DE THI HSG TOAN 9 20122013

Chứng minh rằng: n2 + d không là số chính phương.. Tìm giá trị nhỏ nhất của..[r]

TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG

- ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LẦN 1 Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 150 phút

-Bài 1: ( 2.0 điểm)

Cho x và y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: x y 3 xy x3 3y2

Chứng minh rằng: 1 xy là một số hữu tỉ

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn: 1 2 100

Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau

Bài 3: ( 2.0 điểm)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC Trên đoạn AD lấy điểm P sao cho BPC900; trên đoạn BE lấy điểm Q sao cho AQC900

Chứng minh rằng: Tam giác CPQ là tam giác cân

Bài 4: ( 1,5 điểm)

Cho n là số tự nhiên và d là ước nguyên dương của 2n2 Chứng minh rằng: n2 + d không là

số chính phương

Bài 5: (2,5 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức :

P 14( a b c ) ab bc ca

a b b c c a

 

Hết

-ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ THANG ĐIỂM

1

+) Nếu x0 hoặc y0 thì 1 xy 1 là số hữu tỉ

+) Nếu x0 và y0: T ừ giả thiết ta có:

3 3

4

1 1

2

xy

là số hữu tỉ

0.5 0.5 1.0

2

Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho đó không có hai số nào bằng nhau

Ta có:

1 2( 2 1 3 2 100 99) 19

Mâu thuẫn với giả thiết Vậy điều giả sử sai

Vậy tồn tại hai số bằng nhau

0.5 0.5

0.5 0.5

3

D

E

C

P

Q

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Trong tam giác vuông AQC có: CQ2 = AC.CE

Trong tam giác vuông BPC có: CP2 = BC.CD

Mặt khác: ACDBCE (g.g) nên

BC CE suy ra: AC.CE = BC.CD

Do đó: CQ2 = CP2 hay CQ = CP nên PCQ cân tại C

0.5

0.5 0.5

0.5

4 Giả sử n2 + d = m2 ( m  N) (*).Vì d là ước dương của 2n2 nên 2n2 = k.d (k  N)

suy ra: d =

2

2n

k

Thay d =

2

2n

k vào (*) ta có: n2 +

2

2n

k = m2  n2.k2 + 2n2k = m2k2

0.5 0.5

Từ đó suy ra: k2 + 2k =

2 (mk)

n là số chính phương Nhưng k2 < k2 + 2k < (k+1)2 nên k2 + 2k không thể là số chính phương, mâu thuẫn

Vậy: n2 + d không là số chính phương

0.5

Ta có:

a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 +

bc 2 + ca 2

Theo BĐT AM-GM thì:

a 3 + ab 2

 2a 2 b; b 3 + bc 2

 2b 2 c; c 3 + ca 2

 2c 2 a Suy ra a 2 + b 2 + c 2

 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a)

Suy ra

P 14( a b c ) ab bc ca

 

  Đặt t = a2 + b2 + c2 Theo BĐT B.C S thì: 3(a 2 + b 2 + c 2 )  (a +b + c) 2 = 1

Do vậy: t 

1

3 Khi đó:

3(1 ) 27 3 3 1 1 27 3 3 23

t



Vậy MinP =

23

3 khi a = b = c =

1 3

0.5

0.5

0.5

0.5 0.5