m+1 m-3 B
m+1
O
Trêng PTCS Nam thîng
k× thi chän HS giái trêng
NĂM HỌC 2008-2009 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút)
chú
3 2 2 ( 6) ( 3 2 2) 3 2 2 6 (3 2 2)
A = (3 2 2)(3 2 2)+ − = 9 (2 2)− 2 =1
0.5 0.5
2.0 b
B = (20082 2014 2008) ( 2 4016 3 2009)
2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008, khi đó
B = ( ) ( ) ( )
x x 6 x 2x 3 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
− − + + = x + 1 = 2009
0.25 0.25 0.5
y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:
y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m
( 1) (1 3 ) 0,
Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)
0.25 0.25
1.5
b
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 ≠ ⇔ ≠0 m 3
S∆ABO =1 1 1 1
m m m
+
−
2
(m 1) 2m 3
Nếu m> 3 ⇔ m2 +2m +1 = 2m -6 ⇔ m2 = -7 ( loại) Nếu m < 3 ⇔ m2 +2m +1 = 6 – 2m ⇔m2 + 4m – 5 =0
⇔(m – 1)(m + +5) = 0 ⇔ m = 1; m = -5
0.5
0.5
3 a Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2+b2)(c2+d2) ≥a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2
⇔ (a2+b2)(c2+d2) ≥ ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd ≥0 (1) ⇔( a2 + b2 )(c2 + d2) ≥a2c2 + b2d2 +2acbd
⇔a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd
⇔ a2d2 + b2c2 – 2abcd ≥ 0 ⇔(ad – bc)2 ≥ 0 ( luôn đúng) Dấu “=” xẩy ra ⇔ ad = bc ⇔ a c
b =d
0.5
0.5
1.5
Trang 2N
C D
M
Áp dụng: xét vế trái VT = (x+1)2+22 + (3−x)2+ ≥12 (x+ + −1 3 x)2+ +(2 1)2
Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra ⇔ 1 3 1 6 2 5
0.25 0.25
b.
Điều kiện: x≥ 0
Q = ( 9) 25 3 25 6
x
x
25
3
x
+
Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra ⇔ 3 25 4
3
x
+ (TM điều kiện)
0.75 0.25
1.0
4
Hình vẽ chính xác
Gọi H là giao của AM và CN
Xét AMB∆ và ∆CNB là hai tam giác vuông có:
AB = CB (Cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)
⇒∆AMB= ∆CNB (c-g-c)
BAM =BCN Xét trong AMB∆ và ∆CMH có:
·AMB CMH=· (đối đỉnh), kết hợp với (1)
⇒CHM· =·ABM =900hay ·ACH =900
⇒ H thuộc đường tròn có đường kính AC
(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)
Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H
0.2
0.5
0.5 0.3
1.5
5
Hình vẽ
Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có: MN = AM MN =ax
0 (c - x) 3
MQ = BM.sin60 =
2 . Suy ra diện tích của MNPQ là:
ax c - x( ) 3 a 3 ( )
+ Ta có bất đẳng thức:
2
ab ab (a > 0, b > 0)
Áp dụng, ta có:
2 2
x + c - x c x(c - x) =
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x x = c
2
Suy ra:
2
a 3 c ac 3
2c 4 8
≤ Vậy: Smax =ac 3
8 khi
c
x =
2 hay M là trung điểm của cạnh AB
0.2 0.2 0.3
0.3 0.25
0.5 0.25 0.5
2.5
A
P Q
0
60
x