Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

7 2 Bất đẳng thức với tổng không đổi 9 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ... Ngaytừ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng,chún

Trang 1

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2014

Trang 2

MỞ ĐẦU 3

1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Đa thức đối xứng ba biến 5

1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 6

1.3 Bất đẳng thức thường dùng 6

1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 6

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 7

1.3.3 Bất đẳng thức Karamata 7

2 Bất đẳng thức với tổng không đổi 9 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 9

2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 9

2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 15

2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 21

2.1.4 Bài toán liên quan 31

2.2 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm vô tỉ 33

3 Bất đẳng thức có tích không đổi 45 3.1 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 45

3.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm vô tỉ 56

Trang 3

4 Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến 63

4.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 63

4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 68

4.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 73

4.4 Bài toán liên quan 77

Trang 4

Bất đẳng thức là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học Ngay

từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng,chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹphình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phảitìm tòi, sáng tạo Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoahọc khác và trong thực tế Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai tròquan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế, Olympic

Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức nhằmnâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi, vậy nên tôi đã chọn bất đẳng thức làm luận văn thạc sĩ của mình

Bất đẳng thức vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiêncứu lĩnh vực nhỏ trong đó Dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu,tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài

"Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng

ba biến."

Luận văn được chia làm bốn chương:

• Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ

• Chương 2: Bất đẳng thức với tổng không đổi

• Chương 3: Bất đẳng thức có tích không đổi

• Chương 4: Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến.Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luậnvăn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp

ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKHNguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu

Trang 5

toán học Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình họctập và hoàn thiện luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,Khoa Toán- Cơ - Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thànhbản luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2014

Tác giả

Trang 6

Một số kiến thức bổ trợ

1.1 Đa thức đối xứng ba biến

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Một đơn thức ϕ(x, y, z) của các biến x, y, z được hiểu là hàm

số có dạng

ϕ(x, y, z) = aklmxkylzm,

trong đó k, l, m ∈N được gọi là bậc của biến x, y, z, số aklm ∈R∗ =R\{0} đượcgọi là hệ số của đơn thức, còn số k + l + mđược gọi là bậc của đơn thức ϕ(x, y, z).Định nghĩa 1.2 Một hàm số P (x, y, z) của các biến x, y, z được gọi là một đathức nếu nó có thể được biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức

P (x, y, z) = X

k,l,m∈N k+l+m=n

aklmxkylzm, n ∈ N.

Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức.Định nghĩa 1.3 Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu nó không thayđổi với mọi hoán vị của x, y, z, nghĩa là

Trang 7

Định nghĩa 1.6 Các đa thức sk = xk + yk + zk, (k = 0, 1, ), được gọi là tổnglũy thừa bậc k của các biến x, y, z.

Định lý 1.1 ( Công thức Newton) Với mọi k ∈Z, ta có hệ thức

Trang 8

Hệ quả 1.1 Với mọi số thực dương a 1 , a 2 , , a n ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2= · · · = an.

Hệ quả 1.2 Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có

Định lý 1.6 Cho hai dãy số{xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n}, thỏa mãn điều kiện

x1≥ x2 ≥ · · · ≥ xn, y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn

Trang 9

x1+ x2+ · · · + xn−1 ≥ y1+ y2+ · · · + yn−1

x1+ x2+ · · · + xn = y1+ y2+ · · · + yn

Khi đó, ứng với hàm số lồi f (x)(f00(x) ≥ 0) trên I(a, b), ta đều có

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + · · · + f (yn).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi= yi, i = 1, 2, n.

Ta cũng phát biểu tương tự đối với hàm số lõm bằng cách đổi chiều dấu bấtđẳng thức

Bổ đề 1.1 Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trênI(a; b)

a Nếu f00(x) ≥ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≥ f0(x0)(x − x0) + f (x0), ∀x0 ∈ I(a; b).

b Nếu f00(x) ≤ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≤ f0(x0)(x − x0) + f (x0), ∀x0 ∈ I(a; b).

Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = x0

Trang 10

Bất đẳng thức với tổng không đổi

2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu

tỉ

2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Đối với bất đẳng thức P (x, y, z) ≥ 0 (≤ 0), Trong đó P (x, y, z) là đa thức hoặcphân thức hữu tỉ và có tổng x + y + z không đổi, thì khi đó sử dụng các kĩ thuậtcủa bất đẳng thức AM − GM như dự đoán dấu bằng xảy ra, AM − GM ngượcdấu, đặt ẩn phụ, tỏ ra rất hiệu quả

Bài toán 2.1 Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứngminh rằng

Trang 11

3

= 27.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 2.3 Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứngminh rằng

2 a2b + b2c + c2a+ 3 a2+ b2+ c2+ 4abc ≥ 19.

Chứng minh

Trang 12

Ta có

19 = 3 (a + b + c)2− 8 = 3 a2+ b2+ c2+ 6 (ab + bc + ca) − 8.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

2 a2b + b2c + c2a+ 4abc ≥ 6 (ab + bc + ca) − 8

⇔a2b + b2c + c2a + 2abc + 4 ≥ 3 (ab + bc + ca)





3

= 4.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Trang 13

Bài toán 2.4 (Bulgaria TST 2003) Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điềukiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng

Trang 14

c2+ ab 3a + 3bc ≥ 1

2 + bc b(a + b + c) + 3ca+

b2+ ca c(a + b + c) + 3ab+

c2+ ab a(a + b + c) + 3bc ≥ 1.

Mặt khác

3b + 3ac = b(a + b + c) + 3ac ≤ b(a + b + c) + ac + a2+ c2 = a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca

Trang 15

b2+ ca 3c + 3ab +

c2+ ab 3a + 3bc ≥ 1.

Bất đẳng thức được chứng minh

Trang 16

2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Nếu yêu cầu của bất đẳng thức là chứng minhP (x, y, z) ≥ 0(≤ 0) với P (x, y, z)

có dạng tổng các bình phương hoặc phân thức với tử số của mỗi phân thức códạng bình phương như vậy ta có thể nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thứcCauchy- Schwarz Hoặc sử dụng giả thiết x + y + z không đổi ta có thể biến đổi

để đưa bất đẳng thức về dạng trên để sử dụng Cauchy-Schwarz

Bài toán 2.7 Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng

b 2c + a +

c 2a + b

2

2ab + ac +

b22bc + ab +

c22ac + bc.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

a22ab + ac +

b22bc + ab +

c22ac + bc ≥ (a + b + c)

b22bc + ab +

c22ac + bc ≥ (a + b + c)

Trang 18

⇔2(a + b + c)2+ 2(b − a) ≥ 3(a2+ b2+ c2+ 3)

⇔ a2+ b2+ c22+ 2 (b − a)2 ≥ a2+ b2+ c2

⇔bc − ab + ca − c2 ≥ 0

⇔(c − a)(b − c) ≥ 0 (3)

Có thể nhận thấy bất đẳng thức (3) không phải luôn đúng nhưng ta có thể

ép nó đúng Thật vậy sử dụng các đánh giá tương tự (3), ta có

Như vậy nếu trong các bất đẳng thức (3),(4) và (5) có một bất đẳng thứcđúng thì bài toán sẽ được chứng minh song Ta thấy rằng

[(c − a)(b − c)] [(a − b)(c − a)] [(b − c)(a − b)] = (a − b)2(b − c)2(c − a)2 ≥ 0

nên ít nhất một trong ba số (c-a)(b-c), (a-b)(c-a),(b-c)(a-b) sẽ có một số không

âm Tức là phải có ít nhất một bất đẳng thức đúng hay bất đẳng thức đượcchứng minh

Trang 19

Nhận xét 2.1 Có nhiều công cụ hỗ trợ ta thực hiện phương pháp dồn biến,dưới đây ta xem xét ứng dụng yếu tố "ít nhất" và bất đẳng thức Cauchy-Schwarztrong việc giảm biến số của bất đẳng thức Cụ thể có thể đưa bất đẳng thức babiến về bất đẳng thức một biến để chứng minh Ý tưởng của kĩ thuật như sau:Với bốn số thực a, b, c, k ta có

[(a − k)(b − k)] [(b − k)(c − k)] [(c − k)(a − k)] = (a − k)2(b − k)2(c − k)2 ≥ 0.

Do đó trong ba số (a − k)(b − k), (b − k)(c − k), (c − k)(a − k) sẽ có "ít nhất"một số không âm Giả sử (a − k)(b − k) ≥ 0 thế thì

b 7b 2 + 11 +

c 7c 2 + 11 ≤ 1

14c 7c 2 + 11 ≥ 3 −14

7(c − 1)2+ 4 7c 2 + 11 ≥ 2

3

7a 2 + 11 +

1 7b 2 + 11 +

1 7c 2 + 11

i

+ 7

(a − 1)27a 2 + 11 +

(b − 1)27b 2 + 11 +

(c − 1)27c 2 + 11

1 7c2+ 11 ≥ (1 + 1 + 1)

Trang 20

và cũng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

(1 − a)2

7a 2 + 11 +

(b − 1)27b 2 + 11 +

(c − 1)27c 2 + 11 ≥ (1 − a + b − 1 + c − 1)

(c − 1)2

2

3 [21(a2+ b2+ c2) + 11.(a + b + c)2] (a − 1)2

7a 2 + 11 +

(b − 1)27b 2 + 11 +

mà ta lại có

(a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) + (c − a)(c − b) = a2+ b2+ c2− ab − bc − ca ≥ 0.

Do đó trong (1),(2),(3) có ít nhất một bất đẳng thức đúng Từ đó suy ra điềuphải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Trang 21

Bài toán 2.11 Chứng minh rằng với các số thực dương a, b, c tùy ý ta đều có

(1 − 2b)22b 2 − 2b + 1+

(1 − 2c)22c 2 − 2c + 1 ≥

b − 13

i h

b − 13

c − 13

i h

c − 13

a − 13

2

c − 13

[2 − 2(a + b)]22(a 2 + b 2 ) − 2(a + b) + 2

18c29c 2 − 3c + 5 ≥ 35

⇔(3c − 1)2(17c2− 8c + 5) ≥ 0 luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Trang 22

2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số

Trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng P (x, y, z) ≥ 0(≤ 0), dựavào tổng không đổi và dựa vào dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi nào Ta cóthể đưa bài toán về dạng hàm một biến và sử dụng các tính chất của hàm số đểkhảo sát Hoặc sử dụng bất đẳng thức Karamata và bổ đề cơ bản

Bài toán 2.12 Với x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Từ bảng biến thiên, ta có f (z) ≥ 0, với ∀z ∈ (0; 1).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

4, z =

1

2.

Bài toán 2.13 (Tiệp Khắc MO ,1984) Với x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1.Chứng minh rằng

xy + yz + zx − 2xyz ≤ 7

27.

Trang 23

Từ bảng biên thiên ta thấy với ∀x ∈h0;1

3

i, ta có

Trang 24

Bài toán 2.14 Với x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Trang 25

Bài toán 2.15 Với x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Từ giả thiết ta có y + z = 1 − x và theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

P = 2x3+ (y + z)3− 3yz(y + z)+ 3x2+ (y + z)2− 2yz+ 12xyz

= 2x3+ 2(1 − x)3− 6yz(1 − x) + 3x2+ 3(1 − x)2− 6yz + 12xyz

x3+ y3+ z3 ≤ 9.

Trang 27

Bài toán 2.18 Với x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn x + y + z = 1.Chứng minh rằng

+ f13

+ f 13

Trang 28

+ f13

x 2 − 2x + 5 ≥

99 100

x − 13

+ 310

⇔−99x

3 + 201x2− 101x + 15 100(x 2 − 2x + 5) ≥ 0

⇔

x − 13

2

(15 − 11x)

x 2 − 2x + 5 ≥ 0

luôn đúng ∀x ∈ (0; 1).

+ f13

(a + b + c − 1) + 3f

1 3

Bất đẳng thức cần chứng minh là một bất đẳng thức thuần nhất với ba biến

a, b, c Không mất tính tổng quát giả sử a + b + c = 1 Khi đó bất đẳng thức cầnchứng minh trở thành

Trang 29

3 + 27x2− 1 25(2x 2 − 2x + 1) ≤ 0

(2a + b + c)22a2+ (b + c)2 +

(2b + a + c)22b2+ (c + a)2 +

(2c + a + b)22c2+ (a + b)2 ≤ 8.

Chứng minh

Giả sử a + b + c = 1 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

(a + 1)22a 2 + (1 − a) 2 + (b + 1)

b2+ 2b + 1 3b 2 − 2b + 1 +

c2+ 2c + 1 3c 2 − 2c + 1 ≤ 8

hay

f (a) + f (b) + f (c) ≤ 8

với f (x) = x

2 + 2x + 1 3x 2 − 2x + 1, x ∈ (0; 1)

f0(x) = −8x2− 4x + 4

(3x 2 − 2x + 1) 2

Trang 30

3) +

8 3

2 + 2x + 1 3x 2 − 2x + 1 −

12x + 4

⇔−36x

3 + 15x2+ 2x − 1 3(3x 2 − 2x + 1) ≤ 0

Trang 31

Ta có bảng biến thiên ( đưa thêm một số giá trị như x = −3; x = −1

+ Trường hợp 2 Có một số, giả sử a ∈

−3;−13

i Khi đó có

+ f 13

Trang 32

2.1.4 Bài toán liên quan

Bài toán 2.23 Với các số dươngx, y, z thỏa mãn điều kiệnx + y + z = 1 Chứngminh

b3c(2a + b) +

c3a(2b + c) ≥ 1.

Bài toán 2.28 Với a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh

Trang 33

Bài toán 2.33 (China Northern MO 2006) Với các số thực a, b, c thỏa mãn

a + b + c = 3 Chứng minh rằng

a2+ 9 2a 2 + (b + c) 2 + b

2 + 9 2b 2 + (a + c) 2 + c

2 + 9 2c 2 + (a + b) 2 ≤ 5.

Bài toán 2.34 Với a, b, clà các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứngminh rằng

b26b 2 − 4b + 1+

c26c 2 − 4c + 1 ≤ 1.

Bài toán 2.36 Với a, b, clà các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứngminh rằng

a23a 2 − 2a + 3 +

b23b 2 − 2b + 3+

c23c 2 − 2c + 3 ≥

1

8.

Trang 34

2.2 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm vô tỉ

2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Trong phần này ta đi chứng minh các bất đẳng thức với hàm vô tỉ với tổngkhông đổi bằng bất đẳng thức AM-GM Điều quan trọng là ta vận dụng bấtđẳng thức AM-GM khéo léo để phá được dấu căn và tận dụng tổng không đổi.Bài toán 2.37 Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 2.Chứng minh

Trang 35

⇔a2+ b2+ c2+ 2( √

a + √

b + √ c) ≥ (a + b + c)2= 9.

Trang 36

Bài toán 2.40 (Mexico MO 2007) Nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

Trang 38

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

3.

Bài toán 2.43 Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1 Chứng minhrằng

Bài toán 2.44 Với các số thực dươnga, b, cthỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minhrằng

Trang 40

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì

1 + a − 2x ≥ 1 − 2x − a = 1 − 2 √

bc − a ≥ 1 − (b + c) − a = 0.

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh

3.

Bài toán 2.46 (China MO 2006) Với các số thực dươnga, b, cthỏa mãna+b+c =

√ ca

Trang 41

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy -Schwarz và bất đẳng thức AM-GM,

a29a + 1 +

b29b + 1 +

a

9(9a + 1)

b29b + 1 =

b

9(9b + 1)

c29c + 1 =

b 9b + 1 +

c 9c + 1 +

3

4p3(ab + bc + ca) ≥ 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có

a 9a + 1 +

b 9b + 1+

Trang 42

3 6(ab + bc + ca) + 2 ≥ 1.

Trang 43

Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 3 Chứng minh rằng

Trang 44

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

3.

2.2.4 Bài toán liên quan

Bài toán 2.51 Với a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng

Trang 45

Bài toán 2.53 Với a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng với

Trang 46

Bất đẳng thức có tích không đổi

Khi bất đẳng thức có dạng P (x, y, z) ≥ 0 hoặc(≤ 0) với tích xyz không đổi,thì trong các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức bằng các sử dụng AM-GM,bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, các tính chất của hàm số thường dùng, ta cóthể sử dụng phép thế để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thứcđơn giản hơn

Cho các số thực dương a, b, c Nếu abc = 1 thì có thể đặt a = 1

x, b =

1

y, c =

1 z

= (n + 1)xy.

Định dạng
Số trang	80
Dung lượng	461,12 KB