Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất.. Bài 6: 4đCho hình vuông ABCD cạnh bằng a.. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB và AD kéo dài tại F và E.. a/ Chứng m
Trang 1UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
Phòng Giáo dục & Đào tạo
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
n + n + n + n− chia hết cho 24
Bài 2: (3đ) Xác định các hệ số a và b để đa thức A = x4−2x3+3x2+ax b+ là bình phương của một đa thức
Bài 3 (3đ)
a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực a, b, c, d ta có:
( )2 ( 2 2) ( 2 2)
b) Với a ≥ c; b ≥ c; c > 0 Chứng minh rằng: c a c( − +) c b c( − ≤) ab
Bài 4) (4đ):
a) Rút gọn B= 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+
b) Tìm x để biểu thức sau cĩ giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đĩ
2009
C = −x x−
Bài 5) (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất
Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh
AB và AD kéo dài tại F và E
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi
b/ Chứng minh rằng: DE AE22
-* -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi : TOÁN 9 Bài 1:
4 6 3 11 2 30 24
( 3 2) (5 2 5 ) (6 6) 24( 1) ( 1) ( 2 5 6) 24( 1)
( 1) ( 2) ( 3) 24( 1)
n n+ n+ n+ + n− (2đ)
Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên n4+6n3+11n2+30n−24chia hết cho 24 (1đ)
Bài 2: Ta có A là bình phương của một đa thức thì:
A = ( 2 )2
x + +cx d = x4+2cx3+(c2+2d x) 2+2cdx d+ 2 (0,5đ) Mà: A = x4−2x3+3x2+ax b+
Do đó ta có hệ phương trình:
2
2
1
d
= −
Do đó: a = - 2 ; b = 1 Vậy: A = x4−2x3+3x2−2x+1(2,5đ)
Bài 3: a/ Ta có:
( )2 ( 2 2) ( 2 2)
2
0
ad bc
Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi số thực a, b, c
Vậy: ( )2 ( 2 2) ( 2 2)
b / Ta có:
( ) (2 ) (2 ) ( )2 2
(1,5đ)
Bài 4: (4đ):
2
2
2
8 2 16 10 2 5
8 2 6 2 5
a Rútgọn B
B
B
B
2 2
2
B
Trang 3= − − ≥
≥
2
2
1 " " 2009 0
2 1
2009
2
1 0
2009 4 1
2009
2
x
x x
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 20083 20091
4 ⇔ =x 4
Bài 5: (3đ):
Vẽ đường cao AH ta có:
∆
∆
∆
1
ABC
ABC ABC
S
AM
∆
2
ABC
S
AH
⇒ M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC
Bài 6:
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi
Từ (1) và (2) suy ra: ED BC ED BF CD BC a 2
Vậy: Tích DE.BF không đổi
B
A
C
F
Trang 4b/ Chứng minh rằng: DE AE22
Nhân (1) và (2) vế theo vế , ta có: ED BC EA22
Vì CD = BC nên DE AE22