Nhóm con liên kết với nửa nhóm chính quy

Mối liên hệ giữa Y và ξ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn...27 Kết luận...31 Luận văn đã hoàn thành các nội dung sau...31 Tài liệu tham khảo...32 Mở đầu Nửa nhóm S gọi là nửa nhóm chính

Trờng đại học vinh

Mục lục

Mục lục 2

Mở đầu 2

Chơng I: Các kiến thức cơ sở 4

1.1 Băng và nửa dàn 4

1.2 Nửa nhóm là hợp các nhóm 7

1.3 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngợc 8

1.4 Quan hệ Green trên nửa nhóm 10

1.5 Nửa nhóm 0-đơn hoàn toàn Định lý Ress 13

Chơng II Một số quan hệ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn 21

2.1 Nửa nhóm chính quy hoàn toàn 21

2.2 Quan hệ Y trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn .23

2.3 Quan hệ ξ trên nửa nhóm chímh quy hoàn toàn 25

2.4 Mối liên hệ giữa Y và ξ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn 27

Kết luận 31

Luận văn đã hoàn thành các nội dung sau 31

Tài liệu tham khảo 32

Mở đầu

Nửa nhóm S gọi là nửa nhóm chính quy hoàn toàn nếu nó là hợp (rời) của các nhóm con tối đại của nó

Đối với mỗi a∈ S, ký hiệu a-1 và a0 là nghịch đảo nhóm của a và đơn vị của Ha

tơng ứng, trong đó Ha là nhóm con tối đại của S chứa a

Chúng ta ký hiệu V(a)={ x ∈ S: a=axa; x=xax } Các phần tử thuộc V(a) đợcgọi là các phần tử ngợc của a Đối với quan hệ hai ngôi θ tuỳ ý trên S, ký hiệu θ*

là tơng đẳng đợc sinh bởi θ

Chúng ta ký hiệu tơng đẳng Clifford nhỏ nhất bởi ν và quan hệ bằng nhau bởi

ε trên các nửa nhóm chính quy hoàn toàn

Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm orthodox nếu S là nửa nhóm chính qui và tậphợp các phần tử luỹ đẳng của S là một nửa con của S

Nh đã biết đối với nửa nhóm orthodox δ tuỳ ý, quan hệ Y cho bởi

a Y b ↔ V(a)= V(b), với a, b∈ S

là tơng đẳng nhỏ nhất trên δ Tuy nhiên đối với nửa nhóm chính quy tổng quát S,

Y không phải là tơng đẳng Clifford nhỏ nhất trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn.Quan hệ hai ngôi ξ đợc cho bởi:

aξb ↔ a=a0ba0 ; b=b0ab0

Một nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm Clifford nếu nó là nửa nhóm chính

quy hoàn toàn đồng thời là nửa nhóm ngợc

Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo Some relations on completely regular semigroups đăng trên tạp chí Semigroups forum năm 2009 để tìm hiểu mối liên quan

giữa các tơng đẳng Y và ξ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn

đó, sau đó chứng minh chi tiết tính chất của các quan hệ Y và ξ trên nửa nhóm chínhquy hoàn toàn (Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.3.5 và Mệnh đề 2.3.6)

Phần cuối cùng trình bày chi tiết các kết qủa quan hệ Y *, Y, ν và ε trên nửanhóm đơn hoàn toàn và nửa nhóm chính quy hoàn toàn (Hệ quả 2.4.2, Mệnh đề2.4.3, Hệ quả 2.4.4 và Mệnh đề 2.4.5)

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh Nhân dịp nàytác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ngời thầy đã đặt vấn

đề và trực tiếp hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn

Cuối cùng xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đạihọc, các thầy cô giáo trong khoa và tổ Đại Số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,chúng tôi mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và cácbạn đồng nghiệp

(2) a ≤ b và b ≤ a kéo theo a = b,

(3) a ≤ b và b ≤ c kéo theo a ≤ c (a, b, c ∈ X)

Nói cách khác, một thứ tự bộ phận là một quan hệ phản xạ, phản đối xứng vàbắc cầu Ta viết a<b nếu a ≤ b và a ≠b Quan hệ ngợc với quan hệ ≤ [<] thờng đợc kíhiệu bởi ≥ [>]

Giả sử E là tập các phần tử lũy đẳng của một nửa nhóm S Đặt e ≤ f (e, f ∈

E) nếu ef = fe = e Nếu e ≤ f thì ta nói e đứng trớc f, và f đứng sau e Ta chứng tỏrằng quan hệ ≤ đó là một thứ tự bộ phận trên E Giả sử e, ƒ , g ∈ E Thế thì

Phần tử b thuộc tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là cận trên của tập con Y của

X, nếu y ≤ b với mỗi y ∈ Y Cận trên b của tập Y đợc gọi là cận trên bé nhất, hoặc hợp của Y, nếu b ≤ c với mỗi cận trên c của tập Y Nếu Y có một hợp trong X, thì rõràng hợp đó là duy nhất Cận dới và Cận dới lớn nhất hay giao đợc định nghĩa một

cách đối ngẫu Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên [dới], nếu mỗi tập

con gồm hai phần tử {a,b} của tập X có hợp [giao] trong X; trong trờng hợp đó mỗitập con hữu hạn của X có hợp [giao] Hợp [giao] của {a,b} ta sẽ kí hiệu bởi a ∨ b [a

∧ b] Mỗi dàn là một tập sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là một nửa dàn trên và nửadàn dới, Dàn X đợc gọi là đầy đủ, nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao.

1.1.2 Ví dụ, giả sử X là tập tất cả các phỏng nhóm con của một phỏng nhóm S

kể cả tập rỗng Thế thì X đợc sắρ thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyếttập vì giao của một tập tùy ý các phỏng nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là mộtphỏng nhóm con, nếu X là một dàn đầy đủ, Giao của một tập con Y của X trùng vớigiao theo lý thuyết tập của các phần tử thuộc tập hợp Y, trong lúc đó hợp của Y là

thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “ phỏng nhóm conhay tập rỗng của S” Bởi từ “ tơng đẳng trên S “

Mặt khác, tập tất cả các iđêan trái [phải, hai phía] của phỏng nhóm S, kể cảtập rỗng, đóng đối với phép hợp theo lý thuyết tập cũng nh giao, nên là một dàn con

đầy đủ của đại số Bun tất cả các tập con của S

1.1.3.Định nghĩa.

Băng là một nửa nhóm S mà mỗi phần tử là lũy đẳng Nh vậy, S = E nếu S là

một băng và do đó S đợc sắρ thứ tự bộ phận tự nhiên (a ≤ b khi và chỉ khi ab = ba =a)

1.1.4 Định lý Một băng giao hoán S là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao a∧b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chú ý Tất nhiên ta có thể là cho S là nửa dàn trên, bằng cách đặt a ≤ b, nếu ab = b,nhng để cho thống nhất, ta giữ định nghĩa đã nêu ở trên Về sau, ta sẽ dùng từ nửadàn nh đồng nghĩa với từ băng giao hoán nh vậy, ta thỏa thuận rằng từ nửa dàn sẽ đ-

ợc dùng với nghĩa là nửa dàn dới, nếu không nói thêm gì

Chứng minh: ở trên ta đã chứng tỏ rằng quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên

S (=E) Ta cần chứng tỏ rằng tích ab (=ba) của hai phần tử a,b ∈ S trùng với cận dớilớn nhất của {a,b} Từ baa=ba2 =ba và (ab)b =ab2 =ab suy ra rằng ab ≤ a và ab ≤ b.Giả sử c ≤ a và c ≤ b Thế thì (ab)c = a(bc) =ac =c, và tơng tự, c(ab) = ∈, từ đó c ≤

ab

1.1.5 Ví dụ: Các băng không giao hoán Giả sử X và Y là hai tập tùy ý Ta

định nghĩa phép toán hai ngôi trên S = X x Y bằng cách đặt: (x1, y1)(x2, y2) = (x1,y2),(x1,x2 ∈ X ; y1,y2 ∈ Y) Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiển nhiên Ta

sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X x Y Lý do của tên gọi đó nh sau Ta hãy tởng

t-ợng X x Y là một băng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm (x,y) nằm ở dòng xcột y của bảng Thế thì a1 = (x1,y1) và a2 = (x2,y2) là hai đỉnh đối diện của hình chữnhật mà hai đỉnh kia là a1a2=(x1,y2) và a2a1 = (x2,y1)

Các băng chữ nhật trên X x Y và X’ x Y’ đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi

X = X’vàY = Y’

Nếu X = 1, [Y = 1] thì băng chữ nhật trên X x Y đẳng cấu với nửa nhómcác phần tử không bên phải [trái] trên Y [X]

Lý thuyết nửa nhóm không bao gồm cả lý thuyết dàn và nửa dàn lẫn lý thuyếtnhóm Nếu một loại nửa nhóm nào đó có thể hoàn toàn đợc mô tả trong phạm vi của

lý thuyết nhóm và nửa dàn, thì ta coi việc nghiên cứu tiếp tục cấu trúc của các nửanhóm đó nằm ngoài phạm vi của lý thuyết nửa nhóm

Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp của các nửanhóm con rời nhau Sα (α∈Ω) Để cho sự phân tích đó có giá trị, điều cần thiết là cácnửa nhóm con Sα phải là các nửa nhóm thuộc loại nàο đó hẹp hơn S, chẳng hạn cácnửa nhóm đơn hay các nhóm

Giả sử S = ∪{ Sα {α ∈ Ω } là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho mỗi cặpphần tử α, β thuộc tập các chỉ số Ω tồn tại phần tử γ∈ Ω để Sα Sβ ⊆ S γ Ta địnhnghĩa một phép toán đại số trong Ω bằng cách đặt αβ = γ nếu SαSβ⊆ Sγ Dễ thấy Ω

trở thành một băng đối với phép toán đó Ta nói S là hợp băng Ω các nửa nhóm Sα

ánh xạ ϕ xác định bởi aϕ = α nếu a ∈ Sα là đồng cấu từ S lên Ω, và các nửa nhómcon Sα là các lớp của tơng đẳng ϕ o ϕ-1 của mỗi phần tử α∈ Ω là một nửa nhóm con

Sα (α ∈ Ω ) Nếu băng Ω giao hoán, ta nói S là hợp của nửa dàn Ω các nửa nhóm

Sα ( α∈ Ω ) Nếu Ω là cấu trúc của mỗi Sα (α ∈Ω ) là đã biết, thì có thể nói ta biết

“cấu trúc thô” của nửa nhóm S

1.2 Nửa nhóm là hợp các nhóm

1.2.1.Định nghĩa Nửa nhóm S đợc gọi là đơn [ đơn trái, đơn phải], nếu nó không

chứa iđêan thực sự hai phía [ trái, phải]

Các kết quả sau đây đã đợc chứng minh trong [1]

- Một nửa nhóm S là đơn trái và đơn phải khi và chỉ khi nó là một nhóm

- Một nửa nhóm đơn là hợp của các nhóm khi và chỉ khi nó là đơn hoàn toàn

- Các mệnh đề sau đay đối với một nửa nhóm S là tơng đơng:

i ) S là hợp các nhóm

ii ) S là hợp các nửa nhóm đơn hoàn toàn

iii ) S là một nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn Sα (α∈ Y), trong đó Y

là nửa dàn các iđêan chính của S và mỗi Sα là một Tα - lớp của S

Trong bốn bổ đề dới đây ta giả thiết rằng S là một nửa nhóm ngợc và là hợpcủa các nhóm

Nếu a∈S thì ta sẽ ký hiệu là phần tử ngợc của a là a-1, mà trong trờng hợp nàychính là nghịch đảo của a trong nhóm Ha

1.2.2 Bổ đề Giả sử e ≤ f (e,f∈E ) và giả sử a ∈ H f thế thì ea = ae, và ea ∈ H e

1.2.3 Bổ đề Mỗi luỹ đẳng thuộc S nằm trong tâm của S

1.2.4 Bổ đề Nếu α≥β thì ánh xạ ϕα,β xác định bởi aαϕα,β =aαeβ (aα∈Gα) là một

đồng cấu từ Gα vào Gβ Nếu α≥β≥γ thì ϕα,βϕβ,γ =ϕα,γ Hơn nữa, ϕα , α là ánh xạ đồngnhất của Gα

1.2.5 Bổ đề Nếu aα∈ Gα và bα∈ Gβ thì aαbβ = (aαϕα,γ) = (aβϕβ,γ), trong đó γ = αβ

Kết quả sau đây đã đợc chứng minh trong [1]

1.2.6 Định lý Giả sử Y là một nửa dàn nào đó, và ứng với mỗi α ∈ Y ta lấy một nhóm Gα sao cho Gα và Gβ rời nhau nếu α ≠β trong Y ứng với mỗi cặp phần tử

α,β thuộc Y sao cho α>β ta lấy một đồng cấu ϕα,β từ Gα vào Gβ sao cho α>β>γ thì

ϕα,βϕβ,γ=ϕβ,γ (1)

Giả sử ϕα,α là đẳng cấu đồng nhất của Gα Giả sử S là hợp của tất cả các nhóm Gα (α ∈ Y) và ta định nghĩa tích hai phần tử bất kỳ aα , bβ thuộc S ( aα

∈Gα ,bβ∈Gβ) bởi aα bβ = ( aαϕα,γ )(bβϕβ,γ) (2)

trong đó γ là tích αβ của α và β trong nửa dàn Y.

Thế thì S là một nửa nhóm là hợp của các nhóm, trong đó các phần tử luỹ

đẳng giao hoán với nhau (hay tơng đơng với điều kiện này S là một nửa nhóm ngợc

là hợp của các nhóm).

Ngợc lại, mỗi nửa nhóm loại này ta có thể xây dựng bằng cách vừa trình bày

1.3 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngợc.

1.3.1 Định nghĩa 1.

i) Phần tử a của nửa nhóm S đợc gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần tử x ∈

S sao cho a = axa

ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều là

phần tử chính quy

1.3.2 Ví dụ.

(1) Mọi luỹ đẳng đều là phần tử chính quy Nói riêng, nếu S có phần tử đơn vịphần tử thì phần tử ấy là phần tử chính quy

(2) Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính quy

Nếu S là một nửa nhóm chứa luỹ đẳng thì tập hợp tất cả luỹ đẳng của S đợc ký hiệu

là E(S) hay ES Bổ đề sau đây chỉ ra rằng nếu S là nửa nhóm chính quy thì ES khácrỗng

1.3.3 Bổ đề Nếu a là phần tử chính quy trong nửa nhóm S và a = axa với x

ii) Tồn tại e ∈ E S sao cho a R e

iii) Tồn tại ƒ∈ E S sao cho a L ƒ

Chứng minh Giả thiết rằng a là phần tử chính quy trong S Khi đó tìm đợc x ∈ S saocho a=axa Đặt e = ax và ƒ = xa thì e, ƒ∈ ES và ea = a = af nên a R e = a L f.

Giả sử a R e Khi đó a = ea và tồn tại y ∈ S1 sao cho e=ay do đó a=ea=aya nên

a chính quy Tơng tự, có (iii) suy ra (i)

Nếu e,ƒ∈ ES thì đối với x ∈ Re ∩ Lƒ tồn tại (duy nhất) phần tử y ∈ Rƒ ∩Lesao cho xy= e và yx=ƒ

1.3.4.Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S Khi đó phần tử x ∈ S đợcgọi là phần tử ngợc của a nếu a=axa và x=xax.

Chú ý rằng một phần tử ngợc của a nếu tồn tại thì có thể không duy nhất

1.3.5 Bổ đề Một phần tử chính quy của nửa nhóm S có ít nhất một phần tử

ng-ợc.

Chứng minh Nếu a ∈ S chính quy thì a=axa với x thuộc S nàο đó Khi đóxax=xax.a.xax và do đó xax cũng là phần tử chính quy Lại có a=a.xax.a và do đóxax là một phần tử ngợc của a

1.3.6 Định nghĩa Một nửa nhóm S đợc gọi là một nửa nhóm ngợc nếu mỗi phần

tử của S đều có một phần tử ngợc duy nhất

Giả sử S là một nửa nhóm ngợc và x là một phần tử bất kỳ của S Khi đó phần

tử ngợc duy nhất của x sẽ đợc kí hiệu là x-1

1.3.7 Ví dụ Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngợc, và phần tử ngợc

của x chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x

1.4 Quan hệ Green trên nửa nhóm

1.4.1 Định nghĩa Ta định nghĩa quan hệ L trên một nửa nhóm S bằng cách đặt a

L b khi và chỉ khi a và b sinh ra cùng một iđêan chính trái của S Nói khác đi, L làmột tập con của S x S gồm tất cả các cặp (a ,b ) sao cho a ∪ Sa = b ∪ Sb, hay S1a =

S1b, trong đó S1 trùng với S nếu S chứa đơn vị, và S1 là nửa nhóm thu đợc từ S bằngcách ghép thêm đơn vị 1 trong trờng hợp trái lại Rõ ràng L là một quan hệ tơng đ-

ơng, hơn nữa nếu a L b thì ac L bc với c tùy ý thuộc S, tức là L tơng đẳng phải Nếu a

L b, thì ta nói a và b L - tơng đơng Ký hiệu La là tập tất cả các phần tử thuộc S mà L

- tơng đơng với a, nói khác đi, La là lớp tơng đơng theo mod L chứa a; ta gọi nó là L– lớp chứa a

Ta định nghĩa quan hệ R một cách đối ngẫu , bằng cách đặt a R b khi và chỉ khi

aS1 = bS1 Chú ý rằng R là tơng đẳng trái trên S Ta kí hiệu Ra là lớp tơng đơng của Stheo mod R chứa a, hay nói khác đi, là R – lớp chứa a

1.4.2 Bổ đề Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và vì vậy quan hệ

D = L 0 R = R 0 L là quan hệ tơng đơng bé nhát L ∨ R chứa L và R.

Chứng minh: Ta cần chứng tỏ rằng L0R ⊆ R0L

Giả sử a và b là các phần tử thuộc S sao cho a (L0R )b Theo định nghĩa tíchcác quan hệ, tồn tại c ∈ S sao cho a L c và c R b Theo định nghĩa của L và R suy

ra rằng tồn tại u,v ∈ S1 sao cho a = uc và b = cv Đặt d = av = ucv = ub Vì L là

t-ơng đẳng phải nên a L c kéo theo av L cv, tức là d L b Vì R Là tt-ơng đẳng trái

nên c R b kéo theo uc R ub, tức là a R d Từ các hệ thức a R d và d L b ta suy ra a( R0L )b.

Do đó L0R ⊆R0L là điều phải chứng minh

D – lớp của S chứa phần tử a sẽ đợc ký hiệu bởi Da

1.4.4 Định nghĩa và ký hiệu Trên nửa nhóm S ta xác định quan hệ T bằng

đó a D b khi và chỉ khi tồn tại c ∈ S sao cho a R c và c L b Nhng điều đó tơng

đ-ơng với điều kiện c ∈ R và c ∈ L, Tức là c ∈ R ∩L Do đó a D b khi và chỉ khicác D – lớp chứa R và L trùng nhau

Để hình dung tốt hơn về D - lớp D của nửa nhóm S, ta dùng hình ảnh trựcquan sau đây gọi là “hộp trứng” Hãy tởng tợng các phần tử thuộc D đợc sắpthành một bảng chữ nhật giống các hộp dùng để sắρ trứng, mà các dòng ứng vớicác R – lớp, còn các cột ứng với các L – lớp chứa trong D Một ô của hộp ứngvới một H – lớp chứa trong D, và chú ý trên chứng tỏ rằng trong hộp không có ôtrống nào Ta không giả thiết rằng các phần tử thuộc các H – lớp đợc sắρ mộtcách đặc biệt nào đó Ta sẽ thấy ngay đây rằng các H – lớp chứa trong D có cùngcấp Vậy có thể nói các ô của hộp trứng đợc sắρ bởi một số giống nhau các phần

Ta chứng tỏ σ bảo tồn các R – lớp Thật vậy, nếu x ∈ La và y = xσ = xs thì

ys’ = x, tức là y R x Tơng tự cũng chứng minh đợc σ‘ bảo tồn các L – lớp

1.4.6 Định lý Giả sử a và c là các phần tử D t– ơng đơng tùy ý thuộc nửa nhóm S Khi đó tồn tại phần tử b ∈ S sao cho a R b và b L c và do đó as =b,

bs’= a, tb = c, t’c = b đối với s,s’,t,t’ nào đó thuộc S 1 Các ánh xạ x→txs ( x∈H a )

và z→t zs (z’ ’ ∈H c ) ngợc nhau và ánh xạ một một các lớp H– a với H c sang lẫn nhau Đặc biệt hai H - lớp nằm trong cùng một D lớp thì có cấp nh– sau Chứng minh Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Green, các ánh xạ T : y →ty (y

∈ Rb) và T ‘: z →t’z ( z ∈ Rc) ngợc nhau, bảo toàn các L – lớp và ánh xạ một –một từ Rb lên Rc và ngợc lại

Giả sử σ và σ‘ là các ánh xạ trong bổ đề Green, nhng thu hẹp trên Ha và Hb

t-ơng ứng (Vì theo bổ đề Green các ánh xạ σ và σ ‘ bảo tồn các R – lớp nên cáithu hẹp của chúng ánh xạ một –một từ Ha lên Hb và ngợc lại ) Tơng tự, giả sử T

và T ‘ đợc thu hẹp trên Ha và Hc tơng ứng Khi đó σT và Tσ‘ là các ánh xạ một –một ngợc nhau từ Ha lên Hb và ngợc lại Nhng chúng trùng với ánh xạ nêu trong

định lý

1.4.7 Định lý Tích LR của L lớp bất kỳ L và – R lớp bất kỳ R của nửa–

nhóm S đợc chứa hoàn toàn trong một D lớp của S.–

Chứng minh Định lý tơng đơng với điều khẳng định rằng nếu a, a’, b, b’ làcác phần tử thuộc S mà a L a’ và b R b’ thì ab D a’b’ Vì L là một tơng đẳng phảinên aL a’ kéo theo abL a’b’ Vì R là một tơng đẳng trái nên bR b’ kéo theo a’bR

a’b’ Nhng từ ab L a’b và a’b R a’b’ suy ra ab D a’b’

1.5 Nửa nhóm 0-đơn hoàn toàn Định lý Ress

1.5.1 Định nghĩa.

* Một nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm đơn nếu nó không có iđêan khác S.

* Giả sử E là tập các lũy đẳng của một nửa nhóm S Nếu e, f ∈ E thì ta đặt e

≤f khi và chỉ khi ef =fe = e Khi đó quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên E Nếu Schứa phần tử không 0 thì 0 ≤ e với mỗi e ∈ E Lũy đẳng f thuộc nửa nhóm S đợcgọi là nguyên thủy nếu f ≠0 và nếu e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f ( đó là địnhnghĩa thông thờng của lũy đẳng nguyên thủy nếu S là một vành)

1.5.2 Định nghĩa Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm đơn [0 - đơn] hoàn

toàn nếu là một nửa nhóm đơn [0 - đơn ] chứa lũy đẳng nguyên thủy.

Chẳng hạn mọi nửa nhóm đơn [0 - đơn ] hữu hạn là đơn [0 - đơn ] hoàn toàn.Thật vậy, S phải chứa lũy đẳng nên E ≠ ∅ Hơn nữa, E ≠ 0 vì nếu trái lại mộtphần tử thuộc S là lũy linh, do đó (vì S hữu hạn) S là một nhóm lũy linh (tức là tồntại số nguyên n để Sn = 0 trái với giả thiết S2 = S Rõ ràng tập hữu hạn sắp thứ tự

bộ phận E \0 chứa một phần tử tối tiểu chính là lũy đẳng nguyên thủy

1.5.3 Bổ đề Nếu L là một iđêan trái 0 tối tiểu của một nửa nhóm S với–

Hai kết quả sau đay đã đợc chứng minh trong [1]

1.5.4 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn chứa iđêan trái 0 tối tiểu và–

iđêan phải 0 tối tiểu Khi đó mỗi iđêan trái 0 - tối tiểu L của S ứng với ít nhất–

một iđêan phải 0 tối tiểu R của S sao cho LR – ≠ 0

1.5.5 Bổ đề Giả sử L là một iđêan trái 0 tối tiểu của một nửa nhóm 0 - đơn–

S, và giả sử a ∈ L\0 Khi đó Sa = L.

1.5.6 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn, L và R tơng ứng là các iđêan

trái và phải 0 tối tiểu của S sao cho LR – ≠ 0 Khi đó:

i) LR = S

ii) RL là một nhóm với phần tử không,

iii) RL = R ∩L Giả sử e là đơn vị của nhóm RL\0 Khi đó (iv) R = eS, L = Se và

RL = eSe (v) e là lũy đẳng nguyên thủy của nửa nhóm S.

Chứng minh (i) Vì LR là một idean hai phía khác không của nửa nhóm

0-đơn S nên LR = S

(ii) Từ đẳng thức S = S2 = LRLR suy ra RL≠ 0 Ta chứng tỏ RL là một nhómvới phần tử 0 Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ rằng RLa=aRL=RL với mọi phần tử a ≠

0 thuộc RL Giả sử a ∈ RL\0 Khi đó a ∈ R\0 và vì vậy aS = R Từ S = LR =LaSsuy ra La ≠ 0 Vậy là môt iđêan trái khác không của S chứa trong L (vì a ∈ L) và

do đó La = L Thành thử RLa = RL Ta chứng minh đợc aRL = RL bằng cách đốingẫu

(iii ) Giả sử e là đơn vị của nhóm RL\0 Ta có (R\0)∩(L\0) là một H - lớp của

S Nó chứa lũy đẳng e và vì vậy theo Định lý Green nó là một nhóm Do đó

R∩L là một nhóm với phần tử 0 Nếu a ∈ R∩L thì a = ae ∈ RL vì a ∈ R và e

∈L Vậy R∩L ⊆ RL Bao hàm thức ngợc lại là hiển nhiên

iv) Vì e ∈ L\0 nên suy ra rằng Se = L Một cách đối ngẫu, eS = R và từ đó RL

= eSSe = eSe

v) Giả thiết rằng f là một lũy đẳng thuộc S sao cho f ≤ e Khi đó f ∈ eSe

Nh-ng theo (iv) ta có eSe = RL, hơn nữa theo (ii) RL là một nhóm với phần tử khôNh-ngcác lũy đẳng chỉ là đơn vị và 0 nên f = e hoặc f = 0, cho nên e là lũy đẳng nguyênthủy

1.5.7 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0-đơn hoàn toàn và e là lũy đẳng

nguyên thủy của nó Khi đó L = Se và R = Se là các iđêan trái và phải 0 tối–

tiểu của S tơng ứng, hơn nửa RL (= eSe = R∩L) là một nhóm với phần tử 0 mà

đơn vị là e.

Chứng minh Ta chứng tỏ rằng iđêan R = eS là 0 – tôi tiểu Trớc hết chú ý

rằng R ≠ 0 vì e ∈ R Giả sử A là một iđêan phải khác không của S chứa trong R

và giả sử a ∈ A\0 Vì a ∈ eS nên ta có ea=a Vì S là 0-đơn và a ≠ 0 nên SaS = S, vìvậy tồn tại x’,y’∈ S sao cho x’ay’ = e Đặt x = ex’e và y = y’e ta đợc

xay = e, ex = xe= x, ye = yNếu đặt f = ayx ta đợc

f2 = ay(xay)x = ayex = ayx = f,

ef = (ea)yx = ayx = f

fe = ay(xe) = ayx = fHơn nữa

e = e2 = x(ayx)ay = xfay

do đó f ≠ 0 Vậy f là lũy đẳng khác không, nhỏ hơn hoặc bằng e, Theo giả thiết e

là lũy đẳng nguyên thủy nên f = e và khi đó e = ayx ∈ aS, từ đó R = eS ⊆ aS2⊆

A Vậy A = R, nghĩa là R là iđêan 0 – tối tiểu

Một cách đối ngẫu, ta có thể chứng minh rằng iđêan L0- tối tiểu.Vì LR = SeS

= S ≠ 0 Ta suy ra RL là một nhóm với phần tử 0 Vì e ∈ eSe = eS2e = RL và e ≠ 0nên dễ thấy rằng e là đơn vị của RL

1.5.8 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn Khi đó S là 0 - đơn hoàn

toàn trong và chỉ trong và chỉ trong trờng hợp nó chứa ít nhất một idean trái 0 tối tiểu và ít nhất một iđêan phải 0 tối tiểu

Chứng minh nếu S là 0 - đơn hoàn toàn thì nó chứa lũy đẳng nguyên thủy e.

Khi đó L = Se và R = eS tơng ứng là các iđêan trái và phải 0 – tối tiểu của S

Đảo lại, giả sử S chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu và ít nhất một iđêanphải 0 – tối tiểu Giả sử L là một iđêan trái 0 – tối tiểu của S Khi đó tồn tại mộtiđêan phải 0 – tối tiểu R của S sao cho LR≠ 0 Suy ra S chứa lũy đẳng nguyên

1.5.9 Hệ quả Một nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn là hợp của các iđêan trái

[phải] 0 tối tiểu của nó.–

1.5.10 Hệ quả Giả sử M là một iđêan 0- tối tiểu của một nửa nhóm S sao

M 2≠ 0 Ngoài ra, giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan trái 0 tối tiểu của S–

và chứa ít nhất một iđêan phải 0 tối tiểu của S Khi đó M là một nửa nhóm–

con 0 - đơn hoàn toàn của S

Chứng minh M là một nửa nhóm con 0 - đơn của S Do mỗi iđêan trái [phải]

0 – tối thiểu của S chứa trong M cũng là một iđêan trái [phải] 0 – tối tiểu của

M Suy ra M là nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn

1.5.11 Định lý Một nửa nhóm 0-đơn hoàn toàn là 0- song đơn và chính quy.

Chứng minh Giả sử a và b là các phần tử khác 0 thuộc S Ta chứng tỏ a D b.

Khi đó một iđêan trái 0 – tối tiểu L nào đó của S và b thuộc một iđêan phải 0 –tối tiểu R nào đó của S Suy ra L = Sa và R = bS Do đó La = L\0 và Rb = R\0 Từ

a ∈ L và b ∈ R suy ra bSa ⊆ R ∩L Vì S là nửa nhóm 0 - đơn và a ≠ 0, b ≠ 0 nênSaS = S và SbS = S Do đó S = S2 =SbSSaS ⊆ S(bSa)S, nên bSa ≠ 0

Vì Rb∩ La chứa tập con khác rỗng bSa\0 nên ta kết luận a D b

Theo định nghĩa nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn Ta thấy D – lớp S\0 chứa lũy

đẳng (nguyên thủy), nên mỗi phần tử thuộc S\0 chính qui Vì 0 cũng chính quinên S là nửa nhóm chính qui

1.5.12 Định lý Xem [1] Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn.

(i) Nếu a ∈ S và a 2≠ 0 thì a 2∈ H a và H a là một nhóm.

(ii) Nếu a,b ∈ S và ab ≠ 0 thì ab ∈ R a∩L b

(iii) Nếu a,b ∈ S thì H a H b =0 hoặc H a H b = R a∩L b ; trong cả hai trờng

hợp H a H b =H ab

1.5.13 Định nghĩa và ký hiệu.

Giả sử G là một nhóm, G0 =G∪0 là nhóm với phần tử không, thu đợc bằngcách ghép thêm phần tử 0 Giả sử X là một tập hợp nào đó và giả sử i→ai là một ánhxạ từ X vào G0 Nếu ai=0 với mỗi i∈X, ta định nghĩa ∑i ∈ X ai=0 Nếu aj ≠0 với mỗi jnào đó thuộc X và aj =0 nếu i≠ j thì định nghĩa ∑i ∈ X ai=aj Nếu aj≠0 và ak≠0 với j ≠ kthuộc X thì ∑i ∈ X ai không xác định