Chuyen de 3 Tich phan

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y =e2... dx HD: Đặt..[r]

2 1 cos 2u 2 1 cos2u

Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

PHẦN I: HỆ THỐNG CÔNG THỨC & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

I/- B NG NGUYÊN HÀM Ả

Nguyên hàm

hàm số sơ cấp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp

dx x C 

1

x

1





 

ax b 1

1



 

 với  1

1

u

1





 



dx

ln x C x 0



2

C x 0

x

C a(ax b)

u



dx

2 x C x 0



e dx e C

x

ln a



(0 a 1  )

px q

px q 1 a

p ln a







(0 a 1  )

u

ln a



(0 a 1  )

cos xdx sin x C 

 cos ax b dx   1asin ax b  C cos udu sin u C 

sin xdx  cos x C

 sin ax b dx    1acos ax b  C sin udu cos u C

2

1

dx tan x C

a

1

du tan u C



2

1

a

1



II/- TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

 Đổi biến số dạng 2

Lưu y:

Nếu sin và cos đều là bậc chẵn thì dùng công thức hạ bậc:

Tính tích phân:

Bước 1 Đặt t = u(x) và tính Bước 2 Đổi cận:

Bước 3

N u sin ho c cos co b c lế ă â e

Bậc sin lẻ:

b 2n 2m 1 a

I cos x.sin  x.dx

 Phân tích:sin2m 1  x (sin x) sin xdx (1 cos x) sin xdx2 m 2 m

Đặt: t cos x  dt sin x.dx

Bậc cos lẻ:

b 2n 2m 1 a

I sin x.cos  x.dx

 Phân tích:cos2m 1  x (cos x) sin xdx (1 sin x) cos xdx2 m 2 m

Đặt: t sin x  dt cos x.dx

 Khi tính tích phân hàm số lượng giác ta có thể đặt

x

t tan

2



nếu các phương pháp đã nêu ở trên không thích hợp:

 Đổi biến số dạng 1

CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP:

2 2

a - x dx

ò

Đặt:x=a sin t với t 2 2,

é p pù

Î

2 2

x - a dx

ò

Đặt:

a x sin t

=

với t , \ 0{ }

2 2

é p pù

Î

2 2

dx

a - x

ò

Đặt:x=a sin t với t 2 2,

æp p÷ö ç

Î -ççè ÷÷ø

2 2

x +a dx

ò

Đặt:x=a tan t với t 2 2,

æ p p÷ö ç

Î -ççè ÷÷ø

2 2

dx

x +a

ò

Đặt:x=a tan t với t 2 2,

æ p p÷ö ç

Î -ççè ÷÷ø

Nếu đặt:, ta có:

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Tính I = Bước 1 Đặt x = u(t) và tính

Bước 2 Đổi cận: Bước 3 .

2 2

dx

x +a

ị

Đặt:x=a tan t với t 2 2,

ỉ p p÷ư ç

Ỵ -ççè ÷÷ø

III/- TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1) Cơng thức:

a

Iudv uv  vdu

(1) 2) Phương pháp giải tốn:

Giả sử cần tính tích phân :

b a

If (x)g(x)dx

bằng PP tích phân từng phần ta thực hiện

MỢT SỚ DẠNG THƯỜNG GẶP VÀ CÁCH ĐẶT

1/

I P(x)sin(ax)dx







Đặt:

du P (x)dx

u P(x)

1

a











2/

I P(x)cos(ax)dx







Đặt:

du P (x)dx

u P(x)

1

a











3/

ax

e P(x)dx







I

Đặt:

ax ax

du P (x)dx

u P(x)

1

dv e dx

a















4/

b a

IP(x)ln(ax)dx

Đặt:

dv P(x)dx

v một nguyên hàm của P(x)









(ax b)

cos x









u ax b

du a.dx 1

cos x















Bước 1 Đặt: hoặc:

Bước 2

Đặt: Tính:

Bước 3

Thay vào cơng thức:

Tính giá trị:và tính tích phân: Kết quả

6/ 2

(ax b)

cos x









u ax b

du a.dx 1

sin x















IV/- TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b a

If (x) dx

, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 b

f (x)  0  0 

Bước 2 Tính

If (x) dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH

1 DIỆN TÍCH

 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b (a < b) có diện tích là:

b a

Sf (x) dx

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

b

a

Sf (x) g(x) dx

Chú y:

Nếu giả thiết thiếu các đường thẳng x = a, x = b

ta phải lập phương trình hoành độ giao điểm:

 Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì PTHĐ giao điểm là: f(x) = 0 (1)

 Nếu hp giới hạn bởi (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) thì PHTĐ giao điểm là: f(x) = g(x) (2)

Giải phương trình (1) hoặc (2) để tìm cận a, b.

2 THỂ TÍCH

 Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

(C):y = f(x),y = 0, x = a, x = b quay quanh Ox

được tính bởi công thức:

 

b

2 a

V f x  dx

 Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

(C): x = (y), x = 0, y = c, y = d quay quanh Oy

được tính bởi công thức:

 

d

2 c

V   y  dy

 Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y = g(x)

quay quanh Ox (f(x)  g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức:

b

a

Vf x    g x  dx

PHẦN II: BÀI TẬP VẬN DỤNG

I/-TÌM NGUYÊN HÀM

BÀI 1 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).

x

f (x)

(x 1)

=

1 cos 2x

f (x)

cos x

-=

x

f (x)

1 x

=

+

4)

x

f (x) x.sin

2

æ ö÷ ç

= ç ÷çè ø÷

BÀI 2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa điều kiện cho trước

1)

3

F(x)=ò(x +1).dx, biết F(2)=7

2x 1

+

=

+ +

ò

, biết: F(0) 1=

3) F(x)=òx.ln(x 1).dx- , biết: F(2)=- 3

4) F(x)=ò (x sin x cos xdx- 2 ) , biết: F( )p =0

5)

x 2 3

x

ç

ò

, biết: F(2) 1=

II/-TÍNH TÍCH PHÂN

 CÁC VI DỤ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

VD1:

a)

1

3

0

x + +x 1 dx

ò

b)

3

0

dx

x 1+

ò

c)

4

2

4

4 3sin x dx

cos x

p

p

ò

d)

2

2

cos5x.cos3xdx

p

p

-ò

e)

4 2

0

4

p

æp ö÷

ç - ÷

ò

f)

1

0

x 1 dx

x 1

-+

ò

GIẢI:

a)

3

0

1

0

ç

ò

b)

3

3 0 0

dx

ln x 1 ln 4 ln1 ln 4

+

ò

c)

4

4 2

4 4

4

3sin x dx (4 tan x 3cos x) 8

cos x

p

p p -p

ò

d)

2

p

p

ç

e)

2

0

p

ç

= ççè + ÷÷ø =

-f)

1 0

-÷

VD2

a)

1

5

0

(2x 1) dx+

ò

b).

2

e

e

dx dx x.ln x

ò

1 2 0

.dx

+ + +

ò

d).

2

2 1

dx

.dx (2x 1)

-ò

e).

2 3

3

2

3

p

p

ò

e

1

1 dx

x 1 ln x+

ò

GIẢI:

a) Tính:

1

5

0

(2x 1) dx+

ò

Đặt u=2x 1+ khi x=0 thì u=1 Khi x=1 thì u=3

Ta có

1

2

Do đó:

( )

1

b) Tính:

2

e

e

dx dx x.ln x

ò

Đặt

1

x

Khi x=e thì u 1= Khix=e2 thì u = 2.

Ta có

2

2 1

c) Tính:

1

2 0

4x 2

.dx

+ + +

ò

Đặt u=x2+ + Þx 1 du=(2x 1)dx+ Þ (4x+2)dx=2du

Khi x= Þ0 u=1 Khi x=1Þ u = 3.

Do đó:

3 1 2

u

+ +

d) Tính:

2

2 1

dx dx (2x 1)

-ò

Đặt

1

2

dx

Khi x=1Þ u 1 = Khi x=2Þ u = 3.

Do đó:

1

ç

e) Tính

2

3

3

2

3

p

p

ò

Đặt

Đổi cận:

x

3

p

2 3

p

u

3

p

4 3 p

Do đó:

4

3 3

p

p

e

1

1

x 1 ln x

=

+

ò

Đặt t= +1 ln x

1

x

Đổi cận:

2

1

2 1

1 t

VD3 Tính

2

2 0

1

4 x

=

+

ò

GIẢI:

Đặt x=2 tan t, t 2 2,

æp p÷ö ç

Î -ççè ÷÷ø

2

dx 2(1 tan t)dt

i c n:

Đổ â

x 0 2 t

0 4

p

2 2

p p

+

VD4 Tính các tích phân sau:

a)

2

0

x.cos x.dx

p

ò

b)

1 x

0

x.e dx

ò

c)

e

1

x.ln x.dx

ò

x 1 e

t 1 2

d)

2

5

1

ln x

.dx

x

ò

e)

2 x

0

e cos x.dx

p

ò

GIẢI:

a) Tính:

2

0

x.cos x.dx

p

ò

Đặt

dv cos xdx v sin x



Ta có:

b) Tính:

1

x

0

x.e dx

ò



Do đó:

x.e dx xe  e dx e e   e (e 1) 1 

c) Tính:

e

1

x.ln x.dx

ò

Đặt

u ln x

dv xdx









2

dx du x x v 2







 

 





d) Tính:

2

5 1

ln x

.dx x

ò

Đặt

5

4

dx

x 1

1

v







Do đó:

2

1

ln x ln x 1 dx ln 2 1 1 15 4ln 2 dx



e) Tính:

2 x

0

I e cos x.dx

p

Đặt

0

e cos x.dx=e sin x - e sin x.dx=e - e sin x.dx





Þ

Đặt:

0

e sin x.dx=- e cos x + e cos x.dx 1= + e cos x.dx 1 I= +



Do đó:

2 x

0

I=e - òe sin x.dx=e - (1 I)+ 2I =e - 1



Þ

Hay:

2

I

2

-=



VD4: Tích tích phân các hàm số hữu tỷ sau:

a)

1

2

0

4x 11

dx

+

ò

(mẫu có 2 nghiệm phân biệt)

b)

1

2

0

dx

x + +x 1

ò

(mẫu vô nghiệm)

c)

1

2

2

0

dx

+

ò

(mẫu có nghiệm kép)

GIẢI:

a) Tính tích phân:

1 2 0

4x 11

dx

+

ò

Ta có : 2

( )

A B x 3A 2B 4x 11

+

Áp dụng đồng nhất thức, ta có:

Vậy 2

Do đó:

2

÷

b) Tính tích phân:

1 2 0

dx

x + +x 1

ò

Do :

x

= + + æç +ççè ö÷÷÷ø +

ép pù

Vậy

( 2 )

0

3

1 tan t dt

p

p

c) Tính tích phân:

1 2 2 0

dx

+

ò

Ta có :

2

÷

ç

ç

= ççè - ÷÷ø- - + = -3 ln 2

VD5: Ứng dụng tích phân tính diện tích

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cos x; y=0; x 2

p

=-; x= p

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e4x, trục hoành, trục tung và đường

thẳng x = 3

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln x; y=0; x=1; x=e

d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +(3 sin x)cos x; y=0; x=0, x= p

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2, y=4x 3-

f) Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi (H) :

x 2 y

x 1

-= + và hai trục tọa độ.

g) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 =2x 1+ và y= -x 1

GIẢI:

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cos x; y=0; x 2

p

=-; x= p

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

p p

p

-(1 1) (0 1) 3

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e4x, trục hoành, trục tung và đường

thẳng x = 3

Ta có: Trục tung x=0

Diện tích hình phẳng cần tìm là

0

+

(đvđt)

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln x; y=0; x=1; x=e

Vì xÎ [ ]1;e nên x ln x³ 0

Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là :

S=òx ln x dx=òx ln xdx

Đặt

u ln x

dv xdx

ì =

ïï

íï =

2

1

x x v 2

ìïï = ïïï íï

ï = ïï ïî

e

+

(đvđt)

d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +(3 sin x)cos x; y=0; x=0, x= p

Ta có:

ê

=

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

S (3 sinx)cos x dx (3 sinx)cos xdx (3 sinx)cos xdx

p

p

Đặt t= +3 sinxÞ dt=cos xdx

Đổi cận

2 3

S=òtdt- òtdt=òtdt+òtdt=2 tdtò =t = -16 9=7

(đvđt)

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2, y=4x 3-

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường đã cho là

2

x =3x 2

é = ê

ê = ë

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:

2 2

1

S=òx - 3x+2 dx

=

2

3 2

1

2x

f) Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi (H) :

x 2 y

x 1

-= + và hai trục tọa độ.

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và trục hoành là:

x 2

x 1

+

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:

1 0

-(đvtt)

g) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 =2x 1+ và y= -x 1

Ta có:

(P)

y= - Ûx 1 x=g(y)= +y 1 (d)

Phương trình tung độ giao điểm của (P) và (d) là:

é =-ê

ê = ë

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

( )

3

2

ç

(đvtt)

VD6: Ứng dụng tích phân tính thể tích.

a) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng:

y cot x, y 0, x , x

b) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

2

y=e x , y=0, x=0, x=1 khi nó quay quanh trục Ox.

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng:

2

d) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi y=x2và

y=4x.

GIẢI:

a) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng:

y cot x, y 0, x , x

Thể tích vật thể cần tìm là:

2

4

1

sin x

p p

( đvtt)

b) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

2

y=e x , y=0, x=0, x=1 khi nó quay quanh trục Ox.

Thể tích cần tìm là

2 x 1 2 0

= p çç ÷÷

0

xe dx

=pò

Tính

1

x

0

I=òxe x

1

0

I=xe - òe dx= -e e =1

Vậy V= p (đvtt)

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng:

2

Thể tích cần tìm là:

2

2

p

p

ò

(đvtt)

d) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi y=x2và

y=4x.

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường đã cho:

é = ê

ê = ë

Thể tích cần tìm là:

(đvtt)

 CÁC BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

BÀI 1

1)

2

0

sin x 8cos x 1dx

p

+

ò

HD: Đặt

13

6

2

3 2

0

sin 2x

dx cos x 2

p

+

ò

HD: Đặt

72

3)

2

0

sin 2x dx

4sin x cos x

p

+

ò

HD:

=

Đặt

3

4)

2

sin 2x 1

4

cos 2x

dx e

p

+

p

ò

ç

5).

2

2

sin 2x(1 sin x) dx

p

p

+

ò

sin 2x(1 sin x) dx 2sin x.cos x(1 sin x) dx

Đặt

17

6

=-6)

2

e 3

1

ln x 2

dx x

+

ò

HD: Đặt t=ln x Þ KQ=8

7)

7

e

3

1

dx

x ln x 1+

ò

HD: Đặt

2

8).

3

e

1

ln x dx

x ln x 1+

ò

HD: Đặt

14

3

2 2

3

0

x dx

x +1

ò

3

10).

3

0

x x 1dx+

ò

HD: Đặt

116

15

11)

4 tan x 2

2 0

cos x

p

+

ò

HD: Đặt t=tan x+ Þ2 KQ= -e3 e2

12)

4 x 1

1

e

dx x

-ò

HD: Đặt t= x 1- Þ KQ=2(e 1)

-13).

2

0

sin x.cos x dx

p

ò

sin x.cos x dx sin x.(1 cos x)cos x dx

Đặt

2

15

14).

ln 2

x 0

dx

1 e+

-ò

ln 2 ln 2 x

Đặt

2

æö÷ ç

= + Þ = ç ÷çè ø÷

15).

4

4

0

dx

cos x

p

ò

dx

+

=

Đặt

4

3

BÀI 2

1)

2

0

(4x 5)sin 2x dx

p

+

ò

dv sin 2x dx

íï = ïî

2) 2

(3x 2).cos3x dx

p

p

-ò

HD: Đặt

-íï = ïî

3)

ln 5

x

ln 2

2x.e dx

ò

KQ 10ln 5 4ln 2 6

-íï = ïî

4)

3

2 2x

0

(x +1).e dx

ò

HD: Đặt

2x

KQ

4

íï = ïïî

5)

2

2x

0

(3x 4).e- - dx

ò

4 2x

KQ

4

íï = ïî

6)

2

2

1

(6x +5)ln x dx

ò

KQ 26ln 2

3

ïî

7)

2

2

0

(3x +2x)ln(x+2)

ò

KQ 28ln 2

3

ïî

8)

2

2

1

ln(x 1)

dx x

+

ò

u ln(x 1)

3

KQ 3ln 2 ln 3 dx

x

ïï

ïïî

9)

x

0

e cos x dx

p

ò

KQ

2

p

=-íï = ïî

BÀI 3.

1)

2 2

0

dx

x 1

p

-ò

HD:

÷

2)

1

2

0

4x 5

dx

-ò

HD: Đặt

2

3).

ln 3

0

dx

e - 8e- - 2

ò

HD:

Đặt

2

4)

3

6

dx

sin x.cos x

p

p

ò

HD:

5).

8

12

sin 3x sin 5x dx

p

p

ò

HD:

6)

3

2

4

1 cos x

dx sin x

p

p

+

ò

HD:

7)

2

2

1

-ò

HD:

( ) ( )

é = Î -ê

Suy ra:

KQ:

31 6

8).

2

1

x dx

1+ x 1

-ò

HD: Đặt

11

3

-9).

1

2x 2

0

x(e + 3x +1)dx

ò

HD:

10).

2

0

cos x.ln(sin x 1)dx

p

+

ò

HD: Đặt

2 2

cos x.ln(sin x 1)dx ln t dt KQ 2ln 2 1

p

BÀI 4 Tính các tích phân sau :

1)

1

2x 2

0

x(e + 3x +1)dx

ò

2)

2

0

cos x.ln(sin x 1)dx

p

+

ò

3)

0 2 2

2x 1

dx

ò

4).

ln 7

ln 2

e +2 e dx

ò

 CÁC BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1)

2

x 0, x 2

ïï

ï =

-íï

ïïî 2) y=x3- 3x2+2 và trục Ox

BÀI 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1) y=x2- 2x và y=x 2) y=x2 và y= x 3) y=x3- x2 và y 1(x 1)

9

-BÀI 3:

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2- 2x và y=- x2+4x

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2+1 (P), tiếp tuyến của (P)

tại M 2;5( )

và đường thẳng x=0.

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y=ln x, y=- ln x, x=e

d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x 1 x+ 2 , 2

x y

1 x

= +

và 2 đường thẳng x=0, x= 3

BÀI 4:

a) Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh

trục Ox: x

2x 3 y

e

+

=

, y = 0, x = 0, x = 1

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi cho hình phẳng D quay quanh trục Ox Biết D

được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3+1, y=0 và đường thẳng x=1.

BÀI 5 Cho hàm số:

y

x 1

+

=

-1) Khảo sát sự biến thiên vả vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiệm cận ngang và hai đường thẳng x = 2, x = 3 3) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ.

a) Tính diện tích (H)

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay 1 vòng quanh trục Ox