả sử 0  :

S P và  :S P là mở rộng đồng cấu của  Khi đó với x0 S,

1.1.6 Định lý Đối với một nửa nhóm S, tồn tại một bảng chữ cái A và một

toàn cấu  :  S

  Chứng minh Giả sử X là một tập sinh tùy ý của S (có thể lấy X S), vàgiả sử A là một bảng chữ cái với    , khi đó tồn tại song ánh 0 :   Theo định nghĩa của tính tự do 0 có một mở rộng đồng cấu  :  S

 

Mở rộng này là toàn ánh, vì S sinh bởi X 

1.1.7 Hệ quả Mỗi nửa nhóm là một thơng của một nửa nhóm tự do.

Chứng minh Thật vậy, S A ker 

 với một bảng chữ cái A nào đó

Chứng minh Giả sử S đợc sinh tự do bởi tập con  S và A là một bảng

chữ cái với A X Khi đó tồn tại song ánh 0 :   Vì A sinh ra 

một cách tự do nên tồn tại mở rộng toàn cấu  :  S

  theo Định lý 1.1.6.Vì 1

Từ chứng minh Định lý 1.1.8, trực tiếp suy ra các kết quả sau

1.1.10 Hệ quả Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ớc.

Chứng minh Suy ra từ luật giản ớc có trong A 

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi- Dubreil- Jacotin vềnửa nhóm tự do dựa trên sự nhân tử hoá các phần tử của nó.

Giả sử  S chúng ta nói rằng x x x1 2 x n là một sự phân tích thành nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi x i ,X i1,2 n Nếu X sinh ra S thì mỗiphần tử xS có một sự nhân tử hóa trên X Nói chung sự phân tích đó khôngduy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x x1 2 x k y y1 2 y m với x i X, y J X,x k y k

nào đó

1.1.11 Định lý Một nửa nhóm S đợc sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi

phần tử thuộc S có một sự nhân tử hóa duy nhất trên X.

Chứng minh Trớc hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lý 1.1.11 đợc

thỏa mãn với nửa nhóm A

Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho A  X và 0:X  A là một song ánh.Giả thiết rằng X sinh ra S một cách tự do, thế thì với mỗi xS có một sựnhân tử hóa trên X vì X sinh ra S Giả sử x x x1 2 k y y1 2 y m là hai sự nhân

tử hóa của x trên X và  là mở rộng đồng cấu của  0 thì

 x 0 x1 0 x2 0 x n

    0 y1 0 y2 0 y n

là hai sự nhân tử hóa của  x trên A Vì A thỏa mãn khẳng định của Định

lý, nên ta phải có 0 x i 0 y i với mọi i1,2 n và nh vậy S thoả mãnkhẳng định của Định lý 1.1.11

Giả thiết rằng S thoả mãn điều kiện duy nhất Ký hiệu 1

0 0

Từ định nghĩa suy ra rằng một phần tử xS nằm trong  S nếu và chỉ

nếu x không biểu diễn đợc thành tích của hai phần tử tùy ý thuộc S

Kết quả sau đây thuộc về Lévi - Dubreil - Jacotin

1.1.13 Định lý Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B(S) sinh ra S một cách

tự do

Chứng minh Đặt X  S Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là nửanhóm tự do theo Định lý 1.2 Giả sử S là nửa nhóm tự do Ta chứng minh Xsinh ra S một cách tự do.

Trớc hết, ta chú ý rằng X là tập con của S không có ớc nào thuộc S thế thì

  và X sinh ra S Thật vậy, giả sử a là một phần tử thuộc S Nếu a không

có ớc thì a   Nếu a có ớc thì abc trong đó b c  , hoặc a xyz .

Hoặc quá trình đó sẽ kết thúc và ta thu đợc biểu diễn của a dới dạng tích các

phần tử thuộc X hoặc với mọi số n lớn tùy ý sẽ tồn tại các phần tử

1, , ,2 n

a a a  sao cho S aa a1 2 a n Nếu aa a1 2 a n thì a a a1, 1 2, ,a a1 2 a n1

là các ớc bên trái của a Chúng đều khác nhau cả vì trong nửa nhóm tự do có

luật giản ớc và không có lũy đẳng Vì n có thể lớn tùy ý nên mâu thuẫn với

Định lý 1.1.8 và định nghĩa nửa nhóm các từ Vậy X sinh ra S

1) Giả sử  a b c, ,  là một bảng chữ cái Các từ ab, bab, ab sinh ra một

nửa nhóm con của nửa nhóm từ 

1.2 Vị nhóm tự do Định lý khuyết

1.2.1 Định nghĩa Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do đợc sinh tự do bởi

một tập con X với 1  nếu   1 là một tập sinh của M và mỗi ánh xạ

0: X P

  (trong đó P là một vị nhóm) mở rộng đợc thành một đồng cấu vịnhóm duy nhất  :M  P, nghĩa là   0 và  1M  1P

Chứng minh Đối với điều kiện ngợc lại, tập con \ 1  là nửa nhóm con

của M Điều đó đợc thỏa mãn, vì nếu không 1M sẽ có hai cách nhân tử hóakhác nhau Phần còn lại của khẳng định suy ra từ định nghĩa của vị nhóm tự

do 

Những kết quả khác đối với nửa nhóm tự do cũng có thể chuyển sang cho

vị nhóm tự do Nói riêng ta có kết quả sau

 với bảng chữ cái A nào đó.

1.2.6 Định nghĩa Đối với mỗi tập con 

   của các từ chúng ta kýhiệu   

Nếu w 

  là một từ thì ta sẽ viết w thay cho  w .

a i  thì w  Độ dài của từ rỗng đợc quy ớc bằng không (zero).n

Bổ đề sau đây đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa

 không nhất thiết tự do Nh một ví

dụ, hãy xét vị nhóm con  a ab ba, ,  của vị nhóm các từ  a b, 

Chứng minh Để chứng tỏ rằng   sinh ra M, ta giả thiết rằng trái lại 

có một từ w   không biểu diễn đợc thành tích các từ thuộc   Giả 

thiết rằng w là từ ngắn nhất sao cho w  nhng  w    Vì w   

nên tồn tại hai từ ,u v  sao cho  wuv Vì u,v ngắn hơn w nên từ cách xác

định của w có  

  ,

u v ; nhng khi đó uv    hay w   : Mâu 

thuẫn

Giả sử N là một tập con sinh ra M Khi đó với mọi u    , 

  

Nhng u không phải là tích của hai hay nhiều hơn hai từ thuộc M nên u  .

Do đó      

Kết quả sau đây thuộc về M P Schutzenberger (1955)

1.2.9 Định lý Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ 

 Thế thì

M tự do nếu và chỉ nếu: u, v, uw , wv   w .

Chứng minh Giả thiết rằng M tự do w   là một từ nào đó có u v  ,

sao cho uw wv  , Giả sử u u u1 2 ,u k uwv1 ,v t wvu k1 u k r và

 có luật giản ớc) Theo

giả thiết w  , nhng điều đó mâu thuẫn vì v1 u w1    Vậy M tự do  

Để chứng minh Định lý khuyết, ta cần đến kết quả sau đây

1.2.10 Định lý Giả sử i i   là một họ các vị nhóm con tự do của  

 .

nhóm con nhỏ nhất của 

 chứa X Cơ sở của vị nhóm con này đợc gọi là bao

tự do của X và đợc kí hiệu là F  Nói riêng,  F X 

từ, và F  là bao tự do của nó Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X 

không phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì F X  X  1

Chứng minh Vì  F  nên mỗi từ  u  đợc viết một cách duy nhất

dới dạng uw w1 2 w k, với w iF X  Giả sử   : F X  là một ánh xạsao cho  u w1, nếu uw F X1   Giả thiết rằng 

u u với hai cách nhân tử hoá khác nhau trên X) Thế thì  u1  v1 , và

nh vậy  không phải là đơn ánh (Nếu  u1  v thì 1  w sẽ có haicách nhân tử hoá khác nhau trên F X , mâu thuẫn với   F X  là vị nhóm con

  là luỹ thừa của một từ nguyên thuỷ duy nhất

Chứng minh Giả thiết rằng n m

  giao hoán đợc với nhau nếu và chỉ nếu chúng

là luỹ thừa của chung một từ.

Chứng minh Vì uvvu nên  u v,  không phải là một mã, và do đó

 

F X < X  , nên theo chứng minh Hệ quả 1.2.13 trên, ta có u và v là luỹ2

thừa của một từ z chung nào đó 

1.3 Biểu diễn các nửa nhóm Định lý Evans

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu

Nói riêng   u i  v i đối với tất cả các u i  trong R.v i

Tập hợp R các hệ thức đợc giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu uv

tử của S.

Giả sử S  A R là một biểu diễn Chúng ta chỉ ra rằng S có một hệ thức

uv (nghĩa là   u   v ) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy

1, , ,2 k 1

uu u u  các hệ thức sao cho v u i1 nhận đợc từ u bằng cách thay thế i

nhân tử u bởi i v đối với i u i  nào đó trong R.v i

Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ từ u, nếu

 1 ' 2

u w u w và  v w v w với 1 ' 2 u'v' nào đó trong R

Rõ ràng rằng nếu v đợc dẫn xuất từ u thì u đợc dẫn xuất từ v (vì R đối

1.3.2 Định lý Giả sử S A R là một biểu diễn, với R đối xứng Thế thì

C   , 

R  u v u  hay v đợc dẫn xuất từ v u

Do đó uv trong S nếu và chỉ nếu v đợc dẫn xuất từ u.

Chứng minh Ký hiệu  là quan hệ xác định bởi: u v nếu và chỉ nếu uv

hoặc v đợc dẫn xuất từ u.

Rõ ràng i nên  phản xạ Vì R đối xứng nên  đối xứng Tính bắc

cầu của  là hiển nhiên Vậy  là quan hệ tơng đơng

Nếu w 

  và v đợc dẫn xuất từ u thì rõ ràng wv cũng đợc dẫn xuất từ wu

và vw đợc dẫn xuất từ uw Vậy  là một tơng đẳng

Giả sử  là một tơng đẳng sao cho R Giả thiết rằng v đợc dẫn xuất trực tiếp bởi u:  u w u w v1 ' 2, w v w và 1 ' 2 u'v' trong R Vì R nên

Trong biểu diễn này chúng ta có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định.

Nh một vi dụ, S có một đẳng thức baabbaabbaaba vì

u1 baabbaab aa bbaa b ab bbaa ba bbb aa  u2

và u2 ba aba aa b aab aa a b ba ab a bbaaba

Cũng nh vậy, aaabaabbabbbaababaabab trong S, và do đó

aaabbab trong S

2) Một biểu diễn của các nhóm các từ không cần hệ thức xác định:





  Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn Thật vậy,

 

S ker  là một biểu diễn nh vậy, khi  :  S

  là toàn cấu biểudiễn Tuy nhiên, nói chung biểu diễn này rất phức tạp Chúng ta sẽ quan tâmnhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn

1) Giả sử   a b ab, ba là một biểu diễn của vị nhóm M Thế thì

M giao hoán, vì hệ thức abba cho phép chúng ta thay đổi vị trí của a và b.

Nếu các phần tử thuộc tập sinh của M giao hoán đợc với nhau thì M giao hoán(hiển nhiên) Do đó     a  b  ab ba     b  a hay xyyx.

Hơn nữa, mỗi phần tử z   có một dạng chuẩn: Giả sử zz z1 .2 z n với

2) Biểu diễn vị nhóm   a b aba,  xác định một nhóm Thực ra,1nhóm này đẳng cấu với ,  Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu

x a và y   b , hơn nữa abab aba. aba ba. ba và do đó xyyx.

Điều đó kéo theo M là một vị nhóm giao hoán Do đó, mỗi phần tử z  

  





1 nếu n=0 nếu n 1

Theo trên ab 1 là một hệ thức trong B Giả sử   là một phần tử tuỳ

ý của vị nhóm bixyclic,  n n1 1 trong đó i  hoặc  i  Vì