với C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng 60o.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 131 )
PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7điểm)
Câu I (2 điểm).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3
2.Tìm a để phương trình : x44x2 log3a 30 có 4 nghiệm thực phân biệt
Câu II (2 điểm)
4 cos
2.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x23x2 x22mx2m
Câu III (2 điểm)
1.Tính I =
8
15 1
dx
2.Cho đường cao khối chóp đều S.ABC bằng h không đổi, góc ở đáy của mặt bên bằng với
.Tính thể tích của khối chóp đó theo h và Với giá trị nào của thì thể tích khối chóp đạt
2
; 4
giá trị lớn nhất
Câu IV (1 điểm) Cho a b0; 0 và a b1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2
2
M
b
b a
PHẦN TỰ CHỌN(3 điểm) Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va(3 điểm).
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x: 2y22x0 Viết phương trình tiếp tuyến của , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau :
và
1
1
2
A
1
1 3
1 1
:
x d
Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2
3.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z12i 2, tìm số phức z có modun nhỏ nhất.
Câu Vb (3 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0, và điểm A(1; 3)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C), tại B, C sao cho BA = BC
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
:
1
d
3
6 1
2 2
1
x t
A
Lập phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của theo phương lên mặt phẳng (Oyz) d1 d1 d2
3 Giải hệ phương trình :
4
x y
Hết
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG.
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 65 )
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3 1,25
2 Phương trình tương đương với x4 – 4x2 + 3 = log3a 0 0,25
Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương 1log3a < 3 0,25 Câu I
log3a 1 1log3a1 3
3
1 a 0,25
1 Giải phương trình: 2 3cos4 4cos 1
4 cos
1điểm
Phương trình tương đương với 1 cos 4 3 cos 4 4cos2 1
sin 4 3 cos 4 2 2cos 1
sin 4 cos 4 cos 2
cos 4 cos 2
6
12
36 3
k k x
A
0,25
0,25 0,25 0,25
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x2 3x2 x2 2mx2m (*) 1 1điểm (*)
2
3 2 0
0,25
x
x x f
x x
x m
x
2 1
2 3 ) (
2 1
2 3 ) 1 ( 2
2 1
0,25
Câu
II
+ f(x) liên tục trên 1; 2 và có đồng biến trên
1
x
Bài toán yêu cầu (1) 2 (2) 1 2
0,25
0,25
1 Tính tích phân I =
8
15 1
dx
Câu
III
2 Xác định đúng góc SBA SBCA A và SA=SB=SC
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S, ta có SH=h,
và H là tâm dáy
Gọi K là trung điểm BC ta có SK BC
Đặt cạnh đáy BC = 2x, khi đó BK = x
Ta có SK x.tan (trong tam giác SBK)
Trong SHK
2
3
x
1 tan 3
3
2
2 2
h x
4
3 ) 2 ( x 2
S ABC
1 tan 3
3 3
2
2
h
3
1 S
3
1
SH
1 tan 3
3 3
2
2
2
3
h
0,25
0,25
0,25
Trang 3 Suy ra
2
; 4
tan1; 32 3 3 3 3 3
3tan 1 3.1 1 2
V
Vậy, max 3 3 tan 1
h
Cho a b0; 0 và a b1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
Câu
IV
ab
ab b
a
ab b
a b
a
4
1 0
2
4
Do đó M f t( ) 2t 2,
t
4
1
; 0
t
min ( )
D f t f
Vậy min 17 đạt được khi .( Bài này còn nhiều cách giải khác)
2
2
a b
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu
Va 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x: 2y22x0 Viết phương trình tiếp tuyến với C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng 60o
1 1điểm
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 60o hệ số góc của tiếp tuyến bằng tan60o hoặc tan120o
Do đó tiếp tuyến có dạng y 3x b hoặc y 3x b (d)
0,25 0.25
(d) tiếp xúc với đường tròn ( , ) 1 3.( 1) 1 2 3
d I d
b
Vậy ta có 4 tiếp tuyến :
, 0 3 2
3x y 3x y 2 3 0, 3x y 2 3 0, 3x y 2 3 0, 0.25
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau :
và
1
1
2
1 3
1 1
:
x d
Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2
1 điểm
Đường thẳng d1 đi qua A(1; 0; -2) và có vectơ chỉ phương là u1 ( 1; 2;1), đường thẳng d2 đi qua
B(0; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u2 (1;3; 1) 0,25
Gọi E trung điểm AB , và (P) là mặt phẳng qua ) song song 2 đường thẳng d1,d2 thì (P)
2
1
; 2
1
; 2
1
E
là mặt phẳng phải tìm
Ta có u u 1, 2= (-5;0;-5) nên n (1;0;1) là một véctơ pháp tuyến của (P)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : 1 1 0 1 1 0 0
0,25 0,25 0,25
3.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z12i 2, tìm số phức z có modun nhỏ nhất. 1 1điểm
Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z. 0 0,25
Trang 4Đường tròn (C) : x1 2 y22 4 có tâm (1;2) Đường thẳng OI có phương trình y=2x
Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu
diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
0,25
2 2
2
2 1
x
5
2
1
x
5
2 1
x
5
4
2
z i
0,25
0.25
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1; 3)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C), tại B , C sao cho BA = BC
1 1điểm
Đường tròn có tâm I(3;-1) ; bán kính R = 2.và IA2 52R A ngoài đường tròn
Gọi d là đường thẳng qua A cắt (C) tại B,C sao cho AB=BC ta có :
16 4 20 2
.AC AI2R2 AB2
Với E là trung điểm BC BE 2 d(I,d) 2
0,25
0,25
Mà phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc k là: y = k(x-1)+3 hay kx–y+3-k =0 0,25
2 1
3 1 3 ) ,
(
k
k k
d
I
Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toánx y40;7x y100 0,25
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
và :
1
d
3
6 1
2 2
x
t z
y
t x d
1
2 :
2
Lập phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu song song của theo phương d1 d2lên mặt (Oyz)
1điểm
Ta có u1(2;1;3) là VTCP d1 và u2 (1;0;1) là VTCP d2 không cùng phương
Gọi () là mặt phẳng qua và song song d1 d2d1(nếu có) là giao tuyến của ()và (Oyz). 0, 25
Ta có phương trình của (): x – 5y +z - 1 = 0 và phương trình mặt phẳng (Oyz) là: x = 0 0,5
Suy ra phương trình đường thẳngd1 là :
0
1 5
x
y t
Điều kiện : x > 0 ; y > 0 Ta có : 0 >0
4
3 2
2
2 2
Xét x > y 3 3 (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
VT(*) 0
VP(*) 0
Xét x < y 3 3 (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
VT(*) 0
VP(*) 0
0 0,25
Câu
Vb
Khi x = y hệ cho ta 0 02 2 x = y = ( do x, y > 0) Vậy hệ có ngd nh
2x 2y 4