Tính chính quy
Một độ đo trên không gian Metric là một hàm tập hợp có tính đếm được trên lớp các tập Borel BX, thỏa mãn điều kiện μ(X) = 1 Định nghĩa 1.1 cho biết rằng nếu μ là một độ đo trên không gian Metric X, thì tập Borel là một phần quan trọng trong việc xác định các tính chất của độ đo này.
A⊆X được gọi là à−chớnh quy nếu à(A) = sup à(C) :C ⊆A, Cđúng
Trong lý thuyết đo lường, một tập hợp A trong không gian Metric X được gọi là chớnh quy nếu nó thuộc tập Borel và tồn tại các tập mở U ε và tập đóng C ε với ε > 0 Điều này có nghĩa là A là chớnh quy khi mọi tập Borel đều được coi là à−chớnh quy.
(ii) à(Uε−Cε)< ε. Định lý 1.2 Cho X là một khụng gian Metric vààlà độ đo bất kỡ trờn X Khi đú à là chớnh quy.
Chứng minh Kớ hiệuB={A⊂X : A−à chớnh quy}
Bởi vì φ và X đều thuộc tập B, nên B vừa là tập đóng vừa là tập mở Tập B cũng đóng đối với phép lấy phần bù Cụ thể, với A thuộc B và ε > 0, tồn tại tập mở U ε chứa A và tập đúng C ε nằm trong A, sao cho khoảng cách giữa U ε và C ε nhỏ hơn ε.
Vậy B đóng đối với phép lấy phần bù Ta chứng minh B đóng đối với phép hợp đếm được Thật vậy, cho A 1 , A 2 , ∈B, A ∞
A i Cho ε > 0 cố định nhưng tùy ý Do A n ∈ Bnên tồn tại tập mở U n,ε và tập đóng C n,ε sao cho C n,ε ⊆ A n ⊆U n,ε và à(U n,ε −C n,ε )< 3 ε n Đặt U ε ∞
C n,ε Do à là một độ đo nờn ta cú thể chọn một số k đủ lớn đểà(C− k
Cn,ε Khi đó Uε− là tập mở, C ε − là tập đóng,C ε ⊆A⊆U ε và à(Uε−Cε)≤à(Uε−C) +à(C−Cε)
Nếu A là một phần tử của B, thì B là một σ-đại số Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng B chứa tất cả các tập đóng Với C là một tập đóng thuộc X và ε > 0, ta có C là một G σ Do đó, tồn tại các tập mở U1, U2, sao cho U1 bao gồm U2 và tiếp tục như vậy cho đến vô cùng.
Giá của một độ đo
Định lý 2.1 Cho X là một khụng gian Metric tỏch được và à là một độ đo trờn
Khi tồn tại một tập đúng C thỏa mãn các điều kiện sau: i) à(C) = 1, ii) Nếu D là tập đúng nào đó sao cho à(D) = 1 thì C ⊆ D Hơn nữa, C là tập hợp tất cả các điểm x∈X sao cho à(U) > 0 với mọi tập mở U chứa x.
Chứng minh ĐặtU={U:U mở,à(U) = 0} Bởi vỡ X là tỏch được⇒cú nhiều đếm được các tập mởU 1 , U 2 , sao cho S n
Nếu \( U_n \subseteq P_n \) và \( a(U_n) = 0 \) thì \( a(C_a) = 1 \) Hơn nữa, nếu \( D \) là tập đúng thỏa mãn \( a(D) = 1 \), thì \( a(X - D) = 0 \), dẫn đến \( X - D \in U \) và \( X - D \subseteq U_a \), từ đó suy ra \( C_a \subseteq D \) Tính duy nhất của \( C_a \) là hiển nhiên Để chứng minh khẳng định cuối cùng, chú ý rằng với \( x \in X - C_a \), \( U_a \) là một tập mở chứa \( x \) và \( a(U_a) = 0 \) Ngược lại, nếu \( x \in C_a \) và \( U \) là một tập mở chứa \( x \), thì \( a(U) > 0 \); nếu không, thì \( U \subseteq U_a \) (theo định nghĩa của \( U_a \)) Định nghĩa 2.1: Tập đúng \( C_a \) trong định lý 2.1 được gọi là giỏ của \( a \).
Hệ quả 2.1 cho biết rằng nếu X là một không gian Metric và a là một độ đo trên X, với E ⊆ X là tập Borel tách được và a(X − E) = 0, thì a có một giá trị tách được và Cà ⊆ E.
Tính chất Radon
Chúng ta sẽ tìm hiểu về một loại độ đo đặc biệt trong không gian Metric, đó là các độ đo chặt Các độ đo chặt được xác định dựa trên giá trị của chúng đối với các tập compact Định nghĩa 3.1 nêu rõ rằng một độ đo trên không gian Metric X được coi là chặt nếu
Trong không gian Metric X với độ đo chặt à, tồn tại một tập compact K ε ⊆ E cho mọi tập Borel E và ε > 0, sao cho độ đo của phần còn lại à(E−K ε ) nhỏ hơn ε Điều này được thể hiện qua Định lý 3.1, khẳng định rằng với mỗi ε > 0, có một tập compact K ε ⊆ X thỏa mãn điều kiện à(X−K ε ) < ε.
Chứng minh Giả sử K n là một tập compact sao cho à(X −K n ) < n 1 Một tập compact trong một không gian metric là tách được và do đó S n
K n ⇒à(E 0 ) = 1 Do đú khẳng định thứ nhất được suy ra từ hệ quả
2.1 Bây giờ giả sửE ∈BX Theo định lí 1.2, tồn tại một tập đóngC ε ⊆E sao cho à(E−C ε )< ε 2 Với N đủ lớn,à(X−K N )< ε 2 ĐặtK ε =C ε ∩K N Bởi vỡC ε đúng ,
Bổ đề 3.1 Cho X là một không gian Metric đủ và K ⊆X, K- đóng Giả sử với mỗi n, tồn tại một số nguyên k n sao cho K ⊆ k n
S_n^j là hình cầu đóng với bán kính n trong không gian metric X Định lý 3.2 khẳng định rằng nếu X là một không gian metric tách được và tồn tại một không gian metric tách được khác X ∼, thì X có thể được coi là một tập con tụ trong X ∼ và là một tập con Borel của X ∼ Khi đó, mọi độ đo trên X sẽ là chặt chẽ Đặc biệt, nếu X là không gian metric tách được và đầy đủ, thì mọi độ đo trên X cũng sẽ là chặt chẽ.
Giả sử X là một tập con Borel của không gian metric tách được và đầy đủ X ∼ Đối với một độ đo đã cho trên BX, ta định nghĩa một độ đo mới trên lớp B X ∼ bằng cách thiết lập các quy tắc cụ thể.
= 0 Suy ra ∼ à là một độ đo chặt trờn X ∼ Thực vậy, giả sử điều này đã được thiết lập Bởi vì X là một tập borel trong X ∼ ⇒
∀ε > 0,∃K ε ⊂ X, K ε compact trong X ∼ sao cho ∼ à(X −K ε ) < ε (định lớ 3.1).
K ε là một tập hợp compact trong không gian X, vì X là một tập con tôpô của X ∼ Hơn nữa, độ đo à(X−K ε) = ∼ à(X−K ε) < ε cho thấy rằng à là chặt Do đó, ta có thể giả định rằng X là một không gian metric tách được và đầy đủ Hãy chọn và cố định ε > 0.
Giả sử d là khoảng cách trong không gian X Với bất kỳ số nguyên n nào, hình cầu bán kính n 1 bao quanh mỗi điểm tạo thành một cái phủ cho X Do X là tách được, chúng ta có thể xác định nhiều tập đếm được S n 1, S n 2, sao cho X = S j.
S n j và do đó tồn tại một số nguyênk n sao cho à( k n
S n j , K ε là compact (bổ đề 3.1) Hơn nữa à(X−Kε)≤P n à(X−Xn)≤P n ε
Độ đo hoàn hảo
Một không gian đo (X, B, à) được coi là hoàn hảo khi hàm f, nhận giá trị thực và B-đo được, cho phép tồn tại tập A trên đường thẳng thực sao cho f −1 (A) thuộc B Đồng thời, có các tập Borel A1 và A2 trên đường thẳng thực thỏa mãn điều kiện liên quan.
Bổ đề 4.1 nêu rằng, cho không gian metric X và một độ đo trên X, nếu f là hàm đo được Borel bất kỳ trên X và ε > 0, thì tồn tại một tập đóng Cε thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, độ đo của phần còn lại X - Cε không vượt quá ε; thứ hai, hàm f trên tập Cε là liên tục.
Chứng minh rằng cho dãy hàm đơn giản {f n} hội tụ theo từng điểm đến hàm f, với ε > 0, theo định lý Egoroff, tồn tại tập Borel E ⊆ X sao cho đo lường của X−E nhỏ hơn ε/2 và f n hội tụ đều đến f trên E Vì f n là hàm đơn giản trên E, ta có thể viết f n = k n.
P i=1 a n i χ E ni Ở đó E n 1 , , E n kn là các tập borel rời nhau, k n
E n i =E và χ A là hàm đặc trưng của A Bởi vỡà là chớnh quy nờn tồn tại tập đúngC n i ⊆E n i sao cho à(En i −Cn i) ≤ 4 n ε k n Đặt Cn k n
Cn i Bởi vì Cn i là các tập đóng rời nhau và f n là hằng số trên C n i ⇒ fn| Cn là liên tục Đặt C ε ∞
Ta có C ε ⊆ C n với mọi n, fn| Cε là liên tục với mọi n và f|C ε cũng liên tục bởi vì f n ⇒f trên C ε
Bổ đề 4.2 khẳng định rằng, trong không gian metric X với độ đo chặt a, nếu f là hàm đo được và ε > 0, thì tồn tại một tập compact Kε thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, độ đo của phần còn lại X−Kε không vượt quá ε; thứ hai, hàm f trên Kε là liên tục Định lý 4.1 bổ sung rằng, với X là không gian metric và a là độ đo chặt, thì (X, BX, a) trở thành một không gian với độ đo hoàn hảo.
Để chứng minh rằng với hàm đo được f nhận giá trị thực bất kỳ, chỉ cần chỉ ra rằng với tập A ⊂ R1, nếu f −1(A) thuộc BX, thì sẽ tồn tại một tập Borel tương ứng.
A1 ⊆ A với à(f −1 (A − A1)) = 0, từ đó A2 có thể được xác định như một tập Borel sao cho A0 2 ⊆ A0 và à(f −1 (A0 − A0 2)) = 0 Giả sử A ⊆ R1 là một tập sao cho E = f −1 (A) ∈ BX Cho hai dãy tập hợp {Cn}, n = 1, 2, và {Kn}, n = 1, 2, thỏa mãn i) K1 ⊆ K2 ⊆ với Kn là compact, f |Kn liên tục và à(X − Kn) → 0, ii) C1 ⊆ C2 ⊆ ⊆ E, Cn là đúng và à(E − Cn) → 0.
K n ) ⇒ B n ⊂ R 1 là một tập compact bởi vì f
K n là liên tục và do đó A1 = S n
Bn là một tập borel Bởi vì f[S n
Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo Giả sử X là một không gian metric và C(X) là không gian các hàm thực liên tục và bị chặn trên X Đối với một hàm f thuộc C(X), chúng ta ký hiệu kfk là Sup x∈X.
|f(x)| ⇒ (C(X),k.k)−không gian Banach. Định nghĩa 5.1 Một phiếm hàm tuyến tính ∧ trên C(X) là một ánh xạ
∧:C(X)→R f 7→ ∧(f) sao cho ∧(αf+βg) =α∧(f) +β∧(g) với mọi hằng sốα, β, với mọi f, g ∈C(X) Một phiếm hàm tuyến tính ∧ được gọi là dương nếu ∧(f)>0 ∀f >0.
Chú ý rằng nếu ∧ là một phiếm hàm tuyến tính dương thì ∧(f) 6 ∧(g),
Ký hiệu 1 là hàm nhận giá trị 1 mọi nơi Cho trước độ đo trên X, một phiếm hàm ∧: g → R là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C(X) với ∧(1) = 1 Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh rằng khi X là không gian compact, mọi phiếm hàm tuyến tính dương đều có thể được tạo ra theo nghĩa này Từ giờ, chúng ta sẽ xem xét một phiếm hàm tuyến tính dương cố định ∧ trên C(X) với ∧(1) = 1 X là một không gian metric, F0 là lớp tất cả các tập con đóng của X, và G0 là lớp tất cả các tập con mở của X.
Với tập bất kìC ∈F0, đặt λ(C) =inf{∧(f) :f >χ C }
Hàm λ được định nghĩa trên tập F0 với các tính chất quan trọng: Đầu tiên, giá trị của λ(C) nằm trong khoảng từ 0 đến 1 cho mọi tập C thuộc F0 Thứ hai, nếu C1 là tập con của C2, thì λ(C1) không vượt quá λ(C2) Thứ ba, nếu C1 và C2 không giao nhau, thì λ của hợp hai tập này bằng tổng λ của từng tập Thứ tư, λ của hợp hai tập C1 và C2 không lớn hơn tổng λ của từng tập Cuối cùng, giá trị của λ với tập rỗng là 0 và với toàn bộ tập X là 1.
Chứng minh Bởi vì 1 > χ C với C là tập bất kì ⇒ 1 = ∧(1) > λ(C) Hơn nữa, nếu f >χ C thì f >0và do đó ∧(f)>0⇒λ(C)>0.
Nếu f 1 > χ C 1 , f 2 > χ C 2 sao cho:∧(f 1 ) 6 λ(C 1 ) +ε và ∧(f 2 ) 6 λ(C 2 ) +ε thì
Chứng minh iii) Ta chứng minh:λ(C1∪C2)>λ(C1) +λ(C2) nếu C1∩C2 =∅ Theo Định lí 1 ( Phụ lục ) ⇒ Tồn tại một hàm h∈C(X)sao cho
Nếu f ∈ C(X) và f > χ C 1 ∪C 2 ⇒ f h > χ C 1 và f(1−h) > χ C 2 Ta có ∧(f) ∧(f h) +∧(f(1−h))> λ(C1) +λ(C2) ⇒ λ(C1 ∪C2)≥ λ(C1) +λ(C2) v) là hiển nhiên.
Tập mở bất kỳ G được định nghĩa bởi τ(G) = Sup{λ(C) : G⊇C ∈F0} Định lý 5.2 chỉ ra rằng τ là một hàm được định nghĩa tốt trên G0 với các tính chất sau: i) 0 ≤ τ(G) ≤ 1 cho mọi G ∈ G0; ii) nếu G1 ⊆ G2 thì τ(G1) ≤ τ(G2); iii) τ(
Chứng minh Bởi vì 0 6 λ(C) 6 1∀C ∈ F0 ⇒ τ là được định nghĩa tốt và
06τ(G)61 ∀G⇒i) ii) và iv) là hiển nhiên (tầm thường).
Chứng minh iii) : Ta chỉ cần chứng minh vớiN = 2
Cho G 1 , G 2 là hai tập mở và C ⊆ G 1 ∪G 2 ⇒ C−G 1 và C−G 2 là các tập đóng rời nhau Do đó tồn tại các tập mở
⇒λ(C) 6 λ(C 1 ) +λ(C 2 ) 6τ(G 1 ) +τ(G 2 ) Bởi vì C ⊆G 1 ∪G 2 là một tập đóng tùy ý ⇒τ(G 1 ∪G 2 )6τ(G 1 ) +τ(G 2 ).
Định nghĩa hàm à ∗ cho tập A⊆X được xác định là à ∗ (A) = inf{ τ(G):A ⊆G } Theo Định lý 5.3, hàm à ∗ được định nghĩa tốt trên tất cả các tập con của X và có những tính chất sau: i) à ∗ (∅) = 0 và à ∗ (X) = 1; ii) à ∗ (G) = τ(G); iii) à ∗ (A) ≤ à ∗ (B) nếu A⊆B.
Chứng minh i), ii) và iii) là tầm thường iv): ChọnG j ⊇A j sao cho τ(G j )6à ∗ (A j ) + N ε
Do đúà ∗ (G) =Supλ(C 1 )6λ(C). Định lý 5.4 Với tập đúng bất kỡ C ta cú λ(C) =à ∗ (C).
Chứng minh Theo định nghĩa của τ ta có λ(C) 6 τ(G) nếu C ⊆ G Do đó λ(C)6à ∗ (C) nếu C∈F0 Bõy giờ ta sẽ chứng minh : λ(C)>à ∗ (C).
Cho trướcε >0 ⇒tồn tại f ∈C(X) sao cho f ≥χ C và ∧(f)6λ(C) + ε 2
Với số γ bất kì thỏa mãn 0< γ < 1, kí hiệuG γ ={ x:f(x) >γ} và C γ ={ x:f(x)> γ} Bởi vỡ G γ ⊆C γ ⇒à ∗ (G γ )6λ(C γ ) Nhưng f /γ >χ C γ ⇒
Ta cú à ∗ (G γ )6λ(C γ )6 ∧(f) γ 6(λ(C) + ε 2 ) 1 γ Chọnγ đủ gần 1ta cú thể giả định rằng (λ(C) + ε 2 ) γ 1 6λ(C) +ε Cho ε→0⇒à ∗ (C)6λ(C)
Vậy λ(C) =à ∗ (C). Định lý 5.5 Nếu G là tập mở bất kì thì với tập A⊆X bất kì, à ∗ (A)>à ∗ (G∩A) +à ∗ (G 0 ∩A).
Để chứng minh, giả sử G1 là một tập mở bất kỳ với A ⊆ G1 Xét tập đóng C1 ⊆ G∩G1 thỏa mãn λ(C1) > τ(G∩G1) - ε, và cho C2 là một tập con đóng của G1 - C1 sao cho λ(C2) > τ(G1 - C1) - ε Do C1 và C2 là hai tập rời nhau.
Nếu C1 ∪ C2 ⊆ G1 thì τ(G1) > λ(C1 ∪ C2) > à ∗ (G ∩ G1) + à ∗ (G0 ∩ G1) − 2ε Vỡ à ∗ (A) = inf τ(G1) và à ∗ (G ∩ G1) > à ∗ (G ∩ A), à ∗ (G0 ∩ G1) > à ∗ (G0 ∩ A) dẫn đến à ∗ (A) > à ∗ (G ∩ A) + à ∗ (G0 ∩ A) − 2ε Khi cho ε → 0, ta có à ∗ (A) > à ∗ (G ∩ A) + à ∗ (G0 ∩ A) Định lý 5.6 khẳng định rằng AX là đại số (không phải σ đại số) được sinh ra bởi lớp G0, lớp tất cả các tập con mở của X, trong đó à ∗ là một độ đo chính quy có tính hữu hạn trên AX.
Với độ đo cộng tớnh hữu hạn bất kì (μ(X) = 1) trên không gian AX, chúng ta có thể định nghĩa tính khả tích và tích phân của một hàm tương tự như trong trường hợp của độ đo thông thường Điều này bao gồm việc xem xét sự phân hoạch của toàn bộ không gian thành các tập hợp.
AX và các tổng Darboux trên và dưới được thiết lập để xác định tính khả tích của hàm số Một hàm được gọi là khả tích nếu infimum của tất cả các tổng Darboux trên bằng supremum của tất cả các tổng Darboux dưới Mọi hàm số thực bị chặn thỏa mãn điều kiện f −1 ((a, b]) ∈ AX với mọi (a, b] đều có thể coi là khả tích, đặc biệt là các hàm liên tục và bị chặn Tích phân của hàm f theo biến à được ký hiệu là R fd à Định lý 5.7 chỉ ra rằng nếu α và β là các hằng số và f, g là các hàm khả tích, thì tổ hợp tuyến tính αf + βg cũng là khả tích.
R (αf+βg)d à =αR fdà+βR gd à ; ii) R fdà>0 nếu f >0; iii) R
Định lý 5.8 khẳng định rằng trong một không gian metric X, nếu C(X) là không gian các hàm thực liên tục bị chặn và ∧ là một phiếm hàm tuyến tính không âm trên C(X) với ∧(1) = 1, thì tồn tại duy nhất một độ đo chính quy, cộng tính, hữu hạn trên đại số sinh AX, được tạo bởi tất cả các tập con mở của X.
Ngược lại, nếuàlà một độ đo cộng tớnh, hữu hạn trờnAX thỡ ỏnh xạ∧:f →R fdà là không âm, tuyến tính và ∧(1) = 1.
Chứng minh rằng độ đo cộng tớnh hữu hạn có thể đạt được thông qua việc hạn chế hàm f trên AX Độ đo này được định nghĩa theo quy tắc trong định lý 5.3.
C(X) sao cho 0 6 f 6 1 Trước hết ta sẽ thiết lập ∧(f) > R
X fdà Để hoàn thành điều này ta cho n là số nguyên bất kì và đặt G i = { x:f(x) > n i } Khi đó G0 ⊇ G1 ⊇ ⊇ Gn = ∅ Cho φi là hàm liên tục trên khoảng đơn vị [0,1] sao cho φ i (t)
1, i n 6t61 và φ i tuyến tính ở giữa Đặt f i (x) = φ i (f(x)), i = 1,2, , n Vì n 1 (φ 1 (t) + +φ n (t)) ≡ t Ta có n 1 (f 1 + +f n ) = f Do đó
X fd à Nếu f là hàm khụng õm bất kỡ trong
C(X) ta có thể tìm thấy một hằng số dương c sao cho 06 cf 61 Do đó ∧(f) 1 c ∧(cf)> 1 c R
Nếu f là hàm bất kì trên C(X) ta có thể tìm thấy một hằng sốc´sao cho f+ ´c>0, và do đó
Do đó vớif ∈C(X)bất kì ta có∧(f)>R fd à Thay f bởi -f ta cú∧(−f)>−R fd à
Giả sử ν là độ đo cộng tính, hữu hạn chính quy trong AX với ∧(f) = R fd ν Khi đó, R fd à = R fd ν cho mọi f ∈ C(X) Với C là tập đóng bất kỳ, và vì ν là chính quy, chúng ta có thể tìm hai dãy G n và H n của các tập mở sao cho G 1 ⊇ G 2 ⊇ và H 1 ⊇ H 2 ⊇ , với C được chứa trong tất cả G i và H i, đồng thời n→∞lim à(G n ) = à(C) và n→∞lim ν(H n ) = ν(C) Đặt U n = G n ∩ H n, ta có n→∞lim à(U n ) = à(C) và n→∞lim ν(U n ) = ν(C) Theo định lý 1 (Phụ lục), chúng ta có thể xây dựng một hàm liên tục f n.
0, x∈XưU n Khi đó ta có : R fndà=R fndν ∀n.
Vỡ f n = 0 trờn XưU n , ta cú à(C) + R
Khi cho n → ∞, ta có à(C) = ν(C), với C là một tập hợp tùy ý và ν là một hàm chính quy, dẫn đến kết luận à = ν Phần cuối của định lý này có thể được chứng minh dễ dàng dựa vào tính chất của tích phân đã nêu Định lý 5.9 chỉ ra rằng nếu X là một không gian metric compact và ∧ là một phiếm hàm tuyến tính không âm trên C(X) với ∧(1) = 1, thì tồn tại duy nhất một độ đo trên BX sao cho ∧(f) = R fd à, với f ∈ C(X).
Hàm tập à ∗ của định lý 5.3 là một độ đo ngoài, và điều này đủ để chứng minh tính đúng đắn của nó Từ đó, chúng ta có thể suy ra định lý từ định lý 5.5 Do đó, nhiệm vụ còn lại là chỉ ra rằng à ∗.
1 à ∗ (A i ) Điều này dẫn tới việc chỉ ra rằng à ∗ (
1 à ∗ (G j ). với các tập mở tùy ý G 1 , G 2 , , tức là τ(
G j , tính compact của C chỉ ra rằng C ⊆
G j với N nào đó Khi đó ta có λ(C) 6 τ(
G j λ(C) 6 P j τ(G j ) Điều này hoàn thành chứng minh vỡ lớp cỏc tập à ∗ − đo được là một σ đại số và theo định lớ 5.5 cỏc tập mở là à ∗ −đo được.
Theo định lý 5.7, nếu hai độ đo à và ν thỏa mãn R f d à = R f d ν với mọi hàm f ∈ C(X), thì à và ν là tương đương Định lý 5.10 chỉ ra rằng trong không gian metric X, U(X) là không gian các hàm liên tục, nhận giá trị thực và bị chặn, cho phép áp dụng các độ đo à và ν với tính chất tương đương này.
Chứng minh Cho C là tập đóng bất kì và G n x:d(x, c)< 1 n ⇒ G n là mở (Định lí 2-Phụ lục) và
G n = C C và G 0 n là các tập đóng rời nhau sao cho x∈C,y∈Ginf 0 n d(x, y)> n 1 Bởi vậy theo định lí 1(Phụ lục), tồn tại một hàm f n ∈ U(X) sao cho f n (x) ( 0, x∈G 0 n
1, x∈C và 06f n (x)6 1 Lấy tớch phõn f n theo à và ν, ta đượcà(C)6R f n dà =R f n dν=R
G n f n d ν 6ν(G n ) Cho n→ ∞, ta cú à(C)6ν(C). Đổi chỗ àvàν trong khẳng định ở trờn ta được ν(C)6à(C) Do đú à(C) = ν(C) với mọi tập đúng Tớnh chớnh quy của độ đo chỉ ra rằng à=ν.
Tôpô yếu trong không gian các độ đo
Cho X là một không gian metric và M(X) là không gian các độ đo trên BX Một phần tử à ∈ M(X) là một hàm tập khụng õm, cộng tớnh đếm được, được xỏc định trờn BX với à(X) = 1 C(X) là khụng gian cỏc hàm thực, liờn tục và bị chặn trờn X.
Xét họ các tập có dạng
R f i dν−R f i dà à(G), với mọi tập mở G;
(e) lim α à α (A) = à(A), với mọi tập borel A mà biờn của A cú à− độ đo 0.
Chứng minh rằng nếu U(X) ⊆ C(X) thì a ⇒ b, và tiếp theo sẽ chứng minh b ⇒ c Cho C là tập đóng bất kỳ và G_n = { x : d(x, C) < 1/n } với d(x, C) = inf y∈C d(x, y) Khi đó, C và G_0^n là các tập đóng rời nhau với inf x∈C, y∈G_0^n d(x, y) > 1/n Theo định lý 1 (Phụ lục), tồn tại hàm f_n ∈ U(X) sao cho 0 ≤ f_n ≤ 1, với f_n(x) = 1 khi x ∈ C và f_n(x) = 0 khi x ∈ G_c^n Hơn nữa, G_1 ⊇ G_2 ⊇ và ∩G_n = C, do đó lim α à α(C) ≤ lim α R f_n ≤ α(G_n).
Khi n tiến đến vô cùng, giới hạn của α sẽ bằng α (C) và 6 à(C) Điều này tương đương với việc (c) và (d) là hiển nhiên bởi vì các tập mở là phần bù của các tập đóng, và ngược lại Toàn bộ không gian có độ đo là 1 với mọi độ đo Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng (c) và (d) dẫn đến (e) Ký hiệu A là bao đóng của
A và A 0 là phần trong của A Khi đó A 0 ⊆ A ⊆ A A là đóng và A 0 là mở Giả sử à(A−A) = 0 Khi đú 0 limα à α (C)6lim α à α (A)6à(A) =à(A) lim α à α (A)>lim α à α (A 0 )>à(A 0 ) =à(A).
Bây giờ ta sẽ hoàn thành việc chứng minh của định lí bằng cách chỉ ra rằng
(e) ⇒ (a) Cho g là phần tử bất kì của C(X) và lim α àα(A) = à(A) với mọi tập borel A sao choà(A−A 0 ) = 0.
Kớ hiệu à g là độ đo trên đường thẳng thực xác định bởi à g (E) = à{ x:g(x) ∈ E} với tập Borel E bất kỳ Hàm g là một hàm bị chặn và tập trung trong khoảng (a,b) Độ đo à g có thể chứa nhiều nhất một số đếm được các chất điểm Vì vậy, với mỗi ε > 0, ta có thể tìm thấy các số t1, , tm sao cho
ChoA j ={ x:t j−1 6g(x) < t j } A 1 , A 2 , , A m là các tập borel rời nhau vớiS j
Do đó ta có lim α à α (A j ) = à(A j ) j = 1,2, , m Đặt g ∗ = P j t j−1 χ A j Chú ý rằng
62ε Choε →0suy ra điều phải chứng minh.
Với mỗi điểm x∈X , kí hiệu p x : độ đo suy biến tại x.
Bổ đề 6.1 X đồng phôi với tập con D={ p x :x∈X}
Chứng minh rằng với điểm x bất kỳ và g ∈ C(X), ta có R gdp x = g(x) Nếu x α → x 0 thì g(x α ) → g(x 0 ), dẫn đến p x α ⇒ p x 0 Ngược lại, nếu p x α ⇒ p x 0, thì nếu x α không hội tụ tới x 0, tồn tại một tập mở G và một lưới con x β sao cho x 0 ∈ G và x β ∈ X−G ∀β Chọn g là hàm liên tục với 0 ≤ g ≤ 1, g(x 0 ) = 0 và g(x) = 1 cho x ∈ X−G Khi đó, R gdpx β = 1 và R gdpx 0 = 0, tạo nên mâu thuẫn.
Bổ đề 6.2 D là một dãy các tập con đóng của M(X).
Chứng minh rằng cho dãy {xn} trong không gian X, nếu px n ⇒ q, thì giả sử {xn} không có dãy con hội tụ nào Khi đó, tập S = {x1, x2, } là tập đóng, dẫn đến mọi tập hợp liên quan cũng sẽ có tính chất tương tự.
C ⊆Slà đóng Bởi vì p x n ⇒q,theo định lý 6.1 ta cóq(C)≥limp x n (C)với C⊆S
Với mỗi tập con vô hạn S1 ⊆ S, nếu q(S1) = 1 thì điều này không hợp lý vì q là một độ đo Do đó, tồn tại một dãy con {xnk} với xnk → x Theo bổ đề 6.1, ta có q = px, dẫn đến D là dãy các tập đóng.
Bổ đề 6.3 khẳng định rằng nếu X là một không gian mêtríc hoàn toàn bị chặn, thì không gian U(X) sẽ là một không gian Banach tách được với chuẩn Sup Định lý 6.2 chỉ ra rằng không gian metric M(X) tách được tương đương với việc X cũng là không gian metric tách được Cuối cùng, theo định lý 6.3, nếu X là một không gian metric tách được và E là tập con của X, thì tập hợp tất cả các độ đo có giá trị là tập con hữu hạn của E sẽ trù mật trong M(X).
Chứng minh Tập hợp các độ đo có giá là tập con hữu hạn của X là trù mật trong
Lớp các độ đo sẽ được ký hiệu là F(X), trong đó độ đo của bất kỳ tập con đếm được nào thuộc X đều là giới hạn yếu của các độ đo từ F(X).
Độ đo bất kỳ là giới hạn yếu của các độ đo mà triệt tiêu ở bên ngoài các tập con đếm được của X Khi chọn và cố định a ∈ M(X), vì X là tách được, ta có thể diễn đạt X dưới dạng X = S j cho mỗi số nguyên n.
A n j , A n j ∩A n k = φ nếu j 6=k,A n j ∈BX ∀n, j và đường kính của A n j ≤ n 1 ∀j Cho x n j tùy ý ∈A n j Cho à n là độ đo với khối lượng à A n j lần lượt tại các điểm x n j Cho g ∈ U(X) tùy ý, đặt : α n j = inf x∈A nj g (x), β n j = Sup x∈A nj g(x)
Bởi vì g là liên tục đều và đường kính của A n j → 0 khi n → ∞ đều theo j, Sup j β n j −α n j
Do g ∈U(X) là bất kỳ, theo định lý 6.1 suy ra àn⇒à. Định lý 6.4 M(X) là một không gian metric compact ⇔ X là một không gian metric compact.
Chứng minh rằng nếu X là một không gian metric compact, thì không gian C(X) là một không gian Banach tách được Điều này dẫn đến sự tồn tại của một dãy các phần tử g1, g2, thuộc C(X) sao cho g1 ≡ 1, kgnk ≤ 1 và dãy {gn} trù mật trong hình cầu đơn vị bao quanh 0.
Cho T là ỏnh xạà→R g 1 dà,R g 2 dà, Khi đú T ỏnh xạM(X)vào khụng gian
I ∞ -Tích đếm được của các khoảng [−1,1] I ∞ là một không gian metric compact.
T là một đồng phôi từ M(X) vào I ∞ Chúng ta sẽ chứng minh rằng T(M(X)) là một tập con đúng của I ∞ Giả sử {à n} là một dãy các độ đo sao cho T(à n) hội tụ tới (α1, α2, ) trong I ∞ Cho g là hàm bất kỳ thuộc hình cầu đơn vị của C(X) Khi đó, tồn tại một dãy g k r sao cho kg k r − gk → 0 khi r → ∞.
Với mỗi hàm g thuộc hình cầu đơn vị S0 của C(X), giới hạn limR gdà n tồn tại và được ký hiệu là limR gdà n = Λ(g) Đối với bất kỳ phần tử f ∈ C(X), chúng ta có thể tìm một hằng số c ≠ 0 sao cho cf ∈ S0 Định nghĩa Λ(f) = cΛ(f/c) cho thấy Λ là một phiếm hàm tuyến tính không âm trên C(X) với Λ(1) = 1 Theo định lý 5.9, tồn tại duy nhất một độ đo sao cho Λ(g) = R gdà, đặc biệt là R g r dà = α r.
T (à) = (α 1 , α 2 , ) Núi cỏch khỏc T(M(X)) là đúng Tớnh compact của I ∞ chỉ ra rằngM(X)là một không gian metric compact.
Sự hội tụ của phân phối mẫu
Mục đích của phần này là chứng minh rằng trong không gian metric tách được, có thể khái quát bổ đề Glivenko-Cantelli, bổ đề này khẳng định sự hội tụ đều của phân phối mẫu đối với đường thẳng thực.
Cho (Ω, S, P) là một không gian xác suất, trong đó Ω là không gian, S là σ-trường các tập con của Ω, và P là độ đo với P(Ω) = 1 Dãy các ánh xạ đo được ξ1, ξ2, được phân bố đồng nhất và độc lập từ Ω vào không gian metric tách được X.
1 P (ξ n −1 (An)),∀k và với mọi tập Borel.
A 1 , A 2 , , A k được chứa trong X Hơn nữa, tồn tại một độ đo à trờn X sao cho
P [ξ n −1 (A)] = à(A), ∀A ⊂ X, A-Borel, ∀n Với ω ∈ Ω, ký hiệu à ω n là độ đo khối lượng 1 n tại mỗi trong n điểm ξ 1 (ω), , ξ n (ω) Độ đo à ω n được gọi là phân phối mẫu của à dựa trên n ánh xạ ngẫu nhiên ξ1, , ξn tại ω Định lý 7.1 khẳng định rằng, với các ánh xạ ngẫu nhiên ξ1, ξ2, độc lập và đồng nhất từ Ω vào một không gian metric tách được X, và à là độ đo cảm sinh thông thường, thì à ω n chính là phân phối mẫu dựa trên ξ 1 , ξ 2 , ξ n tại ω.
Chứng minh Với ω bất kỳ thuộc Ωvà g bất kỳ thuộc C(X), ta có:
Các biến ngẫu nhiên g(ξ i (ω)) với i = 1, 2, là các giá trị thực, bị chặn và phân phối đồng nhất, độc lập Theo luật mạnh số lớn của Kolmogorov, điều này cho thấy sự hội tụ của các biến này đến giá trị kỳ vọng khi số lượng biến tăng lên.
X gdà hầu khắp nơi.Nói cách khác, có một tập N g ∈ S sao cho P (N g ) = 0 và với ω∈Ω−N g , R
Chúng ta có thể đạt được một tập N g với mỗi số nguyên n, trong đó G = {g1, g2, } là tập đếm được các phần tử trong C(X) và thỏa mãn các tính chất của định lý 6.6 Nếu N = S r, thì điều này khẳng định sự tồn tại của tập hợp các phần tử này.
N g r thì P (N) = 0 và ω ∈ Ω−N chỉ ra rằng R g r dà ω n → R g r dà với mỗi r Định lớ cũng chỉ ra rằng à ω n ⇒ à với ω∈Ω−N Điều này hoàn thành chứng minh.
Chương 2 Độ đo xác suất trên không gianHilbert
Giới thiệu
Không gian Hilbert tách được thực X có tích trong giữa các phần tử x và y, với x, y ∈ X Chuẩn của x được ký hiệu là kxk Với phép cộng véc tơ, không gian X trở thành một nhóm aben metric tách được và đủ Ký hiệu M(X) đại diện cho không gian các độ đo xác suất hoặc các phân phối trên X Sự hội tụ trong M(X) luôn dẫn đến sự hội tụ yếu.
Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact
Định nghĩa 2.1 xác định tớch chập giữa hai độ đo à và ν thông qua hàm tập hợp à∗ν(A) = ∫ à(A−x)dν(x), với A thuộc B X Định nghĩa 2.2 chỉ ra rằng hàm đặc trưng của nú àˆ(y) cho mỗi à ∈ M(X) được tính bằng công thức ˆ à(y) = ∫ e^(i(x,y)) dà(x) Các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng được trình bày trong định lý 2.1.
(1) àˆ(y) là liờn tục đều trong tụpụ chuẩn.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh (1) Vớiy1, y2 ∈X, ta có:
2(x, y 1 −y 2 )dà(x). Cho ε > 0 cố định nhưng tùy ý Khi đó ta có thể chọn một hằng số dương k sao cho à{x:kxk> k}< ε.
Từ bất đẳng thức ở trên, ta có:
Để chứng minh tính liên tục đều của hàm àˆ(y), ta xem xét một hệ tọa độ với dãy các véctơ trực chuẩn đầy đủ trong không gian X Gọi x i là tọa độ thứ i của véctơ x, với không gian X đẳng cấu với không gian l2 của các dãy số thực sao cho tổng bình phương các tọa độ nhỏ hơn vô cùng Định nghĩa hàm ϕ (j) n (y 1 , , y n ) dựa trên các hàm àˆ 1 và àˆ 2, cho thấy nếu àˆ 1(y) = àˆ 2(y) với mọi y ∈ X, thì hàm ϕ (1) n và ϕ (2) n là các hàm đặc trưng của các phân phối hữu hạn chiều tương ứng, được sinh ra từ phép chiếu vào không gian l2.
Do đú à˜ 1 = ˜à 2 Điều này chỉ ra rằng à 1 = à 2 Cỏc tớnh chất (3) và (4) là hiển nhiên từ tính song tuyến tính của tích trong.
Bổ đề 2.1 Nếu một dóy {à n }, à n ∈ M(X), n = 1,2, là compact cú điều kiện và àˆ n (y) → ϕ(y) khi n → ∞ với mỗi y ∈ X, khi đú tồn tại à ∈ M(X) sao cho ˆ à(y) = ϕ(y) và àn ⇒à.
Chứng minh Giả sử dóy{àn}khụng hội tụ Khi đú tồn tại 2 dóy conZ1 vàZ2 lần lượt hội tụ tới à 1 và à 2 , à 1 6=à 2
Theo định nghĩa về sự hội tụ yếu, ∀y∈X, n,àlimn ∈Z i ˆ à n (y) = ˆà i (y), i= 1,2 Theo điều kiện của bổ đề ˆ à 1 (y) = ˆà 2 (y) =ϕ(y). Theo định lớ 2.1 ⇒à 1 =à 2 (mõu thuẫn)
Ta sẽ chọn và cố định một cơ sở trực chuẩn đầy đủ {e i } trong X Đặt x i = (x, e i ) và r 2 N (x) ∞
Một điều kiện đủ cho tính compact được thể hiện trong định lí sau. Định lý 2.2 Một tập X ⊆M(X) là compact có điều kiện nếu
Chứng minh Ký hiệuψ(N) = Sup à∈X
Ta chọn một dãy các số nguyênNk ↑ ∞và một dãy các số dươngΛk→ ∞sao cho
Với tập compact (bổ đề 3.1,chương 1)
Và với mọi à∈ X, ta cú bất đẳng thức Cheby chev, à(K 0 )≤
Theo định lý 6.7 trong chương 1, chúng ta có thể suy ra điều cần chứng minh Định nghĩa 2.3 xác định rằng nếu \( a \in M(X) \) sao cho \( R_{kxk}^2 < \infty \), thì toán tử hiệp phương sai \( S \) của \( a \) là toán tử Hermite được xác định duy nhất bởi dạng toàn phương.
Một toán tử Hecmit nửa xác định dương A được xem là một S-toán tử nếu nó có hữu hạn vết, tức là tồn tại một cơ sở trực chuẩn {e i } nào đó để xác định tính chất này.
(Se i , e i ) N 0 (ε, δ),
Bất đẳng thức (2.1) và (2.2) chỉ ra àn x:r 2 N (x)< δ 2 2 o
∀à∈ X Theo điều kiện (a) ta cú thể chọn A 0 sao cho à∈Xinf à{x:max|x i | ≤A 0 }
Và với mọi x thỏa mãn max
2 (2.5) Bất đẳng thức (2.3) - (2.5) chỉ ra rằng à
∀à∈ X, ở đú S(x, δ) là hỡnh cầu bỏn kớnhδ bao quanh x Theo chỳ ý sau định lớ 6.7, chương I, điều này đã hoàn thành chứng minh bổ đề.
Bổ đề 2.3 Để X ⊆M(X) là compact có điều kiện, hai điều kiện sau là đủ: (a) ∀N, họ các hàm ψ(y1, y2, , yN;à) = ˆà(y1e1+ +yNeN), à∈ X là đồng liên tục tại gốc.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các điều kiện của bổ đề 2.3 có thể được suy ra từ các điều kiện của định lý 2.3, từ đó khẳng định rằng định lý đã được chứng minh.
Và do đó với N đủ lớn
J N,P (1−Ràˆ(y))≤ε Tớnh đồng liờn tục của cỏc hàmψ(y 1 , , y N , à) được suy ra ngay lập tức từ các điều kiện (i) và (ii) của định lí 2.3.
Hệ quả 2.1 Để dóy {à n }, à n ∈M(X) là compact cú điều kiện, điều kiện cần là
= 0. Định lý 2.4 Để một hàm ϕ(y), y ∈X là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất à, hai điều kiện sau là cần và đủ:
(i) ϕ(0) = 1, ϕ(y) là xác định dương theo y;
(ii) ϕ(y) là liên tục trong S-Tôpô.
Chứng minh : Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ.
Ta chọn và cố định một cơ sở trực chuẩn{e i } Bởi vì S-tôpô là yếu hơn tôpô chuẩn.
Hàm ϕ(y) là một hàm liên tục trong tôpô chuẩn Định nghĩa hàm ψ n (y 1 , y 2 , , y n ) = ϕ(y 1 e 1 + +y n e n ) cho thấy ψ n là một hàm xác định dương và liên tục theo n biến thực Theo định lý 3 trong phụ lục, tồn tại một độ đo xác suất trên không gian vectơ thực n chiều sao cho ψ n (y 1 , y 2 , , y n ) có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân Z exp [i (x 1 y 1 + +x n y n )] d˜à n (x 1 , , x n ).
Để xác định độ đo xác suất trong không gian X, ta xem xét không gian con Xn được sinh bởi các vectơ e1, e2, , en Đo đó, độ đo này được áp dụng trong Xn, cho phép xác định độ đo àn trong X với công thức àn(A) = àn(A∩Xn) Kết quả cuối cùng là biểu thức ˆ àn(y) = ∫ exp[i(x,y)] dàn.
Theo bổ đề 2.1 ta thấy việc chứng minh điều kiện đủ sẽ hoàn thành nếu dãy các độ đo à n là compact.
Theo bổ đề 2.3, thật là đủ để chứng minh rằng
Cho ε >0tùy ý, theo giả thiết tồn tại một S-toán tử S ε sao cho 1−Rϕ(y)< ε
∀y thỏa mãn (S ε y, y) < 2 Bởi vì 1 −Rϕ(y) ≤ 2,∀y ∈ X nên 1− Rϕ(y) 4t} n
E i , E i ∩E j = φ, i 6= j Ta ký hiệu P r { } là xác suất của biến cố với điều kiện Er đã xảy ra Khi đó ta có,
=P{kS n −S r k>2t} (3.1) Điều này là bởi vì Er và kSnk ≤ 2t chỉ ra rằng kSn−Srk > 2t và Sn−Sr được phân phối độc lập với E r
Giả sử rằng Q(t) > 1/2, chúng ta có phân phối của S_n - S_r được ký hiệu là à rn Hàm tập trung của à rn được ký hiệu là Q_rn(t) Theo định lý 3.1, vì à rn là một nhân tử của à, nên Q_rn(t) cũng thỏa mãn điều kiện Q_rn(t) > 1/2.
Do đó, vớiε >0 đủ nhỏ, bất kỳ,∃x∈X sao cho à rn (S t +x)> Q rn (t)−ε > 1
Bởi vỡ àrn là một độ đo đối xứng, à rn (S t −x) =à rn (−S t +x) = à rn (S t +x)> 1
2. Bởi vỡ à rn là một độ đo xỏc suất,
Nói cách khác, tồn tại một điểm y∈St sao cho kx+yk ≤t,kx−yk ≤t.
Bởi vì kx+yk 2 +kx−yk 2 = 2 kxk 2 +kyk 2
Cho ε→0, ta được: à rn (S 2t )≥Q rn (t)
P {kS n k ≤2t} ≤1−Q(t)P {T >4t}. Trong (3.3) cho r=0 ta được
⇒P {kS n k ≤2t} ≥Q(t). Hai bất đẳng thức ở trên chỉ ra
P {T >4t} ≤ 1−Q(t) Q(t) ≤2 [1−Q(t)], bởi vì Q(t)> 1 2 NếuQ(t)≤ 1 2 , định lí hiển nhiên đúng. Để thiết lập định lí tiếp theo, ta cần khái niệm về kỳ vọng.
Cho F là một độ đo hữu hạn hoàn toàn trên X sao cho R kxkdF < ∞ Khi đó
R (x, y)dF được xác định với mỗi y∈Y và
(x, y)dF là một phiếm hàm tuyến tính với chuẩn ≤ R kxkdF Do đó tồn tại một phần tử x 0 sao cho
Phần tử \( x_0 \) được định nghĩa là trung bình hoặc kỳ vọng của độ đo \( F \), ký hiệu là \( x_0 = E_x = \int x dF \) Định lý 3.3 nêu rằng, với \( n \) biến ngẫu nhiên độc lập \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) trong tập hợp \( X \), nếu chúng bị chặn đều bởi hằng số \( c \) theo chuẩn và có kỳ vọng \( E[X_i] = 0 \) cho mọi \( i = 1, n \), thì xác suất \( P \) sẽ được xem xét.
≥ ε >0, ở đó ε là một số dương và S j =X 1 + +X j Khi đó
Chứng minh Cho các biến cốE k được xác định như sau:
Khi đó E 1 ⊇ E 2 ⊇ ⊇ E n và P (E n ) ≥ ε > 0 Giả sử F k = Ek−1 −E k , α k R
E k kS k k 2 dP Ta coi E 0 là X và α 0 = 0 Khi đó α k −αk−1 Z
Vì Xklà độc lập với biến ngẫu nhiên Sk−1 và biến cố Ek−1, nên số hạng thứ hai trong phương trình triệt tiêu Do F k ⊆ Ek−1, kSk k ≤ kSk−1k + kX k k ≤ c + d trên F k, nên số hạng thứ tư ≥ −(c + d)² P(F k) Với sự độc lập giữa X k và Ek−1, số hạng thứ ba bằng P(E k−1)EkX k k² Do đó, ta có α k − α k−1 ≥ P(E k−1)EkX k k² − (c + d)² P(F k).
Bởi vì P (E k )≥ P(E n ) với mọi k, và F 1 , F 2 , F n rời nhau nên bằng cách cộng cả
2 vế của bất đẳng thức ở trên với k = 1,2, , n ta được: α n ≥P(E n )EkS n k 2 −(c+d) 2
E n kS n k 2 dP ≤d 2 Hai bất đẳng thức ở trên chỉ ra rằng
P(E n ) ≤ d 2 + (c+d) 2 ε Định lý 3.4 Cho X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng trong
X sao cho kX i k ≤ c với i=1,2, ,n Giả sử Q(t) là hàm tập trung của S n X1+ +Xn.
2Q(t)−1 Với t bất kỳ sao cho Q(t)> 1 2
Chứng minh Điều này được suy ra từ định lí 3.2, 3.3 và thực tế rằng một biến ngẫu nhiên đối xứng bị chặn có kỳ vọng bằng 0.
Phân phối chia vô hạn
Một phân phối được gọi là chia vụ hạn nếu với mỗi n phần tử x_n ∈ X và λ_n ∈ M(X), thì à = λ_n * n * x_n Các phân phối chia vô hạn tạo thành một nửa nhóm con đóng trong.
M(X). Định lý 4.2 Nếuà là một phõn phối chia vụ hạn thỡ hàm đặc trưng của nú àˆ(y) không triệt tiêu tại mọi y∈X.
Với mỗi độ đo hữu hạn F, phân phối chia vô hạn e(F) được xác định như sau: e(F) = e −F(X )
Định lý 4.3 khẳng định rằng để à n = e(F n ) là một không gian compact, cần thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, đối với mỗi lân cận N của gốc, F n phải hạn chế tới N’ và là compact yếu; thứ hai, sup n phải được đảm bảo.
Định lý 4.4 khẳng định rằng, với mỗi y ∈ X, nếu à n ∈ M(X) và à n hội tụ đến à khi n → ∞, thì hàm àˆ n (y) sẽ hội tụ đều đến hàm àˆ(y) trên mỗi hình cầu bị chặn Định lý 4.5 chỉ ra rằng nếu à n ∈ M(X) là compact dịch chuyển và hàm àˆ n (y) hội tụ đều đến hàm àˆ(y) trên các hình cầu bị chặn, thì điều này dẫn đến việc à n hội tụ.
Để chứng minh rằng một tập hợp compact, ta cần chỉ ra rằng từ một tập hợp dịch chuyển compact, có thể chọn một phần tử sao cho tập hợp đó vẫn giữ tính compact Nếu giả thiết này không đúng, sẽ tồn tại một dãy con không có dãy con hội tụ, điều này mâu thuẫn với tính chất của tập hợp compact.
Bởi vỡà n ∗x n là compact cú điều kiện nờn nú cú một dóy conà n j ∗x n j hội tụ yếu.
Do đúàˆ n j (y) exp i x n j , y cũng nhưàˆ n j (y)hội tụ đều trờn cỏc hỡnh cầu bị chặn.
Từ tớnh compact của |à n | 2 suy ra tồn tại một hỡnh cầu S sao cho inf n |àˆ n (y)| 2 ≥ ε >0,∀y∈S suy ra e i ( x nj ,y) hội tụ đều trên S và do đó xn j hội tụ theo chuẩn.
Bổ đề 4.1 nêu rằng, với hàm không âm f(y) trên tập X thỏa mãn điều kiện f(2y) ≤ 4f(y) cho mọi y ∈ X, nếu f(y) ≤ ε khi (Sy, y) ≤ δ (với ε và δ là các hằng số dương và S là một S-toán tử), thì có thể suy ra rằng f(y) ≤ (S 1 y, y) + ε cho mọi y ∈ X, trong đó S 1 = 4εδ −1 S.
Chứng minh ĐặtS 0 =εδ −1 S Khi đóf(y)≤ε với (S 0 y, y)≤ε Bây giờ ta giả sử (S 0 y, y)≤4 n ε, ở đó n là một số nguyên dương.
Bởi vì f(2y)≤4f(y), nên f(y)≤f(2 n yn)≤4 n f(yn)≤4 n ε.
Với mọi số nguyên không âm n.
Bây giờ cho y ∈ X và (S 0 y, y) = t Giả sử t > ε Khi đó tồn tại một số nguyên không âm n sao cho:
Bởi vì (S 0 y, y)≤4 n+1 ε, theo (4.1) ta có f(y)≤4 n+1 ε ≤4t = 4 (S 0 y, y) (4.2) Nếut < ε, từ định nghĩa của S 0 ta có f(y)≤ε (4.3)
Từ (4.2) và (4.3) ta có f(y)≤max [ε,(4S 0 y, y)]
Bổ đề 4.2 Nếu a1, a2, , am là các số thực bất kỳ sao cho |aj| ≤1với 1≤j ≤m, khi đó
Chứng minh Giả sửa 1 , a 2 , , a m dương Nếu m = 1⇒ bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với m=k.
Do đó bất đẳng thức được chứng minh bằng quy nạp.
Bây giờ ta giả sử ít nhất một a j âm Giả sử đó là a r Khi đó
(1−a j ). Định lý 4.6 Cho F n là một dãy các độ đo hữu hạn sao cho e(F n )là compact dịch chuyển Khi đó
Z kxk≤1 kxk 2 dFn 0 bất kỳ, tồn tạiδ >0 sao cho |fn(y)| ≤p bất cứ khi nào(Tny, y)< δ.
Vì λˆ n (y) = expf n (y), với bất kỳ ε > 0, tồn tại p > 0 sao cho 1−Rλˆ n (y) ≤ ε khi |f n (y)| ≤ p Hơn nữa, với ε > 0, có δ > 0 sao cho khi (T n y, y) ≤ δ thì 1−Rλˆ n (y) ≤ ε Do 1−cos2α ≤ 4 (1−cosα) với mọi α, suy ra 1−Rλˆ n (y) thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 4.1 Ứng dụng của định lý 2.3 cho thấy rằng λ n là compact có điều kiện, hoàn thành chứng minh định lý vì {Tn} là compact.
Trong định nghĩa toán tử T, có thể sử dụng hình cầu bị chặn bất kỳ bao quanh gốc thay vì hình cầu đơn vị, và các định lý 5.2 và 5.3 vẫn giữ nguyên tính đúng đắn Định lý 5.4 chỉ ra rằng, với một dãy các phân phối chia vụ hạn [xn, Sn, Mn], nếu dãy này hội tụ thì dãy là Gaussian nếu và chỉ nếu giới hạn khi n tiến tới vô cùng của Mn(N0) bằng 0 với mỗi lân cận của gốc.
Giả sử hàm phân phối là Gaussian, không thể viết dưới dạng e(F)∗λ với λ chia được vô hạn Do đó, M n (N 0) tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng với mọi lân cận N của gốc Ngược lại, nếu M n (N 0) tiến tới 0 với mọi lân cận N của gốc, điều này cũng được chứng minh.
Khi đú ta có thể chỉ ra rằng hàm phân phối xác suất \( \hat{y} \) có dạng \( \hat{y} = \exp i (x_0, y) - \frac{1}{2} (S_{y}, y) \), trong đó \( S \) là một toán tử Ngoài ra, hàm này cũng là Gaussian Theo Định lý 5.5, để một dãy các phân phối chia vụ hạn \( n = [x_n, S_n, M_n] \) hội tụ yếu tới \( a = [x_0, S_0, M_0] \), điều kiện cần và đủ là
(2) Mn ⇒M0 ở bên ngoài mỗi lân cận đóng N của gốc.
(3) Dãy {Tn} là compact và limε→0 lim n→∞
Luật kết hợp
Định nghĩa 6.1 Dãy các phân phối α n j , j = 1,2, , k n , n = 1,2, , được gọi là vô cùng bé đều nếu với lân cận bất kỳ N của gốc, n→∞lim inf
Chú ý: Theo định lí 4.4 ta suy ra rằng với một dãy các phân phối vô cùng bé đều, ta có: n→∞lim Sup
Định lý 6.1 khẳng định rằng với mỗi hằng số dương k, dãy các vô cùng bé đều αn j (j = 1, 2, , kn) là các phân phối đối xứng có hàm đặc trưng không âm Đặt à n = k π n j=1α n j và λ n = k π n j=1e α n j.
. Để à n ⇒à điều kiện cần và đủ là λ n ⇒à.
Chứng minh Giả sửà n là compact cú điều kiện Bởi vỡ e x−1 ≥x với 0≤x≤1, ta có e αn j
Bởi vỡ αˆn j(y) là khụng õm, ta cú ˆλn(y)≥àˆn(y) hoặc 1−λˆn(y)≤1−àˆn(y).
Từ tính compact của {λ n} và định lý 2.3, suy ra rằng {λ n} là tập hợp compact có điều kiện Giả sử {λ n} là compact có điều kiện, theo định lý 5.2 và chú ý sau định lý 5.3, ta có những kết luận quan trọng.
P j=1 α n j hạn chế tới N 0 là compact yếu có điều kiện với mọi lân cận N của gốc.
(ii) Dãy S n các S-toán tử được xác định bởi
(x, y) 2 dF n (x) là compact với mỗi t.
Theo bổ đề 4.2 ta có
2(S n y, y) + 2F n [kxk> t]. Bởi vì Fn là compact yếu ở bên ngoài lân cận bất kỳ của gốc Theo định lí 6.7, chương 1, ta có thể chọn t sao cho ∀n,
2. Bởi vỡ với t cố định,S n là compact Theo định lớ 2.3 suy ra à n là compact cú điều kiện.
Ta sẽ hoàn thành chứng minh bằng cách chỉ ra rằng, bất cứ khi nàoλ n là compact có điều kiện, với mỗi hằng số k, n→∞lim Sup kyk≤k λˆn(y)−àˆn(y)
Nó suy ra từ tính vô cùng bé đều rằng ˆλ n (y)≥àˆ n (y)>0
∀y sao cho kyk ≤k và n đủ lớn (n chỉ phụ thuộc vào k).
Do đó với mọi n đủ lớn,
, Ở đó c là một hằng số không phụ thuộc vào n Do đó, để chứng minh (6.0) ta chỉ cần chỉ ra rằng
Bước cuối cùng được suy ra từ tính compact có điều kiện của λ n =e(F n ).
Bổ đề 6.1 Cho α n j , j = 1,2, , k n là một dãy các phân phối vô cùng bé đều. Giả sử x n j là phần tử được xác định bởi xn j Z kxk≤1 xdαn j.
Chứng minh Các phần tửx n j được xác định tốt là do R kxk≤1
(x, y)dα n j là một hàm tuyến tính bị chặn của y Giả sử ε > 0 là tùy ý, và V là hình cầu {x:kxk ≤ε}. Khi đó x n j ≤ Z
Do ε là tùy ý và α n j là vô cùng bé đều
Bổ đề 6.2 Cho αn j , j = 1,2, , kn là vô cùng bé đều Choxn j là được xác đinh như trong bổ đề 6.1 Nếu θ n j =α n j ∗ −x n j khi đó tồn tại n 0 sao cho ∀1≤j ≤k n và n ≥n 0 ta có
Chứng minh Giả sửn0 là số sao cho
4∀n > n0. Khi đó, vớin > n 0 và 1≤j ≤k n ta có
, Ở đó ∆ký hiệu hiệu đối xứng.
Bổ đề 6.3 khẳng định rằng, cho F n là dãy các độ đo σ-hữu hạn, nếu F n hạn chế tới N’ là hữu hạn và compact yếu có điều kiện với mọi lân cận N của gốc, thì với bất kỳ ε > 0, luôn tồn tại một tập compact K sao cho F n (K 0 ) ≤ ε cho mọi n.
Chứng minh rằng cho một ε > 0 cố định, ta có thể chọn một dãy các hình cầu mở N_r giảm dần tới gốc, với N_{r+1} ⊆ N_r và N_0 là toàn bộ không gian Đặt A_r = N_{r-1} - N_r Theo định lý 6.7 trong chương 1, tồn tại một tập compact K_r ⊆ A_r.
Kr∪ {0} Bởi vì K∩N r 0 =K1∪K2∪ ∪Kr Và Nr giảm tới gốc nên K là compact và
F n (A r −K r )≤ε. Định lý 6.2 Cho α n j , j = 1,2, , k n là một dãy các phân phối vô cùng bé đều trên X Đặt à n = k π n j=1α n j , x n j Z kxk≤1 xdα n j , θn j =αn j∗ −xn j
Khi đú λn là compact dịch chuyển ⇔ àn là compact dịch chuyển và trong trường hợp này n→∞lim Sup kyk≤t λˆ n (y)−àˆ n (y)
Hệ quả 6.1 Để à n ∗x n ⇒ à ở đú x n là một dóy cỏc điểm trong X và à n như trong định lớ 6.2, điều kiện cần và đủ là λ n ∗x n ⇒à.
Hệ quả 6.2 Giới hạn các phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, vô cùng bé đều trong X là chia được vô hạn.
Hệ quả 6.3 Cho àn∗xn⇒à, ở đúàn như trong định lớ 6.2 Khi đúàlà Gaussian
⇔ với mỗi lân cận N của gốc n→∞lim G n (N 0 ) = 0. Ở đó G n k n
Chương 3 Độ đo xác suất trên C[0,1]