Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, tác giả đã hoàn thành luận văn của mình với đề tài: Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1.. T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

CẤN THỊ THU THẢO

SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

CẤN THỊ THU THẢO

SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG

Hà Nội – 2014

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU………2

Chương 1 Một số kết quả cơ bản………4

1.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM và áp dụng………4

1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM……… 4

1.1.2 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng căn thức……… 6

1.1.3 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng phân thức………12

1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt và áp dụng……….19

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz………….……… 19

1.2.2 Hệ quả……… 20

1.2.3 Bài tập ứng dụng……… 21

1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa căn……… 31

Chương 2 Một số kĩ năng sử dụng hằng số……….35

2.1 Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán………35

2.2 Sử dụng hằng số như là tham số của bài toán………59

KẾT LUẬN……….75

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….76

LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển nhưng xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học Bất đẳng thức được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học

và nhiều ngành khoa học tự nhiên Một bộ phận thường gặp trong các bài toán bất đẳng thức đó là các bài toán tìm cực trị Trong những bài toán cực trị cơ bản thì việc sử dụng hằng số có thể xây dựng được các lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, tác giả đã hoàn thành luận văn của mình với đề tài:

Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Một số kết quả cơ bản Trong chương này, tác giả trình bày một số

bài toán tìm cực trị có sử dụng bắt đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Chương 2 Một số kĩ năng sử dụng hằng số Trong chương này tác giả trình bày

một số kĩ năng sử dụng hằng số để tìm cực trị Những kĩ năng này được chia thành hai dạng:

1 Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán

2 Sử dụng hằng số như là tham số của bài toán

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Toán học Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2014

Học viên Cấn Thị Thu Thảo

CHƯƠNG I MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN

  

 (1) Đẳng thức xảy ra a1 a2   an

Thật vậy, xét 2k số thực a ,a , ,a ,a1 2 k k 1 , ,a2k 0

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có

Vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh

Nhận xét

Bất đẳng thức AM – GM là bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rộng rãi Khi sử dụng bất đẳng thức này ta cần chú ý tới điều kiện xảy ra dấu “=” là

a a   a để tách các hệ số sao cho phù hợp

Khi giải các bài toán cực trị có sử dụng bất đẳng thức trung bình AM – GM thì việc mượn thêm các hệ số thích hợp là một kĩ thuật hết sức cơ bản và quen thuộc

1.1.2 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng căn thức

Bài 1 (Mexico 2007) Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = 1 ta có:

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

(c a)(c b)

1 cz

(Áp dụng bất đẳng thức AM – GM)

Bài 5 Cho a, b, c > 0 và a2 b2 c2 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1.1.3 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng phân thức

Bài 7 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a  b c 3 a b c

2 2 2 3

abbcca3 a b c

2 2 2 3

Bài 8 (IMO Shortlist 1990) Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c    cCộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 12 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

i 1 i

n

i 1 i

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số x , y, z và 1

x ,

1

y , 1

3ca

Bài 8 Cho 3 số a, b,c0 thỏa mãn a2 b2 c2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

32

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được:

1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa căn

Bài 10 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Bài 11 Bài toán tổng quát

Cho các số thực dương x , x , x , , x và các tham số ,1 2 3 n   0 thỏa mãn

2

4



  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

4x

41

    Dấu bằng xảy ra khi xn x1

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

CHƯƠNG II MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG HẰNG SỐ

Trong các bài toán cực trị thì việc sử dụng hằng số để tìm giá trị cực trị là việc hết sức phổ biến nhưng đó lại là việc không hề dễ Trong luận văn này tác giả xin trình bày hai kĩ năng thường sử dụng:

1 Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán

2 Sử dụng hằng số như là tham số của bài toán

2.1 Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán

Đối với các bài toán cực trị có dạng đối xứng thì cực trị của một biểu thức đạt được khi các biến số bằng nhau Khi đó điều kiện của bài toán cực trị sẽ trở thành phương trình một ẩn Để tìm cực trị của các bài toán này ta cần giải phương trình một ẩn và sử dụng nghiệm thu được để tìm ra giá trị cực trị cần tìm

Bài 1 Cho a, b, c > 0, a + b + c ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và a   b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 7 Cho a, b, c > 0 và a + b + c + abc  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a3

b3

c3

b2

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 2

ab2

  

  

b2

Nhận xét: Bài 9 nhìn qua sẽ thấy giống Bài 8, khi đó có thể dẫn đến sai lầm trong

giải bài toán này bằng việc xét điều kiện ban đầu sai là cho a = b = 1 Do đó chỉ cần thay đổi điều kiện ban đầu thì việc dự đoán dấu “=” xảy ra sẽ gặp khó khăn Vì vậy ta cần phải thay các biến số đối xứng vào điều kiện để giải phương trình một

ẩn Từ đó tìm được nghiệm để có thể thêm bớt hệ số thích hợp

Bài 10 Cho a, b > 0 và a + b  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy bài toán trở thành: Cho t ≥ 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P t 1

            ( trái với giả thiết )

Bài 13 Cho a, b > 0 thỏa mãn a  b aba2 b2  6 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pa3 b3

2b3

2a3

2b3

bc3

ac3

a3

b3

c3

Bài 15 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 19 Cho a, b, c, d ∈ 0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

4 2  4  a 2b  c (1) Mặt khác, từ điều kiện của đề bài: a2b3c20 ta suy ra:

Bài 23 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

P3a 3b c

Giải

Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b nên ta dự đoán cực trị đạt được khi

a = b Kết hợp với điều kiện ta có:

2.2 Sử dụng hằng số nhƣ là tham số của bài toán

Ở phần thứ nhất, ta đã xét các bài toán cực trị mà ta có thể dự đoán được điểm rơi nhờ điều kiện của bài toán, tính đối xứng của biểu thức hay đôi khi là do kinh nghiệm và trực giác Tuy nhiên với nhiều bài toán ta không thể dự đoán được điểm rơi theo các cách trên, đặc biệt là đối với các biểu thức không đối xứng Điều này sẽ khiến cho việc giải bài toán gặp khó khăn, thậm chí là không tìm ra hướng giải Điều này sẽ được giải quyết khi ta đưa thêm các tham số giả định Việc xác lập điều kiện các đẳng thức xảy ra dẫn đến hệ điều kiện để tìm tham số Cụ thể ta

sẽ xét một số bài toán sau đây

Bài 1 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta thấy trong biểu thức P thì a, b đóng vai trò như nhau vì vậy ta có thể dự đoán điều kiện xảy ra đẳng thức là a b  c ( 0)

Do đó với  0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 2 2

2  2 

2 2 2

 2 2 2 2

Bài 2 Bài toán tổng quát

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 2 2 2

Pm a b c (với m là hằng số thực dương)

Giải

Với  0, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 2 2

2  2 

2 2 2

 2 2 2 2

Thay vào (1) ta được P 13 9 16

2



 

Dấu bằng xảy ra

bacb

5 3 5

1x

1 2 2

2 2y

Vậy max P = 4 3 5 2 2

a41

4079c

23

Dấu bằng xảy ra

xyz

      

Ta có hệ:

32

b

30c23

Bài 11 Bài toán tổng quát

Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau theo m,

n (với m, n > 0):

Phương trình f k 0 có nghiệm duy nhất k0 0

Thay vào (1) ta được:

KẾT LUẬN

Các bài toán tìm cực trị là một dạng toán khó đối với hầu hết học sinh và với cả giáo viên Tuy nhiên trong các kì thi Đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán học quốc tế lại luôn có dạng toán này Đặc biệt hai bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz được sử dụng rất nhiều Vì vậy, tác giả đã chọn đề tài “Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị” và đạt được một số kết quả sau:

1 Luận văn đã trình bày hai bất đẳng thức quan trọng là bất đẳng thức AM – GM

và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Đồng thời trình bày một số bài toán tìm cực trị có điều kiện áp dụng hai bất đẳng thức đó

2 Luận văn đã trình bày hai kĩ năng sử dụng hằng số để giải các bài toán cực trị là

sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện ban đầu và sử dụng hằng số như là tham số của bài toán

3 Luận văn đưa ra các bài toán cực trị từ đối xứng đến không đối xứng, từ dễ đến khó giúp người đọc có thể tiếp cận dễ dàng hơn Sau mỗi phần tác giả có đưa thêm một số bài tập luyện tập

Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được

hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

5 Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng, NXB

Giáo dục Việt Nam

6 Trần Phương (2012), Những viên kim cương trong bất đẳng thức, NXB Tri