[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp 9 THCS năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-Câu 1 (3,0 điểm)
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2
+y2− xy=x+ y+2 b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có (a+b +c )3− (a+b − c )3− (b+c −a )3− (a −b+c )3 Chia hết cho 96
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có √1+(1n+
1
n+2)2=1+1
n −
1
n+2
b) Tính tổng S=√1+(1+1
3)2+√1+(12+
1
4)2+√1+(13+
1
5)2+ +√1+(20141 +
1
2016)2
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
√2 x2− x=2 x − x2
b) Giải hệ phương trình
¿
(x2−1)y +(y2−1)x=2 (xy −1)
4 x2+y2+2 x − y − 6=0
¿ {
¿
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x2
+y2 +z2 =3
Chứng minh rằng 3x
√yz+
y
3
√xz+
z
3
√xy≥ xy+yz+xz
- Hết
-Hướng dẫn Câu 1 (3,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2+y2− xy=x+ y+ 2
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có (a+b +c)3−(a+b − c)3−(b+c −a)3−(a −b+ c)3 Chia hết cho 96
Hướng dẫn
a)
x2+y2− xy=x+ y+2⇔ 2 x2
+2 y2−2 xy −2 x − 2 y +2=6
y −1¿2=6
x −1¿2+ ¿
¿
x − y¿2+ ¿
⇔¿
PT có 6 nghiệm (x ; y )∈{(2 ; 0) ; (3 ;2 ); (−1 ; 0 )} và 3 hoán vị
Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y thì x+y+z=a+b+c
Ta có ( x+ y+ z)3− x3− y3− z3 =3(x + y )( y +z)(x +z)
Câu 2 (4,0 điểm)
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có √1+(1n+
1
n+2)2=1+1
n −
1
n+2
d) Tính tổng S=√1+(1+1
3)2+√1+(12+
1
4)2+√1+(13+
1
5)2+ +√1+(20141 +
1
2016)2
Hướng dẫn a)
n+2¿2
¿
n+2¿2
¿
+4
n (n+2) −
2
n(n+2)
¿
n+2¿2
¿
¿
¿
¿
1+(1n+
1
n+2)2=1+1
n2+
1
¿
Nên √1+(1n+
1
n+2)2=1+1
n −
1
n+2
b) S=1+1 −1
3+1+
1
2−
1
4+1+
1
3−
1
5+ +1+
1
2004 −
1
2016=2015+
1
2−
1
2015 −
1 2016
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
√2 x2− x=2 x − x2
b) Giải hệ phương trình
Trang 3
¿
(x2−1)y +(y2−1)x=2 (xy −1)
4 x2 +y2 +2 x − y − 6=0
¿ {
¿
Hướng dẫn
a) ĐKXĐ:
x (2 x −1)≥ 0 x(2− x )≥ 0
⇒ x=0
¿
1
2≤ x ≤2
¿
¿
¿ {
¿
¿
¿ ¿
√2 x2− x=x
¿
√2 x2− x=−( x +1)
¿
¿
¿
¿
¿√2 x2− x=2 x − x2⇔2 x2− x − x√2 x2− x +(1+ x )√2 x2− x − x(1+x )=0
⇔(√2 x2− x − x)(√2 x2− x +1+x)= 0⇔ ¿
Giải ra x=1 hoặc x=1
b)
¿
(x2−1)y +(y2−1)x=2 (xy −1) ;(1)
4 x2+y2+2 x − y − 6=0;(2)
¿ {
¿
từ PT (1) ta có :
y=2 − x
¿
xy=1
¿
¿
¿
¿
¿x2y +xy2−(x+ y )−2(xy −1)=0⇔(x+ y )(xy −1)− 2(xy −1)=0
thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm
( xy)∈{(1 ; 1) ; (−0,5 ; 2) ;(√3+12 ;√3+1);(−√3 −12 ;1−√3);(− 45 ;
14
5 ) }
Trang 4M R
Q
D P
E
F
O
B
C A
a) Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ∠AFE=∠BCQ mà ∠AFE=∠BRQ ( so le )
Suy ra ∠BCQ =∠BRQ nên tứ giác BQCR nội tiếp
b) EM là trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân tại M suy ra
∠EMD=2 ∠ACB mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên ∠ACB =∠AFE=∠BFD suy
ra
∠EMD=2 ∠ACB =∠AFE+∠BFD ⇒∠ EMD+∠DFE=1800 suy ra tứ giác DMEF nội tiếp suy
ra ∠BDF =∠PEM mà ∠BDF =∠BAC =∠MDE nên tam giác EPM,và DEM đồng dạng (g.g)
c)do DMEF nội tiếp suy ra ∠PFD=∠EMD mà ∠PDF =∠EDM nên tam giác PFD đồng dạng tam giác EMD (g.g) suy ra PDDF= ED
MD; do ∠RED =∠AEF =∠ FRD nên tam giác FDR cân tại D suy ra FD=DR;tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE=DQ
mà FD=DR; DE=DQ suy ra PDDR = DQ
MD ;
suy ra tam giác PDR đồng dang tam giác QDM ( c.g.c) suy ra ∠PRQ =∠PMQ suy ra tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M cố định
Câu 5 ( 2.0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn x2+y2+z2=3
Chứng minh rằng 3x
√yz+
y
3
√xz+
z
3
√xy≥ xy+yz+xz
Hướng dẫn
A=3x
√yz+
y
3
√xz+
z
3
√xy=
x√3x
3
√xyz+
y√3 y
3
√xyz+
z√3z
3
√xyz
Ta có 3=x2+y2+z2≥ 3√3x2 y2z2⇔ xyz≤ 1
Nên A ≥ x√3x + y√3 y+ z√3 z
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 3
√x2;√3 y2;√3 z2
Dãy 2 : 3
√x ;√3 y ;√3z
Trang 5(x√3x + y√3 y +z√3z)( √3x2+√3 y2+√3 z2)≥ (x + y +z )2≥ 3 ( xy+yz+xz) (*)
Ấp dụng Côsi √3 x2.1 1 ≤ x2+1+1
3 ; √3 y2 1 1≤ y2+1+1
3 ; √3 z2.1 1≤ z2+1+1
3
Nên √3 x2 +√3 y2
+√3z2≤ x
2 +y2+z2+ 6
Thay Vào (*) Ta có
A ≥ x3
√x + y3
√y+ z3
√z ≥ xy +yz+xz
Hay 3x
√yz+
y
3
√xz+
z
3
√xy≥ xy+yz+xz
Dấu “=” xảy ra khi
¿
x2=y2=z2= 1 3
√x=√3 y =√3z
x2 +y2 +z2 =3
⇔ x= y=z=1
¿ { {
¿
Cách khác
3
√yz 1≤ y+ z+1
3 ; 3
√xz 1≤ x+z +1
3 ; 3
√yx 1 ≤ y +x+1
3
Nên
A=3x
√yz+
y
3
√xz+
z
3
√xy≥ 3(y +z+1 x +
y x+ z+1+
z y+x +1)=3(xy+xz+ x x2 +
y2
xy +yz + y+
z2
yz+xz+z)=B
x + y +z¿2
¿
x + y +z¿2
¿
x + y +z¿2
¿
x + y +z¿2
¿
¿3 ≥ xy +yz +xz
¿
x+ y +z¿2≤3( x2+y2+z2)=9⇒ x+ y+z ≤ 3=x2
+y2+z2;
¿
3 ¿
3 ¿
¿
3 ¿
B ≥¿
Có thể còn cách khác hoặc cách giải chưa chính xác mong các bạn bổ sung nhé
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao