[r]
Trang 1Phòng GD & Đt bỉm sơn Đề thi học sinh giỏi lớp 8
TR ờng thcs xi măng năm học 2008-2009
môn toán : Thời gian 150phút ( Không kể thời gian giao đề bài )
Ngời ra đề : Triệu Quốc Khênh
-Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố
b, B = n4 +3 n 3 +2 n 2 +6 n −2
n2 +2 Có giá trị là một số nguyên.
c, D= n5-n+2 là số chính phơng (n 2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :
a, a
ab+a+1+
b
bc+b+1+
c
ac+c+1=1 biết abc=1
b, Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c, a2
b2 +b2
c2 +c2
a2≥ c
b+
b
a+
a c
Câu 3: (5điểm) Giải các phơng trình sau:
a, x −214
86 +
x − 132
84 +
x −54
82 =6
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng
Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0
kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC
b Chứng minh: 1
AB +
1
CD=
2 EF
c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF
-Hết -Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 08-09 THCS Xi Măng
Câu Nội dung bài giải Điểm
a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A là số nguyên tố thì n-1=1 ⇔ n=2 khi đó A=5 0,50,5
Trang 2Câu 1
(5điểm)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
b, (2điểm) B=n2+3n- 2
n2
+ 2
B có giá trị nguyên ⇔ 2 ⋮ n2+2
n2+2 là ớc tự nhiên của 2
n2+2=1 không có giá trị thoả mãn
Hoặc n2+2=2 ⇔ n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên
c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) [(n2− 4)+5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)
Và 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 Vậy D chia 5 d 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng
Câu 2
(5điểm)
a, (1điểm) a
ab+a+1+
b
bc+b+1+
c
ac+c+1=¿
ac
abc+ac+c +
abc abc2+abc+ac+
c
ac+c +1
= ac
1+ac+c+
abc
c +1+ac+
c
ac+c +1=
abc+ac+1 abc+ac+1=1
0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5
0,5 0,5 0,5 0,5
b, (2điểm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2=
-2(ab+ac+bc)
⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Từ (1)và(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu bằng khi x=y
a2
b2+
b2
c2≥ 2
a
b.
b
c=2
a
c ;
a2
b2+
c2
a2≥ 2
a
b.
c
a=2
c
b ;
c2
a2+
b2
c2≥ 2
c
a.
b
c=2
b a
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2(a
2
b2+
b2
c2+
c2
a2)≥2(
a
c+
c
b+
b
b2+
b2
c2+
c2
a2≥
a
c+
c
b+ b a
Trang 3Câu 3
(5điểm)
a, (2điểm) x −214
86 +
x − 132
84 +
x −54
82 =6
⇔ (x −214
x − 132
x − 54
82 − 3)=0
⇔ x −300
86 +
x −300
84 +
x −300
82 =0
⇔ (x-300) (861 +
1
84+
1
82)=0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 Vậy S = { 300 }
1,0 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔
k= 8,5±
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒ x=
1
2; x=
− 1
4
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 vô nghiệm
Vậy S = {12,
−1
4 }
c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 và x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1
Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1)
Câu 4
(5điểm)
a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒ S DAB=S CBA
(cùng đáy và cùng đờng cao)
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC
b, (2điểm) Vì EO//DC ⇒ EO
DC=
AO
AC Mặt khác AB//DC
DC=
AO
OC ⇒AB
AB+BC=
AO AO+OC ⇒AB
AB+BC=
AO
AC ⇒EO
DC=
AB AB+DC
2 DC=
AB AB+DC⇒AB+DC
AB DC =
2
EF ⇒ 1
DC+
1
AB=
2 EF
c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng
thẳng KN là đờng thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì
SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) và(2) ⇒ SDEKN=SKFN
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5 1,0 1,0
C D
O
I M N