Câu 2: Không dùng máy tính.. Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD.. Chứng minh rằng: 1, Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình vuông.. 2, Nếu tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ gi
Trang 1Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 2 năm học 2006-2007
-Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời
gian giao đề)
-Câu 1: (Không dùng máy tính)
Cho biểu thức: A =
Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Câu 2: (Không dùng máy tính) Hãy so sánh hai số sau đây:
Câu3: Cho hệ phơng trình:
x- my = 2 - 2m
mx + y = 1 + 3m (I) với m là tham số
1, Giải hệ (I) khi m = 1
2, Gọi (x0, y0) là nghiệm của hệ (I) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = x02 + y02 - 2 x0 khi m thay đổi
Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA
lần lợt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ Chứng minh rằng:
1, Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình vuông
2, Nếu tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình vuông
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn a + b + c =
3 Chứng minh bất đẳng thức sau:
ab +bc + ca
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 2 năm học 2006-2007
-Hớng dẫn chấm thi
-Câ
1
A =
Trờng hợp 1: Nếu -2 ≤ 0 4 < x ≤ 8 Khi đó:
A =
Trờng hợp 2: Nếu -2 > 0 x >
8 Khi đó:
*Xét A = = 4 + với x Z ta thấy
Trang 3*Xét A = và x Z Trớc hết, nếu là số vô tỉ thì A cũng là số vô tỉ nên không thỏa mãn,
do đó = với p,q Z+ và (p; q) = 1
2p2 +8q2 = kpq Từ đó ta thấy 2p2 chia hết cho q
mà (p,q) =1
q Tơng tự ta cũng có: 8q2 chia hết cho p mà (p,q) =1 p p = 1; 2; 4; 8 Vì (p,q) =
1 nên chỉ cần thử các tình huống:
+ q =2 và p = 1 thì x không phải là số nguyên + q =1 mà x > 8 nên p = 4; 8 thỏa mãn Khi đó
x = 20; 68
Vậy A Z khi x = 5; 6; 8; 20; 26
2
Rút gọn x:
Rút gọn y: =
=
So sánh < y < x
3 1, Khi m =1 hệ trở thành
Trang 4B A
C D
M
N
P Q
2,
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2)
Do (x0; y0) là nghiệm của hệ phơng trình nên ta
Bình phơng hai vế của (1) cộng từng vế với
bình phơng hai vế của (2) ta đợc
(1- 2m)2 + (1+ 2m)2 (m2 + 1) 2 8m2 (x0 -1)2 + y2
0 =
1
2
8
2
2
m m
mà A = x2
0+ y2
0 - 2x0 A = (x0 -1 )2 + y2
0 – 1
Vậy A =
1
2
8
2
2
m
m - 1 =
1
1
7
2
2
m m
A = = 7 -
Để A min lớn nhất m2 + 1 nhỏ nhất
Mặt khác m2 + 1 ≥ 1 Dấu “=” khi m = 0 Vậy (m2
+ 1)min= 1
A = 1 khi m = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 1 khi m = 0
khi đó ( x0; y0)=(2;1)
4
1,
Tứ giác ABCD là
hình vuông
AB = BC = CD
=DA
AM + MB = BN
+ NC = CP + PD = DQ +
QA (do AM = BN = CP = DQ)
Tam giác vuông
AQM = Tam giác vuông
BNM = Tam giác vuông
2
Trang 5CPN = Tam giác vuông
DQP(c-g-c) suy ra MQ = NM = PN =
QP (1) và
Suy ra
Từ (1) và (2) Tứ giác MNPQ là hình vuông
Tứ giác MNPQ là hình vuông Tứ giác ABCD là
hình vuông Ta chỉ cần chứng minh tứ giác
ABCD là hình chữ nhật là đủ (vì với điều kiện
AM = BN = CP = DQ và MNPQ là hình vuông ta
suy ra tứ giác ABCD là hình vuông)
Giả sử tứ giác ABCD không là hình chữ nhật
Trong 4 góc của tứ giác có ít nhất 1 góc tù, giả sử
góc A > 900
Hạ QH vuông góc
với AB
H nằm ngoài đoạn
AM (do
gócA > 900 ) AM
< MH (3)
Hạ NK vuông góc
với AB, ta
thấy tam giác
vuông HMQ = Tam giác vuông
KNM
Do MQ = NM và
góc HMQ = góc
KNM (cùng phụ với góc KMN)
HM = KN, mà
MH > AM
(theo (3))
1
C D
Q
N
Trang 6KN ≤ BN
Do đó AM < BN (vô lí do giả thiết AM = BN)
Vậy điều giả sử sai Tứ giác ABCD là hình chữ nhật Tứ giác ABCD là hình vuông
2ab +2bc + 2ca
a2 + a2 + b2 +c2 +2ab +2bc + 2ca
a2 + (a + b + c)2 = 9 (*)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
Tơng tự, ta cũng có: ;
Do đó a2 + 3.(a + b + c) =3.3=
9
Vậy là (*) đợc chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
