ỨNG DỤNG đạo hàm GIẢI bài TOÁN cực TRỊ TRONG HÌNH học GIẢI TÍCH OXYZ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG Đạo hàm là một công cụ tốt cho việc giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số.. Cáchàm số xuất hiện trong bài toán cực trị của hình học giải

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG

Đạo hàm là một công cụ tốt cho việc giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số Cáchàm số xuất hiện trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách,hàm số liên quan đến công thức tính góc hầu hết đều là những hàm số mà học sinh có thể

dễ dàng khảo sát và tìm cực trị của nó Khó khăn của học sinh là việc thiết lập các hàm sốnày

Thông qua việc giải quyết bài toán cực trị, học sinh có thêm định hướng và phươngpháp giải quyết các bài toán khác của hình học giải tích Oxyz: Bài toán viết phương trìnhmặt phẳng, bài toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Nhằm giúp các em học sinh có định hướng tốt khi tìm lời giải, cũng như giải quyếtđược bài toán cực trị một cách trọn vẹn, rõ ràng và mạch lạc, tôi chọn nghiên cứu chuyênđề:

“ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

GIẢI TÍCH OXYZ ”

2 Mục đích nghiên cứu

Chuyên đề cung cấp cho học sinh một phương pháp để giải quyết bài toán cực trịtrong hình học Oxyz, rèn luyện cho học sinh kĩ năng chuyển đổi bài toàn toán cực trị tronghình học sang bài toán cực trị trong giải tích Từ đó, với công cụ đạo hàm học sinh có thểgiải quyết trọn vẹn bài toán cực trị Đồng thời, chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh có thểgiải quyết tốt các bài toán khác của hình học giải tích

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.

+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trongquá trình giải quyết bài toán cực trị trong hình học giải tích Oxyz Từ đó, đề xuất phương

án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Cực trị liên quan đến khoảngcách và Cực trị liên quan đến góc trong không gian Song ở đây, tôi chỉ tập trung nghiêncứu các bài toán cực trị có thể giải quyết được bằng phương pháp khảo sát hàm số Trongchuyên đề, tôi tổng hợp và đúc rút những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này chohọc sinh lớp 12 ôn thi ĐH – CĐ

5 Điểm mới của chuyên đề

+ Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ năng dùng đạo hàm để giải quyết

bài toán cực trị trong hình học Oxyz

+ Đặc biệt, chuyên đề đã xây dựng một phương pháp giải toán hiệu quả đối với mộtlượng lớn các bài toán cực trị và giải quyết hầu hết các dạng toán đặt ra

+ Ngoài ra, chuyên đề còn cung cấp cho học sinh các phương pháp tiếp cận khác đốivới bài toán cực trị và rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải các bài toán khác củahình học giải tích (Thông qua các nhận xét sau mỗi ví dụ)

Trong đó, N là một điểm thuộc đường thẳng  và u là VTCP của đường thẳng .

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

 1 2 1 2

1 2

, ,

,

u u AB d

2 2 12 2 48 76

P MA MB  t  t Xét hàm số f t  12t2  48t 76, với t R Ta có: f t'  24t 48

Gợi ý P6t236t 32 Đạt GTLN khi t 3 Khi đó, M  2;1;6.

Bài toán 1.2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;0;2 , B  2;1;0, C0;0;3 vàđường thẳng : 1

sau:

Bài toán 1.3 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;4;2, B  1;2;4 và đường thẳng

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

t t

2 Bài toán trên có thể phát biểu dưới một hình thức khác như sau:

Bài toán 2.1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;5;0, B3;3;6 và đường thẳng

Bài toán 2.2 có bề ngoài không phải là bài toán cực trị

Nếu chúng ta giải quyết theo cách thông thường thì việc giải phương trình:

9t 20  9t  36t56 2 29không hề dễ

Ở đây, để ý giá trị 2 29 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB thì ta sẽ có ngay t 1

nhờ việc giải bài toán cực trị trong bài toán 2.2

Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

x y z

d     vàđiểm A(2;5;3) Lập phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng d sao cho khoảngcách từ điểm A đến mặt phẳng   là lớn nhất

9( ,( )) 9

2 2

( 1)( )

f t  0  0 

 '

f t

1

5

29

0

15

Từ bảng biến thiên, suy ra d A  lớn nhất bằng 3 2 khi  ,   t 1 Khi đó, A C

1 Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng cho các bài toán viết phương trình

mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước:

Bài toán 3.1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

2 Trong bài toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mặc dù có ba

biến là A B C, , nhưng biểu thức trong căn lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép

đổi biến t A

C

 chúng ta thu được hàm số chỉ còn một biến là t Điều này thuận

lợi cho việc khảo sát hàm số Các bài toán tiếp theo trong chuyên đề đều sử dụngđược phương pháp này

Ví dụ 4 (ĐH – B 2009) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  3;0;1, B1; 1;3  vàmặt phẳng  P x:  2y2z 5 0 Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song songvới mặt phẳng  P , hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đếnđường thẳng  là nhỏ nhất

Lời giải.

Giả sử VTCP của đường thẳng  là uA B C; :  Điều kiện: A2 B2 C2 0

Do đường thẳng  song song với mặt phẳng  P nên A 2B2C  0 A2B 2C

28 130 132'

112

f t  0  0 

 '

f t

565

21

1009

565

Từ bảng biến thiên, suy ra d B  nhỏ nhất bằng  ,  10

3 , đạt được tại

112

t  Khi đó,11

1 Trong đáp án của Bộ GD – ĐT, bài này được giải bằng phương pháp sử dụng tính

chất hình học: “Độ dài đường xiên không nhỏ hơn độ dài đoạn hình chiếu của nó”.Lời giải tương đối ngắn gọn Tuy nhiên, việc phát hiện ra điều này không hề dễ Hơnnữa, nếu thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là nhỏ nhất”thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là lớn nhất” thì phươngpháp trên sẽ tỏ rõ hiệu quả

Bài toán 4.1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  3;0;1, B1; 1;3  và mặt phẳng

 P x:  2y2z  5 0 Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song với mặtphẳng  P , hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến đườngthẳng  là lớn nhất

2 Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng vào bài toán viết phương trình đường

thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài toán 4.2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x: 2y 3z 4 0 và điểm

0; 2;0

M  Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P , đi qua điểm M

sao cho khoảng cách từ điểm N1;2;3 đến d bằng 14

Lời giải.

Điểm B thuộc đường thẳng 1 nên tọa độ điểm B có dạng: B 1 2 ; ;2t t  t

VTCP của đường thẳng d là AB   1 2 ;1t  t t; 

.VTCP của đường thẳng 2 là u  2; 2;1 

Ta có:  AB u,    1 t;1 4 ; 6 t  t

Lấy điểm C5;0;0  AC 5;1; 2 

( 2)( )

f t  0  0 

 '

f t

1

53

269

0

153

Từ bảng biến thiên, suy ra d d  lớn nhất khi  , 2 4

Nhận xét Với bài toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ là tối ưu nhất.

1.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

 P x: 2y z  1 0 Viết phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P ,

đồng thời d cắt trục Ox và đường thẳng  lần lượt tại A và B sao cho AB ngắn nhất

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho điểm M 4;3;1, đường thẳng : 1 2 3

d     

và mặt phẳng  P x: 2y z  3 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt 1

phẳng  P , vuông góc với đường thẳng d và cách M một khoảng nhỏ nhất

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1;2;0, B1;2; 5  và đường thẳng

II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

2.1 Kiến thức cơ sở

Các công thức về góc trong không gian:

 Góc giữa hai đường thẳng:

Trong đó,  là góc giữa hai đường thẳng và u 1

, u2 lần lượt là VTCP của hai đường thẳng

Lại do, mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d nên 2A B C   0 C2A B

( 1)( )

f t  0  0 

 '

f t

1

5

12

0

15

Từ bảng biến thiên, suy ra 0 cos 3

So sánh hai trường hợp trên, suy ra cos lớn nhất bằng 3

2 , đạt được khi t 0 Khi đó,0

A

B  Chọn B 1, A 0  C1

Phương trình mặt phẳng  Q y z:   4 0

Cách 2 Sử dụng tính chất hình học không gian

Gọi N là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng  P Ta có phương trình:

Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P và  Q Lấy I1; 1;3 d

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng  P và đường

thẳng  Khi đó, HK   Do đó, góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q là góc IKH

Ta có: IN IK nên sinIKH IH IH

A  Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, song song với mặt phẳng

Oyz và tạo với mặt phẳng   P một góc lớn nhất.

Lời giải.

Giả sử VTCT của mặt phẳng  là u A B C; ;  Điều kiện: A2B2C2  0

Ta có: VTPT của các mặt phẳng Oyz và   P lần lượt là: n  1 1;0;0

và n  2 1; 2;2

Do  song song với mặt phẳng Oyz nên  A 0

Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P là:

t t



Xét hàm số

2 2

( 1)( )

f t  0  0 

 '

So sánh hai trường hợp trên, suy ra sin lớn nhất bằng 2 2

3 , đạt được khi t 1 Khi đó,1

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:    1 0 và đường thẳng

Do mặt phẳng  P song song với đường thẳng d nên A B C   0 B A C 

VTCP của đường thẳng  là u  2 1; 1;2 Góc giữa hai đường thẳng d và  là:

Do hàm số y cos nghịch biến trên đoạn 0;

t  Khi đó,1

3.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;0;5 , B1; 2;3  và đường thẳng

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và 1

tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất

III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ

Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một số vấn đề cần chú ý như sau

1/ Phương pháp sử dụng đạo hàm có giải quyết hết các bài toán cực trị của hình học giải tích không? Còn dạng toán nào mà phương pháp hàm số chưa giải quyết

được?

Mỗi bài toán đều có nhiều cách giải quyết khác nhau Phương pháp sử dụng đạo hàmchỉ cung cấp cho chúng ta một phương pháp có hiệu quả để giải quyết bài toán cực trị Trong chuyên đề còn chưa xét tới các bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn tính chất cực trị nào đó Tuy nhiên, hãy lưu ý tới những hướng giải quyết khác mà chuyên đề đã có trình bày ở mục nhận xét sau mỗi ví dụ

2/ Qui trình giải bài toán cực trị bằng phương pháp sử dụng đạo hàm là thế nào?

Qua các ví dụ cụ thể trong chuyên đề, chúng ta có thể trình bày qui trình của việc giải bài toán cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm như sau:

Bước 1 Dựa vào gia thiết bài toán thiết lập các điều kiện tương đương Từ đó, dẫn đến hàm số cần khảo sát để tìm cực trị

Bước 2 Khảo sát hàm số tìm được trong bước 1 để tìm cực trị

Bước 3 Chuyển bài toán cực trị của hàm số đã xét trở lại bài toán cực trị trong hình học

IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ

Trong chuyên đề chỉ mới đề cập đến các biểu thức thường gặp trong bài toán cực trị.Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng theo hướng thay đổi các biểu thức để tìm cực trị, thay đổi các giả thiết khi viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn tính chất cựctrị nào đó

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY

Trong quá trình giảng dạy, tôi đã đem vấn đề trên áp dụng vào một buổi dạy tăng cường dành cho các học sinh ôn thi ĐH – CĐ Kết quả cụ thể như sau:

Nội dung kiểm tra (Chưa được học tăng Lớp 12B9

cường)

Lớp 12B10 (Đã được học tăng cường)

Trong không gian Oxyz, cho

điểm M thuộc đường thẳng

 sao cho tam giác MAB có

theo tham số t nhưng không

biết đánh giá để diện tích tam giác này đạt giá trị nhỏ nhất

15/40 học sinh không xây dựng được công thức diện tích tam giác MAB mà mất thời gian đi tìm vị trí điểm

M từ hình vẽ

7/42 học sinh tính được diện tích tam giác MAB theo công thức

35/42 học sinh chuyển được

về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của d M AB  , 30/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán nhờ xét hàm số

  46 2 212 686

f t  t  t

D KẾT LUẬN

Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy Về cơ bản chuyên đề hoàn thành các mục tiêu đề ra Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn kính mong các Thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp tiếp tục thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các bài toán nói chung và kĩ năng giải bài toán cực trị trong hình học Oxyz nói riêng

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2013

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU ………1

B NỘI DUNG ………3

I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH………3

II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC………13

III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ……….19

IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ………19

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY……… 20

D KẾT LUẬN……… 21