2 Việc chi tiết hóa nếu có thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.. 3 Điểm bài thi là tổng điểm kh[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐỀ THI DỰ BỊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang )
P=√x(√x3− 1)
P=( √x −1
2)2+3
4≥
3
GTNN của P=3
4 khi x=1
3
Tìm x để biểu thức Q=2√x
√x+ 1
√x −1
0,50
Ta có √x+ 1
√x>2(do x ≠ 1) nên 0<Q<2 0,50
Vậy Q ∈ Z ⇒Q=1 Khi đó
2
Nếu m = 0 thi PT trở thành 1 = 0, nên PT vô nghiệm
Nếu m 0 thì PT đã cho có nghiệm khi ' m2 m m m 1 0
Với ĐK (*), phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2 2
x x
(1) và 1 2
1
x x m
0,5
Để: x1 2x2 (hoặc x2 2x1), thay vào (1) suy ra: 1
4
; 3
3
x
(hoặc 1
2
; 3
3
x
)
0,5
Khi đó: 1 2
1
, thỏa mãn ĐK (*)
Vậy với
9 8
m
thì phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia
0,5
Trang 2Giải hệ phương trình sau
2 2
2
2
x y x
x y
2,00
Hệ PT
⇔
x + y¿2
¿=55 4
x+ y¿2+1
¿(x − y )+[(x+ y)+ 1
x+ y]=3
2
¿
¿
¿
x − y¿2+3¿
¿
Đặt
¿
u=x − y
v =x+ y + 1
x + y
¿{
¿
0,50
ta có hệ
¿
u2+3 v2=79
4
u +v =3
2
¿{
¿
⇔
u=3
2− v
8 v2−6 v −35=0
⇔
¿u=−1
v=5
2
¿{
hoặc
13 4 7 2
u v
0,50
Vậy hệ
⇔
x − y=−1 x+ y+ 1
x + y=
5 2
¿{
⇔
x − y=−1
x + y =2
¿{
hoặc
¿
x − y=−1 x+ y=1
2
¿{
¿
0,25
Với
1
2
x
x y
x y
y
Với
1 1
4 1
3 2
4
x y
y
0,50
Với
13
4 7 2
u
v
loại (vì v 2).Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
1 3 1 3
; , ;
2 2 4 4
0,25
Trang 3III 1
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: (x1)(x2)(x8)(x9)y2 2,00
Đặt t=x+5 , ta được:
(x+1)(x +2)(x+ 8)( x+9)= y2 ⇔(t2−9)(t2− 16)= y2 (1)
Đặt u=t2−25
2 ( 2u ∈ Z ) khi đó (1) (2u 7)(2u 7) 4y 2 (2u 2y)(2u 2y) 49
0, 5
Trường hợp 1: {2u+2 y=49 2 u −2 y=1 ∨{2u −2 y=49 2 u+2 y=1 ⇒{2 u=25 y =12 ∨{2 u=25 y =−12
2u=25 ⇒t=± 5 ⇒ x=0 hay x=−10
Từ đó (x , y )=(0 ;±12) , (−10 ;± 12)
0,5
Trường hợp 2: {2u+2 y=− 49 2 u −2 y=− 1 ∨{2 u− 2 y =− 49 2u+2 y =−1 ⇒{2 u=− 25 y=− 12 ∨{2 u=−25 y=12
2u=−25 ⇒ t=0⇒ x=−5 Từ đó (x , y )=(−5 ;±12)
0,5
Trường hợp 3: {2u −2 y=7 2 u+2 y=7 ∨{2 u −2 y=− 7 2u+2 y =−7 ⇒{2 u=7 y=0 ∨{2 u=− 7 y =0
2u=7 ⇒t=± 4 ⇒ x=−1 hay x=− 9 2u=−7 ⇒ t=±3 ⇒ x=− 2 hay x=−8
Từ đó (x , y )=(−1 ;0) , (−2 ;0) , (−8 ;0) , (−9 ;0)
Vậy phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) là: (−1 ;0) , (−2 ;0) ,
(−8 ;0) , (−9 ;0) , (0 ;12) , (0 ;−12) , (−5 ;12) , (−5 ;−12) ,
(−10 ;12) , (−10 ;−12)
0,5
2 Có hay không số tự nhiên n sao cho 3 n +1 chia hết cho 10 2013 ? 2,00
Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho 3n +1 chia hết cho 102013
Xét hai trường hợp: a) Nếu n chẵn: Đặt n = 2k
Ta có: 3n + 1= 32k +1 = 9k + 1 2(mod8)
Do đó: 3n + 1 không chia hết cho 4 Điều này vô lí vì 3n +1 chia hết cho 102013 mà
102013 chia hết cho 8 nên 3n + 1 chia hết cho 8
0,5
0,5
b) Nếu n lẻ: Đặt n = 2k + 1
Ta có: 3n + 1= 3.32k +1 =3 9k + 1 4(mod8) 0,5
Do đó: 3n + 1 không chia hết cho 8 Điều này vô lí vì 3n +1 chia hết cho 102013 mà
102013 chia hết cho 8 nên 3n + 1 chia hết cho 8 0,25 Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho 3n +1 chia hết cho 102013 0,25
Chứng minh PCB 900
1 90
ACB C
Ta có :
0
1 90
(1)
P C
ACB P
1
H Q P
I
M F
E D
C
B A
0,5
Trang 4Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp CAB PIC (2) 0,5
PI IC
PI AB AC IC
2 Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 1,5
Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O)
DCI
ADB
có DM là đường trung tuyến
MDB
Ta lại có MBD DCI (cùng phụ với CAB) (5) 0,25
Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3 Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR 2,5
MD là tiếp tuyến của (O)
2 2
( ) (7)
MBC MKB c g c
R
K
C
I
H
0,75
Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp
( )
0,5
Ta lại có : ACRABR (9)
Từ (7), (8), (9) MBK ABR BA là tia phân giác của KBR
0,5
Chứng minh tương tự ta được AB là tia phân giác của KAR 0,25
Từ đó chứng minh được AB là đường trung trực của KR 0,50
V
Tìm giá trị LN của biểu thức Q =
Trang 5
đặt
2
3
x a
y b
z c
, , 0
3
a b c
a b c
Khi đó ta có: Q =
.
ab b ac a bc c
3 3
2 2
11
4
ab b
3 3
2 2
11
4
a c
ac a
3 3
2 2
11
4
bc c
0,5
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1),(2),(3) ta được P 2a b c 6.
Dấu bằng xảy ra
1 1 1
2 1 3
x
z
Vậy Max Q = 6
0,5
Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.