Biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm hữu hạn

Giả sử G là một nhóm, khi đó G trước hết phải là một nửa nhóm nhóm hữu hạn, ta có thể chọn A và R hữu hạn và khi đó biểu diễn | G là nhóm và G hữu hạn, có thể tìm được các biểu diễn của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTrờng đại học vinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTrờng đại học vinh

Mã số: 60.46.05

Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS Lê Quốc Hán

Vinh, 2010

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh

Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS.TS Lª Quèc H¸n

Ph¶n biÖn 1: PGS.TS Ng« Sü Tïng

Ph¶n biÖn 2: PGS.TS NguyÔn Thµnh Quang

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ

trường Đại học Vinh vào tháng 12 năm 2010

Có thể tìm hiểu Luận văn tại Thư viện trường Đại học Vinh.

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU

1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1 Nửa nhóm tự do Vị nhóm tự do

3

1.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn

12 Chương 2 Biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm hữu hạn 19

2.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm

19

2.2 Số khuyết của các biểu diễn nửa nhóm

24

2.3 Biểu diễn của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n;p) và nhóm nhị diện D2n

27 KẾT LUẬN

31 TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

MỞ ĐẦU

Một biểu diễn nửa nhóm là một tập hợp được sắp thứ tự A R| ,

nhóm tự do trên A Một nửa nhóm S gọi là xác định được bởi biểu

diễn nửa nhóm A R| hay A R| là biểu diễn nửa nhóm của S nếu

/

R, ký hiệu S = A R| .

Giả sử G là một nhóm, khi đó G trước hết phải là một nửa nhóm

nhóm hữu hạn, ta có thể chọn A và R hữu hạn và khi đó biểu diễn

|

(G là nhóm và G hữu hạn), có thể tìm được các biểu diễn của G một

cách tường minh

of groups and monoids " của H.Ayik, C.M.Campbell và các cộng sự

đăng trên tạp chí Math Proceedings of Royal Irishn Academy năm 2000

để trình bày chi tiết biểu diễn một số lớp nhóm hữu hạn đặc biệt đó là

Luận văn gồm hai chương :

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức liên quan đến

nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do và nhóm tuyến tính đặc biệt trêntrường hữu hạn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Biểu diễn nửa nhóm của một số nhóm hữu hạn.

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày biểu diễn nửanhóm và biểu diễn vị nhóm bởi các cấu trúc tự do tương ứng Từ đóxét các biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm cụ thể như nhómtuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3)

và nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh (Định lý 2.3.1), nhóm nhị diện D 2n

(Mệnh đề 2.3.5, Định lý 2.3.6)

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh Nhân dịp nàytác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán,người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng xin Trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, KhoaSau Đại học, các thầy, cô giáo trong khoa và tổ Đại số đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ cácthầy, cô giáo và các bạn học viên

1.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Một tập con X của S

rộng đồng cấu của ánh xạ α0 Nếu S được sinh ra tự do bởi một tập nào

đó thì S được gọi là nửa nhóm tự do

1.1.2 Ví dụ

Chứng minh Theo định nghĩa, mỗi α0 có một mở rộng

1.1.4 Định lý Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với

nửa nhóm các từ A + với một bảng chữ cái A + nào đó

Chứng minh Giả sử S được sinh tự do bởi tập con X ⊆ S và A là một

0 −

ψ ψ0 = iA

Vì iA: A → A được mở rộng một cách duy nhất tới đẳng cấu đồng

i) Nếu S được sinh tự do bởi một tập con X thì S≅ A + với A = X 

ii) Nếu S và R là các nửa nhóm được sinh tự do tương ứng bởi X và Y sao cho X = Y thì S ≅ R

1.1.6 Hệ quả Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ước.

Chứng minh Suy ra từ luật giản ước có trong A+ Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi-Dubreil -Jacotin về nửa nhóm tự do dựa trên sự nhân tử hoá các phần tử củanó

nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi xi ∈ X, i = 1,2, n Nếu X sinh ra Sthì mỗi phần tử x ∈ S có một nhân tử hoá trên X Nói chung sự phân

1.1.7 Định lý Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu

mỗi phần tử x thuộc S có sự nhân tử hóa duy nhất trên X

Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lý 1.1.7

Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho A = X  và α0: X → A là

1.1.8 Định nghĩa Đối với mỗi nửa nhóm S, tập con B(S) = S\S2 = {x

chỉ nếu x không biểu diễn được thành tích của hai phần tử tuỳ ý thuộc

S

Kết quả sau đây thuộc về Lévi - Dubreil - Jacotin

1.1.9 Định lý Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B(S) sinh ra S

một cách tự do.

Chứng minh Đặt X = B(S) Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là

nửa nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1 Giả sử S là nửa nhóm tự do Tachứng minh X sinh ra S một cách tự do Trước hết, ta chú ý rằng X là

trình đó sẽ kết thúc và ta thu được biểu diễn của a dưới dạng tích cácphần tử thuộc X hoặc với mọi số n lớn tuỳ ý sẽ tồn tại các phần tử

trong nửa nhóm tự do có luật giản ước và không có luỹ đẳng Vì n cóthể lớn tuỳ ý nên mâu thuẫn với Định lý 1.1.4 và định nghĩa nửanhóm các từ Vậy X sinh ra S

Giả sử x1x2 xn = y1y2 ym trong đó xi, yj ∈ X Đặt x2 xn = x và

năng thứ hai không xảy ra do định nghĩa của X Bây giờ tương tự thu

diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích các phần tử thuộc X Do

đó S được sinh tự do bởi X

1.1.10 Ví dụ.

1 Giả sử A = {a,b,c} là một bảng chữ cái Các từ ab, bab, ba sinh

A

ab, ba, bab + không tự do, vì phần tử w = babab có hai cách nhân tửhoá khác nhau trong S: w = ba.bab = bab.ab

tính giản ước sẽ có một từ ngắn hơn với hai cách nhân tử hoá khác

1.1.11 Định nghĩa Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh

Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập con M\{1} là nửa nhóm

nhân tử hóa khác nhau Phần còn lại của khẳng định trong định lýđược suy ra từ Định nghĩa 1.1.11 Ngoài những kết quả tương tự như nửa nhóm tự do, ta còn cómột số kết quả khác sau đây.

1.1.15 Định lý.

i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi x∈

M \{1} có một sự nhân tử hoá duy nhất trên X

ii) Mỗi vị nhóm tự do là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các

từ A * với bảng chữ cái A chọn thích hợp

iii) Một vị nhóm M là tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị nhóm các từ A * với bảng chữ cái A nào đó

1.1.16 Định nghĩa Đối với mỗi tập con X ⊆ A* của các từ ta ký hiệu

,

(hậu tố) của v nếu v ≡ u.w (hay tương ứng v≡w.u) với w ∈ A* nào

đó

Độ dài w của từ w ∈ A* là số chữ cái có trong w ; nếu w = a1, a2

không

1.1.17 Bổ đề Nếu u 1 u 2 = v 1 v 2 trong A * thì hoặc u 1 là tiền tố của v 1

hoặc v 1 là tiền tố của u 1 , nghĩa là tồn tại một từ w ∈ A * sao cho u 1 =

v 1 w hoặc v 1 = u 1 w

Trước hết ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự docủa vị nhóm con của vị nhóm các từ Đối với một vị nhóm con M của

vì từ rỗng không thể là tích của hai từ khác từ rỗng Cơ sở của M,

B(M) = M + \ M 2

rỗng) là đơn vị của chính vị nhóm con M Cơ sở của vị nhóm tự do

được gọi là mã

1.1.18 Bổ đề Đối với mọi vị nhóm con M của A * , cơ sở B(M) là tập sinh tối tiểu duy nhất của M (xét như một vị nhóm), nghĩa là nếu N là một tập con sinh ra M thì B(M) ⊆ N

Chứng minh Để chứng tỏ rằng B(M) sinh ra M, ta giả sử ngựợc lại

Giả sử N là một tập con sinh ra M Khi đó với mọi u ∈B(M), u ∈

Kết quả sau đây thuộc về M P Schutzenberger (1955)

1.1.19 Định lý Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A + Thế thì M tự do nếu và chỉ nếu: u,v, uw, wv ∈ M ⇒ w ∈ M

Chứng minh Giả sử M tự do, w ∈ A* là một từ nào đó có u,v∈ M sao

Giả sử điều kiện trên có hiệu lực đối với M Giả sử tồn tại một từ

1.1.20 Định lý Giả sử {M i  i∈ I} là một họ các vị nhóm con tự do của A * Khi đó M = i∩ ∈I M i cũng là vị nhóm con tự do của A *

Chứng minh Rõ ràng M là vị nhóm con của A* Giả sử u,v, uw, vw ∈

1.1.21 Định lý khuyết Giả sử X ⊆ A * là một tập con hữu hạn các từ,

và F(X) là bao tự do của nó Nếu X không phải là một mã ( nghĩa là X không phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó ) thì

F(x) < X-1

Chứng minh Vì X ⊆ F(x)* nên mỗi từ u ∈X* được viết một cách duy

r t t k

m k

k y w y w z w z w z w w

2 1 2

Ta có X ⊆ Y* nhưng Y* ⊆ F(X)*, mâu thuẫn với tính cực tiểu củaF(X) với tư cách là cơ sở bé nhất của vị nhóm tự do chứa X Điều đó

1.1.22 Định nghĩa

i) Một từ w ∈ A+ được gọi là nguyên thủy nếu nó không phải là

1.1.23 Hệ quả Mỗi từ u ∈ A + là lũy thừa của một từ nguyên thủy duy nhất

Chứng minh Giả thiết rằng w = un= vm với các từ u,v ∈A+ nào đó, u ≠

v và với các số nguyên m, n > 1 nào đó Thế thì tập hợp X = {u,v}không phải là mã, vì có hai sự nhân tử hóa khác nhau trên X Theo

Nếu u, v nguyên thủy thì r = s = 1 và u = v

1.1.24 Hệ quả Hai từ u,v ∈ A * giao hoán được với nhau nếu và chỉ nếu chúng là lũy thừa của cùng một từ

Chứng minh Vì uv = vu nên X = {u,v} không phải là một mã và do

là lũy thừa của một từ z chung nào đó

1.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn

1.2.1 Định nghĩa Cho S là một tập con của nhóm X Ta gọi nhóm

con của X sinh bởi tập S là nhóm con nhỏ nhất chứa tập S.

Ký hiệu <S>

Như vậy nhóm con sinh bởi S có hai tính chất:

i) <S> là nhóm con của X

ii) Nếu A là nhóm con của X và A ⊃ S thì A ⊃ <S>

1.2.2 Mệnh đề Mọi tập con S của nhóm X tồn tại duy nhất nhóm con

Theo tiêu chuẩn nhóm con suy ra C là nhóm con của X Vậy ta cóđiều phải chứng minh

1.2.3 Định nghĩa.Tập hợp GL(n,K) tất cả các ma trận khả nghịch cấp

n trên vành giao hoán K với đơn vị lập thành một nhóm với phép

nhân ma trận Nó được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát cấp n trên K

(hay còn gọi là nhóm ma trận tổng quát trên K):

e là ma trận cỡ (n,n) ; e ij là ma trận cỡ (n.n) mà phần tử dòng i, cột j bằng 1 và các phần tử còn lại bằng không Khi đó:

(i) M = {t is (α) = d(β)αβ∈ K; i ≠ j} là một tập sinh của GL(n;K) (ii) N = { t is (α)α∈K; i ≠ j } là một tập sinh của SL(n; K).

Chứng minh.(i) Ta chứng minh rằng mọi ma trận a ∈ GL(n ; K) có thể

là cộng vào dòng thứ i của a dòng thứ j đã nhân với x

Tương tự, nhân bên phải a với tij(α) có nghĩa là cộng vào dòng

các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng và các cột của ma trận a

Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên các cột có thể biến đổi a thành ma

Tiếp tục quá trình đó vào ô cấp n - 1 còn lại Lặp lại quá trìnhtrên sau một số hữu hạn bước ta thu được ma trận dạng d(β) Vậy a =

Điều này đã chứng minh khẳng định (i)

)

(

chứng minh

1.2.6 Mệnh đề i) GL(n ;q) = nΠ=−01

i (q n – q i ) ii) SL (n; q) = q1−1 1

Chứng minh i) Xét nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường hữu

Thật vậy, ta thấy cột thứ nhất của ma trận thuộc G có thể chọn

Giả sử M là tập hợp tất cả các ma trận thuộc GL(n;q) với cột thứ

nhất của ma trận đơn vị Bởi vậy, M  bằng số khả năng có thể chọn

GL(n ;q) | deta = 1} = SL (n;q), nên theo định lý cơ bản về đồng cấu

(Theo Định lý Lagrăng mở rộng : nếu G là nhóm hữu hạn, H là nhóm

1.2.7 Định nghĩa Cho G là nhóm hữu hạn, a,b ∈ G Khi đó phần tử

a -1 b -1 ab được gọi là hoán tử của a và b Ký hiệu [a, b].

1.2.9 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm M := {[a,b] a, b ∈ G}

Khi đó nhóm con sinh bởi M được gọi là hoán tập của G.

Ký hiệu [G, G]

ii) G là nhóm Abel ⇔ [G,G] = {e}.

Chứng minh i) Từ tính chất [a,b]-1 = [b,a] suy ra {s1,s2 ,sn∈ M}

Mệnh đề 1.2.2) nên theo các công thức :

ta có bao hàm thức ⊇ đúng trong trường hợp n > 2

Bây giờ ta xét trường n = 2 Vì khi K  > 2, theo (4) có thể chọn

được chứng minh trừ các trường hợp SL( 2,2), SL( 2,3)

Các nhóm GL(2,2), SL( 2,2), SL(2,3) các công thức (1) và (2) khôngđúng

352 324

642

.

.

;

.

;

1.2.13 Định nghĩa Giả sử M là tập con và H là nhóm con của G Khi

hoá của tập hợp M bởi nhóm H

Cái tâm hoá của toàn bộ nhóm G được gọi là tâm của nhóm G và

được ký hiệu là C(G)

Từ định nghĩa suy ra : G là nhóm Abel ⇔ C(G) = G Nếu C(G)

= {e} thì G được gọi là nhóm không tâm

1.2.14 Mệnh đề Tâm của các nhóm GL(n;K) và SL(n;K) là tập hợp

tất cả các ma trận vô hướng thuộc các nhóm đó

Chứng minh Giả sử K là một trường Khi đó, mọi ma trận vô hướng

Ngược lại nếu a là phần tử thuộc tâm của các nhóm này, thì nó

chi tiết, ta chú ý rằng mỗi ma trận X có thể viết được dưới dạng X :=

1.2.16 Định nghĩa Giả sử K là một trường Nhóm thương PSL(n, K)

của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n,K) theo tâm của nó được gọi là

nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(n, K) = ( )

( ); ) (

;

q n SL C q n SL

1.2.17 Mệnh đề Cấp của nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh cho bởi

công thức PSL (n,q) = d(q1−1) nΠ=−01

i (q n – q i ) trong đó : d = (n, q - 1) Chứng minh Suy ra trực tiếp từ các Mệnh đề 1.2.6 và 1.2.15

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM HỮU HẠN

2.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một

)

(

ker ψ

+

Các chữ cái trong A được gọi là các ký hiệu sinh của S, và nếu

S Như vậy,

Một biểu diễn của S gồm các ký hiệu sinh A = {a1, a2 } và các

Tập hợp R các hệ thức được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa

là nếu u = v trong R thì v = u cũng được thoả mãn

phần tử ψ(w) của S Cùng một phần tử của S có thể được biểu diễnbằng nhiều cách khác nhau (bởi các từ khác nhau) Nếu ψ(u) = ψ(v)thì hai từ u, v biểu diễn cùng một phần tử của S

u = v (nghĩa là ψ(u) = ψ(v) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy u =

Chính xác hơn, ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ một

Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v

, nên u = v là một hệ thức trong S

Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn u ≡

Thế thì R C = {u,v)u = v hay v được dẫn xuất từ u } Do đó u = v trong

S nếu và chỉ nếu v được dẫn xuất từ u

Chứng minh Ký hiệu ρ là quan hệ xác định bởi uρv nếu và chỉ nếu u

= v hoặc v được dẫn xuất từ u

Rõ ràng i ⊆ ρ nên ρ phản xạ Vì R đối xứng nên ρ đối xứng Tính bắc

2.1.3 Định lý Giả sử A là một bảng chữ cái và R ⊆ A + × A + là một quan hệ đối xứng Thế thì nửa nhóm S = A RC

+

có biểu diễn

S = 〈 Au = v với mọi (u,v) ∈ R〉

Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau.

2.1.4 Ví dụ

1 Xét biểu diễn nửa nhóm sau:

Trong biểu diễn này ta có hai phần tử sinh và ba hệ thức xácđịnh

Cũng như vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab trong S,

và do đó aaab = bab trong S

2 Một biểu diễn của các nửa nhóm các từ có tập hệ xác định là

Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn

là toàn cấu biểu diễn Tuy nhiên nói chung biểu diễn này rất phức tạp

Chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn,

hữu hạn và R là một tập hữu hạn các hệ thức

Ở trên ta đã nói tất cả các vị nhóm đều có một biểu diễn (với tưcách là một nửa nhóm) Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng cácbiểu diễn vị nhóm mà đối với các biểu diễn ấy có ưu thế của phần tửđơn vị

2.1.5 Định nghĩa M = a1,a2, u i =v i(i∈I) là một biểu diễn vị nhóm

biểu diễn vị nhóm chúng ta có thể giả thiết có các hệ thức dạng u = 1,nghĩa là từ u có thể bị xoá từ một từ khác hay bổ sung vào một vị trínào đó giữa hai chữ cái

2.1.6 Ví dụ

nhóm M giao hoán, vì hệ thức ab = ba cho phép ta thay đổi vị trí của a

và b Nếu các phần tử thuộc tập sinh của M giao hoán được với nhauthì M giao hoán Do đó ψ(a).ψ(b) = ψ(ab) = ψ(ba) = ψ(b)ψ(a) hay xy

= yx Hơn nữa, mỗi phần tử z ∈ M có một dạng chuẩn

m, k nào đó, ( m > 0, k > 0) Do đó vị nhóm M là một vị nhóm giao

hoán tự do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao hoán đượcsinh bởi hai phần tử là ảnh toàn cấu của M

Thực ra, nhóm này đẳng cấu với (Z, +)

C

R

toàn cấu tương ứng Thế thì M được sinh bởi các phần tử x = ψ(a) và

y = ψ(b), hơn nữa ab = ba.aba = aba.ba và do đó xy = yx Điều đó kéo

theo M là một vị nhóm giao hoán Do đó, mỗi phần tử z ∈M có dạng