skkn dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị

17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục chữ viết tắt 19 I.ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã được trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn

Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013

M C L CỤC LỤC ỤC LỤC

I Đặt vấn đề……… 1

II Giải quyết vấn đề……… 2

1 Cơ sở lý luận của vấn đề……… 2

2 Thực trạng của vấn đề……… 3

3 Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……… 3

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 15

III Kết luận……… 15

Tài liệu tham khảo M C L CỤC LỤC ỤC LỤC Nội dung Trang I Đặt vấn đề……… 1

II Giải quyết vấn đề……… 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TR

Ư ỜNG THPT TRIỆU QUANG PHỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

DẠY HỌC TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Người viết SKKN

ĐỖ XUÂN VƯỢNG

Hiệu Trưởng

LÊ THỊ NGUYỆT.

Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013

1 Cơ sở lý luận của vấn đề……… 2

2 Thực trạng của vấn đề……… 3

3 Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……… 3

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 16

III Kết luận……… 17

Tài liệu tham khảo 18

Danh mục chữ viết tắt 19

I.ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã được trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số, tuy nhiên kỹ năng áp dụng phương pháp này vào giải quyết các bài toán tìm cực trị của một biểu thức có nhiều biến số, hoặc chứng minh một bất đẳng thức

của đa số học sinh còn nhiều hạn chế Nguyên nhân là bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị là một dạng toán khó mà thời lượng trong chương trình lại còn ít Kiến thức dàn trải suốt cả ba năm học THPT gây khó khăn cho học sinh trong việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình thành phương pháp cho bản thân Thông thường , khi gặp bài toán trên học sinh thường hoang mang, không biết lựa chọn phương pháp phù hợp Vì vậy, việc làm phong phú thêm các phương pháp giải dạng toán trên là một việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện tư duy, kỹ năng và thay đổi thái độ của học sinh khi tiếp cận dạng toán trên, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán THPT

Xuất phát từ những suy nghĩ trên, tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm:

“Dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị” Đó là những kinh nghiệm của bản thân được đúc rút trong quá trình giảng dạy môn Toán ở các lớp thuộc Ban Khoa học tự nhiên

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận của vấn đề:

1.1 GTLN, GTNN của hàm số.

-Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D

+

( ),

m ax ( )

D





+

( ), min ( )

D





- Định lý: Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b;  thì luôn tìm được GTNN, GTLN của hàm số trên a b; 

1.2 Sử dụng khảo sát hàm số tìm GTLN,GTNN của hàm số

Bài toán: Tìm GTLN, GTNN ( nếu có ) của hàm số y=f(x) với x D  

Phương pháp:

Quy tắc 1:Trường hợp tổng quát ( Khi D không là một đoạn)Tiến hành theo các

bước

+ Tính đạo hàm của hàm số + Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D

+ Căn cứ vào bảng biền thiên để kết luận về GTLN,GTNN

Quy tắc 2: Trường hợp đặc biệt: Da b;  , tiến hành theo các bước:

+Tính đạo hàm của hàm số, + Tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc a b;  ( là các điểm thuộc TXĐ mà tại đó, đạo hàm triệt tiêu hoặc không xác định)

+ Tính GT của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các điểm a,b

+ So sánh các GT tìm được để kết luận

1.2 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cô-si: Với a1;…an là các số thực không âm, ta có:

a a  a n a a a ; đẳmg thức khi a1 a2   a n

+ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

Với hai bộ số thực a a1 , , 2 a n và b b1 , , 2 b n, ta có

a b a b  a b  a a  a b b  b

Đẳng thức có khi hai bộ số tương ứng tỷ lệ

+ Tập giá trị của hàm số: Cho hàm số yf x( ) với tập xác định D, tập giá trị của hàm số là :T  y  |  x D y: f x( )

Hay : T={y  : phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm.

2 Thực trạng của vấn đề:

Khi giải quyết bài toán tìm cực trị của một biểu thức bằng phương pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số, thực chất là đi xác định tập giá trị của biểu thức, của hàm số với điều kiện cho trước Căn cứ vào đặc trưng của biểu thức ( Tính đối xứng của các biến, điều kiện của các biến có tính đẳng cấp với các biến…) để tiến hành đổi biến, học sinh thường gặp các khó khăn và hay mắc các sai lầm sau: Sai lầm:

- Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là khi D không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT của hàm số)

- Khi áp dụng quy tắc 2, học sinh thường tính thừa các giá trị hàm số tại các điểm tới hạn, không loại đi các điểm tới hạn không thuộc a b;  ,dẫn đến kết quả sai

Khó khăn :

- Không linh hoạt khi chuyển biểu thức cần tìm cực trị về dạng hàm một biến qua phép đặt biến phụ

- Khi đặt được biến phụ, thường không các định được miền GT của biến phụ theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết quả

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết.

3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN.

- Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh là GTLN, GTNN của hàm số đạt được trên tập D phải là GT của hàm số tại ít nhất 1 điểm của tập D

Do đó, khi tìm được GTLN, GTNN của hàm sô, nhất thiết phải chỉ ra giả trị đó đạt tại điểm nào trên tập hợp D

- Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo các bước, áp dụng từng TH cụ thể khi tập D là hay không là một đoạn

- Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ năng lập bảng BT của hàm số, xác định TGT của hàm số dựa trên BBT

- Hình thành và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào bài toán tìm cực trị của biểu thức hai biến, ba biến:

+ Kỹ năng đổi biến số:

+ Kỹ năng tỡm điều kiện của biến mới thụng qua cỏc con đường: Đỏnh giỏ nhờ cỏc bất đẳng thức, phương phỏp miền giỏ trị, phương phỏp dựng BBT…

+ Kỹ năng sử dụng cụng cụ hàm số để xỏc định tập giỏ trị của hàm

- Đưa ra cỏc vớ dụ mẫu điển hỡnh cú phõn tớch lời giải, hệ thống bài tập đa dạng hỡnh thức, phong phỳ về nội dung, phự hợp về mức độ , giỳp học sinh được tự rốn luyện kỹ năng từ dễ đến khú

3.2 Hệ thống vớ dụ và bài tập

a Tìm cực trị hàm một biến

GV cần lu ý cho học sinh:

- Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN trên tập nào? ( Xác định D)

- Chọn cách giải phù hợp khi D là một đoạn, D không là một đoạn

Lời giải: Điều kiện 3x2  6x   9 0 x  1;3 ( D là một đoạn)

Tính đạo hàm:

2

2

'

y



Tìm các điểm tới hạn thuộc  1;3 : 2

y    x  x  x  x

Tính giá trị của hàm tại các điểm đầu mút, tại các điểm tới hạn:

( 1) 0; (3) 4; (2) 6

So sánh, kết luận: max f 6 khi x =2; min f = 0 khi x =-1

2

1 1

x x



 Lời giải: TXĐ: D = R

Ta cú : y’=

1 1

x x



 ; y’= 0  x 1

BBT:

thiên hàm số:

2

1 Dựa vào BBT, GTLN của hàm số bằng 2 đạt khi x=1

Khụng cú giỏ trị nhỏ nhất của hàm số /D

NHẬN XẫT:

Sai lầm: Lập BBT khụng chuẩn xỏc: Tớnh sai cỏc giỏ trị tại cỏc đầu mỳt D

( nhất là khi D khụng phải là một đoạn, thường khụng thụng qua giới hạn để xỏc định miền GT của hàm số).

x  x 

Lời giải:

Cỏch 1: +) Đỏnh giỏ y  0  x R Dấu bằng xảy ra khi x =1 hoặc x =2 thuộc đoạn  10;10 Vậy GTNN của hàm số bằng 0 khi x =1 hoặc x =2

+) Lập BBT của hàm số y = x2  3x 2 / 10;10  Từ đú kết luận

GTLN của hàm số bằng 132 khi x =-10

Cỏch 2: Lập BBT của hàm số y = x2 3x 2 /  10;10

2

f’ - + 0 - +

0

1

72

Kết luận giỏ trị LN, NN như cỏch 1.

NHẬN XẫT:

Sai lầm: Lập BBT khụng chuẩn xỏc: Điểm đạo hàm khụng tồn tại x =1, x =2.

Hoặc kết luận giỏ trị nhỏ nhất sai

b Tìm cực trị của hàm một biến phức tạp hoặc biểu thức có nhiều hơn một biến Giáo viên lu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có đợc một hàm số với biến mới

ở dạng đơn giản hơn

Chú ý:

-Nếu biểu thức có dạng đối xứng với từng biến thì nó luôn đợc biểu diễn đợc qua tổng hai biến và tích biến

-Nếu điều kiện là một biểu thức đẳng cấp theo từng vế ( Tốt nhất là chênh nhau một bậc) Thì bằng phép đặt ẩn phụ x=ty ta luôn tính đợc x,y theot.

2

y x





Ta có:

2

( 1)

y

Đặt 2

1

x

t

x





Để tìm điều kiện của t, có thể sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phơng pháp miền giá trị nh sau:

Cách1: Dùng BĐT Cô-si

+ Với x=0 thì t=0.

+ Với x 0, xét

2

2 2

x

Cách2: t là một GT của biểu thức  Phơng trình 2

1

x t x



 ẩn x có nghiệm

tx x t

       

Bài toán trở thành: Tìm GTLN,GTNN của hàm g t( )  t2 t; 1 1

;

2 2

t  

Hàm đạt cực tiểu tại: 1

2

t 

y



Điều kiện:    1 x 1

t   x  x

Tìm điều kiện của t:

Cách1: Dùng BĐT

Theo Bunhia ta có: 2 2 2  2 2

( 1  x  1 x )  2 1  x   1 x   4 t  2

t   x  x    x   t  .Vậy t  2;2 

Cách2: Khảo sát hàm t  1  x2  1 x2

Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2

1 1

t t y

t

 



 , với t  2;2 

Kết quả: Maxy=7

3 tại x=0; Miny=2 2 1 tại x=1

Vídụ6: Cho x,y là hai số thực dơng thoả mãn 4x+9y=6 Tìm GTLN của

1

2

2

P xy

xy

Hướng dẫn

Cỏch 1: Rỳt xy theo x rồi thế vào P, thu được hàm một biến số

Cỏch 2: Coi xy là biến số, vậy phải tỡm điều kiện cho xy :

- Cú thể thụng qua đỏnh giỏ:

x y x y xy xy xy

0

4

xy

- Cú thể sử dụng phương phỏp miền giỏ trị: Tỡm điều kiện của t để hệ sau cú

2nghiệm dương : 4x 6y 6

xy t







4

xy

Khảo sát hàm số : 1

2

P t t

t

0

4

t

 

Ví dụ 7:

Cho cos 2x cos 2y  1, x y,   ; Tìm GTNN của biểu thức A tan2x tan2 y

Lời giải:

Biến đổi biểu thức A để sử dụng đợc điều kiện:

cos cos

1 cos 2x 1 cos 2y

Điều kiện đã cho biến đổi thành: 1 cos 2  x  1 cos 2y  3, x y,  

Đặt t   1 cos 2x 1 cos 2  y  3 t,

điều kiện: cos 2y  1 cos 2x  2 (1 cos 2 ) 2  x    t  1;1  1  t 3

Xét hàm số : 1 1

( )

3

f t

 

 với 1  t 3



Bảng biến thiên hàm số:

2

3

4 3

Dựa vào BBT, GTNN của A bằng 2

3 đạt khi

1 cos 2

2

x 

2

ab M

a b



 

Cách1:

Theo Cô- si ta có: a b  2 ab Dấu’=’ Khi a=b Do đó:

ab ab M

a b ab

a b

a b

ab    ab t

GTLN của M là GTLN của hàm 2 1 2

t t

f t

t t

0

2

t

Khảo sát hàm số

2 1 2

t t

f t

t t

0

2

t

  Là hàm luôn đồng biến và liên tục

trên 2

0;

2

f t f



Đáp số:

1 max

M 



Cách2:

a b2 2(a2 b2 ) 2 a b  0 0 a b 2

Đặt t a b   t 0; 2 



1

( )

4

M  g t ; Với : ( ) 2

2

t

g t t





'( )

t t t t t t

g t

t t t

   : g(t) luôn đồng biến trên 0; 2 

( 2)

M  g 



thức

2

2 1

2

a b

a b ab

M

a b a b a b



M x4 y4  4xy x y 3 3

HD: Tõ GT suy ra x2 y2   3 xy ThÕ vµo ta cã M x2 y22 2x y2 2  4xy x y 3 3

=3  xy2 2x y2 2 4xy x y 3 3.

= x y3 3  x y2 2  2xy 9

§Æt t=xy §Ó t×m ®iÒu kiÖn cña M ta cã hai c¸ch sau:

C¸ch1: T×m t sao cho hÖ sau ®©y cã nghiÖm :

2 2 3.

x y xy

xy t







C¸ch 2: Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ta cã: 3  xy x 2 y2  2xy 3xy  3 xy 1

(x y ) 2  2xy xy   3 xy (x y ) 2  3  3 VËy t   3;1

Bµi to¸n trë thµnh t×m GTLN; GTNN cña hµm sè: f t( ) t3  t2  2t 9; t  3;1

Kh¶o s¸t hµm sè f t( ) t3  t2  2t 9; t  3;1 ta cã kÕt qu¶

GTLN, GTNN cña biÓu thøc S  (4x2  3 )(4y y2  3 ) 25x  xy

Ta cã: S 16( )xy 2  12(x3 y3 ) 34  xy 16( )xy 2  12 ( x y ) 3  3 (xy x y ) 34xy

Thay x+y=1, Ta cã S  16( )xy 2  12(1 3 ) 34  xy  xy 16( )xy 2  2xy 12

§Æt t=xy DÔ thÊy 1

0;

4

t  

XÐt hµm sè f t( ) 16  t2 2t 12 víi 1

0;

4

t  

  cã kÕt qu¶ GTNN b»ng 191

16 ; GTLN

b»ng 25

12

VÝ dô 11 : Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho : 2(x2 + y2) - xy = 1

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức :

4 4

x + y

2xy + 1

 Nhận xét : 1 = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy  xy ≤ 1

1 = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy  xy ≥ 1

5

Và :

2

2 2

xy + 1

- 2x y

 Khi đó, đặt : t = xy , đk : t 1 1;

5 3

Bài toán đưa về tìm GTNN và GTLN của hàm số : f(t) = -7t + 2t + 12

1 1

5 3

2

2

t = -1 (loai) 56t - 56t

t = 0 (8t + 4)







f(- ) = 1 2 , f( ) = 1 2 , f(0) = 1

 Vậy :

2 2

1 1

- ;

5 3

1

x + y = 1

 

 

 





1 1

- ;

5 3

15

 

 

 

Ví dụ 12

Cho x2 + xy + y2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

S = x2  xy + y2

Giải Xét y = 0  x2 = 3  S = 3 là 1 giá trị của hàm số

Xét y  0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

y



 u(t2 + t + 1) = t2  t + 1  (u  1)t2 + (u + 1)t + (u  1) = 0 (*)

+ Nếu u = 1, thì t = 0  x = 0, y =  3  u = 1 là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu u  1, thì u thuộc tập giá trị hàm số  phương trình (*) có nghiệm t   = (3u  1)(3  u)  0  1 1 3

Vậy tập giá trị của u là 1 ,3

3

3

u  ; Max u = 3

Min S = 1  Min 1

3

3

x y

x y









Max S = 9  Maxu = 3  t = 1 











  tho¶ m·n x y xy x   2 y2  xy

T×m GTLN cña 13 13

A

x y

BG :

3 3

1 1

x y x xy y x y

x y

A

x y x y x y x y



§Æt x=ty, tõ x y xy x   2 y2  xy, suy ra t 1ty3 t2  t 1 y2

VËy

2

;

1

t t t t

y x ty

t t t

Thay vµo A ta cã:

2 2

2

2 1 1

t t A

t t

 

VÝ dô 14

Cho x,y khác 0 và thoả mãn:x2 y2 2x y y x2  2 Tìm GTLN,GTNN của

2 1

S

x y

 

Hướng dấn: đặt y=tx, Từ giả thiết ta có

2

x t x x tx t x x

Suy ra: 22 1

2

t

x





2 2

y tx t

t



Vậy ( ) 25

1

t

f t

t



 KSHS ,Đ/s: MaxS=9/2; minS=-1/2

4

xyz

x y z   T×m GTNN cña:

4

x y z xyz S

xy yz zx

  



Lêi gi¶i:

Tõ B§T: x2 y2 z2 xy yz zx  ta cã: 2 24 2

x y z xyz S

x y z

  



Thay :4(x2 y2 z2 ) 1 16   xyz vµ sö dông C«si ta cã:

3

2 2 2

4

xyz xyz

x y z xyz

S

x y z xyz



  

§Æt t 3 xyz DÔ thÊy t>0 Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu, ta t×m ®iÒu kiÖn cho t:

Ta cã 1 16  xyz 4(x2 y2 z2 ) 4.3 (  3 xyz) 2 Hay : 1 16  t3  12t2  16t3  12t2   1 0

Sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö hoÆc sö dông ph¬ng ph¸p KSHS ta cã:

2

Bµi to¸n trë thµnh: T×m GTNN của hµm sè

3

t t

f t t

t

§¸p sè: Min S=13

18 §¹t khi x=y=z=1/4.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

B

à i 1 Cho ABC : 0 A B C   90 0

2 cos

C C C

2

C  C §Æt x=cosC, Kh¶o s¸t hµm sè ta cã §PCM

2

x   CMR x x x x

HD: C¸ch1: ln ln( 1)

1

n n

n n



 ; xÐt hµm f(x)=1/x

Bµi4(QGA-2000): Choa,b,c lµ c¸c sè thùc t/m a+b+c=0 CMR

HD : (2 )a 3 2a (2 )b 3 2b (2 )c 3 2c 0

Xet hµm f(x)=x3-x víi x 0;  Chøng minh hµm lâm

B

à i 5 : CMR :  a 1 lna2  2a 2  1 lna2  1:

HD :   2   2  2

2

1

a a

a a e a e

a

 KSHS có ĐPCM

Bài 6: Cho x,y là các số thực thoả mãn : xy 1& 2x2  3y2  5.

2

P xy

xy



HD :  2  2 3 2

2 3

4

x y

x y



Vậy: ĐK là 1 xy 3 KSHS 2

2

P t

t

 Với 1  t 3

Bài7:Cho x,y là hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x2+y2=2 Tìm GTLN,GTNN của

P 2x3 y3 3xy ( CĐ A-2008)

a b  CM      

    ( ĐH khối D-2007)

 Ta cú : (đpcm)   a b  b a ln(4 + 1)a ln(4 + 1)b

 Xột hàm số : f(x) = ln(1 + 4 )x

x với x > 0 

'

2 x

4 ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )

 f(x) là hàm số luụn nghịch biến trờn khoảng (0; + )

 Khi đú : a ≥ b > 0  f(a) ≤ f(b) ln(4 + 1)a ln(4 + 1)b

4

f t  t  t t  

M  3(a b2 2 c b2 2 a c2 2 ) 3(  ab bc ca  ) 2  a2 b2 c2

HD: 3( 2 2 2 2 2 2 )  2

bunhia

a b c b a c  ab bc ca 

Đặt t ab bc ca   Có 3( )  2 1 0 1

3

ab bc ca   a b c     t

2

M f t  t t  t Với 1

0

3

t

  Min M=2

B

à i10 : Cho a, b là cỏc số thực thỏa món : 0 < a < b < 1

Chứng minh rằng : a lnb - b lna > lna - lnb 2 2