ĐẶT VẤN ĐỀTrong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã được trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tuy nhiên kỹ năng
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“DẠY HỌC ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI
TOÁN CỰC TRỊ”
Trang 2I ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã được trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tuy nhiên
kỹ năng áp dụng phương pháp này vào giải quyết các bài toán tìm cực trị của một biểu thức có nhiều biến số, hoặc chứng minh một bất đẳng thức của đa số học sinh còn nhiều hạn chế Nguyên nhân là bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị là một dạng toán khó mà thời lượng trong chương trình lại còn ít Kiến thức dàn trải suốt cả ba năm học THPT gây khó khăn cho học sinh trong việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình thành phương pháp cho bản thân Thông thường , khi gặp bài toán trên học sinh thường hoang mang, không biết lựa chọn phương pháp phù hợp Vì vậy, việc làm phong phú thêm các phương pháp giải dạng toán trên là một việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện
tư duy, kỹ năng và thay đổi thái độ của học sinh khi tiếp cận dạng toán trên, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán THPT
Xuất phát từ những suy nghĩ trên, tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học
áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị” Đó là những kinh nghiệm của bản thân được đúc rút trong quá trình giảng dạy môn Toán ở các lớp thuộc Ban Khoa học tự nhiên
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Cơ sở lý luận của vấn đề:
1.1 GTLN, GTNN của hàm số.
- Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D
+
( ),
m ax ( )
D
x D M f x
+
( ), min ( )
D
m f x x D
x D m f x
- Định lý: Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b; thì luôn tìm được GTNN, GTLN của hàm số trên a b;
1.2 Sử dụng khảo sát hàm số tìm GTLN,GTNN của hàm số
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN ( nếu có ) của hàm số y=f(x) với x D
Phương pháp:
Trang 3Quy tắc 1:Trường hợp tổng quát ( Khi D không là một đoạn)Tiến hành theo các bước
+ Tính đạo hàm của hàm số + Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D
+ Căn cứ vào bảng biền thiên để kết luận về GTLN,GTNN
Quy tắc 2: Trường hợp đặc biệt: D a b; , tiến hành theo các bước:
+Tính đạo hàm của hàm số, + Tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc a b; ( là các điểm thuộc TXĐ mà tại đó, đạo hàm triệt tiêu hoặc không xác định)
+ Tính GT của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các điểm a,b
+ So sánh các GT tìm được để kết luận
1.2 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp:
+ Bất đẳng thức Cô-si: Với a1;…an là các số thực không âm, ta có:
a a a n a a a ; đẳmg thức khi a1 a2 a n
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Với hai bộ số thực a a1 , , 2 a n và b b1 , , 2 b n, ta có
a b a b a b a a a b b b
Đẳng thức có khi hai bộ số tương ứng tỷ lệ
+ Tập giá trị của hàm số: Cho hàm số yf x( ) với tập xác định D, tập giá trị của hàm số là :T y | x D y: f x( )
Hay : T={y : phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm
2 Thực trạng của vấn đề:
Khi giải quyết bài toán tìm cực trị của một biểu thức bằng phương pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số, thực chất là đi xác định tập giá trị của biểu thức, của hàm số với điều kiện cho trước Căn cứ vào đặc trưng của biểu thức ( Tính đối xứng của các biến, điều kiện của các biến có tính đẳng cấp với các biến…) để tiến hành đổi biến, học sinh thường gặp các khó khăn và hay mắc các sai lầm sau:
Sai lầm:
Trang 4- Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là khi D không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT của hàm số)
- Khi áp dụng quy tắc 2, học sinh thường tính thừa các giá trị hàm số tại các điểm tới hạn, không loại đi các điểm tới hạn không thuộc a b; ,dẫn đến kết quả sai
Khó khăn :
- Không linh hoạt khi chuyển biểu thức cần tìm cực trị về dạng hàm một biến qua phép đặt biến phụ
- Khi đặt được biến phụ, thường không các định được miền GT của biến phụ theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết quả
3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết.
3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN.
- Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh là GTLN, GTNN của hàm số đạt được trên tập D phải là GT của hàm số tại ít nhất 1 điểm của tập D Do đó, khi tìm được GTLN, GTNN của hàm sô, nhất thiết phải chỉ ra giả trị đó đạt tại điểm nào trên tập hợp D
- Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo các bước, áp dụng từng TH cụ thể khi tập
D là hay không là một đoạn
- Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ năng lập bảng BT của hàm số, xác định TGT của hàm số dựa trên BBT
- Hình thành và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào bài toán tìm cực trị của biểu thức hai biến, ba biến:
+ Kỹ năng đổi biến số:
+ Kỹ năng tìm điều kiện của biến mới thông qua các con đường: Đánh giá nhờ các bất đẳng thức, phương pháp miền giá trị, phương pháp dùng BBT…
+ Kỹ năng sử dụng công cụ hàm số để xác định tập giá trị của hàm
- Đưa ra các ví dụ mẫu điển hình có phân tích lời giải, hệ thống bài tập đa dạng hình thức, phong phú về nội dung, phù hợp về mức độ , giúp học sinh được tự rèn luyện kỹ năng từ
dễ đến khó
3.2 Hệ thống ví dụ và bài tập
a Tìm cực trị hàm một biến
GV cần lưu ý cho học sinh:
Trang 5- Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN trên tập nào? ( Xác định D)
- Chọn cách giải phù hợp khi D là một đoạn, D không là một đoạn
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 1 3x2 6x 9
3x 6x 9 0 x 1;3
( D là một đoạn) Tính đạo hàm: ' 3 2 62 9 3 3
y
Tìm các điểm tới hạn thuộc 1;3 : y' 0 3x2 6x 9 3 x 3 x 2
Tính giá trị của hàm tại các điểm đầu mút, tại các điểm tới hạn: f( 1) 0; (3) 4; (2) 6 f f
So sánh, kết luận: max f 6 khi x =2; min f = 0 khi x =-1
Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = 2 1
1
x x
Lời giải: TXĐ: D = R
Ta có : y’=
1 1
x x
; y’= 0 x 1 BBT:
thiên hàm số:
2
1 Dựa vào BBT, GTLN cña hàm số bằng 2 đạt khi x=1
Không có giá trị nhỏ nhất của hàm số /D
NHẬN XÉT:
Trang 6Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là khi D không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền
GT của hàm số).
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y= 2
3 2 / 10;10
Lời giải:
Cách 1: +) Đánh giá y 0 x R Dấu bằng xảy ra khi x =1 hoặc x =2 thuộc đoạn
10;10 Vậy GTNN của hàm số bằng 0 khi x =1 hoặc x =2
+) Lập BBT của hàm số y = 2
3 2 / 10;10
x x Từ đó kết luận GTLN của hàm số bằng 132 khi x =-10
Cách 2: Lập BBT của hàm số y = 2
x x / 10;10
2
f’ - + 0 - +
0
1
72
Kết luận giá trị LN, NN như cách 1.
NHẬN XÉT:
Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Điểm đạo hàm không tồn tại x =1, x =2.
Hoặc kết luận giá trị nhỏ nhất sai
b Tìm cực trị của hàm một biến phức tạp hoặc biểu thức có nhiều hơn một biến
Giáo viên lưu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có được một hàm số với biến mới ở dạng đơn giản hơn
Chú ý:
-Nếu biểu thức có dạng đối xứng với từng biến thì nó luôn được biểu diễn được qua tổng hai biến và tích biến
Trang 7-Nếu điều kiện là một biểu thức đẳng cấp theo từng vế ( Tốt nhất là chênh nhau một bậc) Thì bằng phép đặt ẩn phụ x=ty ta luôn tính được x,y theot.
Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2
1
y x
Ta có:
2
( 1)
y
Đặt 2
1
x
t
x
Để tìm điều kiện của t, có thể sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phương pháp miền giá trị như sau:
Cách1: Dùng BĐT Cô-si
+ Với x=0 thì t=0.
+ Với x 0, xét
2
2 2
x
Cách2: t là một GT của biểu thức Phương trình 2
1
x t x
ẩn x có nghiệm
tx x t
Bài toán trở thành: Tìm GTLN,GTNN của hàm g t( ) t2 t; 1 1
;
2 2
t
Hàm đạt cực tiểu tại: 1
2
t
g g GTLN GTNN
Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 4 21 2 21 2 3
y
Điều kiện: 1 x 1
t x x
Tìm điều kiện của t:
Trang 8Cách1: Dùng BĐT
Theo Bunhia ta có: ( 1 x2 1 x2 2 ) 2 1 x2 1 x2 4 t 2
Cũng có: t2 ( 1 x2 1 x2 2 ) 2 2 1 x4 2 t 2.Vậy t 2;2
Cách2: Khảo sát hàm t 1 x2 1 x2
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1
1
t t y
t
, với t 2;2
Kết quả: Maxy=7
3 tại x=0; Miny=2 2 1 tại x=1
Ví dụ 6: Cho x,y là hai số thực dương thoả mãn 4x+9y=6 Tìm GTLN của 2 1
2
xy
Hướng dẫn
Cách 1: Rút xy theo x rồi thế vào P, thu được hàm một biến số
Cách 2: Coi xy là biến số, vậy phải tìm điều kiện cho xy :
- Có thể thông qua đánh giá: 6 4 9 2 4 9 12 1 1
2 4
của xy là:0 1
4
xy
- Có thể sử dụng phương pháp miền giá trị: Tìm điều kiện của t để hệ sau có 2nghiệm dương : 4xy t x6y6
4
xy
Khảo sát hàm số : ( ) 2 1 ;
2
t
Với 0 1
4
t
Ví dụ 7:
Cho cos 2x cos 2y 1, x y, ; Tìm GTNN của biểu thức A tan 2x tan 2y
Lời giải:
Biến đổi biểu thức A để sử dụng được điều kiện:
cos cos
1 cos 2x 1 cos 2y
Trang 9Điều kiện đã cho biến đổi thành: 1 cos 2 x 1 cos 2y 3, x y,
Đặt t 1 cos 2x 1 cos 2 y 3 t,
điều kiện: cos 2y 1 cos 2x 2 (1 cos 2 ) 2 x t 1;1 1 t 3
Xét hàm số : ( ) 1 1
3
f t
Bảng biến thiên hàm số:
2
3
f
4 3
Dùa vµo BBT, GTNN cña A b»ng 2
3 đạt khi cos 2 1
2
x
Ví dụ 8: Cho a, b dương t/m:a 2 +b 2 =1 Tìm GTLN của biểu thức M ab 2
a b
Cách1:
Theo Cô- si ta có: a b 2 ab Dấu’=’ Khi a=b Do đó: M ab 2 2 ab 2
a b
GTLN của M là GTLN của hàm ( ) 2 1. 2
2 2 2 1
f t
2
t
Khảo sát hàm số ( ) 2 1. 2
2 2 2 1
f t
;0 2
2
t
Là hàm luôn đồng biến và liên tục trên 2
0;
2
2 1 ( ) ( )
2 2 2 2
f t f
1 max
2 2 2
M
Trang 10Lại theo Bunhia: a b2 2(a2 b2 ) 2 a b 0 0 a b 2
Đặt t a b t 0; 2
1
( )
4
M g t ; Với : ( ) 2
2
t
g t t
2 ( 2) 4 '( )
g t
: g(t) luôn đồng biến trên 0; 2
4 2(2 2)
Ví dụ 9: Cho x;y là các số thực thoả : x2 y2 xy 3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
M x4 y4 4xy x y 3 3
HD: Từ GT suy ra x2 y2 3 xy Thế vào ta có M x2 y22 2x y2 2 4xy x y 3 3
=3 xy2 2x y2 2 4xy x y 3 3.
= x y3 3 x y2 2 2xy 9
Đặt t=xy Để tìm điều kiện của M ta có hai cách sau:
Cách1: Tìm t sao cho hệ sau đây có nghiệm :
xy t
Cách 2: Từ điều kiện đầu bài ta có: 3 xy x 2 y2 2xy 3xy 3 xy 1
(x y ) 2 2xy xy 3 xy (x y ) 2 3 3
Vậy t 3;1
Bài toán trở thành tìm GTLN; GTNN của hàm số: f t( ) t3 t2 2t 9; t 3;1
Khảo sát hàm số f t( ) t3 t2 2t 9; t 3;1 ta có kết quả
Ví dụ 10( Khối D- 2009) Cho x,y là hai số thực không âm thoả mãn : x+y=1 Tìm
GTLN, GTNN của biểu thức S (4x2 3 )(4y y2 3 ) 25x xy
2
2
1 2
2 2 4 2
a b
a b ab
M
Trang 11Ta có: S 16( )xy 2 12(x3 y3 ) 34 xy 16( )xy 2 12 ( x y ) 3 3 (xy x y ) 34xy.
Thay x+y=1, Ta có S 16( )xy 2 12(1 3 ) 34 xy xy 16( )xy 2 2xy 12
Đặt t=xy Dễ thấy 0;1
4
t
Xét hàm số f t( ) 16 t2 2t 12 với 0;1
4
t
có kết quả GTNN bằng 191
16 ; GTLN bằng 25
12
Ví dụ 11: Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho : 2(x2 + y2) - xy = 1
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức : P = x + y4 4
2xy + 1
Nhận xét : 1 = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy xy ≤ 13
1 = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy xy ≥ 15
Và :
2
2 2
xy + 1
- 2x y
x + y (x + y ) - 2x y 2 -7(xy) + 2xy + 1
P = = = = 2xy + 1 2xy + 1 2xy + 1 8xy + 4
Khi đó, đặt : t = xy , đk : t 1 1;
5 3
Bài toán đưa về tìm GTNN và GTLN của hàm số : f(t) = -7t + 2t + 12
8t + 4 với t 1 1;
5 3
2
2
t = -1 (loai) 56t - 56t
f (t) = ; f (t) = 0 56t - 56t = 0
t = 0 (8t + 4)
f(- ) = 1 2 , f( ) = 1 2 , f(0) = 1
5 15 3 15 4
Vậy :
1 1
- ;
5 3
1
x + y = 1
Max P = Max f(t) = 2
4 xy = 0
1 1
- ;
5 3
x + y = x + y =
Min P = Min f(t) = .
15
xy = xy =
Trang 12Ví dụ 12
Cho x2 + xy + y2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
S = x2 xy + y2
Giải Xét y = 0 x2 = 3 S = 3 là 1 giá trị của hàm số
Xét y 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
2
y
u(t2 + t + 1) = t2 t + 1 (u 1)t2 + (u + 1)t + (u 1) = 0 (*)
+ Nếu u = 1, thì t = 0 x = 0, y = 3 u = 1 là 1 giá trị của hàm số
+ Nếu u 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình (*) có nghiệm t = (3u 1)(3 u) 0 1 1 3
3 u
Vậy tập giá trị của u là 1 ,33
3
u ; Max u = 3
Min S = 1 Min 1
3
3
x y
x y
Ví dụ13(ĐHA-2006) Cho x,y *
thoả mãn x y xy x 2 y2 xy
Tìm GTLN của 3 3
1 1
A
BG :
2 2 2 2
1 1
A
Đặt x=ty, từ x y xy x 2 y2 xy, suy ra t 1ty3 t2 t 1y2
1
Trang 13Thay vào A ta có:
2 2
2
2 1 1
A
t t
Ví dụ 14
Cho x,y khác 0 và thoả mãn:x2 y2 2x y y x2 2 Tìm GTLN,GTNN của S 2 1
x y
Hướng dấn: đặt y=tx, Từ giả thiết ta có
2
x t x x tx t x x
Suy ra: 22 1
2
t x
t t
2 2
y tx t
t
t t
Vậy ( ) 25
1
t
f t
t
KSHS ,Đ/s: MaxS=9/2; minS=-1/2
Ví dụ 15: Các số dương x,y,z thoả mãn: 2 2 2 1 16
4
xyz
x y z Tìm GTNN của:
S 1 4(x y z 4xyz)
xy yz zx
Lời giải:
Từ BĐT: x2 y2 z2 xy yz zx ta có: 2 2 2
4
1 4( )
S
Thay :4(x2 y2 z2 ) 1 16 xyz và sử dụng Côsi ta có: 2 24 2 33 4
1 4( ) 2(1 8 )
xyz xyz
S
Đặt t 3 xyz Dễ thấy t>0 Từ điều kiện ban đầu, ta tìm điều kiện cho t:
Ta có 1 16 xyz 4(x2 y2 z2 ) 4.3 ( 3 xyz) 2 Hay : 1 16 t3 12t2 16t3 12t2 1 0
Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng phương pháp KSHS
ta có:
2
16 12 1 0 0 0
t t t t t
Bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số
Trang 143 4 1
( ) ; 0;
2(1 8 ) 4
t
Đáp số: Min S=1318 Đạt khi x=y=z=1/4
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 Cho ABC : 0 A B C 90 0
CMR:2cos3 4cos 2 1 2
cos
C
60 cos (0; ]
2
C C Đặt x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM
Bài 2 (ĐH Lâm nghiệp) : Cho 0; ; : tan 7 cot 7 tan cot
2
HD: (tan 3x cot )(tan 3x 4x cot 4 x) 2(tan x cot ) 0x
Đặt t tanx cot ;x d k t/ : 2
Bài 3 (An ninhA-2000): Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.
HD: Cách1: lnn n ln(n n11)
; xét hàm f(x)=1/x
Bài4(QGA-2000): Choa,b,c là các số thực t/m a+b+c=0 CMR8a 8b 8c 2a 2b 2c
HD : (2 )a 3 2a (2 )b 3 2b (2 )c 3 2c 0
Xet hàm f(x)=x3-x với x 0; Chứng minh hàm lõm
Bài 5: CMR : a 1 lna2 2a 2 1 lna2 1:
2
2 2
ln 2 2 ln( 1 )
1
a
Bài 6: Cho x,y là các số thực thoả mãn : xy 1& 2x2 3y2 5.
2
xy
Trang 15HD : 2 2 3 2
2 3
4
4 6xy 12 6 xy 3
Vậy: ĐK là 1 xy 3 KSHS 2 1 2
2
t
Với 1 t 3
Bài7:Cho x,y là hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x2+y2=2 Tìm GTLN,GTNN của
P 2x3 y3 3xy ( CĐ A-2008)
a b CM
( ĐH khối D-2007)
Ta có : (đpcm) a b b a ln(4 + 1)a ln(4 + 1)b
4 + 1 4 + 1
Xét hàm số : f(x) = ln(1 + 4 )x
x với x > 0
4 ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )
f (x) = < 0 , x (0; + )
x (1 + 4 )
f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0; + )
Khi đó : a ≥ b > 0 f(a) ≤ f(b) ln(4 + 1)a ln(4 + 1)b
( ) 16 2 12, 0;
4
f t t t t
Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=1 Tìm Min
M 3(a b2 2 c b2 2 a c2 2 ) 3( ab bc ca ) 2 a2 b2 c2
HD: 3( 2 2 2 2 2 2) 2
bunhia
a b c b a c ab bc ca
Đặt t ab bc ca Có 3( ) 2 1 0 1
3
ab bc ca a b c t
2
( ) 3 2 1 2
M f t t t t Với 0 1
3
t
Min M=2
Bài10 : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : 0 < a < b < 1
Chứng minh rằng : a lnb - b lna > lna - lnb 2 2
(TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009)
