Bài 46 đ Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường trũn ngoại tiếp... 2 Giải hệ phương trình:.[r]
Trang 1Bài1(8đ).
1) Giải phương trình:
9
x (x + 1)(x + 2)(x + 3) =
16 2) Giải hệ phương trình:
2 2
x + y + xy = 4
x y + xy = 3
Bài 2(3đ)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P =
x + 3xy - y
x + xy + y
Bài 3(2đ).
Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d :
x – 2y – 3 = 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho MA uuur + 2 MB uuur - 3 MC uuur
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4(6 đ)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường trũn ngoại tiếp
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA
2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C
Bài 5(1 đ)
Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng: a + b + c ³ 2
b + c a + c b + a
Hết _
Trang 2Câu NỘI DUNG ĐIỂM
Cõu 1:
1) Giải phương trình:
9
x (x + 1)(x + 2)(x + 3) =
16(1)
* Đặt t = x(x+3) (1) trở thành t(t+2) =9/16
9 4 1 4
t
t
é
ê=-ê
ê
ê=
ê
ë
1
* với t =
9
4 ta có x(x+3) =
-9
4 x2 + 3x +
9
4= 0 x = -
3 2
1
* với t =
1
4 ta có x(x+3) =
1
4 x2 + 3x -
1
4= 0
é ê ê ê ê ê ê
-3 + 10
x =
2 -3 - 10
x =
2
1
* Vậy phương trình có nghiệm
3 2
3 10 2
3 10 2
x x x
é
ê =-ê ê
ê - +
ê = ê ê
ê =-ê
1
2) Giải hệ phương trình:
2 2
x + y + xy = 4
x y + xy = 3 (2)
(2)
( x + y) + xy = 4 xy(x+y) = 3
ìïï íï
Ta được hệ
4 3
S P SP
ì + = ïï
íï =
ïî Khi đó S, P là nghiệm của Phương trình
t2 - 4t + 3 = 0
1 3
S P
ì =
ïï
íï =
3 1
S P
ì = ïï
íï = ïî
2
Trang 31 3
S P
ì =
ïï
íï =
ïî x, y là nghiệm của phương trình u2 – u + 3 = 0
Phương trình này vô nghiệm
1
*
3 1
S P
ì = ïï
íï =
ïî x, y là nghiệm của phương trình u2 – 3u + 1 = 0
3 5 2
3 5 2
x y
ìï +
ï =
ïïï
íï
-ïï =
3 5 2
3 5 2
x y
ìï
-ï = ïïï
íï +
ïï = ïïî
1
Vây hệ có 2 nghiệm
3 5 2
3 5 2
x y
ìï +
ï = ïïï
íï
-ïï = ïïî và
3 5 2
3 5 2
x y
ìï
-ï = ïïï
íï +
ïï = ïïî
Câu 2
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P =
x + 3xy - y
x + xy + y
* y 0 thì P =
2
2
3 1 1
t t
t t
+ -+ -+ với t = x/y gọi P là một giá trị bất kỳ của nó khi đó
phương trình sau ẩn t phải có nghiệm
P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = 0 có nghiệm hay
1
Δ (3 ) 4(1 ) 0 (*)
P
é = ê
ë
(*) -3P2 – 6P +13 0 - (1+ 3 ) P 3 - 1
1
0,5 Vậy giá trị lớn nhất của P = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = - (1+ 3 )
Câu 3
Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d : x – 2y – 3 =
0 Tìm điểm M thuộc d sao cho
Q = MA uuur + 2 MB uuur - 3 MC uuur
đạt giá trị nhỏ Gọi M(2y+3 ; y) d Khi đó MA uuur + 2 MB uuur - 3 MC uuur = (2y – 5 ; y+21) 2
Trang 42 3
MA uuur + MB uuur - MC uuur
=
(2 y - 5) + ( y + 21) = 5 y2+ 22 y + 466
Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y =
11 5
-Vậy M(
7 5
-;
11 5
-)
Câu4
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường trũn
ngoại tiếp
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA
2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C
O A
C B
H
A' D
1
1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đường kính dễ có BHCA’ là hình bình hành Do đó
AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA
2
2)
1 cos cos cos (cos cos cos cos cos cos )
2 sin cos sin cos sin cos
2
A B
-£
vì C nhọn nên
< < Þ > Þ <
1
1
Trang 5Tương tự ta có
cos 2cos
cos 2cos
-<
-<
Vậy cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C
1
Câu5
Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:
³
b + c a + c b + a
2 ( )
b c = a b c ³ a b c
2 ( )
a c = b a c ³ a b c
2 ( )
b a = c b a ³ a b c
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh
2