TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia Chuyên đề 3.. Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia Chuyên đề 3.. Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia Chuyên đề 3.. Tỡm nguyờn hàm F x của hàm số mục đớch ch

Trang 1

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia Chuyên đề 3 Nguyên hàm – tích phân & ứng dụng

MỤC LỤC

Trang

Đ 1 NGUYEÂN HAỉM VAỉ PHệễNG PHAÙP TèM NGUYEÂN HAỉM 1

 Dạng toỏn 1 Tớnh nguyờn hàm bằng bảng nguyờn hàm 2

 Dạng toỏn 2 Nguyờn hàm của hàm số hữu tỉ 11

 Dạng toỏn 3 Nguyờn hàm từng phần 14

 Dạng toỏn 4 Phương phỏp đổi biến số 17

 Dạng toỏn 5 Tớnh chất của nguyờn hàm và nguyờn hàm của hàm ẩn 27

 Đề rốn luyện lần 1 29

Đ 2 TÍCH PHAÂN 45

 Dạng toỏn 1 Tớch phõn cơ bản & tớnh chất tớch phõn 45

 Bài tập về nhà 57

 Dạng toỏn 2 Tớch phõn từng phần 64

 Bài tập về nhà 71

 Dạng toỏn 3 Tớch phõn đổi biến số 77

 Bài tập về nhà 1 91

 Dạng toỏn 4 Tớch phõn hàm chẵn, lẻ, trị tuyệt đối và hàm ẩn 101

Đ 3 ệÙNG DUẽNG CUÛA TÍCH PHAÂN 105

 Dạng toỏn 1 Diện tớch hỡnh phẳng và bài toỏn liờn quan 105

 Dạng toỏn 2 Thể tớch trũn xoay 112

Trang 2

Chuyên đề

§ 1 NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM



Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số ( ) xác định trên K. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số ( )

Trang 3

Daùng toaựn 1 Tớnh nguyeõn haứm baống baỷng nguyeõn haứm

1 Tỡm một nguyờn hàm F x( ) của hàm số f x( )4x34x5 thỏa món F(1)3

Trang 4

2 Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )3x2 2x  thỏa mãn 5 F(1)4.

A F x( )x3x2 5x  3

B F x( )x3 x2 5x  3

C F x( )x3 x2 5x 3

D F x( )x3 x2 5x 3

3 Hàm số f x( ) 5x4 4x2 có 1 nguyên hàm 6 F x( ) thỏa F(3)1. Tính F ( 3) A F  ( 3) 226. B F   ( 3) 225 C F  ( 3) 451. D F  ( 3) 225

4 Hàm số f x( ) x3 3x  có một nguyên hàm 2 F x( ) thỏa F(2)14 Tính F ( 2) A F  ( 2) 6 B F   ( 2) 14 C F   ( 2) 6 D F  ( 2) 14

5 Hàm số f x( )(2x 1)3 có một nguyên hàm là F x( ) thỏa 1 4 2 F         Tính 3 2 P F        A P 32 B P  34 C P 18 D P  30

6 Hàm số f x( )(12 )x 5 có một nguyên hàm là F x( ) thỏa 1 2 2 3 F        Tính F(1). A F(1) 10 B F(1) 5 C 59 (1) 12 F   D (1) 71 12 F  

7 Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( )  (2 x  3)2 thỏa (0) 1 3 F   Tính giá trị của biểu thức T  log 3 (1) 2 (2) 2  F  F    A T 2 B T  4 C T 10 D T   4

8 Hàm số f x( ) x3 3x  có một nguyên hàm 2 F x( ). Biết đồ thị của hàm số y F x( ) đi qua điểm M(2;10). Giá trị của F ( 2) bằng A 18 B 7 C 8 D 20

Trang 5

BT 2 Tỡm nguyờn hàm F x( ) của hàm số ( ) (mục đớch cho học sinh rốn luyện cụng thức)

Làm quen nhúm cụng thức cú mẫu số cơ bản:

Trang 6

9 (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

1 ( )

1

f x

x



 và F(2)1. Giá trị của F(3) bằng

A 7

4 B ln 21 C 1 2 D ln2 1.

10 Biết F x( ) là một nguyên hàm của ( ) 1 2 1 f x x   và F  ( 1) 5. Giá trị của F ( 4) bằng A 1 ln 7 5 2  B 2 ln 75 C ln 75 D 1ln 7 5 2 

11 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm ( ) 3 2 1 f x x   thỏa F(1)0. Giá trị của F(2) bằng A 4 ln 2 B 3 ln 2 C 3 ln 3 2 D 1

12 Nguyên hàm F x( ) của hàm số 1 ( ) 2 1 f x x   biết e 1 3 2 2 F      là A ( )F x 2 ln 2x  1 0,5 B ( )F x 2 ln 2x   1 1 C 1 ( ) ln 2 1 1 2 F x  x   D ( )F x  0,5 ln 2x  1 0,5

13 Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) ax b2 ( , a b , x 0), x      biết F  ( 1) 1, (1) 4 F  và f(1)0 A 2 3 3 7 ( ) 4 2 4 x F x x     B 2 3 3 7 ( ) 4 2 4 x F x x     C 2 3 3 7 ( ) 2 4 4 x F x x     D 2 3 3 1 ( ) 2 2 2 x F x x    

Trang 7

BT 3 Tỡm nguyờn hàm F x( ) của hàm số ( ) (giả sử điều kiện được xỏc định):

Làm quen nhúm cụng thức nguyờn hàm của hàm lượng giỏc

Trang 8

 Bậc chẵn PP  Hạ bậc và lấy công thức nguyên hàm

 Tích bậc nhất của sin và cos PP  Áp dụng công thức tích thành tổng

Trang 9

14 Biết F x( ) là một nguyờn hàm của hàm f x( ) sin 2x và 1

4

F    

 



 

 

    

4

P   B P  0

2

P   D 3

4

P  

15 Tỡm một nguyờn hàm F x( ) của hàm số f x( )2xsinx 2 cosx thỏa món F(0)1 A F x( )x2 cosx 2 sinx  2 B F x( )x2 cosx 2 sin x C F x( ) 2 cosx2 sin x D F x( )x2cosx 2 sinx  2

16 Tỡm một nguyờn hàm F x( ) của hàm số 12 ( ) sin cos f x x x   thỏa món 2 4 2 F          A F x( ) cosx tanxC B ( )F x  cosx tanx  2  1 C ( )F x cosx tanx  2 1 D F x( ) cosx tanx  2 1

17 Cho F x( ) là một nguyờn hàm của f x( )4 cos2x5 thỏa F  ( ) 0. Tỡm F x( ) A F x( ) 3x sin 2x3  B 4 3 ( ) sin 5 5 3 F x  x  x   C 4 3 4 ( ) cos 5 5 3 3 F x  x  x    D F x( ) 3xsin 2x3 

18 Biết rằng F x( )  cos2x xd axbsin 2x C Giỏ trị của a2 b2 bằng A 1 2 B 5 16 C 2 D 5 4

19 Biết (sin 2x cos 2 ) dx 2 x x acos 4x C, b      với a b, là cỏc số nguyờn dương, a b là phõn số tối giản và C  . Giỏ trị của a b bằng A 2 B 3 C 4 D 5

Trang 10

BT 4 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) (giả sử điều kiện được xác định):

m) Tìm

4 3

d 2

Trang 11

20 Biết F x( ) là một nguyờn hàm của hàm số f x ( ) e2x thỏa (0) 3

2

F   

 

  bằng

A 1

e

21 Một nguyờn hàm F x( ) của hàm số f x( )2ex 3x2 thỏa (0) 9 2 F  là A 3 3 2e 2 x x   B 3 5 2e 2 x x   C 3 7 e 2 x x   D 3 9 2e 2 x x  

22 Biết F x( ) là một nguyờn hàm của hàm số f x ( ) 4x thỏa (1) 3 ln 2 F   Giỏ trị của F(2) bằng A 9 (2) ln 2 F   B (2) 3 ln 2 F   C 8 (2) ln 2 F   D (2) 7 ln 2 F  

23 Họ nguyờn hàm của hàm số f x ( ) 2 3 72x x x là A 84 ln 84 x C  B 2 2 3 7 ln 4.ln 3.ln 7 x x x C  C 84x C D 84 ln 84x C

24 Biết F x( ) là một nguyờn hàm của hàm số f x( )e3x 1 thỏa món (0) e 3 F   Tớnh ln 3 (1) 3 F    A ln 3 (1)3 F   64. B 3 ln 3 (1) F    8 C ln 3 (1)3 F   81. D ln 3 (1)3 F   27

25 Biết một nguyờn hàm F x( ) của hàm số f x ( )  4 2x 2x3 thỏa món (0) 2 ln 2 F   Tớnh giỏ trị của biểu thức 3 10 ln 2 (1) 2 F A       A A 1 B A 8 C A 16 D A 32

Trang 12

Dạng toán 2 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ (phân số không căn)



d , ( )

P x

Q x

  với ( ),P x ( ) Q x là các đa thức

 Nếu bậc của tử số ( )P x  bậc của mẫu số ( ) Q x PP  Chia đa thức

 Nếu bậc của tử số ( )P x  bậc của mẫu số ( ) : Q x

u

 Mẫu phân tích được thành tích số PP  Đồng nhất thức (pp che)

1



1





BT 5 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) (giả sử điều kiện được xác định):

d 1

x









x

3x 4 lnx  1 C

d 1

x









c) Tìm 3 1 d 2 x I x x    

d) Tìm 4 3 d 2 1 x I x x    

e) Tìm 2 d 1 x I x x    Ta cĩ: 2 2 ( 1 ) 1 d 1 x I x x      ( 1)( 1) 1 1 d 1 d 1 1 x x x x x x x                    2 ln 1 2 x x x C      f) Tìm 2 d 1 x I x x   

Trang 13

g) Tỡm

3

d 1

x







h) Tỡm 3 d 2 x I x x   

i) Tỡm 2 1 d 2 x x I x x      Chia đa thức ngoài nhỏp: 2 1 2

x  x x  Ta cú: 3 1 d 2 I x x x             

j) Tỡm 2 2 4 3 d 1 x x I x x     

k) Tỡm 2 4 6 1 d 2 1 x x I x x     

l) Tỡm 2 3 2 1 d 1 x x I x x     

m) Tỡm 24 2 d 5 x I x x x      Ta cú: 2 2 ( 5) 2 d 5 x x I x x x        2 ln x2   x 5 C Nhớ: u dx lnu dx lnu C u        n) Tỡm 24 3 d 2 3 1 x I x x x     

Trang 14

o) Tìm 24 2

d 4

x

x x





 



p) Tìm 26 1 d 3 4 x I x x x     

q) Tìm 52 4 d 2 6 x I x x x      Áp dụng f x( )ax2 bx  c a x( x x1)( x2) với x1, x là hai nghiệm của 2 f x ( ) 0, ta được: 2 5 4 5 4 5 4 ( 2)(2 3) 2 6 3 2( 2) 2 x x x x x x x x x                    2 2 3 a b x x     với 2 3 2 5 4 2 2 3 5 4 1 2 x x x a x x b x                   Khi đó, ta có lời giải sau: 2 5 4 2 1 d 2 2 3 2 6 x I dx x x x x x                   

r) Tìm 1 d ( 1)( 3) I x x x    

s) Tìm 1 d (2 4)( 5) I x x x    

t) Tìm 2 1 d 4 I x x x   

u) Tìm 24 5 d 2 x I x x x     

v) Tìm 24 11 d 5 6 x I x x x     

w) Tìm 2 1 d ( 1) I x x x    Ta có: 2 d 1 a b c I x x x x              0 d 1 1, d 1 x a x x               0 1 1 1x b x      và 2 1 1 1 x c x    nên 1 1 12 d 1 I x x x x               

x) Tìm 2 2 d ( 1)( 2) I x x x    

Trang 15

Daùng toaựn 3 Nguyeõn haứm tửứng phaàn



Định lý: Nếu hai hàm số u u x( ) và v v x( ) cú đạo hàm và liờn tục trờn K thỡ

I  u x v x x u x v x u x v x x hay I   u vd uv v ud 

Vận dụng giải toỏn:

— Nhận dạng: Tớch hai hàm khỏc loại nhõn nhau, Vớ dụ: e x sin d , x x  xln d , x x

— Đặt:

Vi phõn Nguyờn ha m

— Thứ tự ưu tiờn chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv  phần cũn lại

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyờn hàm

— Dạng mũ nhõn lượng giỏc là dạng nguyờn hàm từng phần luõn hồi

a) Tỡm I  (x 1)sin d x x

Chọn:

/

v p

n h





Suy ra: I   (x 1) cosx  cos dx x

b) Tỡm I  xln d x x

c) Tỡm I   x.e d x x

d) Tỡm I  x.e d x x

e) Tỡm 2 d sin x I x x 

 Cần nhớ:  cot dx x ln sinx C

f) Tỡm 2 d cos x I x x 

 Cần nhớ:  tan dx x  ln cosx C

Trang 16

g) Tìm I  ln d x x

h) Tìm I  (2x 1)ln d x x

i) Tìm I  xsin cos d x x x

j) Tìm I   x(2 cos2x1)d x

k) Tìm I  e sin d x x x Chọn / / sin d cos d d e d e v p n h x x u x u x x v x v           e sinx e cos dx e sinx I x x x x A      Tìm A Chọn cos d sin d d e dx ex u x u x x v x v            e cosx e sin d x A x x x    Thế A vào I, ta được:   e sinx e cosx e sin dx I  x  x  x x e sinx e cosx e sin dx I x x x x     e (sinx cos ) I x x I     e (sin cos ) 2 x I x x C     l) Tìm I   e cos d x x x

m) Tìm 1 1 ln( 1)d 2 I x x x x             

n) Tìm 2 3 ln(4 8 3) d ( 1) x x I x x     

Trang 17

o) Cho F x( )lnx là một nguyờn hàm của

3

( )

x  Tỡm nguyờn hàm của hàm f x( )ln x

Áp dụng định nghĩa: F x( ) f x( ), ta cú:

2

x

Tỡm I   f x( )ln dx x ?

Chọn

2

1

x





2

x

p) Cho F x( ) lnx là một nguyờn hàm của hàm

2

( )

x  Tỡm nguyờn hàm của f x( )ln x

q) Cho 13 ( ) F x x  là một nguyờn hàm của 2 ( ) x  Tỡm nguyờn hàm của hàm f x( )ln x

r) Cho 12 ( ) F x x  là một nguyờn hàm của ( ) x  Tỡm nguyờn hàm của (x4 x f x3) ( ).

s) Cho F x( )x2 là một nguyờn hàm của 2 ( )e x f x Tỡm nguyờn hàm của hàm e2x f x( )

t) Cho F x( ) x.ex là một nguyờn hàm của 2 ( )e x f x Tỡm nguyờn hàm của e2x f x( )

Trang 18

Dạng toán 4 Phương pháp đổi biến số

m n

n

PP n

 I   f(sinx cos ).(sinx x cos )dx x PP  Đặt t sinx cos x

Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x

Trang 19

1

PP n

m n

n

PP n

I f ax b x x t ax b t a x

x

ax









với , m n  

a) Tỡm I   x(1x)2018d x

Khi đú: I   (1t t) 2018dt   (t1)t2018dt

2019 2018

C

b) Tỡm I  x x( 1)2019d x

c) Tỡm I   x x( 2 1) d 5 x

d) Tỡm I  x x2( 1) d 9 x

e) Tỡm 2d 2 x x I x     Đặt t x2  2 x2   t 2 vp 2 dx x  dt 1 d d 2 x x t   Khi đú: 2 1 1 1 1 d ln ln 2 2 2 2 I t t C x C t         f) Tỡm d 5 ( 1) x x I x    

g) Tỡm 5 2 d 1 x x I x    

h) Tỡm 4 10 d 4 x x I x    

Trang 20

i) Tìm

2017 2019

d

x









Ta có:

2017

2

d

x



x



Khi đó:

2018

2017d

2018

t

I   t t  C

2018

x

C x

j) Tìm

5

7

d

x x I

x





k) Tìm 99 101 (7 1) d (2 1) x x I x     

l) Tìm 2001 2 1002 d (1 ) x x I x    

Nhóm 2 Tìm I   n f x f x( ) ( )d x PP  Đặt t  n f x( ) t n  f x( )nt n 1dt  f x( )d x BT 8 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm 2 3 2 d 4 x I x x    Đặt t  3x2  4 t3 x2  4 / 3 d2 2 d v p t t x x   Khi đó: 2 2 3 d 3 3 d 2 t t t I t t C t       2 2 3 3 ( 4) 2 x C    b) Tìm 2 3 8 d 4 2 x I x x   

Trang 21

c) Tỡm I  4x x2 3 d x

d) Tỡm I  x 2020x xd

e) Tỡm 2 d 4 x I x x     Đặt t  x2  4 t2 x2  4 x2 t2  4 / 2 d 2 d d d v p x x t t x x t t     Khi đú: 2 2 2 d d 4 4 x x x I x x x x       2 d 1 d ( 2)( 2) ( 4) t t t t t t t        

f) Tỡm 2 d 9 x I x x    

g) Tỡm ln 1 3 ln d x x I x x   

h) Tỡm 3 d 1 ln x I x x    

i) Tỡm ex 5 e d x I   x

j) Tỡm I  sinx 2018cos d x x

Trang 22

k) Tìm

2

d1

x x I

x I

Hai công thức thường được sử dụng là

Trang 23

Nhúm 3

1(ln ) d

d ln

Trang 24

x x

Trang 25

Nhúm đổi biến hàm số lượng giỏc

Trang 26

k) Tìm cos d 2

x x I

cos

x I

x

x I

d cos

Trang 27

Trang 28

Dạng toán 5 Tính chất nguyên hàm & Nguyên hàm của hàm ẩn



Nhĩm 1 Sử dụng định nghĩa F x( ) f x( )

1 (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2019) Gọi F x( )(ax2 bx c).ex là một nguyên hàm

của hàm số f x( )(x1) 2ex Giá trị của biểu thức S  a 2b bằng c

3 Biết F x( )(ax2 bx c) 2x 3 là một nguyên hàm của hàm số

4 Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( )2019 (x x2 4)(x2 3x 2). Khi đĩ số điểm cực trị của hàm số F x( ) là

5 Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )ex2(x34 )x Hàm số F x( 2 x) cĩ bao nhiêu điểm cực trị ?

Trang 29

Nhúm 2 Sử dụng định nghĩa giải bài toỏn nguyờn hàm của hàm ẩn

Vận dụng tớnh chất  f x x( )d  f x( )C,  f x x( )d  f x( )C, vào cỏc dạng sau: ( u v v u ) dx  ( ) du v  x uvC

9 Cho hàm số ( ) thỏa f x2( )2 ( ) ( )xf x f x 5x4 với f(1)0, ( )f x 0. Hệ số gúc tiếp tuyến

Trang 30

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1 Câu 1 (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )3x2 1.

Câu 4 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos 3 x

C  cos 3 dx x sin 3x C D  cos 3 dx x cos 3x C

Câu 5 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )2 sin x

A  2 sin dx x 2 cosx C B  2 sin dx x sin2x C

C  2 sin dx x  sin 2x C D  2 sin dx x  2 cosx C

A cosxsinx 3. B cosx sinx 3

C sinx cosx  1 D cosx  sinx  1

Câu 7 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn

Trang 31

x

C x

3

x

C x

 

C

.3

x

C x

3

x

C x

x

C

.5

Trang 32

Câu 15 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 5)Tìm nguyên hàm của y x.e x

Câu 19 Gọi ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x lnx thỏa mãn điều kiện (1)F  3. Tính giá

trị của biểu thức T 2F(e)log 3.log4 3 F(e) 

I   u u B 1 5

d 12

I  u u

d 16

Trang 33

Cõu 22 Tỡm nguyờn hàm của hàm số y  cos sin 2x x

Trang 34

Câu 29 Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( )

  có một nguyên hàm là F x( ) thỏa mãn F(1)ln 2. Gọi x1, x 2

Trang 35

Cõu 4 Tỡm nguyờn hàm F x( ) của hàm số f x( )2x8 sin cosx x thỏa món F  ( ) 2

x C

3

.4

x C

3 2

4

.3

x C

Trang 36

Câu 11 Hàm số F x( ) là nguyên hàm của f x( )(1x)ln(x2 1). Hỏi hàm số F x( ) có bao nhiêu

Trang 37

C tan ex tanx C D etanx C

Cõu 21 Tỡm nguyờn hàm của hàm số f x( )sin4xcos x

Trang 38

Câu 25 Đặt cos sin

Câu 30 Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( )(x21)ex3 3x, biết rằng đồ thị của hàm số ( )F x có

điểm cực tiểu nằm trên trục hoành

Trang 39

ĐÁP ÁN ĐỀ RẩN LUYỆN LẦN 2

ĐỀ RẩN LUYỆN LẦN 3 (NHểM BÀI NÂNG CAO Cể MẪU VÀ HƯỚNG DẪN)

Cõu 1 (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019) Họ nguyờn hàm của hàm số ( )f x  4 (1x ln )x là

Đặt t x2 3x dt (2x 3)dx là phần cũn lại của nguyờn hàm

Trang 40

Câu 7 Cho hàm số ( )f x xác định trên \ {2} thỏa ( )f x  2x 4 , (1)f  và (3)1 f   Giá trị 2.

của biểu thức ( 1)f  f(4) bằng bao nhiêu ?

Định dạng
Số trang	156
Dung lượng	7,64 MB