Về ảnh của không gian mêtric khả li địa phương

Trớc hết nghiên cứunhững đặc điểm của không gian ảnh của không gian metric khả li địa phơngqua s-ánh xạ thơng, s-ánh xạ giả-mở và ánh xạ đóng.. Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trìnhbà

Trêng §¹i häc Vinh

Trêng §¹i häc Vinh

Sinh viªn thùc hiÖn:

Ng« c«ng h÷u Líp: 42A1 - khoa To¸n

====Vinh, 2005===

Lời mở đầu

Nghiên cứu đặc điểm của không gian ảnh của một không gian metric là mộthớng nghiên cứu của tôpô đai cơng Từ bài báo “ Mappings and Spaces ”năm 1966, vấn đề đó đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâmnghiên cứu và họ đã đạt đợc một số kết quả đáng chú ý Đặc biệt là nhữngkết quả trong công trình nghiên cứu của các nhà toán học L Foged, E.Michael

Trong khoá luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu những tính chất củakhông gian ảnh của không gian metric khả li địa phơng Trớc hết nghiên cứunhững đặc điểm của không gian ảnh của không gian metric khả li địa phơngqua s-ánh xạ thơng, s-ánh xạ giả-mở và ánh xạ đóng Sau đó, nghiên cứu mốiliên hệ giữa ảnh của không gian metric và ảnh của không gian metric khả li

địa phơng qua những ánh xạ đó Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trìnhbày theo hai phần nh sau

CHƯƠNG 1 MộT Số KIếN THứC CHuẩN Bị

Trong chơng này chúng tôi gới thiệu một số khái niệm cơ bản của tôpô

đại cơng nh: họ hữu hạn địa phơng, k-lới, cs-lới , , không gian Frechet,không gian khả li địa phơng , , và một số tính chất của nó để làm cơ sở chochơng sau

CHƯƠNG 2 ảNH CủA KHÔNg GIAN KHả LI ĐịA PHƯƠNG

Chơng này đợc chia thành hai phần: phân một trình bày đặc điểm củakhông gian s- ảnh thơng của không gian mêtric khả li địa phơng ; từ đó đa ramối liên hệ giữa các không gian ảnh của không gian mêtric và ảnh của khônggian mêtric khả li địa phơng qua: s-ánh xạ giả-mở, s-ánh xạ đóng Phần haitrình bày tính chất của không gian ảnh của không gian mêtric khả li địa phơngqua ánh xạ đóng, từ đó đa ra mối liên hệ giữa các không gian có họ k-lới σ-HCP Cuối cùng là đa ra mối liên hệ giữa ảnh đóng của không gian metric khả

li địa phơng, ảnh đóng của không metric và không Frechet có k-lới σ-HCP Trong khoá luận này càc ánh xạ đều đợc giả thiết là liên tục, toàn ánh, các

không gian đều là chính qui và T1-không gian

Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn

Ân- ngời thầy đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này Đồng thờicho tôi giửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán và bạn bè

đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm khoá luận này Mặc dù đã có nhiều cốgắng nhng do điều kiện về thời gian và hạn chế vể năng lực, khoá luận chắckhông tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và cácbạn góp ý kiến để khoá luận hoàn chỉnh hơn

1.1.1 Định nghĩa Họ ℘ các tập con của X đợc gọi là điểm -đếm đợc

(điểm -hữu hạn) nếu với mỗi x∈X thì x thuộc không quá đếm đợc (tơng ứnghữu hạn) các phần tử P∈℘

phơng nếu với mỗi điểm x∈X tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao vớihữu hạn phần tử của ℘

U U

Ι

∈ Ι

α α, với mọi α ∈ Ι Do đó U U

Ι

∈ Ι

∈ Α ⊂ Α

α α

Với mỗi x∈U∈ΙΑ

α α, vì { Α α}α ∈ Ι là họ hữu hạn địa phơng nên tồn tại

một lân cận U của x sao cho tập I0 ={α ∈ Ι:U ∩ Aα ≠ φ}là hữu hạn và khi

hữu hạn khi và chỉ khi ℘khác rỗng và giao của một họ hữu hạn bất kỳ cácphần tử của ℘khác rỗng

(a) ℘ đợc gọi là một lới nếu với bất kỳ U mở trong X, x∈X thì tồn tại

họ con hữu hạn ℘ ' của ℘ sao cho { } x ⊂ U ℘ ' ⊂ U

(b) ℘ đợc gọi là k - lới nếu với bất kì U mở trong X, K ⊂ U với K làtập con compact của X thì tồn tại họ hữu hạn ℘ ' của ℘ sao cho

K ⊂ ∪ ℘ '⊂ U

(c) ℘ đợc gọi là cs - lới nếu với bất kì {xn} là dãy trong X hội tụ tới x∈X

và U là một lân cận của x trong X thì tồn tại n∈ N và P∈℘ sao cho

{ } {x ∪ x m:m≥n}⊂ P⊂U.

(d) ℘ đợc gọi là cs*-lới nếu {xn} là dãy trong X hội tụ tới x∈X và U

là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { }x n i của { }x n và P ∈℘ sao cho

{ }x {x i N}

i

n ∈

∪ : ⊂P⊂U

1.1.6 Mênh đề Cho X là không gian tôpô và A là không gian con của X.

Khi đó X có cs∗-lới điểm-đếm đợc thì A cũng có cs∗-lới điểm-đếm đợc.

Chứng minh Giả sử ℘ là cs∗-lới điểm-đếm đợc của X Đặt ℜ={P∩A:

P∈℘} Ta có ℜ là cs∗-lới điểm-đếm đợc của A Thật vậy, giả sử {xn:

n∈N}∪{x} là dãy hội tụ trong A với xn → x và U là lân cận bất kỳ trong A.khi đó tồn tại V là lân cận của x trong X thoả mãn U=V∩A Vì ℘ là cs∗-lớicủa X nên tồn tại dãy con {x n i :i∈ Ν} của {xn} và P∈℘ sao cho {x n i :i∈ Ν}∪{ }x

⊂P⊂V Mà {xn}∪{x}⊂ A nên {x n i :i∈ Ν}∪{ }x ⊂P∩A⊂V∩A hay

i

n : ∈ Ν ∪ ⊂P∩A⊂U Vậy ℜ là cs∗-lối điểm - đếm đợc của A

1.1.7.Mệnh đề Giả sử X là không gian tô pô và B là một cơ sở của X.

Khi đó B là một k-lới của X.

Chứng minh Giả sử U là một tầp mở bất kỳ, K là một tầp compact sao cho

x ⊂

⊂

∈

U Do đó {B x :x∈K} là mộtphủ mở của tập compact K Cho nên tồn tại phủ con hữu hạn { } n

1 Vậy B là một k-lới của X

một cs*-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy thì ℘ là một

k-l-ới của X.

Chứng minh Giả sử U là một tập mở bất kỳ trong X và K là tập con

compact của X sao cho K ⊂U Với mỗi x∈X, ta đặt

{P∈℘ :x∈P⊂U} ={P n( )x :n∈N} Khi đó K đợc phủ bởi một họ con hữu hạn ℘ '

của ℘ với ℘ ' ⊂{P n( )x :x∈X;n∈N} Thật vậy, giả sử ngợc lại K ⊄ U ℘ ' với mọi

họ con hữu han ℘ ' ⊂{P n( )x :x∈X;n∈N} Khi đó với x0 ∈K ta có P0(x0)∈℘ và

với mọi i,j < n Vì K là compact dãy nên tồn tại dãy con hội tụ tới một điểmtrong K.Vì ℘ là cs*-lới nên tồn tại P∈℘ sao cho P⊂U và P chứa dãy conS’ của S Lấy x S x P

n ' > max , ta đợc x n k' ∈P m( )x n k Điều này mâu thuẩn với cách xây dựng

dãy { }x n Vì vậy tồn tại họ con hữu hạn ℘ ' của ℘ thoả mãn K⊂  ℘ ' ⊂U.Vậy ℘ là một k-lới

K={x n :n∈N}∪{x} là dãy hội tụ trong X với x n→x và U là lân cận bất kỳ của K trong X thì tồn tại họ hữu hạn ℘’⊂℘ sao cho K⊂∪℘’⊂ U.

Chứng minh Giả sử ℘ là cs∗-lới điểm-đếm đợc của X và K={xn:

n∈N}∪{x} là dãy hội tụ trong X với xn→x Khi đó, ta có K là tập compactdãy trong X Giả sử U là lân cận bất kỳ của K trong X Từ chứng minh củamệnh đề 1.1.8 ta suy ra tồn tại họ hữu hạn ℘’⊂℘ sao cho K⊂∪℘’⊂U

1.1.10 Định nghĩa Giả sử {Xs ∈ S}s ∈ S và {Ys ∈ S}s ∈ S là hai họ gồm nhữngkhông gian tôpô đôi một rời nhau và một họ ánh xạ {ƒs ∈ S}s ∈ S với ƒs:

Xs→ Ys ánh xạ ƒ : s⊕∈S Xs→s⊕ ∈S Ys, đợc xác định bởi ƒ(x) = ƒs(x) với mỗi x

∈ Xs ,s∈S gọi ánh xạ tổng của {ƒs}s ∈ S, kí hiệu là s⊕∈S ƒS

1.1.11 Mệnh đề ([ ]4 ) ánh xạ tổng s⊕∈S f S : s⊕ ∈S X s→s⊕ ∈S Y s là ánh xạ đóng

khi và chỉ khi f S là ánh xạ đóng với mọi s∈S

 2 Một số không gian tô pô đặc biệt

1.2.1 Định nghĩa Không gian tô pô X đợc gọi không gian đếm đợc thứ

nhất nếu với mỗi điểm x∈X thì tồn tại cơ sở đếm đợc tại x

1.2.2 Nhận xét Không gian metric là không gian đếm đợc thứ nhất.

với mỗi A⊂ X và mỗi x∈A thì tồn tại dãy { }x n sao cho x n →x

1.2.4 Mệnh đề Giả sử f là ánh xạ đóng từ không gian tô pô X lên không

gian tô pô Y Khi đó, nếu X là không gian Frechet thì Y cũng vậy.

Chứng minh Giả sử X là không gian Frechet và f là ánh xạ đóng từ không

gian X lên Y, ta chứng minh Y là không gian Frechet Thật vây, giả sử Α ⊂ Υ

và y∈ Α Ta chứng minh tồn tại dãy {y n:n∈N}⊂ Α sao cho { }y n hội tụ về y

Do Α ⊂ Υ nên tồn tại Β ⊂ Χ sao cho f( )Β = Α Suy ra Α = f( )Β Vì f là ánh xạ

y n → Vậy Y là không gian Frechet

mỗi tập Α ⊂ Χ, { }x n là dãy bất kỳ trong A mà x n→x, kéo theo x∈ Α thì A

1.2.7 Mênh đề.([6]) Cho X là không gian dãy Khi đó mỗi tập con

compact của X là tập compact dãy.

điểm đếm-đợc của X thì ℘là k-lới điểm-đếm đợc của X.

gian chính quy và có ℘ là cs-lới đếm đợc Từ mệnh đề 1.2.8 ta suy ra ℘ làk-lới đếm đợc của X Vậy X chính quy và có k-lới đêm đợc.

Đủ Giả sử X là không gian chính quy và có ℘là k-lới đếm đợc Đặt

ℜ={U ℘ ': ℘ ' là họ con hữu han của ℘} Khi đó ℜ đếm đợc Ta chứngminh ℜ là cs-lới của X Thật vậy, giả sử T={ } { }x n ∪ x là dãy hội tụ trong X với

x

x n → và U là lân cận bất kỳ của x trong X Vì x n →x và U mở chứa x nêntồn tại n0 ∈ Ν sao cho {x n:n≥n0} { }∪ x ⊂U Đặt K={x n:n≥n0} { }∪ x Ta có Kcompact và K⊂ U Do đó tồn tại họ con hữu hạn ℘ ' ⊂ ℘sao cho K⊂ U ℘ ' ⊂U

Nh vậy, tồn tại n0 ∈ Ν và R= U ℘ ' ∈ ℜ sao cho {x n:n≥n0} { }∪ x ⊂ R⊂U Vậy ℜ

là cs-lới đếm đợc của X Do đó X là ℵ0 –không gian

1.2.11 Định nghĩa.(a) Không gian tôpô X đợc gọi là khả li địa phơng

nếu tại mỗi điểm x∈X tồn tại một lân cận khả li

(b) Không gian tôpô X đợc gọi là khả li di truyền nếu X khả li và mọikhông gian con của X cũng khả li

đó ta có Χ =α⊕ Χ α

Ι

∈ , trong đó Χ α là không gian khả li với mọi α ∈ Ι.

1.2.13 Mệnh đề (a) Mọi không gian con đóng rời rạc của không gian

khả li di truyền đều đếm đợc

(b) Không gian con của không không gian metric khả li địa phơng là không gian metric khả li địa phơng.

Chứng minh.(a) Giả sử A là không gian con đóng rời rạc của không gian

khả li di truyền X Vì X là không gian khả li di truyền nên ta có A là khả

li Do đó tồn tại tập con đếm đợc D của A sao cho D = Α Mà A là khônggian rời rạc nên D đóng trong A, tức là D =D Do vậy A = D Vây A đếm đ-

ợc

b〉 Giả sử A là không gian con của không gian con metric khả li địa

ph-ơng M, khi đó với điểm x bất kì thuộc A thì x∈M Vì M khả li địa phơng nên

tồn tại lân cân V của x trong M sao cho V khả li Đặt U = V∩ A.

Ta có U⊂V, Mà V là không gian metric khả li, do đó U cũng khả li Nh vậy,

U là lân cận khả li của x trong A Vậy A khả li địa phơng

Chơng II ảnh của không gian mêtric khả li địa phơng

1 S - ảnh thơng của không gian mêtric khả li địa phơng

với mỗi dãy hội tụ S (bao gồm cả điểm hội tụ) trong Y thì tồn tại một tập concompact L của X sao cho f (L) là một dãy con của S

-1(U) mở (hoặc đóng) trong X khi và chỉ khi U mở (tơng ứng đóng) trong Y

2.1.3 Nhận xét Mọi ánh xạ đóng hoặc mở từ không gian tôpô X lên

không gian dãy thì f là ánh xạ thơng.

Chứng minh Giả sử f :X →Y là ánh xạ phủ dãy con và Y là khônggian dãy Vì f liên tục nên để chứng minh f là ánh xạ thơng ta chỉ cần chứngminh rằng nếu với A ⊂ Y, sao cho f-1 (A) đóng trong X thì A đóng trong Y.Thật vậy, giả sử A không đóng trong Y, vì Y là không gian dãy nên tồn tạidãy {yn} ⊂ A sao cho yn→ y với y ∈ Y \ A Mà do f là ánh xạ phủ-dãy connên tồn tại tập compact K⊂ X sao cho f(K)={y k } { }y

k

n : ∈ Ν ∪ Do K là tậpcompact trong không gian Housdorff X nên từ f-1(A) ∩ K đóng trong K, suy

ra f-1(A) ∩ K là tập compact Vì f là ánh xạ liên tục nên f(f-1(A)∩K) =

(1) X là s- ảnh thơng của một không gian metric khả li địa phơng.

(2) X là không gian dãy và có một phủ điểm - đếm đợc { X α: α ∈ A}, trong đó mỗi X α có một lới đếm đợc pα thoả mãn: mỗi dãy hội tụ S của X thì tồn tại α∈ A sao cho pα là cs- lới của một dãy con nào đó của S.

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử f : M → X là s - ánh xạ thơng và M làkhông gian metric khả li địa phơng Từ mệnh đề 1.2.12 ta có M = α⊕Α Mα ,

trong đó Mα là không gian metric khả li với mọi α ∈ A Với mỗi α ∈ A, giả

sử Bα là cơ sở đếm đợc của Mα và đặt Xα = f(Mα), pα = f (Bα) Khi đó, ta có {

Xα :α ∈ A } là phủ điểm-đếm đợc của X và pα là một lới điểm đếm-đợc của

Xα Giả sử S = {xn}∪{xo} với xn→ x0∈ X Vì f là s-ánh xạ nếu với mỗi n= 0,1,2… ta có f-1 (xn ) - khả li trong M, do đó tồn tại tập con đếm đợc trù mật Dn

của f-1 (xn) Đặt K = U∞ ( )

=

− 0 1

( )x K f

D D

x

f Do đó sẽ tồn tại { }x n k ⊂ Ssao cho f (yk) = x Vì f liên tục và y n k k→ y nên f(yk)→ f (y), tức là x n k

→f(y) Đặt x = f (y) và T = n o {yk} ∪ {y} Vậy T là dãy hội tụ trong M saocho f(T) là dãy con của S

Mặt khác, do ∪ pα là phủ của X nên với x n o∈ X thì tồn tại α ∈ A saocho x n o∈ Xα Giả sử U là lân cận bất kỳ củax trong X n o α Do f liên tục nênV= f-1(U) mở trong Mα Khi đó, ta có y∈V, mà Bα là cơ sở của Mαnên tồn tại B ∈ Bα sao cho y ∈ B ⊂ V Vì B mở và yk→ y nên tồntại k0∈N sao cho {y} ∪ {yk : k ≥ k0} ⊂ B ⊂V Do đó {f(y)}∪ {f (yk): k ≥k0 } ⊂ f(B) ⊂ f(V) hay {x n o }∪{x : k n k ≥k0 }⊂ f(B)⊂ Y.Vậy pα= {f(B):B ∈ Bα} là cs-lới của dãy con f(T) của S

(2)⇒(1) Với mỗi α ∈A, chúng ta có thể giả thiết {Xα}∈pα đặt

p =α∪∈Apα = {Pβ: β ∈ A} Khi đó p là phủ điểm-đếm đợc của X Đa vào A

metric rời rạc dn(α, β) = 1 nếu α≠β và dn(α, β) = 0 nếu α = β với mọi α, β

∈ A, n = 1,2… Khi đó A là không gian tôpô rời rạc và

= ∑∞

= 1

n 2-n dn(αn, βn) với (αn), (βn) ∈ A

Đặt M = {b = (βi ) ∈Aω: Tồn tại α∈ A; x ∈ X sao cho Pβo = Xα, {Pβi}⊂

pαvà {Pβi} là lới của x trong X} và cho M là không gian con với tôpô cảm

sinh bởi tôpô tích thông thờng Khi đó M là không gian metric.

Đặt f: M → X

b → f(b) = x

Khi đó f là một ánh xạ Thật vậy, với mỗi b = (βi)∈ M, giả sử tồn tại hai

điểm khác nhau x và x' trong X sao cho {Pβi} là lới của x và lới của x’ trong

X Vì X là không gian Hausdorff nên tồn tại các lân cận U của điểm x và Vcủa điểm x' sao cho U ∩ V = φ Mà {Pβi} là lới của x và lới của x' nên tồntại Ρβio và

-M là không gian metric khả li địa phơng Giả sử b = (βi) ∈M với Ρβo

=Xα, với α nào đó thuộc A Kí hiệu pα ={Pβ: β∈ Aα}, ta có Aα đếm đợc Đặt

Mα = M ∩{{λi} ∈ A : λ0 = β0}ta có b ∈ Mα ⊂ Aωα và Mα mở trong M Thậtvậy, xét phép chiếu π: Aω

→ A, xác định bởi π((λi)) = λ0, ta có {βo} mở trong

A và π liên tục nên π-1({β0}) = {(λi)∈ Aω: λO = βo} mở trong M Mặt khác, do

Mα là không gian con của không gian metric M và đếm đợc nên Mα khả li Do

đó, Mα là lân cận khả li của b trong M Vậy M là không gian metric khả li địaphơng

- f toàn ánh Giả sử x ∈ X, khi đó tồn tại α ∈ A sao cho x ∈ Xαvà pαlà

l-ới đếm đợc của Xα Đặt p'= {P ∈ p | x∈ P}, ta có p' đếm đợc và ký hiệu p' =

{Ρ αi ∈ p | Pα i ∋ x, i ∈N, Pαo = Xα}, khi đó p' là lới của x Đặt b=(αi), ta

có b∈ M và f(b) = x Vậy f là toàn ánh

- f liên tục Với bất kỳ b = (βi) ∈M, giả sử U là lân cận bất kỳ của x vớif(b) = x Ta chứng minh tồn tại lân cận B của b trong M sao cho f(B) ⊂ U vì U

là lân cận của x, nên tồn tại có Ρ ∈βio {Ρ }βio sao cho Ρ ⊂βio U Chọn hìnhcầu B = {(αi) ∈ M: d (( αi ), (βi)) < 2-i o}, khi đó, ta có f (B) ⊂ U Thật vậy, với

∩Ραi ⊂ Ρα0 = Ρβ0 ⊂ U Vì vậy f (B) ⊂ U Vậy f liên tục

- f là s-ánh xạ Với mỗi x ∈ X thì tồn tại α ∈ A sao cho x ∈ Xα Ta có

f1(x) ⊂ { β∈A| Pβ∋ x, Pβ ∈ pα}ω và pα đếm đợc Nh vậy, f-1(x)⊂M - khônggian mêtric và f-1(x) đếm đợc, do đó f-1(x) khả li Vậy f là s-ánh xạ

B : {Pβi ∩ T: i ∈ω} có tính chất giao hữu hạn}.Khi đó, ta có K là tập compact trong X Thật vậy, với mỗi i ∈ ω, ta có Bi là

tập hữu hạn trong không gian rời rạc A nên Bi là tập compact trong A Do đó

Trớc hết ta chứng minh K ⊂ M và f(K) = T Giả sử b = (βi) ∈ K Khi đó

{Pβi ∩ T: i ∈ω } là một họ các tập con đóng với tính chất giao hữu hạn Vìvậy tồn tại x ∈ i∩∈ω( Pβi∩ T) Do đó x ∈

i∩∈ ω Pβi Giả sử U là lân cận bất kỳ của

x, ta chứng minh tồn tại Pβ o ∈ {Pβ i } sao cho Ρ ⊂βio U Với mỗi y ∈ T,chọn lân cận Wy trong X sao cho

x trong X Do vậy b = (βi)∈ M và f(b) = x hay K⊂ M và f(K) ⊂ T

Tiếp theo ta chứng minh T ⊂ f(K) Giả sử x ∈ T, với mỗi i ∈ω lấy βi∈Bi

sao cho x ∈ Pβi Đặt b =(βi) ∈Aω khi đó x∈ ∩i∈ω(P

β i ∩ T) nên b∈ K⊂

M Mặt khác, vì x∈∩i∈ ω Pβi và f(b) là phần tử của ∩i∈ω P

β i nên f(b) = x suy ra

x∈ f(K) Vậy T ⊂ f(K)

Nh vậy f(K) = T Do đó f là ánh xạ phủ-dãy con Vậy X là s-ảnh thơngcủa không gian mêtric khả li địa phơng M.

2.1.7 Hệ quả Nếu X là không gian dãy có một cs*- lới điểm - đếm đợc

gồm những ℵ0–không gian con thì X là s-ảnh th ơng của một không gian metric khả li địa phơng

Chứng minh Giả sử P là cs*-lới điểm - đếm đựơc gồm những ℵ0không gian con của X và S = {xn}∪ {x} là môt dãy hội tụ của X với xn→ x.Khi đó, với U là lân cận bất kỳ của x thì tồn tại dãy con S’ = { }x { }x

là phủ điểm - đếm đợc của X sao cho mỗi tập compact K ⊂ X đợc phủ bởi

họ hữu hạn F ⊂ P Khi đó với mọi x ∈ X thì x ∈ (∪F ) 0 với họ con F hữu hạn nào đó của P .

2.1.9 Mệnh đề ([1]) Giả sử X là không gian đếm đợc thứ nhất, chính

quy khả li địa phơng có cs* - lới điểm - đếm đợc thì X là không gian khi li

địa phơng di truyền.

của X có tính chất giao hữu hạn và H = { P ∈ P : P là không gian con khả li

di truyền của X } Khi đó H là cs * - lới của X khi và chỉ khi P cũng là một cs* - lới của X và mỗi không gian con đếm đợc thứ nhất của X là khả li địa phơng.

Chứng minh Cần Giả sử H là cs*- lới của X và F là không gian con