DE THI HSG CASIO 9

Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0 Ví dụ: có thể nhập hoặc nhập đều được rồi ấn SHIFT SOLVE , máy sẽ hỏi giá trị đầu cầ

MỤC LỤC

M C L C Ụ Ụ 1

HƯ NG D N S D NG MÁY T NH C M TAY Ớ Ẫ Ử Ụ Í Ầ 2

Ch 1 - Bu i 1 T NH GIÁ TR BI U TH C ủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 7 I S Ch 1 - Bu i 2 T NH GIÁ TR BI U TH C ủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 8 I S Ch 1 - Bu i 3 T NH GIÁ TR BI U TH C ủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 9 I S Ch 1 - Bu i 4 T NH GIÁ TR BI U TH C ủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 11 I S Ch 2 D NG TOÁN LIÊN PHÂN S ủ đề Ạ Ố 12

Ch 3 - Bu i 1 D NG TOÁN V A TH C ủ đề ổ Ạ Ề Đ Ứ 15

Ch 3 - Bu i 2 D NG TOÁN V A TH C ủ đề ổ Ạ Ề Đ Ứ 20

Ch 3 - Bu i 3 D NG TOÁN V A TH C ủ đề ổ Ạ Ề Đ Ứ 22

Ch ủ đề 4 - Bu i 1 D NG TOÁN TÌM ổ Ạ ƯỚ C VÀ B I Ộ 24

Ch ủ đề 4 - Bu i 2 D NG TOÁN TÌM ổ Ạ ƯỚ C VÀ B I Ộ 27

Ch ủ đề 5 - Bu i 1 D NG TOÁN PH ổ Ạ ƯƠ NG TRÌNH 29

Ch ủ đề 6 - Bu i 1 D ng toán tìm ch s th p phân th n sau d u ph y c a m t s ổ ạ ữ ố ậ ứ ấ ẩ ủ ộ ố th p phân vô h n tu n ho n ậ ạ ầ à 31

Ch 7 - Bu i 1 D NG TOÁN DÃY TRUY H I ủ đề ổ Ạ Ồ 32

Ch 8 - Bu i 1 D NG TOÁN NGÂN HÀNG VÀ DÂN S ủ đề ổ Ạ Ố 36

Ch ủ đề 9 - Bu i 1 M T VÀI THU T TOÁN C B N ổ Ộ Ậ Ơ Ả 37

PH L C Ụ Ụ 47

Chương 1: 47

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 6 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 47

Chương 2: 50

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 7 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 50

Chương 3: 52

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 8 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 52

Chương 4: 56

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 9 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 56

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

1.1 Phím Chung:

< > Cho phép di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu hoặc phép toán cần sửa

0 1 9 Nhập từng số

Nhập dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân của số thập phân.+ - x ÷ Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.

1.2 Phím Nhớ:

MODE ấn định ngay từ đầu Kiểu, Trạng thái, Loại hình tính toán, Loại đơn vị đo, Dạng số biểu diễn kết quả cần dùng.

( ; ) Mở ; đóng ngoặc.

EXP Nhân với luỹ thừa nguyên của 10

,,,

o ,,,osuuu Nhập hoặc đọc độ; phút; giây

DRG> Chuyển đơn vị giữa độ , rađian, grad

tan− Tính số đo của góc khi biết 1 TSLG:Sin; cosin; tang.

log ln Lôgarit thập phân, Lôgarit tự nhiên.

ab c ; d c/ Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số ; Đổi phân số ra số thập phân, hỗn số.

Chuyển sang dạng a * 10n với n tăng.

Pol( Đổi toạ độ đề các ra toạ độ cực

Rec( Đổi toạ độ cực ra toạ độ đề các

Ran # Nhập số ngẫu nhiên

2 Một số kiến thức cần thiết về máy tính điện tử

- Mỗi một phím có một số chức năng Muốn lấy chức năng của chữ ghi màu vàng thì phải ấn phím

SHIFT rồi ấn phím đó Muốn lấy chức năng của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn phím ALPHA trớc khi

ấn phím đó.

- Các phím nhớ: A B C D E F X Y M (chữ màu đỏ)

- Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ đã nêu ở trên ta ấn nh sau:

*) Ví dụ: Gán số 5 vào phím nhớ B : Bấm 5 SHIFT STO B

- Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số nhớ cũ trong phím đó bị mất đi và số nhớ mới đợc thay thế.

- Chẳng hạn ấn tiếp: 14 SHIFT STO B thì số nhớ cũ là 5 trong B bị đẩy ra, số nhớ trong B lúc này là 14.

- Để lấy số nhớ trong ô nhớ ra ta sử dụng phím ALPHA

*) Ví dụ: 34 SHIFT STO A (nhớ số 34 vào phím A )

Bấm 24 SHIFT STO C (nhớ số 24 vào phím C )

Bấm tiếp: ALPHA A + ALPHA C = (Máy lấy 34 trong A cộng với 24 trongC đợc kết quả

là 58).

- Phím lặp lại một quy trình nào đó:

∆ = đối với máy tính Casio fx - 500

- Ô nhớ tạm thời: Ans

*) Ví dụ: Bấm 8 = thì số 8 đợc gán vào trong ô nhớ Ans Bấm tiếp: 5× +6 Ans = (kết quả là 38)

- Giải thích: Máy lấy 5 nhân với 6 rồi cộng với 8 trong Ans

*) Công dụng của phím SOLVE

Nếu sử dụng máy fx570MS các bạn đều biết nó có phím SOLVE là đặc tính hơn hẳn so với máy fx500MS, vậy công dụng của nó là gì?

Đó chính là lệnh để máy tính tìm 1 nghiệm gần đúng của một phương trình 1 ẩn bât kỳ nào đó dựa vào số đầu

mà ta nhập vào

Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0

Ví dụ: có thể nhập

hoặc nhập

đều được rồi ấn SHIFT SOLVE , máy sẽ hỏi giá trị đầu cần nhập là bao nhiêu, sau khi nhập vào giá trị đầu, ta

ấn SHIFT SOLVE lần nữa thì máy sẽ tìm nghiệm dựa vào số đầu đó

Đặc điểm hơn hẳn của MS so với ES trong phím SOLVE:

Máy MS ta có thể sử dụng bất kỳ biến số nào trong máy để làm ẩn số (A,B,C,D, ,X,Y,M) trong khi đó máy ES chỉ có thể dùng biến X, các biến khác xem như là hằng số cho trước

Lệnh SOLVE thực sự ưu việt trong giải phương trình bậc nhất 1 ẩn

Đối với những phương trình như X+3=0 ta có thể nhẩm nghiệm ngay tức khắc, nhưng sử dụng hiệu quả trong trường hợp phương trình bậc nhất phức tạp

Ví dụ: phuơng trình

Để giải phương trình này bằng giấy nhám và tính nhẩm bạn sẽ mất khá nhiều thời gian cho nó, bạn phải phân

tích ra, chuyển vế đổi dấu, đưa X về một bên, số về một bên rồi ra nghiệm, nhưng đối với máy tính bạn chỉ việc nhập y chang biểu thức ấy vào và sử dụng lệnh SOLVE thì chỉ vài giây máy sẽ cho ra kết quả

Đối với phương trình trên khi giải xong máy sẽ cho ra kết quả là

Tuy nhiên đối với phương trình bậc nhất máy MS có thể đổi ra nghiệm phân số, hãy ấn SHIFT , máy sẽ đổi ra dạng phân số là , rất tiện lợi

Lưu ý: khi giải ra số đúng này các bạn muốn sử dụng kết quả đó tiếp phải ấn lại hoặc ghi ra nháp sử dụng số đúng đó, không được sử dụng trực tiếp kết quả được lưu lại

Ví dụ đối với phương trình trên sau khi giải xong, kết quả sẽ tự động gán vào X, nếu các bạn ấn tiếp

sau đó ấn tiếp SHIFT SOLVE thì máy sẽ không đổi ra được dạng phân số nữa

Vì vậy sau khi giải ra, các bạn phải gán lại số vừa tìm bằng dạng đúng bằng cách:

Ấn -113/129 SHIFT STO X

Sau đó nếu ấn tiếp X+1= thì máy sẽ cho ra dạng phân số

Loại giải phương trình này áp dụng tốt cho những tính toán trong môn Hóa học, ví dụ bạn có rất nhiều phương trình Hóa học, mỗi phương trình cho ra một chất khí nào đó, và tổng số mol những chất khí đó đều tính theo một ẩn số, đề lại cho số mol của chất khí rồi, thế thì chỉ việc nhập vào phương trình, dùng SOLVE và cho ra kết quả nhanh gọn

Những biến dạng của phương trình bậc nhất 1 ẩn:

Đó là những dạng phân thức chứa biến

Ví dụ: Giải phương trình

Nếu để nguyên phương trình như vậy nhập vào máy thì máy sẽ giải khó và lâu, đôi khi không ra nghiệm (Can't Solve), vì vậy trong khi nhập hãy ngầm chuyển mẫu thức sang một vế, nhập như sau:

Rồi mới SOLVE thì máy sẽ giải dễ dàng ra kết quả 47/37

Sử dụng SOLVE để giải phương trình bậc cao một ẩn bậc cao

Lưu ý đối với phương trình bậc cao chỉ giải được một số phương trình ra dạng căn thức đối với MTBT Phương pháp này chủ yếu áp dụng cho phương trình bậc 4 phân tích ra được 2 biểu thức bậc 2 Có thể dùng phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc 4 nhưng phương pháp có thể lâu hơn dùng MTBT

Đối với những phương trình bậc 4 đơn giản, tức là dùng lệnh SOLVE ta tìm ra được nghiệm dạng số nguyên hay hữu tỉ thì thật dễ dàng cho bước tiếp theo, vì chỉ cần tách ra ta sẽ được phương trình bậc 3 rồi dùng chương trình cài sẵn trong máy giải tiếp

Đối với những phương trình máy tính chỉ tìm ra được dạng vô tỉ thì ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách phân tích của nó

Ví dụ: giải phương trình:

Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau đó dùng SOLVE để giải, điều quan trọn của phương pháp này

là ta phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm ra càng nhiều ngiệm càng tốt

Như phương trình trên, ta ấn CALC rồi nhập các số đầu sau đây để xem sự biến thiên của hàm số ra sao sau

đó mới dùng lệnh SOLVE:

giả sử ban đầu nhập 0, kết quả 10

tiếp theo nhập 1, kết quả -6

như vậy có một nghiệm nằm trong (0;1)

ta chia đôi và thử với 0,5, kết quả 5,75>0

vậy nghiệm nằm trong (0,5;1)

tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết quả 0,7421875

khi kết quả đã xuất hiện số 0 ngay phần nguyên thì chứng tỏ số đầu của ta khá gần nghiệm, và đến lúc này có

thể cho máy tự giải

Dùng số đầu đó ta sử dụng SOLVE để giải

kết quả tìm được một nghiệm 0,780776406

Nhập số đó vào A để sử dụng sau và tiếp tục tiềm nghiệm khác

Sử dụng cách tương tự trên ta tiếp tục tiềm ra 3 nghiệm khác nhập vào các biến B,C,D

Chủ đề 1 - Buổi 1 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Đối với bài toán này giáo viên nên cho học sinh phân tích thứ tự thực hiện các phép tính và sử dụng các dấu ngoặc để viết lại phép tính như sau

1 2,2.10 + nếu chúng ta không đặt ngoặc

đơn ở mẫu thì máy tính sẽ hiểu là 69

581 2 52

1418

72:180

75,24,18413

Bài 5: Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân:

[0 , 3 ( x 1 )] 11 :

08 , 1 140 30 29

1 29 28

1

24 23

1 23 22

1 22

156

17

12)4

139

56(

35

2:)25

210(

1393 10

Bài 5: x =1,4 Bài 6: 28, 071 071 143

17

11

27

29

23

22:343

449

47

44

27

19

13

11

−

+++

−+

−

++

3243

323

33

611

10243

1023

1010:113

1189

1117

1111

113

589

517

55129

−++

−++

−+

215,2557,28(:84,6

4)81,3306,34()2,18,0(5

,

2

)1,02,0(:

1 1 ) 8333 , 1 25 , 0 : 5

1 1 36

1

8999 , 9 5 , 6 : 35 6

7

×

− +

× +

×

×

Bài 10: a) Tìm x biết:

13010137

,0:81,1720

162:8

135

2288,1

2

1120

33,05

1:465

1

4

x

=+

158,02,3

5

112

12:66

511

24413

y

7,14:51,4825

342

12:4

315

4:8,125,1x5

47

12:75,03,05,0:5

37

24

32,4x:35,0

Bài 12: a) Tính C biết 7,5% của nó bằng:

8

71:20

352

217

31110

17655

78

7)25,6:53,2(67

64,83,1:x:7

−

×

×+

*) Kết quả:

Bài 9: C = 7

2

1 ; D =

- Giải các bài tập sau:

Bài 13: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số::

6 4

3 1 : 5

2 3 4

3 1 7

6025,09

5

75,13

1011

127

6157

124

12111

−

Chủ đề 1 - Buổi 3 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Ví dụ Tính X = 5 + 13 + 5 + 13 trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn

Đối với bài toán này, nếu chúng ta dùng kiến thức toán học để biến đổi thì cũng tìm được đáp số nhưng mất rất nhiều thời gian Ta cần phân tích cho học sinh thấy bài toán này có quy luật sau:

Ta phải tính từ trong ra ngoài Giả sử ở dấu căn thứ n nào đó ta kết quả là a 1 thì ở dấu căn thứ n+1 sẽ

có kết quả là 5 a + 1 =a 2 hoặc 13 a + 1 =a 2 Dấu căn tiếp theo sẽ là 13 a + 2 =a 3 hoặc 5 a + 2 =a 3

Vậy ta thấy rằng kết quả sau sẽ bằng căn thức của 5 hoặc 13 cộng với kết quả trước, mà kết quả trước thì lại được tự động lưu vào

Do đó ta chỉ cần dùng phương pháp lặp là tính được

Tính 5 + 13 rồi lặp dãy 13 Ans : 5 Ans + + = =

Bấm dấu bằng liên tục (vì có vô hạn căn thức) ta có kết quả như sau

Nếu là 13 Ans + thì ta được kết quả là 4.Nếu là 5 Ans + thì ta được kết quả là 3 Vì biểu thức

X ở đây bắt đầu là 5 nên ta lấy kết quả là X=3

Bài 14: Tính giá trị của biểu thức sau:

3

4 : 3

1 1 5

2 25

33 : 3

1 3 : )

A =

5

4:)5,02,1(17

224

139

56

7

4:25

208,1

25

164

,

0

25,15

3

2 2 : 18

5 83 30

16

5514

335

36

1987)339721986

()19921986

,

64

2 2

2

2

−+

×+

621,4

732,2815,

c) z = 5 17

7 3

35,712

13,816

×π

Bài 19:

a) Tính: T = 3 4 2

3 2

51 , 7 23 , 5

) 14 , 2 75 , 3 ( 213 , 2

−

+ π

b) Tìm x biết: 2 ( 0 , 713 )2

4

3 2 162 , 0 x

51 Bài 16: a) 1987

b) 179383941361

Bài 17:

575 ,

Bài 19:

a) T = 0,029185103b) x = ±0,192376083

2 2 3 2 12

3

21

182

1

542126

+

++++

c) D = 2 + 3 3 + 4 4 + + 8 8 + 9 9

d) E = 2 − 3 3 + 4 4 − 5 5 + 6 6 − 7 7 + 8 8 − 9 9

Bài 22: Tính gần đúng đến 6 chữ số thập phân:

a) A = 1- 2+3 3−4 4+5 5−6 6+7 7−8 8+9 9−1010 b) B = 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2

c) C = 7 -

7

1 6

2 5

3 4

4 3

5 2

6

+

− +

− +

tag50 + tag100 + tag150 + … + tag800 + tag850

Bấm liên tục đến khi X + 5 = 800, ta sẽ được kết quả 34, 55620184

Bài 24: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 900 )

Tính A = (5cos3x – 2sin3x + cos x) : (2cos x – sin3x + sin2x)

Hướng dẫn:

Tìm x sau đó tính giá trị biểu thức với x tìm được, có hai cách tìm x

+) Dùng SHIFT, CALC

+) Dùng SHIFT, SIN

Bài 25: Cho cos2x = 0,26 (0 < x < 900)

Tính B = 2sin5tgx2 5xsin42cotx 32tgx x

2 2

+

+ +

Hướng dẫn:

cos2x = 0,26 => cosx = 0,26 (vì 0 < x < 900 ) Từ đó tìm x và giải tương tự bài tập 24

Bài 26: Cho biết sin x = 0,482 (0 < x < 900)

Tính C =

xtg)xsinx(cos

xtg)xcos1.(

xsin

3 3 3

2 3

3

+

++

- Giải tương tự bài tập 24

Bài 27: Cho biết sin2x = 0,5842 (0 < x <900)

Tính D =

xcos1)xgcot1)(

xtg1(

)xsin1(xcos)xcos1(xsin

3 2

2

3 3

++

+

++

+

- Giải tương tự bài tập 25

Bài 28: Cho biết tgx = tg330 tg340 tg350 … tg550 tg560 (0 < x < 900)

Tính E =

xcosxsin)xcosxsin1

(

)xsin1(xgcot)xcos1(xtg

3 3

3 2

3 2

++

+

++

Bấm liên tục “=” đến khi X + 1 = 23 ta được tgx = 0,6494075932

Nhập tiếp SHIFT, tg(ans), = ta được giá trị của x = 330

Từ đó ta nhập biểu thức và tính được kết quả 1,657680306

Bài 29: Cho cos x.sin (900 – x) = 0,4585 (0 < x < 900)

Tính F =

x g cot x tg

x sin x sin x sin x sin

2 2

2 3

4

+

+ +

+

Hướng dẫn:

Thay sin (900 - x) = cosx => cos2x =0,4585 => cosx = 0,4585

Từ đó tìm được x và tính được giá trị biểu thức

Bài 30 : Nêu một phương pháp(kết hợp giữa tính trên máy và giấy) tính chính xác số: 10384713 =

Chủ đề 2 DẠNG TOÁN LIÊN PHÂN SỐ

VD: Tính giá trị của biểu thức:

3

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

+ + + + +

Cách ấn phím và ý nghĩa của từng lần ấn như sau:

An

+ được kq là

3 1

1 nhớ vào Ans

= Máy thực hiện phép tính

s

1 1

Bài 1: Tính:

a)

11

11

11

11

11

11

11

+++++

13

13

13

13

13

−+

−+

−+

17

16

15

14

13

12

11

+++++++

+

2

12

12

12

12

12

12

12

12

++++++++

73

64

55

46

37

28

19

++++++++

Bài 3: Lập quy trình bấm phím tính giá trị liên phân số sau:

M =

292

11

115

17

13

+++

+

- GV hướng dẫn chi tiết HS cách trình bày bài làm

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết dưới dạng phân số:

a) A =

5

14

13

12

20

++

+

b) B =

8

17

16

15

2

++

+

c) C =

8

76

54

32

2003

+++

Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b biết:

b

1a

15

13

11051

329

+++

=

*) Hướng dẫn: Sử dụng nút nghịch đảo của một số x−1

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:

a) A =

3

52

42

52

42

53

++++

+

b) B =

4

13

13

13

17

++++

Bài 7: Tính và lập quy trình bấm phím của liên phân số sau:

M =

1

12

21

12

11

12

11

11

+++++++

- GV hướng dẫn chi tiết HS cách trình bày bài làm

*) Kết quả các bài toán liên phân số

516901

223884

1d) 2985 408

7) M = 1

67

49

IV Hướng dẫn về nhà

- Giải các bài tập sau:

Bài 8: Tính các tổng sau và cho kết quả dưới dạng phân số:

M =

5

14

13

12

1

2

13

14

1

5

1

+++++

15

17

1

4

35

68

79

1

+++++++

Bài 9: Thời gian mà quả đất quay một vòng quanh mặt trời được viêt dưới dạng:

20

15

13

17

14

1365

+++++

Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm số năm nhuận Thí dụ, dùng phân số

14

1

++

thì cứ 29 năm sẽ có 7 năm nhuận

Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau:

a)

3

17

14

1

365

++

+

; b) 365 +

5

13

17

14

1

++

+

; c)

20

15

13

17

14

1365

+++++

2) Kết luận (ngày càng chính xác hơn về số năm nhuận dựa theo các phân số nhận được) và so sánh với cách tính cứ 4 năm lại có một năm nhuận

+ q(x) : Đa thức thương, gọi tắt là thương

+ r(x) : Đa thức dư, gọi tắt là dư

- Nếu r(x) = 0, ta có phép chia hết

- Nếu r(x) ≠0, ta có phép chia có dư

- Định lí Bê – du: Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a thì dư trong phép chia này là f(a)

- Hệ quả định lí Bê – du: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho nhị

+) Nếu hiệu của tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ là bằng 0 thì đa thức có nghiệm là – 1

+) Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p

q thì p là ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh dùng máy tính để thử Tuy nhiên không phải thử từng số một mà dùng một biến chạy rồi lặp

a Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a).

Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư]

Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r Suy ra f(a) = o + r hay r= f a( )

Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ việc tính giá trị của đa thức tại a

Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn như VD2 sau.

Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x 3 -5x 2 +11x-19 cho (x-2)?.

Mô hình sơ đồ Hoocner:

x A +(-19)= SHIFT a b (Ghi kết quả -9)

Vậy thương là 1x 2 – 3x + 5, dư là -9

b Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

Cơ sở:

“Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c =

a(x-x1)(x-x2)”

“Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ p

q thì p là ước của a0, q là ước của

a0”

Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1=1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”.Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a)

VD1: Phân tích đa thức f(x) = x 2 + x - 6 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có

2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3

Khi đó ta viết được: x 2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3)

VD2: Phân tích đa thức f(x) = x 3 +3x 2 -13 x -15 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1.

Khi đó ta viết được: x 3 +3x 2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).

VD3: Phân tích đa thức f(x) = x 3 - 5x 2 +11 x -10 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2

Nên ta biết được đa thức x 3 - 5x 2 +11 x -10 chia hết cho (x-2).

Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x 3 - 5x 2 +11 x -10 cho (x-2) ta có:

Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-2)

Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60)

Ta có Ư(60) = {±1;±2;±3;±4;±5;±6;±10;±12;±15;±20;±30;±60}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:

Nhập vào máy đa thức:X 5 + 5X 4 – 3X 3 –X 2 +58X -60 rồi ấn dấu = máy báo kq -112

Gán tiếp: -2 → X / # / = / máy báo kq -108

Gán tiếp: -3 →X/ # / = / máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3) Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3)

Nghiệm nguyên là ước của 20

Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {±1;±2;±4;±5;±10;±20}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):

Nhập vào máy đa thức: x 4 +2x 3 -9x 2 +26x-20 rồi ấn dấu = máy báo kq -96

Gán tiếp: -2 → X / # / = / máy báo kq -148

Gán tiếp: -4 → X / # / = / máy báo kq -180

Gán tiếp: -5 → X / # / = / máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5) Khi đó bàitoán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).

Ở đây ta thấy có quy luật là A đóng vai trò là y sẽ tự động tăng lên một đơn vị sau mỗi lần lặp Do đó

ta chỉ việc ấn dấu bằng và nhặt ra những kết quả của phép tính (112-7A) ÷6 là những số nguyên dương, đó chính là x Công việc sẽ dừng lại khi A = 16 Vì nếu A > 16 thì x sẽ âm.

Phương pháp này giáo viên có thể giới thiệu cho học sinh áp dụng để giải một số dạng toán khác Ví

dụ như tìm a trong số A= 123 45 a để A chia hết cho 9

I Bài tập:

Bài 1: Tính (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)

Cho C =

5x

1xxx

x5 4 2

+

+

−+

−

khi x = 1,8363Hướng dẫn:

+ Gán 1,8368 là X

+ Nhập biểu thức C, di chuyển con trỏ vào biểu thức và ấn “=”

+ Nếu tính với giá trị khác ta dùng phím CALC là nhanh hơn cả

Cho P(x) = x3 – 2,531x2 + 3x – 1,356 Tính P(-1,235) với 3 chữ số thập phân

Tìm số dư với 3 chữ số thập phân của phép chia sau:

(3x4 – 2x3 – x2 – x + 7) : (x – 4,532)

Hướng dẫn:

b) Số dư của phép chia là giá trị của đa thức 3x4 – 2x3 – x2 – x + 7 tại x = 4,532

Bài 5: Tìm phần dư của phép chia đa thức:

(2x5 – 1,7x4 + 2,5x3 – 4,8x2 + 9x – 1) : (x – 2,2)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x4 + 2x3– 13x2 – 14x + 24 b) x4 + 2x3 – 25x2 – 26x + 120

20x2 + 11xy – 3y2 d) 8x4 – 7x3 + 17x2 - 14x + 32

x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 f) 6x4 – 11x3 – 32x2 + 21x + 36

Hướng dẫn:

- Sử dụng máy tính để tìm nghiệm (dùng SHIFT, CALC hoặc dùng CALC tìm nghiệm là các ước của

hệ số tự do), dựa vào nghiệm đó để phân tích

- Có thể sử dụng sơ đồ Hooc – ne để tìm nghiệm

Bài 7: Tính A =

5xxx

1xxxx

2 3

2 4 5

++

−

+

−+

7x35x

321 , 7 x 256 , 3

- Giải các bài tập sau:

Bài 9: Tìm số dư của phép chia :

318 , 2 x

319 , 4 x 458 , 6 x 857 , 1 x 723 , 6

+

+

− +

−

Bài 10: Tìm số dư của phép chia:

624 , 1 x

723 x x x x x

−

− + + +

−

−

*******************************

Chủ đề 3 - Buổi 2 DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

Bài 11:

Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

Hướng dẫn:

Đặt A(x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 13x , tính A(-6) và cho A(-6) + a = 0 Từ đó tìm a

Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 5x2 – 13x + a

Với điều kiện nào của a thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3

Với giá trị của a tìm được ở câu trên, hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2

Bài 13: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x – 50

Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 3 Tìm bội chung nhỏ nhất của r1 và r2

Bài 14: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m

Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3

Với m tìm được ở câu a, hãy tìm số dư r khi chia đa thức 3x – 2

Với m tìm được ở câu a) hãy phân tích đa thức P(x) ra thừa số bậc nhất

Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và

Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x – 2

e) Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n ra tích của các thừa số bậc nhất

Bài 15:

Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n

Tìm giá trị của m và n để đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

Với giá trị m và n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có nghiệm một duy nhất.Hướng dẫn:

7 ; f(

Bài 18: Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5

Muốn cho đa thức có nghiệm x = 2 thì m có giá trị bằng bao nhiêu ?

Bài 19: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e và cho biết P(1) = 3;

- Giải các bài tập sau:

35

32 x 63

82 x 30

13 x 21

1 x 630

+

− +

−

Tính giá trị của đa thức khi x = - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4

Chứng minh đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

Bài 21: Cho đa thức f(x) = 1 + x2 + x3 + x4 + + x49 Tính f(1,2008)

Bài 22: Tính giá trị biểu thức:

A = xy5050++xy4949++yx4848++ ++ 22++yx++11 khi x = 1, 2007 ; y = 1,

*******************************

Chủ đề 3 - Buổi 3 DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

- Tiếp tục cho học sinh giải các bài tập 20; 21; 22 đã cho về nhà ở tiết trước

- GV cho HS thực hiện theo hai cách và đối chiếu kết quả

Yêu cầu HS tự luyện tại lớp các bài tập sau:

Bài tập 23: Tính giá trị của biểu thức

A( x) 3x= −2x +2x −7x 3− tại x1 =1,234 vµ x2 =1,345

Kết quả: A(x )1 = −4,645914508; A(x )2 = −2,137267098

Bài tập 24:

Tìm số dư khi chia đa thức x4 −3x2 −4x 7+ cho x – 2

Cho hai đa thức

Với a, b tìm được , hãy tìm nghiệm còn lại của P(x)

Hướng dẫn: a) Trục căn thức ở mẫu ta có x = 6 - 35

Chủ đề 4 - Buổi 1 DẠNG TOÁN TÌM ƯỚC VÀ BỘI

Nhấn “=” liên tục đến kết quả cuối cùng là ƯCLN (A ; B)

*) Cách 3: Dùng chức năng của máy và thuật toán Ơ – clít

- Trước hết biết cách tìm số dư của phép chia A cho B

Số dư của phép chia A cho B là A B. A

  là phần nguyên của A chia cho B

- Để tìm ƯCLN (a , b) ta dựa vào chức năng của máy và thuật toán Ơ-clít như sau:

Gán a vào A ; b vào B (a > b) Bấm:

Alpha A : Alpha B = Shift a/bc (nếu máy không chuyển được về phân số)

Ta tìm số dư của phép chia trên rồi gán vào C Bấm:

Alpha B : Alpha C = Shift a/bc Nếu máy không chuyển được kết quả về phân số ta tiếp tục như tròncho đến khi chuyển được về phân số ta lấy số bị chia chia cho tử của phân số tròn màn hình được kết quả chính là ƯCLN (a,b)

# SHIFT # = Lặp 2 DL trên, ấn dấu = và quan sát rồi chọn các

kết quả nguyên – đó là Ước

Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r

gọi d là ƯCLN của a và b, thế thì ta có a = d.a’; b = d.b’

thay vào (1) ta được d.a’= d.b’.q + r

hay d.a’ = d.(b’.q) + r

theo tính chất chia hết của một tổng thì r cũng chia hết cho d

thế nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r)

Dựa vào nhận xét trên ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) như sau:

-Nếu kết quả là phân số m

n thì B:n = (được kết quả là ƯCLN(a,b))

-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách

Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D

Bài toán trở về tìm ƯCLN(B,D)

Ta nhập vào máy biểu thức:

ALPHA B b

a ALPHA D = SHIFT b

a

-Nếu kết quả là phân số p

q thì D:q = (được kết quả là ƯCLN(a,b))

-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách

Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức B – c.D → F

Bchia cho mẫu của phân số

m n

ALPHA A a b ALPHA B = SHIFT a b

Kết quả máy báo là một số thập phân 1,000815387

Ta đi tìm số dư: A – 1.B → A

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B a b ALPHA A = SHIFT a b

Kết quả máy báo là một số thập phân 1226,410928 (lấy phần nguyên là 1226)

Ta lại đi tìm số dư: B – 1226.A → B

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA A b

a ALPHA B = SHIFT a b

Kết quả máy báo là một số thập phân 2,43351908 (lấy phần nguyên là 2)

Ta tiếp tục đi tìm số dư: A – 2.B → A

Achia cho mẫu của phân số

m n

tức là A:n ( ALPHA A ÷6146 = 97)

Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 4 104 184 169) = 97

*) Ví dụ: Tìm a) ƯCLN(90756918 ; 14676975) b) ƯCLN(14696011; 7362139)

- Dựng máy casio fx – 570 MS như sau:

Bấm: 90756918 Shift Sto A, 14676975 Shift Sto B

Alpha A : Alpha B = Shift a/bc (6,183625577)

A – B.6, =, (được 2695068) Shift Sto C, Alph B : Alpha C = Shift a/bc (được 37925 /6964)

Lấy Alpha B : 37925 = 387 Vậy: ƯCLN(90756918 ; 14676975) = 387

- Dựng máy casio fx – 570 ES tương tự như vậy, nhưng làm thêm một lần nữa mới cho kết quả (bấm phím nhiều hơn)

b) Tương tự ƯCLN(14696011; 7362139) = 23

*) Lưu ý : ƯCLN (a ; b ; c) = ƯCLN [ƯCLN(a ; b) ; c]

II - Bài tập

Bài 1: Tìm a) ƯCLN(97110 ; 13965) b) ƯCLN(10500 ; 8683)

Bài 2: Tìm a) ƯCLN(77554 ; 3581170) b) ƯCLN(532588; 110708836)

Bài 3: Tìm a) ƯCLN(459494736 ; 5766866256) b) ƯCLN(8992 ; 31473)

Bài 4: Tìm a) ƯCLN(708 ; 26930) b) ƯCLN(183378 ; 3500639)

Bài 5: Tìm a) ƯCLN(611672 ; 11231152) b) ƯCLN(159185055; 1061069040)

Bài 6: Tìm

a) ƯCLN (13899; 563094; 9650088) b) ƯCLN(18963; 617394; 14676975)

Bài 7: Tìm:

a) ƯCLN(90756918 ; 14676975) ; b) ƯCLN(222222; 506506 ; 714714; 999999)

Trong đú r là số dư của A khi chia cho m

- Lưu ý: cách này áp dụng cho trường hợp số bị chia có quá nhiều chữ số,

ta cần phải tách số dư thành các nhóm và tính

Kết quả này là số dư của phép chia.

VD: Tìm thương và dư của phép chia (3 20 +1) cho (2 15 +1)?

Cách làm:

3 ^ 20 + 1 SHIFT STO A :

2 ^ 15 + 1 SHIFT STO B :

ALPHA A ÷ ALPHA B = (106 404,9682) → thương là 106 404.

ALPHA A - 106404 ALPHA B = (31 726) → số dư là 31 726.

II – Bài tập

Bài 1: Viết quy trình bấm phím tính số dư của phộp chia 19052002 cho 20969

Hướng dẫn:

- Thực hiện phép chia 19052002 cho 20969 được 908, 5794268

- Vậy số dư của phép chia đú là: 19052002 – 20969.908 = 12150

Bài 2: Tìm số dư của phép chia: 26031931 cho 280202

Bài 3: Tìm số dư của phép chia: 21021961 cho 1781989

Bài 4: Tìm số dư của phép chia:18901969 cho 2382001

Bài 5: Tìm số dư của phép chia: 3523127 cho 2047

Bài 6: Tìm số dư của phép chia: 143946 cho 23147

Bài 7: Viết quy trình bấm phím và tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001

Hướng dẫn:

- Các bài tập từ 2 đến 7 thực hiện tương tự bài tập 1

Bài 8: Tìm số dư của phép chia :

a) 1234567890987654321 : 123456 b) 715 : 2001

Hướng dẫn:

Tách số bị chia thành hai nhóm

Nhóm 1 : 123456789098 Nhóm 2 : 7654321

Gọi r là số dư của 123456789098 khi chia cho 123456 => r = 48362

Ta viết nhóm 2 bờn phải số dư r được 483627654321

Ta tiếp tục tìm số dư của phép chia 483627654321 cho 123456

Được kết qủa : 8817

Thực hiện tương tự tách 715 thành hai nhóm

Nhóm 1 : 710 Nhóm 2 : 75

=> r = 832

Số dư của phép chia 83277777 cho 2001, được kết quả bài toán là 159

Bài 9: Chia 6032002 cho 1950 được số dư là r1 Chia r1 cho 209 cú số dư là r2 Tìm r2

Bài 10: Chia 19082002 cho 2707 được số dư là r1, chia r1 cho 209 cú số dư là r2.Tìm r2

Chủ đề 5 - Buổi 1 DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Tìm nghiệm gần đúng với 6 chữ số thập phân của phương trình:

; 3 và 1,8; ứng với giá trị nào làm cho giá trị của đa thức bằng 0 thì

đó là nghiệm của phương trình

- Kết quả: Số x = 1,8 là một nghiệm của phương trình

Bài 3: Cho phương trình x3 – 3x + 1 = 0 Tìm các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của

19 72x y 3x 240677

3x 24067772x y

193x 240677