Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Định lý M−test Weierstrass chứng minh rằng nếu giới hạn lim n x nk = x k với mọi k và |x nk | ≤ M k, trong đó tổng P kM k hội tụ, thì tổng P kx k và tất cả các tổng P kx nk cũng hội tụ, và lim n P kx nk = P kx k.
Chứng minh Do P kM k < ∞ nên chuỗi P kx nk hội tụ tuyệt đối.
Với cho trước, chọn k 0 sao cho P k>k 0 M k < /3 và n 0 sao cho n > n 0 thì
|x nk −x k | < /3k 0 vớik ≤ k 0 Khi đó vớin > n 0 thì|P kx nk −P kx k | <
Chúng ta ký hiệu không gian metric làS và metric của nó làρ(x, y); không gian metric chính là cặp (S, ρ) Với các tập con A của S, ký hiệu A − , A o và
Khoảng cách từ một điểm x đến tập A được định nghĩa là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A} Từ bất đẳng thức ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A), ta có thể suy ra rằng ρ(ã, A) liên tục Ký hiệu B(x, r) là hình cầu mở với B(x, r) = {y : ρ(x, y) < r}, trong khi hình cầu đóng được ký hiệu là B(x, r) − Lân cận của một tập A được định nghĩa là tập mở A = {x : ρ(x, A) < }.
So sánh các metric Giả sử ρ và ρ 0 là hai metric trên cùng không gian
S Để nói rằng tô pô ρ 0 là lớn hơn tô pô ρ là để nói các lớp tương ứng O và
O 0 của các tập mở trong mối quan hệ
Tô pô ρ 0 được coi là tốt hơn tô pô ρ nếu với mọi x và r, tồn tại một r 0 sao cho B 0 (x, r 0 )⊂ B(x, r) Ánh xạ đồng nhất i từ (S, ρ 0 ) vào (S, ρ) là liên tục nếu và chỉ nếu G∈ O kéo theo G = i −1 G ∈ O 0, tức là (1.1) đúng Điều này đồng nghĩa với việc ρ 0 (x n , x)→0 kéo theo ρ(x n , x)→0, thể hiện rằng tô pô ρ 0 "tốt hơn" tô pô ρ Một metric ρ được gọi là rời rạc khi ρ(x, y) = 1 với x≠y, dẫn đến S có tô pô tốt nhất Hai metric và tô pô tương ứng được coi là tương đương nếu mỗi metric là tốt hơn cái kia, nghĩa là (S, ρ) và (S, ρ 0 ) là đồng phôi; do đó, "tốt hơn" không nhất thiết có nghĩa là "tốt hơn nghiêm ngặt".
Không gian S được coi là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật, đếm được Một cơ sở của S là tập hợp các tập mở, trong đó mỗi tập mở là hợp của các tập trong lớp cơ sở đó Một phủ mở của A là tập hợp các tập mở mà hợp của chúng chứa A Định lý 1.1.2 chỉ ra rằng ba điều kiện sau đây là tương đương.
(ii) S có một cơ sở đếm được.
(iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được.
Để chứng minh rằng V là một cơ sở, ta cần chỉ ra rằng nếu G₁ là hợp của các phần tử của V và G₁ ⊂ G, thì G = G₁ Giả sử x ∈ D, d ∈ D và r là số hữu tỷ sao cho x ∈ B(d, r) ⊂ G Vì D là trù mật, tồn tại d ∈ D sao cho ρ(x, d) < ε/2 Chọn r thỏa mãn ρ(x, d) < r < ε/2, từ đó suy ra x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ε) và G ⊂ G₁.
Giả sử {V1, V2, } là một cơ sở đếm được và {Gα} là một phủ mở của A, trong đó α chạy trên một tập chỉ số tùy ý Đối với mỗi V k, tồn tại một G α thỏa mãn điều kiện V k ⊂ G α Chúng ta chọn G α k là một tập trong G α chứa V k.
Khi đó, A⊂ S kG α k 3.(iii)→(i) Với mỗi n, {B(x, n −1 ) : x ∈S} là một phủ mở của S.
Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(x nk , n −1 ) : k = 1,2, } Tập đếm được {x nk : n= 1,2, } là trù mật trong S.
Một tập con M của S được gọi là khả ly nếu tồn tại một tập đếm được D trù mật trong M (M ⊂ D − ) Mặc dù D không nhất thiết phải là tập con của M, ta có thể dễ dàng tổ chức điều này Giả sử rằng {d_k} là tập trù mật trong M, ta lấy x_kn là điểm giao nhau của B(d_k, n − 1) và M (nếu có) Chọn x trong M và dương, cùng với n và d_k sao cho ρ(x, d_k) < n − 1 < /2 Vì B(d_k, n − 1) chứa điểm x của M, nên nó cũng chứa x_kn và ρ(x, x_kn) < Do đó, x_kn sẽ tạo thành một tập con trù mật đếm được của M Định lý 1.1.3 khẳng định rằng tập con M của S là khả ly.
(i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G∩M và G mở thì x∈ A⊂ A − ⊂ G với A nào đó trong A.
(ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindel¨of).
Để chứng minh, ta lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và A là tập hợp các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ Nếu x thuộc G∩M và G là mở, ta chọn B(x, ε) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < ε/2 và chọn số hữu tỷ r với điều kiện ρ(x, d) < r < ε/2 Từ đó, ta suy ra rằng x thuộc B(d, r) và B(d, r) nằm trong B(x, ε) và G.
2.(ii) Lấy A = {A 1 , A 2 , } là lớp của phần (i) Cho một phủ mở {G α } của M, với mỗi A k chọn một G α k chứa nó (nếu có) Thì M ⊂ S kG α k
Tính khả ly là một tính chất tô pô: Nếu ρvà ρ 0 là hai metric tương đương thì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ 0 -khả ly.
Tính đầy đủ Một dãy {x n } là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu sup i,j≥n ρ(x i , x j )→ n 0.
Một tập M được coi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong M đều có giới hạn nằm trong tập đó Tập đầy đủ cũng tự nhiên là một tập đóng Một dãy cơ bản sẽ hội tụ nếu nó bao gồm một dãy con hội tụ, điều này giúp chúng ta dễ dàng kiểm tra tính đầy đủ của dãy.
Tính đầy đủ không phải là một tính chất tô pô Ví dụ, tập S = [1,∞) là đầy đủ theo metric thông thường (ρ 0 (x, y) = |x − y|), nhưng không đầy đủ theo metric tương đương ρ(x, y) = |x −1 −y −1 | Do đó, một không gian metric (S, ρ) được coi là không gian đủ tô pô nếu tồn tại một metric tương đương với ρ mà theo đó không gian này là đầy đủ.
Cho một metric ρ trên S, xác định b(x, y) = 1∧ρ(x, y) (1.2)
Hàm φ(t) = 1∧t là không giảm và thỏa mãn điều kiện φ(s+t)≤ φ(s) + φ(t) với s, t≥ 0, do đó b được xác định là một metric tương đương với ρ Hơn nữa, vì φ(t) ≤ t với t ≥ 0 và φ(t) = t khi 0≤ t≤ 1, nên một dãy được coi là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó cũng là ρ-cơ bản Điều này có nghĩa rằng tập S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ.
Tính compact của một tập A được định nghĩa là nếu mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn Một -lưới cho A là tập hợp các điểm {x k } sao cho với mỗi x trong A, tồn tại một x k thỏa mãn ρ(x, x k ) < Tập A được coi là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi số dương, nó có một -lưới, mặc dù các điểm này có thể không nằm trong A Định lý 1.1.4 khẳng định rằng ba điều kiện sau là tương đương.
(ii) Mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ (giới hạn nằm trong A − ). (iii) A là hoàn toàn bị chặn và A − là đầy đủ.
Chứng minh rằng A = A − là tập đóng được thực hiện bằng cách chỉ ra rằng A − đúng nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong A − có một dãy con hội tụ tới một điểm trong A − Hơn nữa, A được coi là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu A − cũng hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii): (i 1 ) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn.
(i 2 ) Nếu A⊂ S nG n , ở đú G n mở và G 1 ⊂ G 2 ⊂ ã ã ã thỡ A ⊂G n với n nào đó.
(i 3 ) Nếu A ⊃ F 1 ⊃ F 2 ⊃ ã ã ã, ở đú F n là đúng và khỏc trống thỡ T nF n là khác trống. Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i 1 ),(i 2 ),(i 3 ),(ii),(iii) là tương đương.(i 1 )↔(i 2 ) Hiển nhiên, (i 1 ) kéo theo (i 2 ).
Nếu {G n} phủ A, chúng ta có thể thay thế G n bằng S k≤nG k Đầu tiên, (i 2) chỉ ra rằng A∩D n ↑A dẫn đến A∩G n = A cho một n nào đó Trong khi đó, (i 3) cho biết A∩F n ↓ ∅ dẫn đến A∩F n = ∅ cho một n nào đó, với điều kiện F n không nhất thiết phải nằm trong A Nếu F n = G c n, hai phát biểu này trở nên tương đương.
(i 3 ) ↔ (ii) Giả sử (i 3 ) đúng Nếu {x n } là một dãy trong A, lấy B n {x n , x n+1 , } và F n = B n − Mỗi F n là không trống, do đó nếu (i 3 ) đúng thì
T nF n chứa x nào đó Do x là nằm trong bao đóng của B n nên có i n sao cho i n ≥ n và ρ(x, x i n ) < n −1 ; chọn i n quy nạp sao cho i 1 < i 2 < ã ã ã Khi đú, lim n ρ(x, x i n ) = 0: (ii) đúng.
Nếu F n là các tập đóng giảm và khác rỗng, thì x n ∈ F n và x là giới hạn của một dãy con nào đó, từ đó suy ra x ∈ T n F n Nếu A không hoàn toàn bị chặn, tồn tại một dãy vô hạn {x n} trong A với khoảng cách ρ(x m, x n) ≥ ε cho m ≠ n, dẫn đến {x n} không có dãy con hội tụ, do đó (ii) kéo theo A hoàn toàn bị chặn Hơn nữa, A là đầy đủ vì nếu {x n} là một dãy cơ bản và có dãy con hội tụ tới x, thì toàn bộ dãy {x n} cũng hội tụ tới x.
Hội tụ yếu trên đường thẳng
Trong lý thuyết độ đo, có nhiều khái niệm về hội tụ của độ đo, trong đó hội tụ yếu của độ đo xác suất là khái niệm thường được nhắc đến trong lý thuyết xác suất Hội tụ yếu của độ đo xác suất được phát triển từ hội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực.
Cho F_n, n ∈ N và F là các hàm phân phối F_n hội tụ yếu tới F khi n → ∞ nếu giới hạn n→∞lim F_n(x) = F(x) với mọi điểm liên tục x của F Nếu hàm giới hạn F là liên tục, thì hội tụ yếu sẽ xảy ra với mọi x.
Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được diễn đạt qua các độ đo xác suất Đặt P n và P là các độ đo xác suất được sinh ra từ các hàm phân phối F n và F, tương ứng.
Hàm F(x) liên tục tại x nếu và chỉ nếu P({x}) = 0 Do đó, F n hội tụ yếu tới
Hội tụ yếu của phân phối F n tới F xảy ra nếu và chỉ nếu khi n→∞, giới hạn P n (−∞, x] = P(−∞, x] với P({x}) = 0 Đặt A = (−∞, x], điều này tương đương với n→∞lim P n (A) = P(A) khi P(∂A) = 0 Do đó, hội tụ yếu được định nghĩa qua quan hệ (1.13) với mọi tập Borel A mà P(A) = 0, và được gọi là hội tụ yếu của P n tới P khi n→∞.
Hội tụ yếu của độ đo xác suất trên lớp các tập Borel của R tương đương với hội tụ yếu của các hàm phân phối.
Trong không gian metric tổng quát, hàm phân phối không được định nghĩa, do đó hội tụ yếu của các độ đo xác suất trở thành phương pháp tiệm cận chủ yếu cho các định lý giới hạn.
Chương 2 tập trung vào nghiên cứu hội tụ yếu của độ đo xác suất trong không gian metric, bao gồm các tính chất của hội tụ yếu, sự hội tụ trong phân phối và xác suất, cũng như hội tụ yếu với các ánh xạ Đặc biệt, định lý Prohorov sẽ được trình bày cùng với một số ứng dụng liên quan.
Sự hội tụ yếu trong không gian Metric
Độ đo trên không gian Metric
Độ đo và tích phân
Định lý 2.1.1 khẳng định rằng mọi độ đo xác suất P trên không gian (S,S) đều là chính quy Cụ thể, với mỗi S-tập A, tồn tại một tập đóng F và một tập mở G sao cho F nằm trong A và A nằm trong G, đồng thời đảm bảo rằng P(G−F) nhỏ hơn một giá trị nhất định.
Từ đó suy ra: Với mỗi tập Borel A, ta có
Chứng minh Ta ký hiệu metric trên S bởi ρ(x, y) và khoảng cách từ x tới A bởi ρ(x, A).
Nếu A là tập đóng, ta có thể lấy F = A và G = A δ = {x : ρ(x, A) < δ} với δ nào đó.
Do A δ giảm tới A khi δ ↓ 0 nên ta cần chỉ ra rằng lớp G của các S-tập với các tính chất đã được khẳng định là một σ-trường.
Lấy các tậpA n trong G, chọn các tập đóngF n và các tập mở G n sao cho
G là một σ-trường vì F n ⊂ A n ⊂ G n và P(G n − F n ) < 1/2 n+1 Nếu G = S nG n và F S n≤n 0F n với n 0 được chọn sao cho P(S nF n −F) < 1/2, thì ta có F ⊂ S nA n ⊂ G và P(G −F) < 1 Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng xác suất P hoàn toàn được xác định bởi giá trị của P F với các tập đóng F Định lý tiếp theo chứng minh rằng P cũng được xác định bởi giá trị của P f với hàm f liên tục bị chặn Việc chứng minh dựa trên sự xấp xỉ chỉ số I F bởi một hàm f, trong đó f(x) = (1−ρ(x, F)/) + là hàm liên tục và bị chặn Với x ∈ F, f(x) = 1, còn với x /∈ F, ρ(x, F) ≥ và do đó f(x) = 0.
I F (x) ≤f(x) = (1−ρ(x, F)/) + ≤ I F (x) (2.1) Định lý 2.1.2 Độ đo xác suất P và Q trên S trùng nhau nếu P f = Qf với mọi hàm thực f liên tục đều và bị chặn.
Chứng minh Với hàm f liên tục đều, bị chặn được xác định trong (2.1),
Cho ↓0 ta được P F ≤QF, với F là tập đóng.
Do tính đối xứng và áp dụng Định lý 2.1.1, ta có P = Q.
Chúng ta có thể làm việc với độ đo P A hoặc tích phân P f, tùy thuộc vào cái nào thuận tiện hơn Hội tụ yếu được định nghĩa dựa trên sự hội tụ của tích phân của hàm số Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ mô tả đặc điểm của hội tụ yếu từ góc độ sự hội tụ của độ đo trên tập hợp.
Tính chặt
Tính chặt là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hội tụ yếu và ứng dụng của nó Cụ thể, một độ đo xác suất P trên không gian (S,S) được coi là chặt nếu với mỗi số dương ε, tồn tại một tập compact K sao cho P(K) > 1 - ε.
Theo Định lý 2.1.1, một tập P được coi là chặt nếu và chỉ nếu P A là cận trên đúng của P K, với mọi tập con compact K của A thuộc S Bên cạnh đó, theo Định lý 2.1.3, trong không gian khả ly và đầy đủ S, mọi độ đo xác suất trên (S, S) đều chặt.
Chứng minh Gọi P là độ đo xác suất bất kì trên (S,S).
Từ giả thiết S là khả ly nên với mỗi k, tồn tại một dãy A k1 , A k2 , của 1/k- hình cầu mở phủ S.
Chọn n k đủ lớn để P(S i≤n k A ki )>1−/2 k Theo giả thiết về tính đủ của không gianS, ta sẽ được tập bị chặnT k≥1
S i≤n k A ki có bao đóng compact K.
Do đó P K >1− hay P là chặt.
Trước khi xem xét các ví dụ, chúng ta cần hiểu một số khái niệm cơ bản Theo định nghĩa 2.1.3, một lớp con A của S được gọi là lớp khả ly nếu hai độ đo xác suất đồng nhất trên A cũng sẽ đồng nhất trên S Điều này có nghĩa là với A thuộc A, các giá trị P A đủ để xác định P từ tất cả các độ đo xác suất trên S.
Theo Định lý 2.1.1, các tập đóng hình thành một lớp khả ly Định nghĩa 2.1.4 cho biết rằng một lớp A được gọi là π-hệ thống nếu nó duy trì tính đóng đối với phép giao hữu hạn.
Từ định nghĩa vềπ-hệ thống thì Alà lớp khả ly nếu nó là mộtπ-hệ thống sinh ra σ-trường S.
Ví dụ 2.1.1 Xét không gian Euclide k-chiều R k với metric thông thường
Pk i=1(x i −y i ) 2 Và ký hiệu R k là lớp các tập Borel k-chiều. Hàm phân phối tương ứng của một độ đo xác suất P trên R k là
Vì tập hợp ở vế phải của (2.2) lập thành một π-hệ thống sinh ra R k nên chúng tạo thành một lớp khả ly Do đó, F hoàn toàn xác định P.
Theo Định lý 2.1.3, mỗi độ đo xác suất trên không gian (R^k, R^k) là chặt Tính chặt này là hiển nhiên do không gian là σ-compact, tức là một hợp đếm được của các tập compact.
Ví dụ 2.1.2 Giả sử R ∞ là không gian của dãy các số thực x = (x 1 , x 2 , )
−tích của đếm được các bản sao của R 1
Nếu b(α, β) = 1 ∧ |α− β| thì b là một metric trên R 1 tương đương với metric thông thường và hiển nhiên R 1 là hoàn toàn khả ly.
Hiển nhiên, nếu ρ(x n , x) → n 0 thì b(x n i , x i ) → n 0 với mỗi i Do đó, R ∞ có tôpô của hội tụ điểm: x n → n x nếu và chỉ nếu x n i → n x i với mỗi i.
Xét phép chiếu tự nhiên π k : R ∞ →R k π k (x) = (x 1 , , x k )
Từ sự hội tụ trong R ∞ , suy ra π k liên tục và do đó các tập
N k, (x) = {y : |y i −x i | < , i= 1, , k} (2.3) là mở Hơn nữa, nếu y ∈ N k, (x) thì ρ(x, y)< + 2 −k
Cho số dương r, chọn và k sao cho + 2 −k < r thì N k, (x)⊂B(x, r). Nghĩa là, các tập trong (2.3) tạo thành một cơ số đối với tôpô của R ∞ hay
R ∞ khả ly là một tập con trù mật, đếm được, bao gồm các điểm với hữu hạn tọa độ khác không, mỗi tọa độ đều là số hữu tỷ Nếu dãy {x n } là cơ bản, thì mỗi dãy {x n i } cũng là cơ bản và hội tụ tới một điểm x i nào đó Điều này cho thấy dãy x n hội tụ điểm với các tọa độ x i, từ đó khẳng định rằng R ∞ là không gian đủ.
Vì R ∞ là không gian khả ly và đủ nên theo Định lý 2.1.3 thì mỗi độ đo xác suất trên R ∞ là chặt.
Giả sử R ∞ f là lớp các tập hữu hạn chiều hoặc các tập dạng π −1 k H với k ≥ 1 và H ∈ R k Do π k liên tục, R ∞ /R k được đo được và R ∞ f nằm trong R ∞ Hơn nữa, vì π k −1 H = π k+1 −1 (H × R 1), tập các chỉ số khi liệt kê một R ∞ f -tập luôn có thể mở rộng Điều này dẫn đến việc hai tập A và A 0 trong R ∞ f có thể được biểu diễn là A= π k −1 H và A 0 = π k −1 H 0 với cùng giá trị k.
Có A∩A 0 =π k −1 (H∩H 0 ) cho thấy R ∞ f là một π-hệ thống, thậm chí là một trường Tập hợp (2.3) tạo thành một cơ sở trong R ∞ f và do tính khả ly, mỗi tập mở là hợp của các tập đếm được trong R ∞ f, từ đó tạo ra σ-trường R ∞ Điều này chứng tỏ R ∞ f là một lớp khả ly Nếu P là một độ đo xác suất trên (R ∞ ,R ∞ ), thì các phân phối hữu hạn chiều của nó là các độ đo P π −1 k trên (R k ,R k ), với k ≥ 1, và vì R ∞ f là một lớp khả ly, các độ đo này hoàn toàn xác định P.
Vớ dụ 2.1.3 Giả sử C = C[0,1] là khụng gian cỏc hàm liờn tục x = x(ã) trên [0,1].
Ta xác định chuẩn của x như sau kxk = sup t |x(t)| và đưa vào C một metric đều ρ(x, y) = kx−yk= sup t
Do ρ(x n , x) → 0 nghĩa là x n hội tụ đều đến x nên nó kéo theo hội tụ điểm. Nhưng dĩ nhiên điều ngược lại là không đúng: xét hàm z n tuyến tính tăng từ
0 đến 1 trên [0, n −1 ], tuyến tính giảm từ 1 về 0 trên [n −1 ,2n −1 ] và vẫn bằng
0 ở bên phải của 2n −1 ; tức là z n (t) = ntI [0,n −1 ] (t) + (2−nt)I (n −1 ,2n −1 ] (t) (2.5)
Khi đó, z n hội tụ điểm tới hàm 0, trong khi ρ(z n ,0) = 1.
Không gian C là khả ly, với D k là tập hợp các hàm đa giác, tức là các hàm tuyến tính trên mỗi đoạn con I ki = [(i−1)/k, i/k] và có giá trị hữu tỷ tại các điểm cuối Tập hợp S kD k là đếm được và trù mật Đối với mỗi x và bất kỳ, có thể chọn k sao cho |x(t)−x(i/k)| < ε với t ∈ I ki, 1 ≤ i ≤ k Nhờ tính liên tục đều, có thể chọn một y thuộc D k sao cho |y(i/k)−x(i/k)| < ε cho mỗi i.
Vìy(t)là một tổ hợp lồi củay((i−1)/k)vày(i/k)nên ta cũng có|y(t)−x(t)| n và ρ(x_n, x_m) → 0, thì với mỗi t, dãy {x_n(t)} cũng là cơ bản trên đường thẳng và có giới hạn x(t) Khi m tiến tới vô cùng trong bất đẳng thức |x_n(t) - x_m(t)| ≤ n, ta có |x_n(t) - x(t)| ≤ n Do đó, x_n(t) hội tụ đều tới x(t), và x(t) là một hàm liên tục với ρ(x_n, x) → 0.
Vậy C là một không gian khả lý và đầy đủ, do đó theo Định lý 2.1.3 thì mỗi độ đo xác suất trên σ-trường Borel C là chặt.
Với 0 ≤t 1 < t 2 < < t k ≤ 1, ta xác định một phép chiếu tự nhiên: π t 1 t k : C →R k π t 1 t k (x) = (x(t 1 ), , x(t k )).
Trong không gian C, các tập hữu hạn chiều có dạng π t −1 1 , ,t k H với H thuộc R k đều nằm trong C do tính liên tục của các phép chiếu Tương tự như ví dụ đã đề cập, tập chỉ số xác định một tập hữu hạn chiều có thể được mở rộng một cách nhất quán.
Giả sử, chúng ta muốn mở rộng t 1 , t 2 thành t 1 , s, t 2 (trong đó t 1 < s < t 2 ) Xét ánh xạ chiếu ψ : R 3 →R 2 xác định bởi ψ(u, v, w) = (u, w).
Ta có π t 1 t 2 = ψπ t 1 st 2 và do đóπ t −1 1 t 2 H = π −1 t 1 st 2 ψ −1 H và dĩ nhiên ψ −1 H ∈ R 3 nếu H ∈ R 2
Chúng ta sẽ chứng minh rằng lớp C f của các tập hữu hạn chiều là một π-hệ thống Cụ thể, ta có B(x, ) − = T r{y : |y(r)−x(r)| ≤}, với r là tất cả các số hữu tỷ trong khoảng [0,1] Do đó, σ-trường σ(C f) sinh bởi C f chứa trong các hình cầu đóng, và từ đó suy ra rằng nó cũng chứa trong hình cầu mở hay tập mở Vì C f là một π-hệ thống và σ(C f) = C, nên C f được xác định là một lớp khả ly.
Tính chất của hội tụ yếu
Định lý kết hợp
Định lý này đưa ra các điều kiện tương đương quan trọng cho sự hội tụ yếu, trong đó bất kỳ điều kiện nào cũng có thể được coi là định nghĩa cho hội tụ yếu Một tập A trong S với biên ∂A thỏa mãn P(∂A) = 0 được gọi là P-tập liên tục, lưu ý rằng ∂A là tập đóng và nằm trong.
S) Lấy P n , P là các độ đo xác suất trên (S,S) Định lý 2.2.1 Năm điều kiện sau là tương đương
(ii) P n f →P f với mọi hàm f bị chặn, liên tục đều.
(iii) lim sup n P n F ≤P F với mọi F đóng.
(iv) lim inf n P n G ≥ P G với mọi G mở.
(v) P n A→P A với mọi A là P-tập liên tục.
Trở lại Ví dụ 2.2.1 để xem ý nghĩa của các điều kiện này.
Giả sử rằng x_n hội tụ đến x_0, với δ x_n ⇒ δ x_0 và tất cả x_n khác x_0 (ví dụ x_0 = 0 và x_n = 1/n) Khi đó, bất đẳng thức trong phần (iii) xảy ra với dấu bằng nếu F = {x_0}, và bất đẳng thức trong (iv) đúng nếu G = {x_0}^c Nếu A = {x_0}, sự hội tụ trong (v) không xảy ra, điều này mâu thuẫn với định lý, vì giới hạn độ đo của ∂{x_0} = {x_0} là 1, không phải 0.
Và giả sử trong Ví dụ 2.2.2, (2.7) đúng, khi đó P n ⇒P.
Nếu A là tập hợp tất cả các x nk với mỗi n và k, thì A là tập đếm được và với mỗi P n, có P n A = 1 và P A = 0 Trong trường hợp này, biên ∂A = S Theo định lý 2.1.1, tồn tại một tập mở G sao cho A ⊂ G và P G < 1/2 Với G mở, bất đẳng thức trong phần (iv) là đúng Lưu ý rằng nếu (2.7) đúng cho khoảng J, thì theo phần (v) của định lý, nó cũng đúng cho các tập mở rộng hơn có biên có độ Lebesgue bằng 0.
Chứng minh 1 (i)⇒(ii): Hiển nhiên.
Trong (2.1), hàm f là bị chặn và liên tục đều, dẫn đến hai bất đẳng thức và điều kiện (ii) cho phép suy ra lim sup n P n f ≤ lim sup n P n f = P f ≤ P F Nếu F là tập đóng, ta có thể đạt được bất đẳng thức trong (iii) khi cho ε tiến tới 0.
3 (iii)&(iv) tương đương do phần bù của tập đóng (mở) là tập mở (đóng).
4 (iii)&(iv)→(v) Nếu A o và A − là phần trong và bao đóng của A thì điều kiện (iii)&(iv) cùng suy ra
Nếu A là một P-tập liên tục thì các P A − = P A o =P A, suy ra (v).
5 (v) ⇒ (i) Do tính tuyến tính chúng ta có thể giả sử rằng f bị chặn thỏa mãn 0< f t}dt và tương tự cho P n f.
Nếu f liên tục thì ∂{f > t} ⊂ {f = t} và do đó {f>t} là một P-tập liên tục trừ một số đếm được t Theo điều kiện (v) và định lý hội tụ bị chặn
Vậy định lý đã được chứng minh.
Tiêu chuẩn khác
Hội tụ yếu thường được chứng minh bằng cách chỉ ra P n A → P A đúng cho các tập A của lớp con phù hợp nào đó của S. Định lý 2.2.2 Giả sử rằng
(ii) Mỗi tập mở là hợp đếm được của các A P -tập.
Nếu P n A →P A với mọi A trong A P thì P n ⇒P.
Chứng minh Nếu A 1 , , A r nằm trong A P thì do A P là một π-hệ thống nên ta có thể lấy giao của chúng, do đó theo công thức bao hàm và loại trừ
Nếu G mở thì G =S iA i với dãy các tập {A i } nào đó trong A P Với cho trước, chọn r sao cho P(S i≤rA i ) > P G− Theo quan hệ vừa chứng minh thì
Vì bất kì nên điều kiện (iv) của định lý trước đó là đúng.
Do đó ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.2.3 Giả sử rằng
(ii) S là khả ly và với mỗi x trong S và >0, có trong A P một A sao cho x∈ A o ⊂A⊂ B(x, ).
Nếu P n A →P A với mọi A trong A P thì P n ⇒P.
Giả thiết rằng với mỗi điểm x thuộc một tập mở G, tồn tại một tập con A x sao cho x ∈ A o x và A x ⊂ G Do S khả ly, có một dãy các tập con đếm được {A o x i} từ {A o x : x ∈ G} mà phủ toàn bộ G.
Do đó các giả thiết của Định lý 2.2.2 là thỏa mãn. Định nghĩa 2.2.1 (Lớp hội tụ xác định) Cho A là một lớp con của S.
A được gọi là một lớp hội tụ xác định nếu với mỗi P và dãy {P n }, hội tụ
P n A →P A với mọi P-tập liên tục trong A thì kéo theo P n ⇒P.
Một lớp hội tụ xác định là lớp khả ly theo phần 2.1 Để đảm bảo rằng A là một lớp hội tụ xác định, cần có điều kiện cho P bất kỳ, lớp A P của P-tập liên tục trong A thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.3 Gọi A x là lớp của các A-tập thỏa mãn x ∈ A o ⊂ A ⊂ B(x, ) và ∂A x là lớp gồm biên của chúng Nếu ∂A x chứa vô số các tập rời nhau, thì ít nhất một tập phải có P-độ đo 0 Điều kiện này được phát biểu trong Định lý 2.2.4, giả sử rằng A là lớp con của S.
(ii) S là lớp khả ly và với mỗi x thì ∂A x, hoặc chứa ∅ hoặc chứa vô số tập rời nhau.
Khi đó A là một lớp hội tụ xác định.
Vì ∂B(x, r) ⊂ {y : ρ(x, y) = r} nên giao hữu hạn các hình cầu mở thỏa mãn giả thiết.
Chứng minh Cố định P tùy ý, lấy A P là lớp của các P-tập liên tục trong A. Vì
∂(A∩B)⊂ (∂A) ⊂(∂B), (2.9) nên A P là một π- hệ thống.
Giả sử rằng P n A→ P A với mọi A trong A thỏa mãn P(∂A) = 0, tức là với mỗi A nằm trong A P Nếu ∂A x không chứa ∅, thì nó phải chứa vô số những tập phân biệt rời nhau từng đôi một Do đó, ∂A x chứa một tập có.
P-độ đo 0 Điều này có nghĩa là mỗiA x, chứa một phần tử của A P , cho nên thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.3.
Do P n A→P A với mỗi A trong A P nên P n ⇒P.
Ví dụ 2.2.3 Xét R k như trong Ví dụ 2.1.1 và lấy A là lớp các hình chữ nhật {y;a i < y i ≤ b i , i ≤ k} Vì nó thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.4 nên
A là một lớp hội tụ xác định.
Lớp các tập Q x = {y : y i ≤ x i , i ≤ k} là một lớp hội tụ xác định Giả sử P n Q x → P Q x với mọi x mà P(∂Q x ) = 0 E i là tập gồm các t thỏa mãn
P{y : y i = t}> 0 là hầu hết đếm được và tập D = (S iE i ) c trù mật.
Lớp A P bao gồm các hình chữ nhật mà mọi tọa độ đỉnh đều nằm trong D Nếu A thuộc A P, thì do ∂Q x nằm trong S i{y : y i = x i }nên Q x là một P-tập liên tục cho mỗi đỉnh x của A Theo nguyên lý bao hàm - phép loại trừ, ta có P n A dẫn đến P A.
Mà D trù mật suy ra A P thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.3.
Vậy những tập Q x này hình thành một lớp hội tụ xác định.
Lấy F(x) = P(Q x ) và F n (x) = P n (Q x ) là hàm phân phối của P và P n Do
F liên tục tại x nếu và chỉ nếu Q x là một P-tập liên tục nên P n ⇒P nếu và chỉ nếu F n (x)→F(x) tại tất cả điểm liên tục x của F.
Trong Ví dụ 2.1.2, chúng ta đã chứng minh rằng lớp R ∞ f của các tập hữu hạn chiều không chỉ là một lớp khả ly mà còn là một lớp hội tụ xác định.
Thật vậy, với x và cho trước, ta chọn k sao cho 2 −k < /2 và xét tập hữu hạn chiều
Tập hợp ∂A bao gồm các điểm y thỏa mãn điều kiện |y_i - x_i| ≤ η với i ≤ k, trong đó sự bằng nhau có thể xảy ra tại một số điểm i nhất định với biên của chúng không trùng nhau Do R ∞ là không gian khả ly, theo Định lý 2.2.4, ta có thể suy ra rằng R ∞ f là một lớp hội tụ xác định.
P n ⇒P khi và chỉ khiP n A→P A với mọiAlà P-tập liên tục hữu hạn chiều.
Trong Ví dụ 2.1.3, dãy hàm z n theo công thức (2.5) cho thấy rằng không gian C không phải là σ-compact Hơn nữa, điều này cũng nêu bật nhiều vấn đề quan trọng khác: mặc dù lớp C f của các tập hữu hạn chiều trong C là lớp khả ly, nhưng nó không phải là một lớp hội tụ xác định.
Thật vậy, lấy P n = δ z n và lấy P = δ 0 tập trung tại hàm 0 Khi đó P n ; P bởi vì z n 90.
Mặt khác, nếu 2n −1 nhỏ hơn giá trị t i nhỏ nhất khác không thì π t 1 t k (z n ) = π t 1 t k (0) = (0, ,0).
1 t k H với mọi H Trong ví dụ này, P n A →P A với tất cả các tập A trong C f (bao gồm cả những tập không là P- tập liên tục) ngay cả khi P n ;P.
A được coi là một nửa vành nếu nó là một π-hệ thống chứa ∅ Nếu A và B đều thuộc A và A là tập con của B, thì có tồn tại hữu hạn các tập C_i rời nhau sao cho B - A = ∪_{i=1}^{m} C_i.
(ii) Và mỗi tập mở là một hợp đếm được của những A-tập.
Nếu P A ≤lim inf n P n A với A trong A thì P n ⇒P.
Nếu A1, A2, , Ar thuộc vào A và A là nửa vành, thì tổng hợp Sr i=1 Ai có thể được biểu diễn dưới dạng hợp rời nhau của các tập B1, B2, , Bs trong A Điều này chứng minh rằng các tập hợp này có thể được phân tách một cách rõ ràng.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Điều kiện hội tụ yếu đơn giản được trình bày trong Định lý 2.2.6, cho rằng điều kiện cần và đủ để dãy P n hội tụ đến P là mỗi dãy con {P n i} phải chứa một dãy con {P n ik} hội tụ yếu đến P khi k tiến đến vô cùng.
Để chứng minh, điều kiện cần là hiển nhiên Điều kiện đủ là nếu P_n hội tụ đến P thì P_n f hội tụ đến P f với f là một hàm liên tục bị chặn Khi đó, tồn tại một hằng số dương > 0 và một dãy con {P_n_i} sao cho |P_n_i f - P f| > với mọi i Tuy nhiên, theo giả thiết, từ dãy {P_n_i} có thể trích ra một dãy con {P_n_ik} sao cho P_n_ik hội tụ đến P Do đó, ta suy ra rằng lim k P_n_ik f = P f, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Nguyên lý ánh xạ
Giả sử có ánh xạ h từ không gian metric S vào không gian metric S 0 với metric ρ 0 và σ-trường Borel S 0 Nếu h là S/S 0 đo được, thì mỗi xác suất P trên (S/S) sẽ sinh ra một xác suất P h −1 trên (S 0/S 0) được xác định bởi công thức P h −1 (A) = P(h −1 A) Chúng ta cần điều kiện P n ⇒ P để kéo theo kết quả này.
Nếu f bị chặn và liên tục trên S0, thì f sẽ bị chặn và liên tục trên S Điều này dẫn đến kết luận rằng Pn hội tụ đến Ph khi h liên tục Bằng cách đổi biến, ta có thể suy ra Pn ⇒ P.
Ví dụ 2.2.6 Do phép chiếu tự nhiên π k từ R ∞ vào R k là liên tục nên nếu
P n ⇒ P trên R ∞ thì P n π k −1 ⇒ P π k −1 trên R k với mỗi k Lập luận dưới đây chỉ ra chiều ngược lại là kết quả của việc lớp các tập R ∞ f hữu hạn chiều trong
R ∞ là lớp hội tụ xác định (Ví dụ 2.2.4).
Từ tính liên tục của π k dễ dàng thấy ∂π k −1 H ⊂ π −1 k ∂H với H ⊂ R k Sử dụng tính chất đặc biệt của phép chiếu ta có thể chứng minh phép bao hàm theo hướng khác.
Nếu x thuộc π k −1 ∂H, thì π k x cũng thuộc ∂H Điều này dẫn đến sự tồn tại của các điểm α(u) và β(u) trong H, với α(u) tiến tới π k x và β(u) cũng tiến tới π k x khi u tiến tới vô cùng Các điểm α(u) và β(u) hội tụ tới x, trong khi α(u) nằm trong π k −1 H và β(u) nằm trong (π k −1 H) c Kết luận, x thuộc ∂(π −1 k H), từ đó suy ra ∂π k −1 H = π k −1 ∂H.
Nếu A= π k −1 H là một P-tập liên tục hữu hạn chiều thì ta có
P π k −1 (∂H) =P(π −1 k ∂H) =P(∂π k −1 H) = P(∂A) = 0, nên H là một P π k −1 -tập liên tục Điều này có nghĩa là, nếu P π k −1 ⇒ P π k −1 với mọi k thì P n A → P A với mỗi P-tập liên tục A trong R ∞ f và do đó (vì
R ∞ f là một lớp hội tụ xác định) P n ⇒P Vậy
P n ⇒P nếu và chỉ nếu P n π k −1 ⇒P π k −1 với mọi k, là một khái niệm cơ bản về các tập hữu hạn chiều trong lý thuyết hội tụ xác định Lý thuyết hội tụ yếu trong R ∞ có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết số và phân tích tổ hợp.
Ví dụ 2.2.7 Do tính liên tục của phép chiếu tự nhiên π t 1 t k từ C vào R k , nếu P n ⇒P theo xác suất trên C thìP n π −1 t
C f không phải là một lớp hội tụ xác định, như được chỉ ra trong Ví dụ 2.2.5 Cụ thể, với P n và P như trong ví dụ đó, P n; P thậm chí khi 2n − 1 nhỏ hơn số t i nhỏ nhất khác không, ta có P n π −1 t 1 t k = P π t −1 1 t k.
Lý thuyết hội tụ yếu trong C vượt quá trường hợp hữu hạn chiều theo hướng này Không gian C sẽ được nghiên cứu chi tiết trong Chương 3.
Theo định lý 2.10, nếu P n kéo theo P và P D h = 0, thì P n h −1 kéo theo P h −1, với h là ánh xạ liên tục từ S vào S 0 Tuy nhiên, điều kiện liên tục có thể được nới lỏng, chỉ cần h là S/S 0 đo được và D h là tập hợp các điểm gián đoạn nằm trong S.
Chứng minh rằng nếu x thuộc vào (h −1 F) −, thì tồn tại một dãy {x n} sao cho hx n thuộc F Tuy nhiên, nếu x thuộc D h c, thì hx sẽ nằm trong F − Điều này dẫn đến kết luận rằng D h c ∩ (h −1 F) − thuộc vào h −1 (F −) Nếu F là một tập đóng trong S 0, từ P D c h = 1 có thể suy ra lim sup n.
Do đó điều kiện (iii) của Định lý 2.2.1 đúng.
Ví dụ 2.2.8 Cho F là hàm phân phối trên đường thẳng và ϕ là hàm điểm phân vị tương ứng sao cho ϕ(u) = inf{x : u≤ F(x)} với 0< u 0, B (a) là hình cầu mở tâm a bán kính
Khi đó lim P{ρ(X n , a)≥ } ≤ lim sup P{ρ(X n , a)≥}
Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân
Giả sử P n và P cú mật độ f n và f đối với độ đo à trờn (S,S) Nếu f n (x)→f(x) (2.21) bên ngoài một tập có độ đo 0 thì theo Định lý Scheffé ([7] P.214) sup
Vì vậy theo định lý giới hạn địa phương và (2.21) thì P n ⇒ P (định lý giới hạn tích phân) Nhưng điều ngược lại là không đúng.
Cho P là độ đo Lebesgue trên S = [0,1] Đặt f_n là n lần chỉ số của tập S_{n-1} với k từ 0 đến n-1, trong khoảng (k_n - 1, k_n - 1 + n - 3) Khi đó, tập hợp {f_n > 0} có độ đo n - 2 Theo bổ đề Borel-Cantelli, f_n(x) hội tụ về 0 ngoài một tập B có độ đo 0 Nếu chúng ta định nghĩa lại f_n bằng 0 trên B, thì f_n(x) sẽ hội tụ về 0 hầu như chắc chắn Nếu P_n có mật độ f_n đối với P, thì
|P n [0, x]−x| ≤ 1/n và từ đó suy ra định lý giới hạn cho công thức tích phân,
P n ⇒P Đối với độ đo à, P cú mật độ f(x)≡1 và vỡ thế (2.21) khụng đỳng với mọi x bất kỳ: Không có định lý giới hạn địa phương.
Nguyên lý địa phương dẫn đến nguyên lý tích phân trong không gian S = R^k, trong đó P có mật độ đối với độ đo Lebesgue và P_n là một mạng Đặt δ(n) = (δ_1(n), , δ_k(n)) là một điểm trong R^k với các tọa độ dương, và α(n) = (α_1(n), , α_k(n)) là một điểm tùy ý trong R^k Ký hiệu L_n là mạng gồm các điểm có dạng (u_1 δ_1(n) - α_1(n), , u_k δ_k(n) - α_k(n)), với u_1, , u_k được sắp xếp một cách độc lập trên toàn bộ tập số nguyên âm và dương Nếu x là một điểm thuộc L_n, thì
{y :x i −δ i (n)< y i ≤ x i , i ≤ k}, x∈ L n (2.23) là một khối thể tích v n = δ 1 (n) δ k (n) và R k là của các khối đếm được này.
Ta giả sử rằng P n và P là các độ đo xác suất trên R k , trong đó P n có giá L n và P có mật độ p đối với độ đo Lebesgue Với x ∈ L n , cho p n (x) là
P n -khối lượng (có thể là 0) tập trung tại x. Định lý 2.3.6 Giả sử rằng δ 1 (n)∨ .∨δ k (n)→ n 0 (2.24) và x n là một điểm thay đổi của L n mà x n →x thì p n (x n )/v n →p(x) (2.25) Khi đó P n ⇒P.
Chứng minh rằng mật độ xác suất q n trên R k được xác định bởi công thức q n (y) = p n (x)/v n nếu y nằm trong khối (2.23) Do x n tiến tới x, theo (2.25), từ (2.24) ta suy ra rằng q n (x) tiến tới p(x) Chọn X n có mật độ q n và xác định Y n trong cùng không gian xác suất với Y n = x khi X n nằm trong khối (2.23) Ta sẽ tiến hành chứng minh điều này.
Từ (2.24) và Định lý 2.3.1 suy ra |X n −Y n | ≤ |δ(n)| nếu X n ⇒ P Nhưng do q n hội tụ điểm tới p, đây là một hệ quả của Định lý Scheffé.
Ví dụ 2.3.4 Nếu S n là số lượng thành công trong n phép thử Bernoulli và v n = 1/√ npq thì
Biểu thức √2πe −x 2 /2, với k thay đổi từ 1 đến n, sao cho (k−np)/√npq → nx, cho phép áp dụng Định lý 2.3.6 cho mạng điểm của (k −np)/√npq Ở đây, Pn là phân phối của (Sn −np)/√npq, và P là phân phối chuẩn tắc Từ đó, chúng ta có thể rút ra định lý giới hạn trung tâm cho phép thử Bernoulli: (Sn −np)/√npq ⇒ N.
Qua giới hạn tích phân
Cho X n , X là các biến ngẫu nhiên S-giá trị. Định lý 2.3.7 Nếu X n ⇒X thì E|X| ≤lim inf n E|X n |.
Chứng minh Theo nguyên lý ánh xạ, |X n | ⇒ |X| Do đó
P{|X n | > t} →P{|X| > t} trừ một số đếm được t Theo bổ đề Fatou
X n được gọi là khả tích đều nếu limα sup n
Khi X n bị chặn đều, nếu α đủ lớn để cận trên trong (2.27) gần bằng 1, thì sup n E|X| ≤ 1 + α < ∞ Định lý 2.3.8 cho biết nếu X n khả tích đều và hội tụ X n ⇒ X, thì X cũng là khả tích.
Vì biến ngẫu nhiên E|X n | bị chặn, theo Định lý 2.3.7, ta có thể kết luận rằng X khả tích Hơn nữa, dựa vào nguyên lý ánh xạ, nếu X n + hội tụ thì X + cũng hội tụ, và nếu X n − hội tụ thì X − cũng hội tụ, với giả thiết rằng các biến ngẫu nhiên này không âm.
Do tính khả tích đều của X n, tồn tại một α nhất định sao cho tích phân thứ hai ở vế phải của mỗi phương trình đều nhỏ hơn Điều này dẫn đến việc tích phân thứ nhất ở vế phải của (2.28) hội tụ tới tích phân thứ nhất ở vế phải của (2.29) Hơn nữa, α có thể được chọn sao cho P{X = α} = 0, và từ đó, áp dụng định lý hội tụ bị chặn trên đoạn [0, α], ta có thể chứng minh điều cần chứng minh.
Một điều kiện đơn giản cho tính khả tích đều là sup n
E{|X n | 1+ }< ∞, với nào đó (2.30) trong trường hợp này, (2.27) có dạng
|X n |dP≤ 1 α E{|X n | 1+ }. Định lý 2.3.9 Nếu các biến ngẫu nhiên X và X n khả tích và không âm, và nếu X n ⇒X và EX n →EX thì các biến ngẫu nhiên X n là khả tích đều.
Chứng minh Từ giả thiết (2.28) và (2.29) ta có
XdP nếu P{X = α} = 0 Chọn α sao cho giới hạn này bé hơn nào đó Khi đó, với n > n 0 nào đó, R
X n ≥αX n dP < Tăng α đủ lớn để mỗi biến ngẫu nhiên khả tích X 1 , X 2 , , X n 0 là khả tích đều.
Độ đo tương đối
Định nghĩa 2.3.5 Cho P T là độ đo xác suất trên (R 1 ,R 1 ) tương ứng với phân phối đều trên [−T, T]:
2T|A∩[−T, T]|, A∈ R 1 , (2.31) trong đó |A∩[−T, T]| là độ đo Lebesgue của tập A∩[−T, T].
Ta xác định P ∞ A như sau
T →∞P T A, (2.32) khi giới hạn này tồn tại; đó được gọi là độ đo tương đối của A.
Chú ý rằng, vì P ∞ A = 0 nếu A bị chặn nên P ∞ không cộng tính đếm được trên miền xác định của nó trong định nghĩa Với các hàm Borel f, đặt
Giá trị trung bình của hàm f được xác định qua công thức T f(w)dw, với điều kiện các tích phân và giới hạn tồn tại Khi sử dụng ký hiệu P ∞ A hoặc E ∞ f, chúng ta giả định rằng các giới hạn tương ứng cũng tồn tại Nếu hàm f bị chặn và có chu kỳ T0, thì nó sẽ có giá trị trung bình.
E ∞ f = E T 0 f Và nếu một tập A có chu kỳ T 0 , theo nghĩa hàm chỉ tiêu của nó thì P ∞ A= P T 0 A.
Giả sử rằng X :R 1 →S là R 1 /S đo được Khi đó, coi như X là một đại lượng ngẫu nhiên xác định trên (R 1 ,R 1 ,P T ), có phân phối P T X −1 trên S. Nếu
P T X −1 ⇒ T P (2.34) với một độ đo xác suất trên S thì P được xem là phân phối của biến ngẫu nhiên X Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là E ∞ {f(X)}=P f cho mọi hàm f liên tục và bị chặn trên S Theo Định lý 2.2.1, điều này xảy ra nếu và chỉ nếu đối với mọi tập hợp A.
Theo nguyên lý ánh xạ, nếu X có phân phối P và h là ánh xạ đo được từ S vào S 0 với P D h = 0, thì h(X) sẽ có phân phối P h −1 Phân phối của một số đại lượng ngẫu nhiên có thể được suy ra thông qua phương pháp chuẩn trong lý thuyết xác suất Cụ thể, theo định lý về tính liên tục của các hàm đặc trưng, hàm thực f(w) sẽ có phân phối P nếu và chỉ nếu E ∞ {exp(itf(w))} trùng với hàm đặc trưng của P.
Nếu λ là một số thực khác không thì cosλw có chu kỳ T λ = 2π/|λ| và phân phối của nó được mô tả bởi
Vì E ∞ tuyến tính nên nếu λ 6= 0 thì theo (2.36)
Giá trị kỳ vọng có thể được rút ra từ tổng trong chuỗi bên phải hội tụ tuyệt đối Khi T tiến tới vô cùng, ta có thể xác định ϕ(t) := E ∞ {e it cos λw}.
Do (2.35) nên hàm đặc trưng này là như nhau với mọi λ.
Lập luận tương tự cho trường hợp hai chiều chỉ ra rằng
E ∞ {exp(it 1 cosλ 1 w+it 2 cosλ 2 w)}
Bây giờ ta giả sử rằng λ 1 và λ 2 là vô ước (không là 0 và λ 1 /λ 2 không là số vô tỉ) Trong trường hợp này ta có thể chỉ ra rằng
E ∞ {cos r 1 λ 1 wãcos r 2 λ 2 w}= E ∞ {cos r 1 λ 1 w} ãE ∞ {cos r 2 λ 2 w} (2.40) Lập luận tương tự như đối với (2.37)
Theo giả thiết về tính vô ước của λ 1 , λ 2 và (2.36), giá trị kỳ vọng cuối là 1 hoặc 0 tùy thuộc vào 2j 1 −r 1 = 0 = 2j 2 −r 2 hay không Nhưng tích
E ∞ exp{i(2j 1 −r 1 )λ 1 } ãE ∞ exp{i(2j 2 −r 2 )λ 2 } cũng bằng 1 hoặc 0 tùy thuộc vào 2j 1 −r 1 = 0 = 2j 2 −r 2 hay không và thế tích này vào (2.41) được (2.40) Cuối cùng, từ (2.38), (2.39) và (2.40) suy ra
E ∞ exp(it 1 cosλ 1 w+it 2 cosλ 2 w) =ϕ(t 1 )ϕ(t 2 ) (2.42)
Choη 1 , η 2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến có hàm đặc trưng ϕ và hàm phân phối trong (2.35) Theo định lý về tính liên tục đối với hàm đặc trưng trong trường hợp hai biến, đại lượng ngẫu nhiên (cosλ 1 w,cosλ 2 w) của R 2 có cùng phân phối (theo nghĩa của (2.34)) như véc tơ ngẫu nhiên (η 1 , η 2 ), với λ 1 , λ 2 là vô ước.
Giả sử rằng các biến λ 1, λ 2, , λ k độc lập tuyến tính, nghĩa là tổ hợp tuyến tính m 1 λ 1 + m 2 λ 2 + + m k λ k = 0 chỉ xảy ra khi tất cả các hệ số m i đều bằng 0 Từ đó, chúng ta có thể mở rộng lập luận từ không gian R 2 sang không gian R n Theo công thức (2.37), kỳ vọng của η k được xác định như sau.
0 và phương sai 1 2 nên ta có thể thay thế chúng bởi ξ k = √
Vì phân phối của (ξ 1 , , ξ n ) liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue trong
Định lý 2.3.10 phát biểu rằng nếu λ1, λ2, … là các biến độc lập tuyến tính và ξ1, ξ2, … là các biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối tương ứng được chỉ định, thì có một mối quan hệ nhất định giữa chúng.
2 cosλ n w) có phân phối của (ξ 1 , , ξ n ) với mỗi n:
2 cosλ n w)∈ A}= P{(ξ 1 , , ξ n )∈ A} (2.44) nếu ∂A có độ đo Lebesgue 0.
Theo định lý Lindeberg-Lévy, với ξ k có giá trị trung bình 0 và phương sai 1, ta có thể rút ra kết quả của Kac và Steinhaus: khi n tiến tới vô cực, xác suất P của ∞ x≤ r2 n n sẽ có giới hạn.
Z y x e −u 2 /2 du (2.45) Điều này xấp xỉ số lần tương đối sự chồng chất của rung động với tần số vô ước nằm giữa x và y.
Trở lại với biến ngẫu nhiên η k, ta có hàm ψ(x) = (2π) −1 arccosx, trong đó cung cosin được xác định theo (2.35) Hàm phân phối bên phải của (2.35) được biểu diễn là F(x) = 1− 2ψ(x) với điều kiện −1 ≤ x ≤ +1, và F(η k ) là phân phối đều trên khoảng này.
Biến đổi xác suất β k = ψ(η k ) được phân phối đều trên khoảng [0, 1 2 ] Với mỗi giá trị x, hàm ψ(cos 2πx) biểu thị khoảng cách từ x đến số nguyên gần nhất hxi Từ tính độc lập tuyến tính của dãy {λ k } hoặc {2πλ k }, ta thấy rằng cos 2πλ k w có phân phối tương tự như η k Theo nguyên lý ánh xạ, ta có thể áp dụng hàm ψ cho mỗi cos 2πλ k bằng cách thay thế mỗi η k bằng β k.
Giả sử λ 1 , λ 2 , độc lập tuyến tính và β 1 , β 2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến có phân phối đều trên [0, 1 2 ].
P ∞ {(hλ 1 wi, ,hλ n wi)∈A}= P{(β 1 , , β n ) ∈A}, (2.46) nếu ∂A có độ đo Lebesgue 0.
Giả sử rằng 0 < α < 1/2 và xét tập A = {(x₁, , xₙ) | 0 ≤ xᵢ ≤ α} với k giá trị chính xác của i Nếu Uₙ(w, α) là số lượng các i, 1 ≤ xᵢ ≤ n mà hλᵢwᵢ ≤ α, thì biến ngẫu nhiên trong vế trái của (2.46) là {Uₙ(w, α) = k} (với A tương ứng, ∂A có độ đo Lebesgue 0) và vế phải là một xác suất nhị thức.
Có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho phân phối nhị thức, cũng như nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân Ngoài ra, giới hạn Poisson cũng có thể được sử dụng, với công thức: \[\lim_{n \to \infty} P \{ U_n(w, \alpha_n) = k \} = \frac{e^{-\alpha} \alpha^k}{k!}.\]
Định lý Prohorov
Tính compact tương đối
Định nghĩa 2.4.1: Cho Π là một họ độ đo xác suất trên (S,S), ta gọi Π là compact tương đối nếu mọi dãy phần tử trong Π đều chứa một dãy con hội tụ yếu Cụ thể, với mỗi dãy {P n} trong Π, tồn tại một dãy con {P n i} và một độ đo xác suất Q (được xác định trên (S,S) nhưng không nhất thiết thuộc Π) sao cho P n i hội tụ yếu về Q.
Trong phần này, chúng ta chủ yếu tập trung vào tính compact của các dãy {P n }, điều này có nghĩa là đối với mỗi dãy con {P n i }, tồn tại một dãy con {P n im } sao cho {P n im } hội tụ tới một độ đo xác suất Q nào đó.
Giả sử có một độ đo xác suất P n và P trên không gian (C,C), trong đó các phân phối hữu hạn chiều của P n hội tụ yếu tới phân phối hữu hạn chiều của P.
Mặc dù tập hợp {P n} không nhất thiết phải hội tụ yếu tới P, nhưng nếu {P n} là compact tương đối, thì mỗi chuỗi con {P n i} chứa {P n im} sẽ hội tụ yếu tới một yếu tố Q nào đó.
Theo nguyên lý ánh xạ thì P n im π t −1
Vì vậy phân phối hữu hạn chiều của P và Q là đồng nhất và do lớp C f của các tập hữu hạn chiều là lớp khả ly (Ví dụ 2.1.3) nên P = Q.
Do đó, mỗi dãy con chứa một dãy con hội tụ yếu tới P Theo Định lý 2.2.6 thì dãy {P n } hội tụ yếu tới P Do đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.4.1 chỉ ra rằng nếu {P n} là một tập hợp compact tương đối và phân phối hữu hạn chiều của P n hội tụ yếu tới phân phối hữu hạn chiều của P, thì ta có thể kết luận rằng P n ⇒ n P Ý tưởng này cung cấp một phương pháp hiệu quả để chứng minh sự hội tụ yếu trong toán học.
C và các không gian hàm khác Lưu ý rằng nếu{P n } hội tụ yếu tới P thì nó compact tương đối.
Ví dụ 2.4.2 Bây giờ giả sử biết dãy các độ đo {P n } trên (C,C)là compact tương đối và với mọi k và với mọi t 1 , , t k
Đo độ đo xác suất trên (R k , R k) không giả định rằng t 1 t k là phân phối hữu hạn chiều của độ đo xác suất trên (C, C) Dãy con {P n i} hội tụ yếu tới giới hạn P Từ giả thiết này và theo nguyên lý ánh xạ, với mọi t 1, , t k, ta có những kết quả quan trọng.
Vậy chúng ta kết luận rằng có tồn tại một độ đo xác suất P có phân phối hữu hạn chiều à t 1 t k Do đú ta cũng cú kết quả sau:
Mệnh đề 2.4.2 Nếu dãy các độ đo {P n } trên (C,C) là compact tương đối và P n π −1 t
1 t k ⇒ n à t 1 t k với mọi t 1 , , t k thỡ tồn tại độ đo xỏc suất P nào đó thỏa mãn P π t −1
1 t k =à t 1 t k với mọi t 1 , , t k Điều này mang lại cho ta một phương pháp chứng minh sự tồn tại của độ đo trên (C,C) có các tính chất cho trước.
Tính chặt
Ví dụ 2.4.3 Giả sử P n là độ đo xác suất trên đường thẳng Làm thế nào để chúng ta có thể chứng minh {P n } là compact tương đối?
Phân phối Cho F n tương ứng với P n, theo định lý chọn Helly, cho thấy mỗi dãy con {F n i} có thể tạo ra một dãy con hội tụ {F n im} Dãy này tồn tại một hàm thực F liên tục, không giảm, thỏa mãn điều kiện F n im (x) → m F(x) tại mọi điểm x mà F liên tục.
Hiển nhiên, 0≤ F(x)≤ 1 với mọi x và nếu x→−∞lim F(x) = 0, x→+∞lim F(x) = 1.
Thì F là hàm phân phối của độ đo xác suất Q và P n im ⇒ m Q (Ví dụ 2.2.3).
Ta có thể thử theo cách này để chứng minh {P n } compact tương đối.
Nếu tập hợp {P n} không compact tương đối, thì việc áp dụng phương pháp này sẽ dẫn đến sai sót với một số dãy con nhất định Giả sử P n = δ n, ta có F(x) ≡ 0 cho hàm giới hạn, do đó không tồn tại giới hạn yếu tại mọi điểm Nếu P n im ⇒ m Q, thì Q(−k, k) ≤ lim inf m P n im (−k, k) = 0 với mọi k, dẫn đến Q không thể là độ đo xác suất Trong ví dụ thứ hai, cho a n là phân phối đều trên khoảng [−n, n].
Khi n i là các số nguyên chẵn, {P n i} chứa một dãy con hội tụ yếu Tuy nhiên, khi n i là các số nguyên lẻ, giới hạn một bên của F(x) là 1/3 với x < 0 và 2/3 với x ≥ 0 Do đó, P n i m ⇒ m Q là không thể xảy ra, dẫn đến Q(−k, k) ≤ 1/3 với mọi k.
Tính chặt được định nghĩa tổng quát qua các độ đo xác suất Π, được gọi là chặt nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập compact K sao cho P(K) > 1 - ε với mọi P ∈ Π Định lý 2.4.1 chỉ ra rằng nếu tập hợp Π là chặt, thì nó cũng là compact tương đối, đây là điều kiện cần thiết cho Định lý Prohorov Việc chứng minh điều này tương tự như chứng minh Định lý Helly, phụ thuộc vào lập luận chéo.
Chứng minh Lấy dãy {P n } thuộc họ Π Ta tìm dãy con {P n i } và một độ đo xác suất P sao cho P n i ⇒ i P.
Chọn các tập compact K u sao cho K 1 ⊂ K 2 ⊂ và P n K u > 1 với mọi u và n Tập S uK u là khả ly, dẫn đến sự tồn tại của một lớp đếm được A các tập mở với tính chất: nếu x nằm trong S uK u và G mở, thì x ∈ A ⊂ A − ⊂ G với A thuộc A H bao gồm ∅ và hợp hữu hạn các tập dạng A − ∩K u với A ∈ A và u ≥ 1.
Sử dụng các thủ thuật đường chéo, chúng ta chọn một dãy con {P n i } từ dãy {P n } đã cho, sao cho giới hạn α(H) = lim i P n i H (2.49) tồn tại cho mỗi H trong lớp đếm được H Mục tiêu của chúng ta là xây dựng một độ đo xác suất P trên S.
Để chứng minh rằng nếu H ⊂ G thì α(H) = lim i P n i (H) ≤ lim inf i P n i G, ta cần xem xét công thức H⊂G α(H) (2.50) với mọi tập mở G và tồn tại một độ đo xác suất P Kết hợp với (2.50), ta có P G ≤ lim inf i P n i G, dẫn đến P n i ⇒ i P Để xây dựng P thỏa mãn (2.50), cần chú ý rằng H là tập đóng đối với các hợp hữu hạn và α(H) được xác định bởi (2.49) với các tính chất sau: α(H 1 )≤ α(H 2 ) nếu H 1 ⊂H 2; α(H 1 ∪H 2 ) = α(H 1 ) +α(H 2 ) nếu H 1 ∩H 2 =∅; và α(H 1 ∪H 2 )≤ α(H 1 ) +α(H 2 ).
Và rõ ràng α(∅) = 0 Với tập mở G xác định β(G) = sup
H⊂G α(H) (2.54) thì β là đơn điệu và β(∅) = α(∅) = 0 Cuối cùng, với các tập con M bất kỳ của S xác định γ(M) = inf
M ⊂Gβ(G) (2.55) rõ ràng là γ(G) = β(G) với G mở.
Giả sử chúng ta đã chứng minh được γ là một độ đo ngoài.
Theo định nghĩa, một tập M được gọi là γ-đo được nếu thỏa mãn điều kiện γ(L) ≥ γ(M ∩ L) + γ(M c ∩ L) với mọi L thuộc S Lớp M của các tập γ-đo được tạo thành một σ-trường và hạn chế của γ trên M trở thành một độ đo Nếu chúng ta chứng minh rằng mỗi tập đóng đều nằm trong M, thì S sẽ thuộc M và hạn chế P của γ trên S là một độ đo thỏa mãn P G = γ(G) = β(G) Do đó, (2.50) là đúng với G mở Cuối cùng, P sẽ là một độ đo xác suất vì mỗi tập K u có một phủ hữu hạn các A-tập nằm trong H.
Ta chứng minh theo các bước.
Nếu F là tập con của G, trong đó F là tập đóng và G là tập mở, và nếu F cũng là tập con của H với H nào đó trong H, thì F sẽ là tập con của H0, mà H0 nằm trong G Để chứng minh điều này, với mỗi phần tử x trong F, ta chọn một tập Ax thuộc lớp A sao cho x thuộc Ax, Ax nằm trong A trừ x và Ax bao phủ F.
F compact (tập con của H) nên tồn tại một phủ con hữu hạn A x 1 , , A x k
Từ F ⊂ K u với u nào đó, chúng ta có thể lấy H 0 =Sk i=1(A − x i ∩K u ).
Hình 2.1: Mô tả mối quan hệ giữa các tập.
Bước 2: β là cộng tính dưới hữu hạn (trên các tập mở).
Giả sử rằng H ⊂ G 1 ∩ G 2 , ở đó H ∈ H và G 1 và G 2 là mở Xác định
Do đó từ G c 2 đóng ta có ρ(x, G c 1 ) = 0 < ρ(x, G c 2 ) (mâu thuẫn).
Do F 1 ⊂ H và H ∈ H, theo bước 1 suy ra F 1 ⊂ H 1 ⊂ G 1 với H 1 thuộc H; tương tự F 2 ⊂ H 2 ⊂ G 2 với H 2 thuộc H Nhưng khi đó theo (2.51), (2.53) và (2.54) ta có α(H)≤α(H 1 ∪H 2 )≤α(H 1 ) +α(H 2 )≤ β(G 1 ) +β(G 2 ).
Ta có thể biến đổi H bên trong G 1 ∪G 2 nên β(G 1 ∪G 2 )≤ β(G 1 ) +β(G 2 ). Bước 3: β là cộng tính dưới đếm được (trên các tập mở).
Nếu H ⊂ S nG n thì do H compact nên H ⊂ S n≤n 0G n với n 0 nào đó và kéo theo cộng tính dưới hữu hạn α(H) ≤ β(S n≤n 0 G n ) ≤ P n≤n 0 β(G n ) ≤
P n≤n 0 β(G n ) Lấy cận trên đúng cho H (chứa trong S nG n ) ta được β(S nG n )≤ P nβ(G n ).
Bước 4: γ là độ đo ngoài.
Do γ đơn điệu và γ(∅) = 0 nên ta chỉ cần chứng minh nó cộng tính dưới đếm được Lấy >0 và các tập con M n tùy ý của S, chọn các tập mở G n sao cho
M n ⊂ G n và β(G n )< γ(M n ) +/2 n Khi đó bằng tính cộng tính dưới đếm được của β ta có γ(S nM n )≤β(S nG n )≤ P nβ(G n )
β(F c ∩G)−. Chọn H 0 ∈ H sao cho H 0 ⊂ H 1 c ∩G và α(H 0 ) > β(H 1 c ∩G)− Do H 0 và
H 1 rời nhau đều nằm trong G, theo (2.54), (2.52) và (2.55) suy ra β(G)≥ α(H 0 ∪H 1 ) =α(H 0 ) +α(H 1 )> β(H 1 c ∩G) +β(F c ∩G)−2
Mà là tùy ý nên ta có điều cần chứng minh.
Theo bất đẳng thức ở bước 5, β(G) ≥ γ(F ∩L) +γ(F c ∩L) nếu G mở và
G ⊃ L Lấy cận dưới đúng trên G thì F là γ-đo được.
Hệ quả 2.4.1 Giả sử {P n } chặt và mỗi dãy con hội tụ yếu {P n k } đều có cùng giới hạn P Khi đó toàn bộ dãy hội tụ yếu tới P, tức là P n ⇒ n P.
Theo định lý, mỗi dãy con chứa nhiều hơn một dãy con hội tụ yếu đến một giới hạn cụ thể Giới hạn này được giả định là P Áp dụng Định lý 2.2.6, chúng ta có thể chứng minh điều cần chứng minh.
Ví dụ 2.4.4 cho thấy rằng trong trường hợp P n tập trung tại hàm z n xác định bởi (2.5), không có dãy con nào có thể hội tụ yếu và dãy {P n} không chặt, vì nếu P n K > 1− >0 với mọi n thì K phải chứa tất cả các z n, dẫn đến K không thể là tập compact Định lý 2.4.2 khẳng định rằng nếu S là không gian khả ly và đầy đủ, thì Π là compact tương đối và do đó là chặt Điều này là chiều ngược lại của định lý Prohorov và kéo theo Định lý 2.1.3, bởi vì Π chứa một độ đo đơn rõ ràng là compact tương đối.
Chứng minh Xét các tập mở G n tăng dần đến S.
Với mỗi số n, tồn tại một P trong tập Π sao cho P G n > 1− Nếu không, thì với mỗi n, sẽ có P n G n ≤ 1− cho một P n nào đó trong Π Theo giả thiết về tính compact tương đối, điều này dẫn đến việc P n i hội tụ về i Q với một dãy con và một độ đo xác suất Q Tuy nhiên, điều này là không thể xảy ra.
Theo định lý, nếu QG n ≤ lim inf i P n i G n ≤ lim inf i P n i G n i ≤ 1− khi G n ↑S, thì điều này dẫn đến việc nếu A k1, A k2, là dãy các hình cầu mở bán kính 1/k phủ S (tính khả ly), thì sẽ tồn tại n k sao cho P(S i≤n k A ki )> 1−/2 k với mọi k.
P trong Π Nếu K là bao đóng của toàn bộ các tập bị chặn T k≥1
S i≤n k A ki thì K compact và P K >1− với mọi P trong Π.
Định lý về điều kiện cần sẽ được áp dụng nhiều trong các phần tiếp theo, đóng vai trò quan trọng trong giải tích cổ điển.
Ví dụ 2.4.5 Cho P là một độ đo xác suất trên các tập con Borel của
Biến đổi Laplace của hàm xác định theo t không âm L(t) được tính bằng tích phân R x≥0 e −tx P(dx), với P là độ đo xác định trên miền S = [0,∞) Nếu chúng ta có một dãy các độ đo P_n với biến đổi Laplace L_n, và nếu P_n hội tụ về P, thì L_n(t) sẽ hội tụ về L(t) với mỗi giá trị t.
Ta chứng minh bằng phản chứng Lập luận dựa trên bất đẳng thức
Do L(t) liên tục và L(0) = 1 nên với cho trước, tồn tại u sao cho: u −1 Ru
0 (1 − L(t))dt < /e Nhưng khi đó nếu L n (t) → L(t) với mọi t thì u −1 Ru