Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

Một số kết quả cơ bản

Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM và áp dụng

1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM

Giả sử a ,a , ,a là n số thực không âm, khi đó ta có: 1 2 n

Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức AM – GM Tuy nhiên, ở đây ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Côsi

   (Đúng) Đẳng thức xảy ra  a 1  a 2 0 a 1 a 2

- Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = 2k

Thật vậy, xét 2k số thực a ,a , ,a ,a 1 2 k k 1  , ,a 2k 0

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = p, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = p – 1

Thật vậy, xét (p – 1) số a ,a , ,a 1 2 p 1  0 Sử dụng giả thiết quy nạp với n = p ta có: p 1

Theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi n2, n

Vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh

Bất đẳng thức AM – GM là một trong những bất đẳng thức quan trọng và phổ biến, với nhiều ứng dụng trong toán học và thực tiễn Để áp dụng bất đẳng thức này một cách chính xác, cần chú ý đến điều kiện để dấu "=" xảy ra.

1 2 n a a   a để tách các hệ số sao cho phù hợp

Khi giải quyết các bài toán cực trị, việc áp dụng bất đẳng thức trung bình AM – GM cùng với việc sử dụng các hệ số thích hợp là một kỹ thuật cơ bản và quen thuộc.

1.1.2 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng căn thức

Bài 1 (Mexico 2007) Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Xuất phát từ điều kiện ta có: abca(a  b c) bc (a b)(ac)

Tương tự, ta có: bca(bc)(ba) cab (c a)(cb)

         Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a b a c b c b a c a c b

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = 1 ta có:

1 c abbccac  (c a)(cb) Khi đó ta có:

      Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 3 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = 1 ta có:

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

 2 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

P y  z  x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: x2 y 2x y   y2 z 2y z   z2 x 2z x   2P 2(x y z)

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 9 x y z

 2 (Áp dụng bất đẳng thức AM – GM)

Bài 5 Cho a, b, c > 0 và a 2 b 2 c 2 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

  (1) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2  4 4a b2  4 4b c2  4 4c

Bài 6 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Từ điều kiện a + b + c =1 ta có: abca(a  b c) bca2 abacbc (a b)(ac)

    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có:

Cộng tương ứng hai vế 6 bất đẳng thức trên ta được:

1.1.3 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng phân thức

Bài 7 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c

Xuất phát từ điều kiện ta có: abca(a  b c) bc (a b)(ac) Tương tự, ta có: bca(bc)(ba) cab (c a)(cb) a b c

2 ab bc ca a b a c abc ac ab abc b c bc

2 ab bc ca 2abc ab a b abc ac a c abc bc b c abc 3abc

2 a b c ab bc ca ab a b c ac a b c bc a b c abc

2 a b c ab bc ca abc 2abc a b c ab bc ca abc

       Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 8 (IMO Shortlist 1990) Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a3 b c d a 1 2a b c d 18 6 12 3

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Từ điều kiện ban đầu ta suy ra:

Bài 9 Cho x > 1, y > 1, z > 1 và x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ điều kiện x + y + z = xyz, ta suy ra: 1 1 1 xy  yz  zx 1

                  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:

    Áp dụng bất đẳng thức (a b c) 2 3(abbcca), ta được:

Bài 10 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ điều kiện a + b + c = 3abc ta suy ra 1 1 1 ab  bc ca 3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 11 Cho a, b,c0 và abac 1 3bc  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ điều kiện abac 1 3bc  ta suy ra a a 1 c  b bc 3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 12 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 abc a ab 1 abc b bc 1 abc c ca a(1 b) b(1 c) c(1 a)

      Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 6 số dương trên ta có:

Bài 1 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất:

Bài 3 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a  b c abbcca6abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4 Giả sử x, y, z  thỏa mãn xyz   x y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a, b,c0 và a  b c abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt và áp dụng

1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và áp dụng

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho 2n số thực tùy ý a ,a , ,a , 1 2 n b , b , , b Khi đó ta có: 1 2 n

Ta chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

- Với n = 2 thì bất đẳng thức trở thành  a 1 2  a 2 2  b 1 2  b 2 2    a b 1 1  a b 2 2  (1)

   (Luôn đúng) Đẳng thức xảy ra a b 1 2 a b 2 1 0 1 2

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có

- Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

a b1 1 a b2 2 a bk k  2 2a b a1 1 k 1  bk 1  2a b a2 2 k 1  bk 1  2a b ak k k 1  bk 1  a 2 k 1  b 2 k 1 

Vậy bất đẳng thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh theo phương pháp quy nạp

Cho 2n số a , b i i  i 1, n   trong đó b i  0 Khi đó ta có: n 2

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

Vậy hệ quả đã được chứng minh

Bài 1 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vì abc 1  a,b,c  0  nên ta có thể đặt: y a x, z b y, x c z  x, y,z  0 

P 2zx zy  2xy xz  2yz yx

   Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

2zx zy  2xy xz  2yz yx

Mặt khác, ta lại có:

 x 2 2xy yz z 2   2 y 2 2yz zx x 2   2 z 2 2zx xy y 2 yz  2 0

Tương tự, ta cũng có: 2 xy  3 yz 3 zx 3   2 x 2 y 2 z 2  2

Bài 2 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c

2ab ac 2bc ba 2ca cb

   Áp dụng hệ quả trên ta được:

P 2ab ac 2bc ba  2ca cb

Dễ có bất đẳng thức (a b c) 2 3(abbcca) Dấu “=” xảy ra   a b c

Bài 3 Cho x, y, z > 0 và x  y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được:

  (Do x  y z 1) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm là 81 x    y z  và

26 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số x , y, z và 1 x ,

Bài 4 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz cho 2 bộ số là bc, ca , a b và 2 bc ,

Bài 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số là

4 1 1 1 9 9 9 3 3 3 a b c ab bc ca 2 a b c ab bc ca 4 4 4 2 2 2

Mà ta có bất đẳng thức (a b c) 2 3(abbcca)

Bài 6 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a  b c 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số là a; 1 bc và 4; 1 ta được:

       Tương tự, ta cũng có:

       Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

          Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 9 x   y z x y z

        Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số a  b, bc, ca và

 2 (Áp dụng bất đẳng thức AM – GM)

  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

      Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được:

           Áp dụng bất đẳng thức a 2 b 2 c 2 abbcca (dấu “=” xảy ra   a b c) ta được:

Biểu thức P là một phân thức đối xứng ba biến, và điều này gợi nhớ đến hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, giúp giảm bậc của phân thức để dễ dàng đánh giá và áp dụng điều kiện đề bài Để áp dụng hệ quả này, cần đưa tử về dạng bình phương bằng cách nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với a, b, c tương ứng.

Bài 8 Cho 3 số a, b,c0 thỏa mãn a 2 b 2 c 2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   (áp dụng bất đẳng thức AM – GM) Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Bài 9 Cho 4 số dương a, b, c, d Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a c b d c a b d

33 Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được:

1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa căn

Bài 10 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

        Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

Chứng minh tương tự ta có:

Bài 11 Bài toán tổng quát

Cho các số thực dương x , x , x , , x và các tham số , 1 2 3 n   0 thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

      Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

    Dấu bằng xảy ra khi x 1 x 2

Chứng minh tương tự ta có:

    Dấu bằng xảy ra khi x 2 x 3

    Dấu bằng xảy ra khi x n 1  x n

    Dấu bằng xảy ra khi x n x 1 Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 1 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab bc ca

Bài 2 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 4 Cho a  b c 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Một số kĩ năng sử dụng hằng số

Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán

Trong các bài toán cực trị có dạng đối xứng, cực trị của biểu thức đạt được khi các biến số bằng nhau, dẫn đến điều kiện bài toán trở thành phương trình một ẩn Để xác định cực trị, cần giải phương trình một ẩn và sử dụng nghiệm thu được để tìm giá trị cực trị mong muốn.

Bài 1 Cho a, b, c > 0, a + b + c ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy maxP đạt được khi: a b c a b c 3

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau :

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được :

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và a  b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên maxP đạt được khi: a b c a b c 3

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau:

Cộng hai vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được :

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên maxP đạt được khi: a b c a b c 1

Chú ý sai lầm thường gặp:

Cộng tương ứng vế, được :

Nguyên nhân sai lầm là không để ý đến điều kiện a  b c 1 Do đó :

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy maxP đạt được khi: a b c a b c 3

Bài 5 Cho a, b, c > 0 và a 2 b 2 c 2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy maxP đạt được khi:

          2 a    b c  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a2  1 2a

42 b2  1 2b c2  1 2c Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 6 Cho a, b, c > 0 và a 2 b 2 c 2 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy maxP đạt được khi:

Bài 7 Cho a, b, c > 0 và a + b + c + abc  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi: a b c 0 a b c abc 4

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được :

Bài 8 Cho a, b > 0 và a + b + ab = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b nên dễ thấy minP đạt được khi:

Bài 9 Cho a, b > 0 và a + b + ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b nên dễ thấy minP đạt được khi: a b 0 a b ab 1

    Đặt   2 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Cộng tương ứng hai vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 9 có sự tương đồng với Bài 8, điều này có thể dẫn đến nhầm lẫn khi giải bài toán nếu xét điều kiện ban đầu sai, như cho a = b = 1 Để tránh khó khăn trong việc dự đoán dấu “=”, cần thay đổi điều kiện ban đầu và thay các biến số đối xứng vào phương trình Qua đó, chúng ta có thể tìm ra nghiệm và điều chỉnh hệ số cho phù hợp.

Bài 10 Cho a, b > 0 và a + b  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta sẽ đưa bài toán này về dạng một ẩn bằng cách đặt ẩn phụ Đặt 1 t ab Khi đó ta có: 1

Vậy bài toán trở thành: Cho t ≥ 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

  t Để lựa chọn hệ số thích hợp ta có sơ đồ điểm rơi sau: t4 t 4

Nguyên nhân sai lầm : Khi 1 a b 1 1 ab 1 1 ab 1 ab 2 2 2

Bài 11 Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

       Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a b 2 ab

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Sai lầm thường gặp: Khi không để ý tới điểu kiện đẳng thức xảy ra mà áp dụng luôn bất đẳng thức AM – GM

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi: a b c 1

   2 Để lựa chọn hệ số thích hợp ta có sơ đồ điểm rơi sau: a b c 1

Bài 13 Cho a, b > 0 thỏa mãn a  b aba 2 b 2  6 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pa 3 b 3

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi:

Bài 14 Cho a, b, c > 0 và a   b c abbccaabc7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa 3 b 3 c 3

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi: a b c 0 a b c ab bc ca abc 7

Do đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

Bài 15 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Cộng tương ứng hai vế của các bất đẳng thức trên ta được

P a b c ab bc ca 3 ab bc ca

   2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

                 Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1 9 a   b c a b c

Bài 17 Cho a, b, c > 0 và ab 2 bc 2 ca 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

Cộng tương ứng hai vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 18 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abbcca   3 a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi: a b c 0 ab bc ca 3 a b c

   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

  Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được:

Trong các bài toán cực trị, chúng ta thường chỉ xem xét những bài toán đối xứng với điều kiện các biến bằng nhau Tuy nhiên, đối với các bài toán có dạng đối xứng hoặc không đối xứng mà cực trị đạt được khi các biến không bằng nhau, cần có cách tiếp cận khác Đối với một số bài toán đơn giản, chúng ta có thể dự đoán được dấu đẳng thức và tìm ra lời giải cho vấn đề Bài viết này sẽ xem xét một số bài toán như vậy.

Bài 19 Cho a, b, c, d ∈  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vì vai trò của a, b, c, d như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a = max a, b, c, d 

Vì a, b, c, d ∈  0;1 và a = max a, b,c,d  nên ta có: d a   c a    c d   0

     Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 20 Cho các số a, b,c0 thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử c  b a 0

Pab bc ca abc ab ca a babc  bc a b

   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Vậy maxP = 2  a   b c 1 hoặc a0, b 1,c  2 và các hoán vị tương ứng

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : a b 6 3 a b 6

Bài 22 Cho a, b, c > 0 và a2b3c20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dựa vào điều kiện bài toán a, b,c 0 a 2b 3c 20

 ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm rơi a = 2, b = 3 và c = 4

Do đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

4 2  4  a 2b  c (1) Mặt khác, từ điều kiện của đề bài: a2b3c20 ta suy ra:

4  2 4  (2) Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được:

Bài toán cực trị này có dạng đối xứng với các biến a và b, do đó, ta dự đoán rằng cực trị sẽ đạt được khi a = b Kết hợp với điều kiện ab, bc, ca ≤ 5, ta có thể xác định các giá trị tối ưu cho a và b trong bài toán này.

Từ đây ta dự đoán minP đạt được khi a = b = 1, c = 2

Do đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

 2  Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 1 Cho a, b,c0 và a  b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P 1 bc a bc 1 ca b ca 1 ab c ab

Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn | x2y 3z | 14  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3 Cho các số a,b thỏa mãn điều kiện a 2 b 2   a b ab 6 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện:

3 5 1 abcd a b b c c d d a ab bc cd da ac bd a b c d 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a, b > 0 và a + b ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sử dụng hằng số nhƣ là tham số của bài toán

Trong phần đầu tiên, chúng ta đã khám phá các bài toán cực trị mà có thể dự đoán điểm rơi thông qua điều kiện bài toán, tính đối xứng của biểu thức, hoặc dựa vào kinh nghiệm và trực giác Tuy nhiên, nhiều bài toán, đặc biệt là với các biểu thức không đối xứng, khiến việc dự đoán điểm rơi trở nên khó khăn, thậm chí không thể tìm ra hướng giải Để khắc phục điều này, chúng ta cần đưa thêm các tham số giả định vào bài toán Việc xác lập điều kiện cho các đẳng thức dẫn đến hệ điều kiện cần thiết để tìm các tham số Chúng ta sẽ xem xét một số bài toán cụ thể trong phần tiếp theo.

Bài viết này có sự tương đồng với bài 22 ở phần 1, nhưng khác biệt ở chỗ chúng ta không thể dự đoán điều kiện xảy ra đẳng thức với các giá trị cụ thể như trong bài 22 Vì vậy, chúng ta cần bổ sung thêm các tham số giả định để phân tích.

Ta thấy trong biểu thức P thì a, b đóng vai trò như nhau vì vậy ta có thể dự đoán điều kiện xảy ra đẳng thức là a b  c ( 0)

Do đó với  0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

        (1) Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta phải tìm α sao cho:

Dấu bằng xảy ra ab bc ca 1 a b c

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Pm a b c (với m là hằng số thực dương)

Với  0, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

        (1) Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta phải tìm α sao cho:

Dấu bằng xảy ra ab bc ca 1 a b c

Bài 3 Cho x    0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

 Để tìm được giá trị lớn nhất ta phải tìm được α, β > 0 sao cho:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: b 1 b ab a a

      Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

             (1) Để tìm được giá trị lớn nhất ta phải tìm được ,  sao cho:

Bài 5 Cho x, y0 và x 3 y 3 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

    1 Để tìm được giá trị lớn nhất ta cần phải tìm được ,  sao cho:

Bài 6 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

3 3 3 2 c      3 c Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

        4 6 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P ta cần phải tìm được ,  sao cho:

Bài 7 Cho a > 0 và các số x, y, z thỏa mãn 2 2 2 9 2 x y z xy a

  16  Tìm giá trị lớn nhất theo a của biểu thức Pxy yzzx

Với    0;1 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

         (1) Để tìm được giá trị lớn nhất của P ta cần tìm    0;1 sao cho:

Bài 8 Cho a, b,c0 và a 2 2b 2 3c 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với α, β, γ ≥ 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

       2 2 2 3 2 1 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ta cần tìm α, β, γ sao cho:

Bài 9 Cho a, b,c0 và a  b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Pma b c nb ca pc ab  mn ab np bc pm ca m n 4 n p 8 p m 6

Với α, β, γ > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

5z    5 10 z Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

  4             (1) Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P ta cần tìm , ,   sao cho:

Bài 10 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với , ,   0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

3z    3 6 zCộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

      3 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ta cần tìm , ,   sao cho:

Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau theo m, n (với m, n > 0):

Xét các tham số , ,   0 sao cho m      , n ,1 0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Pma nb c 2  ab 2 m   ac 2 n 1  bc (1)

 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P ta cần tìm , ,   sao cho:

Ta có: mn       m           n             1    k 2  m    n 1  2k 3 Đặt f k    2k 3  k 2  m    n 1  mn

Phương trình f k    0 có nghiệm duy nhất k 0 0

Bài 1 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 2 Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3 Xét 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: 21ab2bc 12ca 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4 Cho x, y > 0 và x 2 y 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho x, y, z > 0 và x 4 y 4 z 4 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,33 MB