Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

LỜI NÓI ĐẦUChúng ta đã được học và tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành, trường,...Mở rộng lên chút nữa tìm hiểu về cấu trúc đại số của độ đo xác suất phức tạp hơn rất n

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRƯƠNG THỊ LIÊN

CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.01.06

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊNH

HÀ NỘI - NĂM 2014

Mục lục

1.1 Đại số Bool 6

1.1.1 Đồng cấu 6

1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ 9

1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes) 10

1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm được 10

1.1.5 Hàm cộng tính trên đại số Bool 11

1.1.6 Đại số thương 11

1.2 Độ đo đại số 12

1.2.1 Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số 12

1.2.2 Tích đơn 13

1.2.3 Topo của độ đo đại số 13

1.2.4 Đồng cấu 13

1.2.5 Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số 14

1.3 Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo 14

1.3.1 Địa phương hóa ngặt 14

1.3.2 Nguyên tử và phi nguyên tử 15

1.4 Định lý trù mật của Lebesgue 15

1.5 Định lý Radon-Nikodym 16

1.5.1 Định lý Radon-Nikodym 16

1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện 16

1.6 Tích vô hạn 17

1.7 Định lý Vitali trên Rr 17

1.8 Matingle 18

1.9 Không gian Riesz 18

1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần 18

1.9.2 Không gian Riesz 19

1.9.4 Không gian Acsimet 19

1.9.5 Không gian Riesz Acsimet 20

1.9.6 Không gian đối ngẫu 20

1.10 Không gian hàm 21

1.10.1 Không gian L0 21

1.10.2 Suprema và infima trong L0 21

1.10.3 Dải trong L0 21

1.11 Tiên đề chọn và bổ đề Zorn 22

1.11.1 Tiên đề chọn 22

1.11.2 Bổ đề Zorn 22

2 ĐỊNH LÝ MAHARAM 23 2.1 Sự phân loại độ đo đại số thuần nhất 23

2.1.1 Nguyên tử tương đối 23

2.1.2 Loại Maharam 27

2.1.3 Đại số Bool thuần nhất 35

2.2 Phân loại độ đo đại số địa phương 35

2.2.1 Định lý Maharam 35

2.2.2 Tế bào (The cellularity) của đại sô Boolean 37

3 ĐỊNH LÝ PHÉP NÂNG 44 3.1 Phép nâng 44

3.2 Mật độ dưới 45

3.3 Định lý phép nâng 47

4 ĐỊNH LÝ KWAPIEN 56 4.1 Toán tử tuyến tính dương từ không gian L0 đến không gian Riesz Acsimet 56

4.2 Toán tử tuyến tính dương trong độ đo đại số nửa hữu hạn 58

KẾT LUẬN 65

Tài liệu tham khảo 66

LỜI NÓI ĐẦU

Chúng ta đã được học và tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản như nhóm,

vành, trường, Mở rộng lên chút nữa tìm hiểu về cấu trúc đại số của độ đo xác

suất phức tạp hơn rất nhiều như đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không

gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm

Luận văn này trình bày ba định lý mà tôi thấy rất hay trong lý thuyết độ đo: Định

lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm bốn chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về đại số Boolean, độ đo đại số.

Phần cuối của chương tôi giới thiệu về không gian Riesz.

Chương 2: Định lý Maharam.

Phần đầu của chương này định nghĩa và mô tả ’sự thuần nhất’ của độ đo xác suất.

Phần sau trình bày được định lý quan trọng Maharam trên sự phân loại của độ đo

đại số.

Chương 3: Định lý phép nâng

Chương này trình bày được phép nâng và mật độ dưới, không gian địa phương hóa

ngặt có mật độ dưới Xây dựng phép nâng từ mật độ Phần cuối của chương mô

Chương 4: Định lý Kwapien

Chương này trình bày một số vấn đề tương đối cơ bản liên quan tới toán tử tuyến

tính dương từ không gian L0 đến không gian Riesz Ascimet Sau đó chuyển sang một phân tích rất quan trọng của Kwapien về toán tuyến tính dương từ không

gian L0 đến không gian L0 của độ đo đại số nửa hữu hạn.

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và tận tình

chỉ bảo của TS Nguyễn Thịnh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như

giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học

Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia

giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy

dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của nhà trường.

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều

kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Hà Nội, Tháng 8 năm 2014.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để tìm hiểu phần chính của luận văn: Định lý Maharam, định lý phép nâng và

định lý Kwapien, chúng ta cần một lượng kiến thức cơ bản được trình bày dưới

đây Chương này không đi sâu nghiên cứu chi tiết mà chỉ cung cấp kiến thức để

chuẩn bị cho các chương sau nên phần kiến thức được trình bày có lẽ hơi rời rạc.

1.1 Đại số Bool

Định nghĩa 1.1.1 +) Vành Bool là vành (A, +, ) trên đó a2 = a, ∀a ∈A

+) Đại số Bool là vành Bool A với đồng nhất nhân 1 = 1A Trong trường hợp này

ta chấp nhận 1 = 0.

Bổ đề 1.1.2 Cho A là vành Bool, I là ideal của A và a ∈ A\I thì có một đồng cấu vành φ :A→Z2 sao cho φa = 1 và φd = 0, ∀d ∈ I.

1.1.1 Đồng cấu

+) Đại số con: Cho A là đại số Bool Đại số con của A có nghĩa là vành con

của A có chứa đồng nhất nhân 1 = 1A.

Mệnh đề 1.1.3 Ideal trong đại số Bool Nếu A là đại số Bool, tập I ⊆A là ideal của A khi và chỉ khi 0 ∈ I, a ∪ b ∈ I, ∀a, b ∈ I bất kỳ và a ∈ I với mọi b ∈ I, a ⊆ b +) Đồng cấu Bool: Đồng cấu Bool có nghĩa là hàmπ : A→B là đồng cấu vành

và π (1A) = 1B.

Mệnh đề 1.1.4 Cho A,B,E là đại số Bool

a) Nếu π :A→B là đồng cấu Bool thì π (A) là đại số con của B.

b) Nếu π : A→ B và θ : B → E là các đồng cấu Bool thì θπ : A→ E là đồng cấu Bool.

c) Nếu π :A→B là đồng cấu Bool và song ánh thì π−1:B→A là đồng cấu Bool Mệnh đề 1.1.5 Cho A,B là đại số Bool và hàm π : A → B Khi đó ta có các điều sau tương đương:

i. π là đồng cấu Bool.

ii. π (a ∩ b) = πa ∩ πb và π (1A\a) = 1B\πa, ∀a, b ∈A

iii. π (a ∪ b) = πa ∪ πb và π (1A\a) = 1B\πa, ∀a, b ∈A

iv. π (a ∪ b) = πa ∪ πb và πa ∩ πb = 0B, a, b ∈A, a ∩ b = 0A, π (1A) = 1B

Bổ đề 1.1.6 Cho A là đại số Bool và A0 là đại số con của A Cho c là phần tử bất kỳ của A thì A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈A0} là đại số con của A Khi đó A1 gọi

là đại số con của A sinh bởi A0∪ {c}.

Bổ đề 1.1.7 Cho A,B là đại số Bool và A0 là đại số con của A và π : A0 → B

là đồng cấu Bool và c ∈A.

Nếu v ∈ B sao cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 và a ⊆ c ⊆ b thì có duy nhất một đồng

Chúng ta sẽ có một số khái niệm quan trọng.

Định nghĩa 1.1.8 : Cho P là tập được sắp riêng phần và C là tập con của P.

a C là có hướng đi lên (upwards-directed) nếu với p, p0 ∈ C bất kỳ có q ∈ C sao cho p ≤ q và p0≤ q Tức là nếu các tập con bất kỳ không rỗng hữu hạn của C đều

có cận trên trong C.

Tương tự, C là có hướng đi xuống (downwards-directed) nếu p, p0 ∈ C bất kỳ có

q ∈ C sao cho p ≤ q và q ≤ p0 Tức là các tập con bất kỳ không rỗng hữu hạn trong

C đều có cận dưới trong C.

b C là đóng có thứ tự nếusup A ∈ C với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi lên của C sao cho supA được định nghĩa trên P và inf A ∈ C với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi xuống của C sao cho infA được xác định trên P.

c C là dãy đóng có thứ tự nếu supn∈Npn ∈ C với mỗi (pn)n∈N là dãy không giảm trên C sao cho supn∈Npn được xác định trên P, và infn∈Npn ∈ C với mỗi (pn)n∈N là dãy không tăng trên C sao cho infn∈Npn được xác định trên P.

d Bảo toàn thứ tự: Cho P và Q là 2 tập được sắp riêng phần và φ : P → Qlà hàm bảo toàn thứ tự nếu φ (p) ≤ φ (q) trên Q với p ≤ q trên P.

e Ta nói rằng φ là liên tục có thứ tự nếu

i. φ (sup A) = sup

p∈A

φ (p) với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi lên của P và supA được xác định trên P.

ii. φ (inf A) = inf

p∈Aφ (p) với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi xuống của P

và infA được xác định trên P.

f. φ là dãy liên tục có thứ tự hoặc σ liên tục có thứ tự nếu:

i.φ (p) = sup

n∈N

φ (pn) với (pn)n∈N là dãy không giảm trên P và p = supn∈Npn trên P.

ii. φ (p) = inf

n∈Nφ (pn) với (pn)n∈N là dãy không tăng trên P và p=infn∈Npn trên P.

g Tập D ⊆ A với A đại số Bool là trù mật có thứ tự nếu ∀a ∈ A, a 6= 0 thì có

d 6= 0, d ∈ D sao cho d ⊆ a .

h Tập Cofinal

i C là cofinal với P nếu mọi p ∈ P có q ∈ C sao cho p ≤ q.

ii Cofinality của P (ký hiệu cf(P)) là lực lượng nhỏ nhất của tập con cofinal bất

kỳ của P.

Mệnh đề 1.1.9 Cho A là đại số Bool.

a Nếu e ∈ A và A ⊆ A là tập không rỗng sao cho supA được xác định trên A thìsup {e ∩ a : a ∈ A} được xác định và bằng e ∩ sup A.

b Nếu e ∈ A và A ⊆ A là tập không rỗng sao cho infA được xác định trên A thì inf{e ∪ a : a ∈ A} được xác định và bằng e∩infA.

c Giả sử rằng A, B ∈A là 2 tập không rỗng và supA, supB được xác định trên A thì sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} được xác định và bằng sup A ∩ sup B.

d Giả sử rằng A, B ∈ A là 2 tập không rỗng và infA, infB được xác định trên A thì inf{a ∪ b : a ∈ A, b ∈ B} được xác định và bằng infA∪infB.

Bổ đề 1.1.10 Nếu A là đại số Bool và D ⊆A là trù mật có thứ tự thì với a ∈ A bất kỳ có tập rời nhau C ⊆ D sao cho sup C = a.

Nói riêng: nếu a = sup {d : d ∈ D, d ⊆ a} thì có phân hoạch đơn vị C ⊆ D.

1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ

Định nghĩa 1.1.11 : Cho P là tập được sắp riêng phần.

a P là Dedekind đầy đủ hoặc tính đầy đủ có thứ tự hoặc đầy đủ một cách có điều

b P là Dedekind σ-đầy đủ hoặc σ-đóng có thứ tự nếu:

i Mọi tập con không rỗng đếm được của P mà có cận trên thì có cận trên nhỏ

nhất.

ii Mọi tập con không rỗng đếm được của P mà có cận dưới thì có cận dưới lớn

nhất.

Bổ đề 1.1.12 Cho A là đại số Bool và A0 là đại số con của A Lấy c ∈A và tập

A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈A0} là đại số con của sinh bởi A0∪ {c}.

a Giả sử rằng A0 là Dedekind đầy đủ Nếu A0 là đóng có thứ tự trong A thì A1 là đóng có thứ tự.

b Giả sử rằng A0 là Dedekind σ-đầy đủ Nếu A0 là σ-đại số con của A thì A1 là

σ-đại số con của A.

1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes)

Định nghĩa 1.1.13 a Cho A là đại số Bool, E là đại số con của A Cho a ∈ A

và viết upr (a,E) =inf{c : c ∈E, a ⊆ c} nếu inf được xác định trên E.

b NếuA ⊆A là tập sao cho upr (a,E)được xác định với mọia ∈ A,a0 = sup Ađược xác định trên A vàc0 = supa∈Aupr (a,E) được xác định trên E thì c0= upr (a0,E).

c Nếu A ⊆A: upr (a,E) được xác định thì upr (a ∩ c,E) = c ∩ upr (a,E) , ∀c ∈E Định nghĩa 1.1.14 Cho (A, µ) , (B, ν)là độ đo đại số.

Đồng cấu Bool π :A→B là bảo toàn độ đo nếu ν (πa) = µa, ∀a ∈A.

1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm được

Định nghĩa 1.1.15 a Đại số Bool A là chuỗi điều kiện đếm được hay c c c nếu

mọi tập con rời nhau của A là đếm được.

b Không gian topo X là c c c hoặc thỏa mãn chuỗi điều kiện đếm được hoặc tính

chất Souslin nếu mọi tập hợp rời nhau của tập mở trong X là đếm được.

Hệ quả 1.1.16 Cho A là c c c đại số Bool.

a Nếu A là Dedekind σ-đầy đủ thì A là Dedekind đầy đủ.

b Nếu A ⊆A là dãy đóng có thứ tự thì A đóng có thứ tự.

c Nếu Q là tập đóng hoàn toàn và φ :A→ Q là hàm bảo toàn thứ tự của dãy liên tục có thứ tự thì φ là liên tục có thứ tự.

1.1.5 Hàm cộng tính trên đại số Bool

Định nghĩa 1.1.17 Cho A là độ đo đại số Hàm ν :A→R là cộng tính hữu hạn hoặc chỉ cộng tính nếuν (a ∪ b) = νa + νb với mỗi a, b ∈ A, a ∩ b = 0.

Thỉnh thoảng ta gọi hàm cộng tính không âm là độ đo cộng tính hữu hạn.

1.1.6 Đại số thương

Định nghĩa 1.1.18 Vành thương Cho R là một vành và I là ideal trong R Một

lớp của I là một tập có dạng a + I = {a + x : x ∈ I} , a ∈ R.

R/I là tập các lớp I của R Viết a• thay cho a+I.

Mệnh đề 1.1.19 Cho A là đại số Bool và I là ideal của A Thì vành thương

A/I là đại số Bool và ánh xạ chính tắc a 7→ a• : A → A/I là đồng cấu Bool và(a∆b)•= a•∆b•, (a ∪ b)• = a•∪ b•, (a ∩ b)• = a•∩ b•, (a\b)•= a•\b• với mọi a, b ∈A.

µa > 0 với mỗi a ∈A, a 6= 0.

Mệnh đề 1.2.2 Cho (A, µ) là độ đo đại số và A ⊆A là tập không rỗng có hướng

đi lên Nếu supa∈Aµa < ∞ thì supA được xác định trên A và µ (sup A) = supa∈Aµa.

1.2.1 Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số

Định nghĩa 1.2.4 Cho (A, µ) là độ đo đại số.

a Ta nói rằng (A, µ) là độ đo xác suất nếu µ1 = 1.

b. (A, µ) là hữu hạn hoàn toàn nếu µ1 < ∞.

c. (A, µ) là σ-hữu hạn nếu có dãy (an)n∈N trong A sao cho µan < ∞, ∀n ∈N vàsupn∈Nan = 1.

d. (A, µ) là nửa hữu hạn nếu với mỗi a ∈A, µa = ∞ có b 6= 0, b ⊆ a sao cho µb < ∞ Mệnh đề 1.2.5 : Cho (A, µ) là độ đo đại số nửa hữu hạn thì các điều sau tương đương với nhau

i. (A, µ) là σ-hữu hạn

số (Ai, µi) của Xi,P

i, µi

b Cho (A, µ) là độ đo đại số địa phương Nếu (ei)i∈I là phân hoạch đơn vị của A thì (A, µ) đẳng cấu với tích Q

i∈I(Aci, µ  Ac i) của ideal chính tương ứng.

1.2.3 Topo của độ đo đại số

Mệnh đề 1.2.6 Nếu (A, µ) là độ đo đại số địa phương và B là đại số con của A thì bao đóng B của B trong A là đại số con hay nói một cách chính xác B đóng

có thứ tự của A sinh bởi B.

Bổ đề 1.2.7 Nếu (A, µ) là độ đo đại số địa phương và B là đại số con đóng của

A thì a ∈A bất kỳ đại số con E của A sinh bởi B∪ {a} là đóng.

1.2.4 Đồng cấu

Định nghĩa 1.2.8 Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số.

Đồng cấu Bool π :A→B là bảo toàn độ đo nếu ν (πa) = µa, ∀a ∈A.

Mệnh đề 1.2.9 Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số và đồng cấu Bool

π :A→B bảo toàn độ đo.

a. π là đơn ánh.

b. (A, µ) là hữu hạn hoàn toàn nếu và chỉ nếu (B, ν) cũng hữu hạn hoàn toàn và trong trường hợp này π là liên tục có thứ tự và π [A] là đại số con đóng của B Mệnh đề 1.2.10 Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn, đại số con A0 topo trù mật của A và π : A0→B là đồng cấu Bool sao cho

ν (πa) = µa, ∀a ∈ A0 thì π là mở rộng duy nhất tới đồng cấu bảo toàn độ đo từ A tới B.

Định nghĩa 1.2.11 Cho A là đại số Bool Hàmν :A→R là cộng tính đếm được hoặc σ- cộng tính nếu

n∈N

an

 với (an)n∈Nrời nhau và sup

n∈N

an được xác định trên A.

Định nghĩa 1.2.12 Cho A là đại số Bool Hàm ν : A → R là cộng tính đầy đủ

hoặc τ -cộng tính nếu ν là cộng tính hữu hạn và inf

a∈A |νa| = 0 với mỗi A là tập không rỗng có hướng đi lên trên A với inf =0.

1.2.5 Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số

Định nghĩa 1.2.13 Cho (A, µ) là độ đo đại số và ν :A→R là phiếm hàm cộng tính hữu hạn thì ν là liên tục tuyệt đối đối với µ nếu cho ∀ε > 0 có δ > 0 sao cho

|νa| ≤ ε với mỗi µa ≤ δ .

1.3 Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo

1.3.1 Địa phương hóa ngặt

Định nghĩa 1.3.1 Cho (X,P, µ) là không gian độ đo Thì µ hoặc (X,P, µ) là địa phương hóa (localizable) nếu µ là nửa hữu hạn và ∀ε ∈P có H ∈P sao cho

i,E × H bỏ qua được ∀E ∈ ε.

ii, Nếu G ∈P và E\G là bỏ qua được ∀E ∈ ε thì H\G là bỏ qua được.

Ta có thể gọi H là tập hợp tất cả các cận trên đúng thực sự của E trong P.

Định nghĩa 1.3.2 Cho(X,P

, µ) là không gian độ đo thìµ hoặc(X,P

, µ) là địa phương hóa ngặt (strictly localizable) hoặc khai triển được nếu có một phân hoạch

hXiii∈I của X trên tập đo được của độ đo hữu hạn sao cho

Ta gọi họ hXiii∈I là sự khai triển của X.

1.3.2 Nguyên tử và phi nguyên tử

Định nghĩa 1.3.3 Cho (X,P, µ) là không gian độ đo Tập E ∈P là nguyên tử đối với µ nếu µE > 0 và ∀F ∈ P

, F ⊆ E thì một trong hai tập F, E\F là bỏ qua được.

Định nghĩa 1.3.4 Cho (X,P

, µ) là không gian độ đo Thì µ hoặc (X,P

, µ) là phi nguyên tử hoặc tán xạ nếu không có nguyên tử nào của µ.

ii) ν là cộng tính hữu hạn và liên tục thực sự đối với µ.

Mệnh đề 1.5.2 Cho (X,P, µ) là không gian độ đo và ν : P→R là phiếm hàm cộng tính hữu hạn.

a Nếu ν là cộng tính đếm được thì ν là liên tục tuyệt đối đối với µ nếu và chỉ nếu

νE = 0 mỗi khi µE = 0.

b. ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi:

i. ν là cộng tính đếm được.

ii. ν là liên tục tuyệt đối.

iii Với mỗi E ∈P và νE 6= 0 có F ∈P sao cho µF < ∞ và µ (E ∩ F ) 6= 0.

c Nếu (X,P, µ) là σ-hữu hạn thì ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi ν là cộng tính đếm được và liên tục tuyệt đối đối với µ.

d Nếu (X,P, µ) là hữu hạn hoàn toàn thì ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi ν là liên tục tuyệt đối đối với µ.

1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.5.3 Cho (X,P

, µ) là không gian xác suất hoặc không gian độ đo với µX = 1 Cho T ⊆P là σ- đại số con Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của f trên T là hàm g µT-khả tích sao cho R

gd (µT ) = R gdµ, ∀F ∈ T.

Ta có g là hàm T-đo được xác định khắp nơi trong X.

i, ∀i ∈ I và {i : Ci6= Xi} hữu hạn.

1.7 Định lý Vitali trên Rr

Định lí 1.7.1 Cho A ⊆ Rr là tập bất kỳ, và I là họ hình tròn đóng không tầm thường trên Rr sao cho mọi điểm của A chứa phần tử nhỏ bất kỳ của I thì có một tập đếm được rời nhau I0 ⊆ I sao cho µ (A\SI) = 0.

Hệ quả 1.7.2 a Nếu D ⊆Rr là tập bất kỳ thì lim

δ↓0

µ∗(D∩B(x,δ)) µB(x,δ) = 1 hầu hết x ∈ D.

b Nếu E ⊆Rr là tập đo được thì lim

δ↓0

µ(E∩B(x,δ)) µB(x,δ) = χE (x).

n→∞Xn(ω) được xác định với hầu hết lim

n→∞E (|X∞− Xn|) = 0 và X∞

là kỳ vọng có điều kiện của X trên P

∞.

1.9 Không gian Riesz

1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần

Định nghĩa 1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần là không gian

tuyến tính (U, +, ) trên R có thứ tự với ≤ sao cho:

u ≤ v ⇒ u + ω ≤ v + ω

u ≥ 0, v ≥ 0 ⇒ αu ≥ 0với u, v, ω ∈ U, α ∈R

Định nghĩa 1.9.2 Toán tử tuyến tính dương

Cho U và V là hai không gian tuyến tính được sắp từng phần Viết L (U ; V ) cho tập các toán tử tuyến tính từ U đến V Nếu T ∈ L (U ; V ) và T ≥ 0 thì T được gọi

là toán tử tuyến tính dương.

Định nghĩa 1.9.3 Đồng cấu Riesz

Cho U, V là không gian tuyến tính được sắp từng phần Một đồng cấu Riesz từ U

đến V là một toán tử tuyến tính T : U → V sao cho với mỗi A ⊆ U là tập hữu hạn không rỗng và infA=0 trong U thì infT [A] = 0 trong V.

1.9.2 Không gian Riesz

Định nghĩa 1.9.4 Một dàn là một tập(P, ≤) được sắp thứ tự từng phần sao cho

p, q ∈ P bất kỳ: p ∨ q = sup {p, q} và p ∧ q =inf{p, q} được xác định trên P.

Định nghĩa 1.9.5 Không gian Riesz hoặc dàn vectơ là không gian tuyến tính

được sắp từng phần mà nó là một dàn.

1.9.3 Dải

Định nghĩa 1.9.6 Cho U là không gian Riesz Một dải hoặc không gian con

chuẩn tắc của U là không gian con tuyến tính được sắp từng phần.

Định nghĩa 1.9.7 Dải phép chiếu

Cho U là không gian con Riesz Khi đó một dải phép chiếu trên U là một tập

V ⊆ U sao cho V + V⊥= U.

1.9.4 Không gian Acsimet

Định nghĩa 1.9.8 Cho không gian tuyến tính được sắp từng phần U thỏa mãn các điều tương đương sau:

i Nếu u, v ∈ U sao cho nu ≤ v, ∀n ∈N thì u ≤ 0.

ii Nếu u ≥ 0 trong U thì infδ>0δu = 0 thì U được gọi là không gian Acsimet.

1.9.5 Không gian Riesz Acsimet

Định nghĩa 1.9.9 Không gian Riesz U là Acsimet nếu mọi u ∈ U, u > 0 ( tức là

u ≥ 0 và u 6= 0) và v ∈ U thì cón ∈ N sao cho nu v.

Định nghĩa 1.9.10 Không gian Riesz U là Dedekind đầy đủ (hoặc đầy đủ có

thứ tự, hoặc đầy đủ) nếu mọi tập không rỗng A ∈ U bị chặn trong U thì có cận trên nhỏ nhất trong U.

Không gian Riesz U là Dedekind σ-đầy đủ (hoặc σ-đầy đủ có thứ tự, hoặc σ-đầy đủ) nếu mọi tập không rỗng đếm đượcA ∈ U bị chặn trên thì có cận trên nhỏ nhất trong U.

1.9.6 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.9.11 Cho U là không gian Riesz

a Ta viết U∼ cho không gian L∼(U,R) của phiếm hàm tuyến tính giá trị thực bị chặn có thứ tự trên U , gọi là đối ngẫu bị chặn có thứ tự của U.

b Viết Uc∼ cho không gian L∼c (U,R) dãy phiếm hàm tuyến tính dương nhận giá trị thực liên tục có thứ tự , gọi là dãy đối ngẫu liên tục có thứ tự.

c Viết U× cho không gian L×(U,R) các phiếm hàm tuyến tính dương nhận giá trị thực liên tục có thứ tự trên U, gọi là đối ngẫu liên tục có thứ tự của U.

Bổ đề 1.9.12 Giả sử rằng U là không gian Riesz sao cho U∼ phân tách các điểm của U thì U là Acsimet.

1.10.2 Suprema và infima trong L0

Mệnh đề 1.10.2 Cho A là đại số Bool Dedekind σ đầy đủ và tập con A của

L0= L0(A).

a) A bị chặn trên trong L0 nếu và chỉ nếu có một dãy (cn)n∈N trong A với infimum

0 sao cho [[u > n]] ⊆ cn, ∀u ∈ A.

b) Nếu A khác rỗng thì A có supremum trog L0 khi và chỉ khi cα = supu∈A[[u > α]]được xác đinh trong A với mọi α ∈ R và infn∈Ncn = 0; Trong trường hợp này

Bổ đề 1.10.4 Cho A là đại số Bool Dedekind σ đầy đủ và tập A ⊆ L0
+ không

bị chặn dưới trên L0, với L0 = L0(A) Nếu cả A là đếm được và A là Dedekind đầy

đủ thì có v > 0 trên L0 sao cho nv = supu∈Au ∧ nv, ∀n ∈N.

Bổ đề 1.10.5 Cho A là đại số Bool σ đầy đủ Dedekind Giả sử rằng A ⊆ L0
+

là rời nhau Nếu cả A là đếm được và A là Dedekind đầy đủ thì A bị chặn trên trên

L0(A).

Định lí 1.10.6 Cho U là không gian Riesz sao cho U× phân tách các điểm của

U Thì U có thể được nhúng vào không gian con Riesz trù mật có thứ tự của L0(A)đối với một số độ đo đại số địa phương (A, µ).

1.11 Tiên đề chọn và bổ đề Zorn

1.11.1 Tiên đề chọn

Cho tập I bất kỳ và (Xi)i∈I là một họ các tập không rỗng có chỉ số trong I thì

có một hàm f với miền xác định là I sao cho f (i) ∈ Xi, ∀i ∈ I.

1.11.2 Bổ đề Zorn

Cho (P, ≤) là tập không rỗng được sắp thứ tự từng phần sao cho mọi tập con được sắp thứ tự hoàn toàn của P có cận trên trong P thì P có phần tử cực đại.

Chương 2

ĐỊNH LÝ MAHARAM

Chương này giới thiệu về định lý Maharam và các kết quả cơ bản của định lý.

Độ đo {0, 1} có cấu trúc đơn giản và nhiều tính chất được ứng dụng Vì vậy định lý Maharam đã chứng minh được rằng mọi độ đo đại số địa phương đẳng cấu

được với một họ tích các độ đo đại số thì họ tích các độ đo đại số đó sẽ đẳng cấu

được với độ đo thường Để có được định lý Maharam chúng ta tìm hiểu một bổ đề

quan trọng và phân loại độ đo đại số địa phương.

2.1 Sự phân loại độ đo đại số thuần nhất

2.1.1 Nguyên tử tương đối

Định nghĩa 2.1.1 Cho A là đại số Bool và B là đại số con đóng có thứ tự của

A.

Khi đó a ∈A, a 6= 0 là nguyên tử tương đối trên B nếu ∀c ∈ a có dạng c = a ∩ b,

b ∈B, nghĩa là {a ∩ b : b ∈B} là ideal chính sinh bởi a.

A là phi nguyên tử tương đối trên B nếu trong A không có nguyên tử tương đối

trên B.

Bổ đề sau đây là trọng tâm của định lý Maharam

Bổ đề 2.1.2 Cho (A, µ) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn và B là đại số con đóng của A sao cho A là nguyên tử tương đối trên B.

Cho ν :B→R là hàm cộng tính sao cho 0 ≤ νb ≤ µb ∀b ∈B Thì có c ∈A sao cho νb = µ (b ∩ c), ∀b ∈ B.

Chứng minh a Cần chứng minh ν là cộng tính đếm được.

Trong trường hợp này ∀b ∈ B:

νdb = νa(b/b0) − νe(b/b0) = 12(λ (b/b0) + νa(b/b0)) ≤ 12νab (vì λ (b ∩ b0) ≥ 0).

Vậy νd ≤ 12νa.

c Nếu có a ∈A, a 6= 0 và n ∈ N thì có d ⊆ a, d 6= 0, νd ≤ 2−nνa.

d Cho C = {a : a ∈A, νa ≤ ν} 0 ∈ C ⇒ C 6= ∅ Nếu D ⊆ C là có hướng đi lên và

D 6=∅ thì a = sup D được xác định trên A.

Và νsup Db = µ (b ∩ sup D) = µ (supd∈Db ∩ d) = sup

Vậy a ∈ C và a là lân cận của D trong C.

Nói riêng, tập con bất kỳ khác rỗng được sắp hoàn toàn của C đều có cận trên

trong C.

Theo bổ đề Zorns, C có phần tử cực đại là c.

e Giả sử νc 6= ν Có b∗ ∈B sao cho νcb∗ 6= νb∗ Từ νc ≤ ν, νcb∗≤ νb∗ Cho n ∈N sao

Nhưng d ∪ c ∈ C và c không là cực đại trong C.

Như vậy c là phần tử của A cho bởi phép biểu diễn của ν.

Ta có hệ quả trực tiếp của bổ đề này.

Hệ quả 2.1.3 Cho (A, µ) là độ đo đại số nửa hữu hạn phi nguyên tử và a ∈ A.

Giả sử rằng 0 ≤ γ ≤ µa thì có c ∈A sao cho c ⊆ a, µc = γ.

Chứng minh

Nếu γ < µa có d ∈A sao cho d ⊆ a, γ ≤ µd ≤ ∞

Áp dụng bổ đề 2.1.2 có một ideal chính Ad sinh bởi d, với β = {0, d} , νd = γ(vì A là phi nguyên tử, không phải là ideal chính tầm thường của Ad có dạng{c ∩ b : b ∈B} = {0, c}).

Bổ đề 2.1.4 Cho (A, µ), (B, ¯ν) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn và E ⊆ A là đại số con đóng Giả sử rằng π : E→B là đồng cấu Bool bảo toàn độ đo sao cho

B là phi nguyên tử tương đối trên π (E) Lấy a ∈A bất kỳ và cho E1 là độ đo đại

số con của A sinh bởi E∪ {a} Thì có đồng cấu bảo toàn độ đo từ E1 → B thác triển π.

Ta thấy π1 là bảo toàn độ đo.

, µ) hoặc của µ là loại Maharam của A và(X,P

, µ) hoặcµ là loại Maharam thuần nhất nếu A là loại Maharam thuần nhất.

Mệnh đề 2.1.5 Cho A là đại số Bool, B là tập con của A Cho B là đại số con

của A sinh bởi B, Bσ là σ- đại số con của sinh bởi B và Bτ là đại số đóng có thứ

tự của A sinh bởi B.

a) B⊆Bσ ⊆Bτ

b) Nếu B là hữu hạn thì B là hữu hạn và trong trường hợp này B=Bσ =Bτ

ii Để ước lượng độ lớn của B ta nhớ lại rằng tập [B]<ω của mọi tập con hữu hạn của B có hầu hết lực lượng max (ω, # (B)) Với mỗi I ∈ [B]<ω, CI là hữu hạn.

Cho (an)n∈N là dãy không giảm trong B0σ với supremum a trong A Với mỗi n ∈ N

có dãy đếm được I(n) ⊆ B sao cho an ∈ EI(n) Tập K = S

n∈N

I(n) thì K là tập con đếm được của B và với mọi an ∈DK ,như vậy a ∈DK ⊆B0σ.

Vậy B0σ là σ - đại số con của bao hàm B và bao phủ toàn bộ Bσ.

e) Từ hệ quả 1.1.16, B là đóng có thứ tự trong A và B =B

Mệnh đề 2.1.6 Cho A là đại số Bool

a) i) τ (A) = 0 ⇔

(

A= {0}

A= {0, 1}

ii) τ (A) hữu hạn khi và khi A hữu hạn.

b) Nếu B là đại số Bool khác vàπ : A→B là toàn ánh liên tục có thứ tự đẳng cấu Bool thì τ (B) ≤ τ (A).

c) Nếu a ∈A thì τ (Aa) ≤ τ (A), Aa là ideal chính của A sinh bởi a.

d) Nếu A có nguyên tử và là loại maharam thuần nhất thì A= {0, 1}.

ii. τ (A) hữu hạn khi và khi A hữu hạn.

Nếu A hữu hạn thì τ (A) ≤ # (A) là hữu hạn.

Nếu τ (A) hữu hạn thì có tập hữu hạn B ⊆A, B sinh bởi A, theo mệnh đề 2.1.5, A hữu hạn.

b) Chúng ta biết rằng có A ⊆A, τ-sinh bởi A với # (A) = τ (A), π [A] τ-sinh bởi

Chứng minh

a) Nếu τ (A) = τ (B) = 0, trường hợp này tầm thường.

Xét trường hợp τ (A) = τ (B) < κ Vì A,B là loại Maharam thuần nhất nên A,B

có thể là phi nguyên tử và vô hạn , do đó κ vô hạn.

Cho aξ

ξ<κ, bξ

ξ<κ lần lượt là tập con đếm được τ-sinh bởi của A,B.

Định hướng của chứng minh là xác định đẳng cấu bảo toàn độ đoπ : A→B Sau

đó xác định đẳng cấu của họ tăng πξ

ξ≤κ giữa đại số con đóng Eξ,Dξ của A và B.

Giả thiết quy nạp sẽ là cho họ a0ξ

ξ<κ, b0ξ

ξ<κđể xác định được :

Eξ là đại số con đóng của A sinh bởi {aη : η < ξ} ∪ {a0η : η < ξ} .

Dξ là đại số con đóng của B sinh bởi {bη : η < ξ} ∪ {b0η : η < ξ}.

πξ :Eξ →Dξ là đẳng cấu bảo tòan độ đo.

πξ thác triển của πη với mỗi η < ξ (nói về mặt hình thức thì đây là 1 phép đệ quy siêu hạn xác định bởi hàm ξ 7→ f (ξ) = Eξ,Dξ, πξ, a0ξ, b0ξ
trên κ + 1 bước bởi quy tắc chọn hàm f (ξ) của f ξ Ta xây dựng 1 hàm thực F sao cho f (ξ) = F (f  ξ)

sẽ thỏa mãn yêu cầu tiên đề chọn ).

b) Ta bắt đầu xây dựng với E0 = {0, 1} ,D0 = {0, 1} , π0(0) = 1, π0(1) = 1 (giả thiết µ1 = ν1, chúng ta cần đảm bảo là π0 bảo toàn độ đo).

c) Bước quy nạp tiếp cho ξ + 1 với ξ < κ Giả sử rằng Eξ,Dξ, πξ đã được xác định.

i) Cho b ∈ B, b 6= 0, ideal chính Bb của B sinh bởi b là loại Maharam k, vì B là loại Maharam thuần nhất Mặt khác, Loại Maharam của Dξ là hầu hết

# ({bη : η ≤ ξ} ∪ {b0η : η < ξ}) ≤ # (ξ × {0, 1}) < κ

Vìξ là hữu hạn nên ξ × {0, 1} cũng hữu hạn.

< κ = τ (Aa) , ∀a ∈ A, sử dụng bổ đề 2.1.4 để tìm đẳng cấu bảo toàn

độ đo ψξ : Dξ+1 → Eξ+1 thác triển của φ−1ξ với Dξ+1 là đại số con của sinh bởi

D0ξ∪

bξ và Eξ+1 là đại số con đóng của A sinh bởi E0ξ∪

a0ξ Đặt a0ξ = ψξ bξ
.

Từ i) ta tìm được Eξ+1 là đại số con đóng của A sinh bởi {aη : η ≤ ξ} ∪ {a0η : η ≤ ξ}

và Dξ+1 là đại số con của B sinh bởi {bη : η ≤ ξ} ∪ {b0η : η ≤ ξ}.

d) Do đó ta có thể lấy πξ+1 = ψξ0 : Eξ+1 → Dξ+1 và ta có πξ+1 là đẳng cấu bảo toàn độ đo thác triển πξ sao cho πξ+1 aξ
= bξ0, πξ+1 a0ξ
= bξ.

Rõ ràng πξ+1 thác triển của πη, ∀η ≤ ξ vì πξ+1 thác triển của πξ và πξ thác triển củaπη với mỗi η < ξ(giả thiết quy nạp).

Cho Eξ là đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa E∗ξ tức là bao đóng metric của E∗ξtrong A (mệnh đề 1.2.7) Từ Eξ là đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa Eη, ∀η < ξ,

Eξ là đại số con đóng của A sinh bởi {aη : η < ξ} ∪ {a0η : η < ξ}.

Từ mệnh đề 1.2.11, π∗ξ có một mở rộng tới đồng cấu bảo toàn độ đo

πξ :Eξ →B Tập Dξ = πξEξ , từ mệnh đề 1.2.10, Dξ là đại số con đóng của B.

Vìπξ :Eξ →B là liên tục nên D∗ξ = πξ∗Eξ∗

= πξEξ∗ là topo trù mật trên Dξ và

Dξ =D∗

ξ là đại số con đóng của B sinh bởi {bη : η < ξ} ∪ {b0η : η < ξ}.

Cuối cùng, nếu η < ξ, πξ thác triển của πη vì πξ∗ thác triển của πη Như vậy phép quy nạp được tiếp tục.

e) Kết thúc phép quy nạp với ξ = κ,Eκ =A,Dκ =B, π = πκ :A→B là đẳng cấu