Nếu kết quả sai một chữ số cuối cùng hoặc thiếu 1 chữ số hoặc thừa 1 chữ số thì mỗi trường hợp trừ 1/4 số điểm.. Nếu giải học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đáp án có: 04 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 – 2013
Ngày thi: 06/11/2012
Chú ý: 1 Những bài kết quả hơn 7 chữ số ở phần thập phân thì làm tròn đến 7 chữ số ở phần
thập phân
2 Với những bài có 2 ý (a và b) mà không yêu cầu trình bày lời giải thì mỗi ý 1 điểm.
3 Với những bài có yêu cầu trình bày lời giải thì phần trình bày lời giải 1,5 điểm, còn phần kết quả 0,5 điểm
4 Nếu kết quả sai một chữ số cuối cùng hoặc thiếu 1 chữ số hoặc thừa 1 chữ số thì mỗi trường hợp trừ 1/4 số điểm.
5 Nếu sai dấu “=” hoặc “” hoặc kết quả có đơn vị mà thiếu đơn vị thì trừ 1/4 số điểm.
6 Nếu giải học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm.
7 Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
Bài 1: (2,0 điểm): Hãy tính giá trị của biểu thức:
A=a −(√a −1√a − 1 −
1
√a+√a −1) với a=1+√2012 Lời giải:
ĐKXĐ: a ≥ 1
A=a −(√a −1√a − 1 −
1
√a+√a −1) ¿a −[√a+√a − 1−(√a−√a −1)
(√a)2−(√a −1)2 ]
¿a −[√a+√a − 1−√a+√a −1
a −a+1 ]=a− 2√a − 1
Thay a=1+√2012 vào biểu thức A ¿a −2√a −1 ta được A
32 , 4604997
A ¿a −2√a −1
A 32 , 4604997
Bài 2: (2,0 điểm):
a) Tìm số dư trong phép chia 3100 cho 13
b) Tìm giá trị chính xác của số B = 130120103
Lời giải:
a) Ta có: 3100=34 396=34.(33)32
Vì 3 3 =27=13 2+1 nên 3 3≡1 (mod 13), do đó:
(33)32≡ 132 (mod 13) hay 396≡1 (mod 13)
Do đó: 3100=34 396≡ 1 3 (mod 13)
Vậy số dư trong phép chia 3 100 cho 13 là 3.
b) Ta có:
13012013 = (13.105 + 1201)3
= 133.1015 + 3.132.1010.1201 + 3.13.105.12012 + 12013
= 2197.1015 + 608907.1010 +56253639.105 + 1732323601
= 2203094697096223601
Nên kết quả là: 2203094697096223601000
a) 3
b)
22030946970962
23601 000
Bài 3: (2,0 điểm)
Trang 2Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 9cm, AC = 12cm
Phân giác của góc A cắt BC ở D
a) Tính DB, DC và số đo góc B (làm tròn đến phút)
b) Qua D kẻ DE AB, DF AC.Tính chu vi và diện tích tứ giác
AEDF
Lời giải:
Suy ra: DB9 = DC
DB+DC
BC
15
5 7
Do đó: DB=5
7.12 ≈ 8 , 5714286 (cm).
b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật vì có ba góc vuông, lại có AD là phân
giác của góc A nên AEDF là hình vuông
Δ BDE Δ BCA nên DEAC= BD
BC Suy ra: DE=AC BD
36 7
Vậy SAEDF=DE2=(367 )2≈ 26 , 4489796(cm2)
Chu vi tứ giác AEDF là: 4 36
7 ≈ 20 , 5714286 (cm)
a)
DB ≈ 6 , 4285714 cm
DC ≈ 8 , 5714286 cm
B 5308’
b)
SAEDF=DE 2
26 , 4489796 cm2
Chu vi =
4 DE
20 ,5714286( cm )
Bài 4: (2,0 điểm):
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5 x+25=−3 xy+8 y2
b) Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),
(x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) = - 18 Tính f(2012) = ?
Lời giải:
a) Ta có: 5 x+25=−3 xy+8 y2⇔ x (3 y+5 )=8 y2
−25
⇔9 x (3 y +5 )=72 y2
−225 ⇔ 9 x (3 y +5)=8(9 y2−25)− 25
⇔(3 y+5) (24 y −9 x− 40 )=25
⇒3 y+5 ∈{± 1;± 5 ;±25} Suy ra: y ∈{−10 ;−2 ;0}
Xét các trường hợp của y, ta tìm được các nghiệm nguyên của phương
trình là: (x ; y) = (−31 ;−10),(− 7 ;−2),(−5 ;0)
b) Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Vì f(1) = f(2) = f(3) = 6 và f(-1) = -18 nên ta có:
¿
a+b+c+ d=6
8 a+ 4 b+2 c +d=6
27 a+9b +3 c+ d=6
− a+b − c+ d=−18
¿ { {{
¿
Giải hệ phương trình ta được:
¿
a=1 b=−6 c=11 d=0
¿ {{ {
¿
Vậy f(x) = x3 - 6x2 + 11x; f(2012) = 8120598996
a)
( x ; y )
¿ (−31 ;−10)
¿ (−7 ;−2)
¿ (−5 ;0)
b) f(x) = x3 - 6x2
+ 11x
f(2012) = 8120598996
a) Tam giác ABC vuông ở A:
BC2=AB2+ AC2= 92+ 122=225
Suy ra: BC = 15 (cm)
Ta có: SinB = ACBC= 12
Do đó: B 5308’
Do AD là phân giác của góc A
nên ta có: DBDC= AB
9 12
A
F E
B D C
S
Trang 3Bài 5: (2,0 điểm)
Cho u1 =1; u2 = 2; u3 = 3; un+3 = 2un+2 - 3un+1 + 2un (n1)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un+3
b) Áp dụng quy trình trên để tính u20; u66; u71
Lời giải:
a) Gán: 3 → A; 1 → B; 2 → C; 3 → D
Nhập: A=A+1:B=2D-3C+2B:A=A+1:C=2B-3D+2C:A=A+1:D=2C-3B+2D = = =
b) + A=A+1=20 => C= u20 = -142
+ A=A+1=66 => C= u66 = 2777450630
+ A=A+1=71 => C= u71 = 20112669699
Bài 6: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n (100 ≤n ≤ 200) để a=√19026+25 n cũng là số tự nhiên
Lời giải:
Với 100 ≤n ≤ 200 ta có:
Vậy 147 ≤ a≤ 155 khi 100 ≤n ≤ 200
Thử với 147 ≤ a≤ 155 theo công thức n= a
2
−19026
n = 127, a = 149; n = 151, a = 151
2−2013+ 1+
1
2−2012+1+ +
1
20+ 1+ +
1
22012+1+
1
22013+ 1.
Lời giải:
Ta có:
1
2− a
+ 1+
1
2a+1=
1 1
2a+1
2a
+ 1=
2a
2a+1+
1
2a
+ 1=1 Do đó:
2−2013+ 1+
1
2−2012+ 1+ +
1
20+ 1+ +
1
22012+ 1+
1
1
Bài 8: (2,0 điểm).
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1 Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho ABD = CBE = 200 Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao cho
BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BNE
Lời giải:
Kẻ BI AC I là trung điểm AC
Ta có: ABD = CBE = 20 0 DBE = 20 0
ADB = CEB (g.c.g)
BDE cân tại B I là trung điểm DE.
mà BM = BN và MBN = 20 0
BMN và BDE đồng dạng.
2
1 4
BMN
BED
S BNE = 2S BMN =
1
2S BDE= SBIE
Vậy S BCE + S BNE = S BCE + S BIE = S BIC =
2S ABC 8 0 , 2165064 (đvdt)
Trang 4Bài 9: (2,0 điểm) Giải phương trình: x2
+4 x +5=2√2 x +3
Lời giải:
ĐKXĐ: x ≥ −3
Ta có: x2
+4 x +5=2√2 x +3 ⇔(x2 +2 x+1)+[(2 x +3) −2 √2 x+3+1]=0
⇔( x +1)2
+(√2 x +3 −1)2= 0
⇔
(x+1)2=0
(√2 x +3 −1)2= 0
¿ {
⇔ x=− 1 (Thoả mãn ĐKXĐ)
Bài 10: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cố định có diện tích là S Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: AMMB = BN
CP
a) Tính SMNP theo S và k;
b) Áp dụng với S = 4 √13 cm2 và k = 1
Lời giải:
Chứng minh tương tự, ta có: S S2= k
(k +1)2 (2); S S3= k
(k +1 )2 (3)
Suy ra: SMNP = S - (S1 + S2 + S3) = S - 3 k
(k +1)2 S=S[1− 3 k
(k +1)2]
b) SMNP ¿S[1− 3 k
( k+ 1)2]=4√13 [1− 3 1
(1+1)2]≈3 , 6055513(cm 2
)
a) Đặt S1 = SAMP; S2 = SBMN; S3 = SCNP;
⇒ S1
S=
AM AP
S2
S =
BM BN
S3
S =
CP CN
Ta có:
AM
k
k
k +1 ⇔AM
k
k +1
CP
k
1
k ⇔PA
1
k +1 ⇔AP
1
k +1
Suy ra: S S1= k
k +1.
1
k +1=
k
(k +1)2 (1)
A
S1 P M
S2 S3
B N C