Tìm tất cả các ñiểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C) ngắn nhất. Tìm m ñể tiệm cận xiên của (Cm) tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác[r]
Trang 1CHUYÊN ðỀ: HÀM PHÂN THỨC CHỦ ðỀ 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM PHÂN THỨC
A Lý thuyết:
1 Tiếp tuyến với ðTHS y=f(x) tại ñiểm M x y( ;0 0) có phương trình y−y0= f x'( )(0 x−x0)
2 ðiều kiện tiếp xúc: ðồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau tại ñiểm có hoành ñộ x0
⇔ x0 nghiệm hệ phương trình ( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
=
B Các bài toán cơ bản:
Loại 1: Tiếp tuyến với ñường cong tại một ñiểm cho trước trên ñường cong
Bài : Cho hàm số 2( )
2
x
x
+
=
− Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao ñiểm của nó với trục
Ox và Oy
Bài : (TK 03) Cho hàm số 2 1 ( )
1
x
x
−
=
− Gọi I là giao ñiểm hai tiệm cận của ðTHS Tìm M thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với ñường IM
Bài 1: (KD -07) Cho h/s 2
1
x y x
= + Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa ñộ tại 2 ñiểm A, B và △OAB có diện tích bằng 1
4
Bài 4: Cho ñường cong 2 1
2
x y x
+
= + (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với
ñường thẳng d: y=2x+1 một góc 45o ( sử dụng công thức 1 2
1 2
tan
1
k k
+ )
Bài 5: Cho ñường cong 3 1
3
x y x
+
=
− (C) và M là ñiểm bất kì thuộc (C) Gọi I là giao ñiểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B
a) Chứng minh M là trung ñiểm của AB
b) Chứng minh tiếp tuyến tại M không qua I
Bài (TK KD 07) Cho hàm số
1
x y x
=
− Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân
Bài (DB KD 08) Cho hàm số 3 1
1
x y x
+
= + Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa ñộ và tiếp tuyến với ñồ thị hàm số (1) tại ñiểm M(-2;5)
Bài (KA 09) Cho hàm số 2
x y x
+
= + (1) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết tiếp
tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc O
Bài (TK 06) Cho hàm số 3
1
x y x
+
=
− Cho ñiểm M o(x o;y o)thuộc ñồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại
o
M cắt các ñường tiệm cận tại các ñiểm A,B Chứng minh M olà trung ñiểm của ñoạn AB
Bài: (KB-06) Cho hàm số
2
y x
+ −
= + (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñó
Trang 2Bài: (DB KB 03) Cho hàm số 2 1 (1)
1
x y x
−
=
− Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C) Tìm ñiểm
M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với ñường IM
Bài: Cho ñường cong
2 1 1
y x
+ +
=
− (C) Tìm ñiểm M thuộc (C) ñể tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tương
ứng tại A, B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân
Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với ñường cong ñi qua một ñiểm cho trước
Bài : Cho hàm số 2( )
2
x
x
+
=
− Lập phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua A(-6;5)
Bài (TK KD 07) Cho hàm số 1
2 1
x y x
− +
= + Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến ñó qua
giao ñiểm của tiệm cận ñứng và trục Ox
Bài: Cho hàm số 1( )
1
x
x
+
=
− Tìm những ñiểm trên Oy mà từ mỗi ñiểm ñó chỉ kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị hàm số
Bài: (KD 02) Cho hàm số
2 (2 1)x y
x 1
m− −m
=
− (1) Tìm m ñể ñồ thị h/s (1) tiếp xúc với ñường thẳng y =
x
Bài : Cho ñường cong 3
1
x y x
+
=
− (C) Tìm các ñiểm M trên ñường thẳng y=2x+1, sao cho từ M vẽ ñược
một tiếp tuyến với (C)
Bài : Cho ñường cong
2 2 1 2
y x
=
− (C) và ñiểm A(6;4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến ñi qua A
Bài : Cho ñường cong
2
1
y x
+ +
= + (C) Tìm trên trục Oy các ñiểm có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
CHỦ ðỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC (CTNC)
A Lý thuyết cơ bản
a) Hai quy tắc tìm cực trị
b) Hàm số
2
ax bx c y
a x b
=
+ có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm khác –b’/a’ c) Giả sử ( )
( )
p x y
q x
= có cực trị tại x0 kho ñó ta có 0 0
0
( ) '( ) ( )
( ) '( )
y x
B Bài tập cơ bản
Bài 1: (KA-07) Cho hàm số
2 2( 1) 2 4
2
y
x
=
+ Tìm m ñể HS có Cð, CT ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Bài 2: (KB-05) Gọi (C m)là ñồ thị HS
1
y
x
=
+ CM: ∀ (m C m)luôn có Cð, CT và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20
Trang 3Bài 3: (KA-05) Cho hàm số y mx 1
x
= + Tìm m ñể hàm số có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu
của ñồ thị ñến tiệm cận xiên bằng 1
2
Bài 4: Cho hàm số
2 ( )
x mx
x
+
=
− Tìm m ñể hàm số có Cð, CT và khoảng cách giữa chúng bằng 10
Bài 5: Cho hàm số
( m)
x m
=
− Tìm m ñể (Cm) có cực ñại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục Ox
Bài 6: Tìm m ñể ñường cong
2
( m)
x m
=
− có cực ñại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho
( ) ( ) 16
y x −y x >
CHỦ ðỀ 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC
Nội dung của bài toán có dạng chung như sau: Cho ñồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x) thường chứa tham số Tìm ñiều kiện ñể chúng cắt nhau và các giao ñiểm thỏa mãn ñiều kiện nào ñó
Ta có phương trình hoành ñộ giao ñiểm f(x)=g(x) (1) Số giao ñiểm của hai ñường cong bằng số nghiệm của (1) và ngược lại số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao ñiểm của hai ñồ thị
Bài (Cð 08) Cho hàm số
1
x y x
=
− Tìm m ñể ñường thẳng d: y=-x+m cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt
Bài (KB 2010) Cho hàm số 2
x y x
+
= + (1) Tìm m ñể ñường thẳng d: y=-2x+m cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
Bài (CðKTKT I 05) Cho hàm số 3
2
x y x
+
= + (1) CMR ñường
1 2
y= x m− luôn cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A,B Xác ñịnh m sao cho ñoạn AB nhỏ nhất
Bài (CðSPHCM 05) Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
− (1) Xác ñịnh m ñể ñường thẳng d: y=2x+m cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại hai ñiểm A, B song song với nhau
Bài (KA-2011) Cho hàm số 1
2 1
x y x
− +
=
− Chứng minh rằng với mọi m ñường thẳng y = x + m luôn cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A
và B Tìm m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn nhất
Bài (KA 08) Cho hàm số ( )
1
x
x
=
− Tìm m ñể ñường thẳng ( ) :d y= − + cắt (C) tại hai ñiểm x m phân biệt
Bài : (KA-04) Cho h/s
2
x 3x 3 y
2(x 1)
=
− (1) Tìm m ñể ñường thẳng d : y = m cắt ñồ thị h/s (1) tại 2 ñiểm A, B sao cho AB = 1
Bài : (KA-03) Cho h/s
2
y
x 1
=
− (1) Tìm m ñể ñồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương
Bài : (KD-09- NC) Tìm m ñể ñường thẳng y=-2x+m cắt ñường cong
2 1 ( )
x
+ −
= tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho trung ñiểm của AB nằm trên trục tung
Trang 4Bài : Cho ñường cong
2
( ) 2
x
−
=
− và ñường thẳng d m:y=2mx m− . Tìm m ñể (C) và dm cắt nhau tại hai ñiểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (C)
Bài : Tìm m ñể ñường thẳng dm: y= 2x+m cắt ñồ thị (C) 3 3
1
x
= − + +
− tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho AB có ñộ dài nhỏ nhất
CHỦ ðỀ 4: TIỆM CẬN VỚI HÀM PHÂN THỨC
A Lý thuyết cơ bản:
1 ðịnh nghĩa và cách xác ñịnh:
1 ðịnh nghĩa:
• ðường thẳng x=x0 ñgl ñường tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các ñiều kiện sau ñược thoả mãn:
0
lim ( )
x x
f x
+
0
lim ( )
x x
f x
+
0
lim ( )
x x
f x
−
0
lim ( )
x x
f x
−
• ðường thẳng y=y0 ñgl ñường tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các ñiều kiện sau ñược thoả mãn:
0
lim ( )
→−∞ =
• ðường thẳng y=ax b a+ , ≠ ñgl ñường tiệm cận xiên của ñồ thị hàm số 0 y= f x( ) nếu ít nhất một trong các ñiều kiện sau ñược thoả mãn:
→+∞ − + = ; lim [ ( ) ( )] 0
2 Chú ý:
a) Nếu ( ) ( )
( )
P x
y f x
Q x
= = là hàm số phân thức hữu tỷ
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì ñồ thị có tiệm cận ñứng x=x0
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì ñồ thị có tiệm cận ngang
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì ñồ thị có tiệm cận xiên
b) ðể xác ñịnh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:
( )
f x
x
f x
x
2 Nếu hàm số không có tham số thì việc tìm các ñường tiệm cận của ðTHS ñơn giản Nếu hàm
phân thức có tham số, ví dụ: y 2x 2
x m
−
=
− hoặc
2
2 1 2
y
x
=
− thì trước hết xem chúng có thỏa mãn ñiều
kiện tử số và mẫu số có nhân tử chung hay không Rồi sau ñó mới xem ứng với các giá trị ñó thì phân thức có dạng gì, từ ñó xác ñịnh tiệm cận theo các qui tắc
B Bài tập
Bài (TK 06) Cho hàm số 1 ( )
1
x
x
+
=
− Cho M x( 0;y0)∈( )C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các ñường
Trang 5Bài (CðSP HCM 05) Cho hàm số 1 ( )
1
x
x
+
=
− Tìm tất cả các ñiểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm hai tiệm cận ngắn nhất
Bài: (Cð TDTT ð Nẵng 06) Cho hàm số 1 ( )
1
x
x
−
= + .CMR tích các khoảng cách từ M bất kì thuộc (C) ñến hai tiệm cận của nó luôn là hằng số
CðSPHCM 05 Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
− (1) Tìm tất cả các ñiểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C) ngắn nhất
Bài : (KA-08) Cho hàm số
2 (3 2 2) 2
3
y
=
+ Tìm các giá trị của m ñể góc giữa hai ñường tiệm
cận của ðTHS bằng 45o
Bài : Cho ñường cong
2
( m)
x m
=
− Tìm các tiệm cận của (Cm) khi m thay ñổi
Bài : Cho
2
( )
x mx
x
=
− Tìm m ñể tiệm cận xiên của (Cm) tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác
có diện tích bằng 4
Bai : Cho ñường cong
2 2 2
( ) 1
x
=
− Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M ñến giao ñiểm
hai ñường tiệm cận là nhỏ nhất
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Cho
( )
1
x
+ +
=
− Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với ñường thẳng qua
M và tâm ñối xứng của (C)
ðS: M M1, 2∈( )C ứng với hoành ñộ 4 4
1 1 8, 2 1 8
Bài 2: Cho ñường cong 4 3 ( )
2 1
x
x
− +
=
− và ñiểm A(0;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến ñi qua A
ðS: y=-2x+1, y=-18x+1 Bài 3: Cho
2
( )
1
x
− +
=
−
a) Chứng minh rằng y=7 là một tiếp tuyến của (C)
b) CMR trên ñường thẳng y=7 có 4 ñiểm sao cho từ mỗi ñiểm trên ñó, có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45o
Bài 4: Cho
2
( )
x
+ +
=
+ Tìm m ñể hàm số có hai cực trị nằm về hai phía ñối với trục Oy
ðS: m>1 Bài 5: Cho
2
( )
x
=
+ Tìm m ñể (Cm) có cực trị và khoảng cách từ hai ñiểm cực trị ñến
ñường thẳng x+y+2=0 là bằng nhau
Bài 6: (KB-09) Tìm m ñể ñường thẳng y=-x+m và ñường cong
2 1
x y x
−
= cắt nhau tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho AB=4
ðS: m= ±2 6
Trang 6Bài 7: Cho hàm số
2 2 4 2
y x
=
− (C) Tìm m ñể ñường thẳng y=mx+ −2 2m cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm phân biệt
Bài 8: Tìm m ñể ñường thẳng dm: y=mx+2-m cắt ñồ thị (C):
2 4 1 2
y x
= + tại hai ñiểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)
ðS: 3, 1
2
m< m≠ Bài 9: Cho
2 2 1
( )
x
=
− Tìm m ñể (Cm) có tiệm cận xiên và khoảng cách từ A( 4;− m) ñến
nó là lớn nhất
ðS: m = ± 1