Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm):
a Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
b Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết
cho 19
Câu 2 (4,0 điểm):
a Cho
2
y
A
Biết xyz = 4, tính A
a b c
x y z Chứng minh rằng:
a b c
Câu 3 (3,0 điểm):
Giải phương trình: x2 +
2 2
x
Câu 4 (7,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
a) Tính tổng HA ' AA '+HB'
HC'
CC '
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức Ơ¿ ¿đạt giá trị nhỏ nhất?
2 Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Chứng minh rằng:
a) BD.CE = 4
2
BC
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
Câu 5 (2,0 điểm):
Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:
T = 3
a
a b c + 3
b
b a c +3
c
c b a
3 5
Hết
PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp 9
Trang 2Năm học 2013 - 2014
(Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi)
Câu 1 (5,0 điểm):
a (3,0 điểm)
Ta có:
n+24=k2
n −65=h2
¿ {
¿
¿
⇔ (k − h) (k +h )=89=1 89
⇔
k +h=89
k −h=1
⇒
¿k =45
h=44
¿ {
Vậy: n = 452 – 24 = 2001
b (2,0 điểm)
Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n 6 = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n 6 = 6.A(k) + 7.52k 19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
Câu 2 (6,0 điểm):
a (3,0 điểm)
ĐKXĐ x,y,z 0 Kết hợp xyz = 4 x y z, , 0; xyz 2
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x, thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi
xyz ta được
2
1
xy
A
Suy ra A 1 (vì A>0)
b (3,0 i m) điểm) ểm)
Từ :
ayz+bxz+cxy
ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
2
a b c a b c
Trang 32 2 2
dfcm
Cõu 3 (1,0 điểm):
ĐK: x - 1
( x - 1
x
x )2 = 3 – 2
2
1
x
x (
2
1
x
x )2 + 2
2
1
x
x - 3 = 0
=>
2
1
x
x = 1 => x1,2 =
2
Hoặc
2
1
x
x = -3 vụ nghiệm
Cõu 4 (6,0 điểm)
1 (3,0 điểm):
a) (1,0đ) SHBC
SABC=
1
2 HA ' BC 1
2 AA ' BC
AA '
Tương tự:SHAB
SABC=
HC '
SABC=
HB '
BB '
HA ' AA '+HB '
HC'
SHBC
SABC+
SHAB
SABC+
SHAC
SABC=1
b) (1,0đ) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BIIC= AB AC; AN NB= AI BI ; CM MA= IC AI
BI IC . AN NB . CM MA= AB AC. AI BI . IC AI= AB AC. IC BI=1 ⇒BI AN CM=BN IC AM
c) (1,0đ) Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
- Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD
- ΔBAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 - Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 Ơ¿ ¿
Đẳng thức xảy ra ⇔BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔AB = AC =BC⇔ΔABC đều * Kết luận đỳng
2 (3 điểm): a) (1 điểm) Trong tam giác BDM ta có : ^D1=1200− ^ M1 Vì ^M2= 600 nên ta có: ^M3=120 0− ^ M1 Suy ra ^D1= ^M3
Chứng minh Δ BMD~ Δ CEM (1)
Suy ra BD
CM
CE , từ đó BD.CE = BM.CM
3 2 1
2 1
x
y
E D
B
A
B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D
⇔
Trang 4Vì BM = CM = BC
2 , nên ta có BD.CE =
b) (1 điểm) Từ (1) suy ra BD
MD
EM mà BM = CM nên ta có
BD
MD
EM
Từ đó suy ra ^D1= ^D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED c) (1 điểm) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận
Cõu 5 (2,0 điểm):
Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a
=> x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c
=> 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ;
=> 10T =
x
+
y
+
z
= = 12 – (
y
x +
z
x +
x
y +
z
y +
x
z +
y
z ) 12 -6 =6 => T
3 5
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
_