Các kiến thức cơ sở
Không gian metric
Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ : d XX các số thực, thỏa mãn các điều kiện: i) d(x, y) 0 xy ii) d(x, y)d(y, x) x, y X iii) d(x, y)d(x, z) d(z, y) x, y, z X
Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là không gian metric, kí hiệu là (X,d)
Hàm (x, y) = x - y, với x, y thuộc X, là một metric trong không gian, được gọi là đường thẳng thực Dãy {x_n} trong không gian metric X được gọi là dãy cơ bản nếu nó thỏa mãn điều kiện nhất định Không gian metric X được xem là không gian metric đầy đủ khi mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ đến một phần tử nào đó trong không gian.
Không gian Euclide được xem là không gian đầy đủ Theo định nghĩa, nếu E là một tập con của không gian X, thì tập hợp tất cả các điểm dính của E sẽ được xác định trong không gian này.
E, được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một tập con của X Tập E gọi là: i) Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó ii) Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong
Phần trong của tập hợp E là tập hợp tất cả các điểm thuộc E Tập E được xem là trù mật trên tập hợp A nếu bao đóng của E chứa A Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X, thì E được gọi là trù mật khắp nơi trong không gian đó.
Không gian đo và Độ đo
1) Cho tập X rỗng, một họ các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i X và nếu A thì A c trong đó A C X A\ ii Hợp của đếm được các tập thuộc Σ cũng thuộc Σ
2) Nếu là σ - đại số các tập con của X thì cặp ( , )X gọi là một không gian đo được (đo được với hoặc - đo được) Định nghĩa 1.6 Cho một không gian đo được ( , )X
1) Một ánh xạ : 0, được gọi là một độ đo nếu: i) ( ) 0 ii) có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:
2) Nếu là một độ đo xác định trên thì bộ ba ( , , )X gọi là một không gian đo Định nghĩa 1.7 Cho ( X , , ) là một không gian đo Khi đó a) là độ đo đủ, hay ( X , , ) là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi
Nếu A thuộc về σ và μ(E) = 0, thì A thuộc về σ có nghĩa là mọi tập con bỏ qua của X đều là đo được Không gian xác suất (X, Σ, μ) được định nghĩa là không gian xác suất nếu μ(X) = 1, trong đó μ được gọi là xác suất hay độ đo xác suất Nếu μ là độ đo hoàn toàn hữu hạn, thì (X, Σ, μ) được gọi là không gian đo hoàn toàn hữu hạn khi μ(X) < ∞ Cuối cùng, nếu μ là độ đo σ-hữu hạn, thì (X, Σ, μ) được gọi là không gian đo σ-hữu hạn nếu tồn tại một dãy {A_n} ⊆ Σ sao cho:
, (A ) n , n * e) là độ đo nửa hữu hạn, hay ( X , , ) là một không gian đo nửa hữu hạn nếu với mọi E và ( )E thì tồn tạiF Ethỏa mãn F và
Trong lý thuyết đo lường, độ đo khả địa phương hóa μ được định nghĩa trong khoảng 0 ≤ μ(F) < ∞ Không gian đo khả địa phương hóa (X, Σ, μ) được coi là nửa hữu hạn, nghĩa là với mọi tập hợp E thuộc Σ, luôn tồn tại một tập hợp H trong Σ sao cho điều kiện cụ thể được thỏa mãn.
(i) E H là bỏ qua được với mọi E\ E
(ii) Nếu Gvà E G là bỏ qua được với mọi \ EE thì H G là bỏ qua \ được
Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của E trên g) Một tập E gọi là một nguyên tử đối với hay - nguyên tử nếu
Một ánh xạ xác định trên tập hợp được gọi là độ đo ngoài nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) điều kiện đầu tiên, ii) độ đo của tập rỗng là 0, iii) nếu một tập F thuộc vào σ-algebra và là tập con của E, thì độ đo ngoài của E F được bỏ qua.
Định lí 1.1 (Carathéodory) Giả sử * là một độ đo ngoài trên X và là lớp tất cả các tập con A của X sao cho:
Khi đó, σ - đại số và hàm tập (thu hẹp của μ* trên σ) được định nghĩa là một độ đo trên σ Độ đo μ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài μ* Tập A thỏa mãn điều kiện (*) được xem là tập μ* - đo được Định lý 1.2 (thác triển độ đo) nêu rằng, giả sử m là một độ đo trên đại số ⊂ ( ) Đối với mỗi , ta có ∗( ) = {∑( ) : { } ∈ℕ ⊂ , ⊂ ⋃ } Do đó, μ* là một độ trên X và ∗( ) = ( ), với mọi ⊂, đồng thời mọi tập thuộc σ - đại số ℱ( ) đều được đo bằng μ*.
Độ đo Lebesgue
Tồn tại một σ-đại số các tập con, trong đó mỗi A ∈ được gọi là tập đo Lebesgue (hay (L)-đo được) Độ đo được xác định trên , được gọi là độ đo Lebesgue, thỏa mãn các tính chất quan trọng, trong đó các khoảng, tập mở và tập đóng đều là (L)-đo được.
Nếu I là khoảng với đầu mút a, b ( abt) thì (I) b a ii) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng
6 iii) Tập A là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi 0 tồn tại tập đóng
F, tập mở G sao cho FAG, (G\ F) iv) Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập x A xA, cũng là tập (L) – đo được và
, (xA) x (A) v) Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn
Trong không gian Euclid k chiều, độ đo m có thể được mở rộng thành độ đo Lebesgue μ trên một σ-đại số Σ chứa k F(C) với C là tập hợp Các tập hợp thuộc lớp Σ được gọi là tập đo được (L) trong không gian này.
Hàm số đo được
Định nghĩa 1.9 Cho một không gian X, một σ - đại số những tập con của X, và một tập A Một hàm số f(x) : X gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số
Khi trên σ - đại số có một độ đo μ ta nói f(x) đo được đối với độ đo μ hay μ – đo được
Trong trường hợp X k , B k (σ - đại số Borel trong k ) thì ta nói f(x) là đo được theo nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel
1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được Định nghĩa 1.10 Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A là hàm số A (x) xác định như sau: Định nghĩa 1.11 Một hàm số f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ lấy một số hữu hạn giá trị Gọi i (i 1, 2, n)là các giá trị khác nhau của nó và nếuA i x f : (x) i thì các tập A i đo được, rời nhau và ta có
Nếu f(x) có dạng xác định và các tập A_i là đo được và rời nhau, thì f(x) được coi là một hàm đơn giản Theo Định lý 1.3, mọi hàm số f(x) đo được trên tập đo được A đều có thể được xem là giới hạn của một dãy hàm đơn giản f_n(x).
Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x thuộc A, thì có thể chọn các hàm f sao cho n và với mọi n Trong không gian X bất kỳ, với một σ-đại số Σ và một độ đo μ trên Σ, hai hàm số f(x) và g(x) được coi là bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n).
Hai hàm số f(x) và g(x) được coi là tương đương khi chúng bằng nhau Nếu hai hàm số tương đương với một hàm số thứ ba, thì chúng cũng sẽ tương đương với nhau Theo định lý 1.4, nếu μ là một độ đo đủ, thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số đo được f(x) cũng đều là hàm số đo được Định nghĩa 1.13 nêu rằng dãy hàm f được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm số f(x) trên n nếu tồn tại một điều kiện nhất định Định nghĩa 1.14 đề cập đến các hàm số f_n(x) (với n = 1, 2, ) và f(x) được đo được trên một tập hợp nhất định.
A Ta nói dãy f n (x)hội tụ theo độ đo μ tới f(x) và viết f n (x) f(x),
Giả sử μ là một độ đo đủ, định lý 1.5 khẳng định rằng nếu một dãy hàm số f_n(x) đo được trên tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm số f(x), thì f(x) cũng đo được Hơn nữa, nếu μ(A) < ∞, thì dãy hàm f_n(x) hội tụ tới f(x) trong nghĩa đo.
Không gian định chuẩn
Định nghĩa chuẩn trong không gian vectơ E trên trường vô hướng K, bao gồm các số thực hoặc số phức, được xác định bởi hàm Hàm được coi là một chuẩn nếu thỏa mãn ba điều kiện: (i) (x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và (x) = 0 chỉ khi x = 0; (ii) (λx) = |λ| (x) với mọi λ ∈ K và mọi x ∈ E; (iii) (x + y) ≤ (x) + (y) với mọi x, y ∈ E Không gian vectơ E cùng với chuẩn được gọi là không gian định chuẩn.
Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn
Chú ý: Ta kí hiệu x thay cho (x),(xE) và gọi là chuẩn của véc tơ x
Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach
Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn a b , , kí hiệu C a b , là một không gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn:
Định lý 1.6 (Hausdorff) khẳng định rằng một tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu X là tập đóng và hoàn toàn bị chặn Theo Định nghĩa 1.17, không gian định chuẩn E được gọi là khả ly nếu tồn tại một tập con đếm được trù mật trong E, nghĩa là có một dãy {x_n} ⊆ E sao cho với mọi x ⊆ E, tồn tại một dãy con x_{n_k} → x Định nghĩa 1.18 chỉ ra rằng với tập con X của không gian định chuẩn E, X được xem là tập bị chặn nếu sup {x | x ∈ X} < ∞ và hoàn toàn bị chặn nếu với mọi ε > 0, tồn tại tập hữu hạn A ⊆ E sao cho
iii) Com pắc nếu mọi dãy x n n X có một dãy con x n k hội tụ tới một phần tử xX
Nhận xét về tập con hữu hạn A thuộc E, thỏa mãn điều kiện (ii), được gọi là một ε-lưới hữu hạn của X Dễ dàng chứng minh rằng mọi tập hoàn toàn bị chặn X đều là bị chặn Định nghĩa 1.19 cho biết, trong không gian vectơ X, một hàm số f(x) xác định trên X và có giá trị là số thực hoặc phức được gọi là phiếm hàm trên X Phiếm hàm này được coi là tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện: i) f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂) với mọi x₁, x₂ thuộc X; ii) f(αx) = αf(x) với mọi x thuộc X và mọi số α.
Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính f gọi là bị chặn nếu có một hằng số K0 để cho
Số K0 nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí hiệu là f Dễ dàng chứng minh
Trong nhiều vấn đề quan trọng, không gian đối ngẫu của một không gian X được định nghĩa là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, và được ký hiệu là X*.
Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường Ngoài ra, với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt
Không gian X* được xác định là không gian định chuẩn và cũng là không gian Banach Định nghĩa 1.20 đề cập đến một không gian đo (X, Σ, μ) và một phiếm hàm cộng tính hữu hạn ν: Σ → R Cụ thể, ν được gọi là liên tục tuyệt đối đối với μ nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho ν(E) ≤ ε với mọi F ∈ Σ và μ(E ∩ F) ≤ δ Ngoài ra, ν được xem là thực sự liên tục đối với μ nếu với mọi ε > 0, tồn tại E ∈ Σ và δ > 0 thỏa mãn μ(E) là hữu hạn và ν(F) ≤ ε với μ(E) < δ.
Tích phân Lebesgue
Định nghĩa 1.21 Cho A là tập đo được, là hàm đơn giản, đo được trên A Gọi là các giá trị khác nhau đôi một của f(x) Đặt và
Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo là số
Định lý 1.7 khẳng định rằng nếu A là tập đo được Lebesgue và f: A → [0, +∞] là hàm đo được, thì tồn tại một dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được f_n(x) ≥ 0, hội tụ hầu như chắc chắn về f(x) trên A Theo định nghĩa 1.22, tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo μ được xác định như sau.
Định nghĩa 1.23 Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f A: là hàm đo được trên A Khi đó ta có:
Các hàm số f (x),f (x) có tích phân tương ứng trên A là (x)d
có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là :
Định lý hội tụ đơn điệu Beppo Levi (Định lý 1.8) khẳng định rằng nếu hàm số f_n(x) ≥ 0 và f_n(x) đơn điệu tăng đến f(x) trên tập A, thì giới hạn của tích phân Lebesgue của f_n(x) sẽ hội tụ đến tích phân của f(x).
Định lý 1.9, hay còn gọi là định lý Dini, khẳng định rằng nếu dãy hàm liên tục và đơn điệu f_n(x) hội tụ điểm đến một hàm liên tục f(x), thì dãy hàm này sẽ hội tụ đều đến f(x) Bên cạnh đó, định lý 1.10, được biết đến là bổ đề Fatou, chỉ ra rằng nếu f_n(x) ≥ 0, thì giới hạn lim n (x) d lim n (x) d n n cũng sẽ được xác định.
Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue) Nếu f n (x) g(x), g(x) khả tích và f n (x)f(x)( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì lim n (x) d (x) d n A A f f
Không gian tô pô
Một tô pô trên một tập X là một họ G các tập con của X thỏa mãn ba điều kiện: thứ nhất, cả hai tập rỗng và tập X đều thuộc G; thứ hai, G kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập trong G cũng phải thuộc G; và thứ ba, G kín đối với phép hợp bất kỳ, nghĩa là hợp của bất kỳ số lượng tập nào (hữu hạn hoặc vô hạn) trong G cũng thuộc G.
Tập X cùng với một tô pô G trên X gọi là không gian tô pô X G , (hay không gian tô pô X) Các tập thuộc họ G gọi là tập mở Định nghĩa 1.25 Cho X, Y là hai không gian tô pô Một ánh xạ f đi từ X vào Y gọi là liên tục tại x 0 nếu với mọi lân cận y 0
U của điểm y 0 f x( ) 0 đều có một lân cận x 0
0 ( ) 0. x y x V f x U Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi xX
Định nghĩa ánh xạ liên tục giữa hai không gian metric được nêu rõ trong định lý 1.12, theo đó một ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được coi là liên tục nếu nó thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện nhất định.
(i) Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)
(ii) Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)
Cho f là ánh xạ từ tập X vào Y Khi Y có một tô pô, thì f 1 bảo toàn các phép toán tập, do đó f 1 (G y) sẽ tạo thành một tô pô trên X Nếu X đã có sẵn tô pô G, định lý 1.12 khẳng định rằng f là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi x.
Khi nghịch ảnh của tô pô trên Y (tức f⁻¹(Gy)) yếu hơn tô pô trên X (G(x)), điều này cho thấy rằng nếu trên Y có một tô pô mà trên X chưa có, ta có thể biến X thành không gian tô pô bằng cách gán cho nó tô pô f⁻¹(Gy) Đây là tô pô yếu nhất đảm bảo cho sự liên tục của ánh xạ f.
Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian metric, nhưng cần mở rộng khái niệm này để bao gồm các khía cạnh khác của dãy hội tụ.
Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu:
Trong lý thuyết tô pô, một lọc S trên không gian tô pô X được coi là hội tụ tới điểm x nếu mọi lân cận của x đều chứa một tập con thuộc S Hơn nữa, một ánh xạ f từ không gian tô pô X sang không gian tô pô Y được xem là liên tục tại điểm x nếu với mọi lọc S hội tụ tới x, thì ảnh của S qua f cũng hội tụ tới f(x).
Trong không gian metric, giới hạn của một dãy là duy nhất, trong khi đó, trong không gian tô pô, điều này không đảm bảo Để đảm bảo tính duy nhất của giới hạn, ta xem xét các không gian tô pô đặc biệt thỏa mãn tiên đề tách, trong đó với mọi cặp điểm x₁, x₂ thuộc X, tồn tại hai lân cận V₁ và V₂ của x₁ và x₂ sao cho V₁ ∩ V₂ = ∅ Những không gian tô pô này được gọi là không gian Housdorff, và tô pô của chúng là tô pô Housdoff Theo định lý 1.13, trong không gian tô pô Housdorff, một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất một điểm Thêm vào đó, theo định nghĩa 1.26, một không gian tô pô X được gọi là compact nếu mọi lọc S trên X đều có một lọc mạnh hơn hội tụ.
Các không gian hàm
Không gian ℒ và L
Nguyên tắc đầu tiên của lý thuyết độ đo cho rằng các tập có độ đo không thường được bỏ qua Hai hàm số trùng nhau hầu hết mọi nơi có thể được coi là đồng nhất, mặc dù không phải lúc nào cũng vậy Mục tiêu của phần này là xây dựng không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, trong đó hai hàm số được xem là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập hợp bỏ qua.
2.1.1 Không gian Định nghĩa 2.1 Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ Ta viết L 0 , hay
L , là không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua được của X , Nghĩa là:
Nếu E X , E C là tập - không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu f E là - đo được ( đo được đối với - đại số bổ sung theo )
Nếu ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây, tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc
(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong X thuộc vào L 0
(b)f Lg 0 với mọif g, L 0 (nếu f F và g F , thì (f g) ( F G ) (f F ) ( g G )là đo được)
(e) Nếu f L 0 và :h là Borel đo được, thì hfL 0
(f) Nếu ( )f n n là một dãy trong L 0 và lim n f n f
được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong X , thì f L 0
(g) Nếu ( )f n n là một dãy trong L 0 và sup n n f f
được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong X , thì f L 0
(h) Nếu ( )f n n là một dãy trong L 0 và inf n f n f
được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong X , thì f L 0
(i) Nếu ( )f n n là một dãy trong L 0 và lim sup n n f f
được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong X , thì f L 0
(j) Nếu ( )f n n là một dãy trong L 0 và lim inf n f n f
được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong X , thì f L 0
L 0 là tập hợp các hàm thực, xác định trên các tập con của X, và hầu hết các hàm này đều tương đương với một hàm - đo được từ X vào một không gian nào đó.
2.1.3 Không gian Định nghĩa 2.2 Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ Khi đó “ h k n “ là một quan hệ tương đương trên L 0 Viết L 0 , hoặc là L 0 ( ) , là tập các lớp tương đương trong L 0 dưới quan hệ “ h k n “ Với fL 0 , viết f là lớp tương đương trong L 0
2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của
Giả sử ( X , , ) là không gian đo bất kỳ, và đặt L 0 L 0 ( ) , L 0 L 0 ( )
(a) Nếu f f g g 1 , 2 , 1 , 2 L 0 và f 1 h k n f 2 , g 1 h k n g 2 thì f 1 g 1 h k n f 2 g 2 Tương tự chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong L 0 bởi cách đặt f g (f g) với tất cả f g, L 0
(b) Nếu f f 1 , 2 L 0 và f 1 h k n f 2 thì cf 1 h k n cf 2 với mọi c Tương tự chúng ta có thể định nghĩa phép nhân vô hướng trên L 0 bởi cách đặt cf ( )cf với tất cả
(c) L 0 là một không gian tuyến tính trên , với phần tử không 0 , ở đây 0 là hàm có tập xác định là X và nhận giá trị 0 , và phần tử đối f ( f)
(i) f ( g h ) ( f g ) h với tất cả f g h, , L 0 , vì vậy u ( v w ) ( u v ) w với tất cả u v w, , L 0
(ii) f 0 0 f với mọi f L 0 , vì vậy u 0 0 u u với mọi u L 0
(iii) f ( f) h k n 0 với mọi f L 0 , vì vậy f ( f) 0 với mọi fL 0
(iv) f g g f với mọi f g, L 0 , vì vậy u v v u với mọi u v, L 0
(v) c f ( g ) cf cg với tất cả f g, L 0 và c , vì vậy c u ( v ) cu cv với mọi u v, L 0 và c
(vi) ( a b f ) af bf với tất cả f L 0 , ,a b , vì vậy ( a b u ) au bu với tất cả uL a b 0 , ,
(vii) ( ab f ) a bf ( ) với tất cả f L 0 , ,a b ,vì vậy ( ab u ) a bu ( ) với tất cả
(viii) 1 f f với tất cả f L 0 ,vì vậy 1u u với tất cả u L 0
2.1.5 Cấu trúc thứ tự của
Giả sử ( X , , ) là không gian đo bất kỳ và đặt L 0 L 0 ( ), L 0 L 0 ( ).
(a) Nếu f f g g 1 , 2 , 1 , 2 L 0 ,f 1 h k n f g 2 , 1 h k n g 2 và f 1 h k n g 1 , thì f 2 h k n g 2 Vì vậy chúng ta có thể xác định một quan hệ trên L 0 bằng cách nói rằng f g nếu và chỉ nếu f h k n g
(b) là một thứ tự một phần trên L 0 Thật vậy, nếu f g h, , L 0 và f h k n g và
h k n g h, thì f h k n h Tương tự u w với u v w, , L 0 và u v v , w Mặt khác, nếu f L0 thì f h k n f;do uu với mọi u L 0 Cuối cùng, nếu f g, L 0 và
h k n f g và g h k n f,thì f h k n g, vì vậy nếu u v và v u thì uv
(c) L 0 , với , là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không gian tuyến tính với một thứ tự thỏa mãn:
(ii) nếu 0 u thì 0 cu với mọi c0
Thật vậy, nếu f g h, , L 0 và f h k n g, thì f h h k n g h Nếu fL 0 và
(d) L 0 là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính thứ tự một phần thỏa mãn u v sup{ , }, u v u v inf{ , } u v được xác định với tất cả , 0. u vL
Lấy f g, L 0 sao cho f • u g, • v Khi đó f g , f g , ta viết
( f g x )( ) max( ( ), ( )), f x g x ( f g x )( ) min( ( ), ( )) f x g x với x dom f dom g (domf là miền xác định của hàm số f)
Với h L 0 bất kỳ, ta có
và , a e a e a e h f gh f h g Suy ra với w L 0 bất kỳ, ta có
Do vậy (f g) sup{ , }u v u v, (f g) inf{ , }u v u v trong L 0
(e) Với bất kỳ u L 0 ta có | u | u ( u ); và nếu f L 0 thì | f | | f | Nếu
(f) Nếu f là một hàm nhận giá trị thực, đặt
( ) max( ( ), 0), ( ) max( ( ), 0) f x f x f x f x với x dom , f suy ra
, | | , f f f f f f f f tất cả các hàm này đều xác định trên dom f Tương tự trong L 0 , đặt các toán tử
(g) Hiển nhiên, nếu u0 trong L 0 , tồn tại một f 0 trong L 0 sao cho f u Thật vậy lấy gL 0 bất kỳ sao cho ug • , và đặt f g 0 thì f 0
2.1.6 Các tính chất quan trọng của Định nghĩa 2.3
(a) Một không gian Riesz U là Ác-si-mét nếu với bất kỳ u U u , 0(nghĩa là, u0 và u0), v U ,có một n sao cho nu’ v
Một không gian Riesz U được gọi là Dedekind -đủ nếu mọi tập hợp không rỗng đếm được A ⊆ U bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất nằm trong U.
Một không gian Riesz được coi là Dedekind đủ nếu mọi tập hợp không rỗng A nằm trong U và bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất nằm trong U.
U Định lý 2.1 Giả sử ( X , , ) là một không gian đo Đặt L 0 L 0 ( ).
(a) L 0 là Ác-si-mét và Dedekind -đủ
(b) Nếu ( X , , ) là nửa-hữu hạn, thì L 0 là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu ( X , , ) là khả địa phương hóa
(a) (i) Nếu u v , L 0 và u0, viết u như là f
, 0. f gL Khi đó E { : x x dom , ( ) f f x 0} là không bỏ qua được Khi đó tồn tại n sao cho
E n x x f g nf x g x là không bỏ qua được, vì
Mặt khác nu’ v Vì u và v là tùy ý nên L 0 là Ác-si-mét
Giả sử A là một tập con khác rỗng và đếm được trong L0, với một cận trên w trong L0 Ta có thể viết A dưới dạng {fn : n ∈ N}, trong đó (fn) là một dãy trong L0, và w được biểu diễn như h, với h thuộc L0 Đặt sup fn là giá trị lớn nhất trong dãy này.
Khi đó ta có f x ( ) xác định trên tại điểm bất kỳ dom dom n x h n f
sao cho f x n ( )h x( ) với mọi n , nghĩa là, với hầu hết x X ; vì vậy fL 0 Đặt u f L 0 Nếu v L 0 , lấy v g trong đó gL 0 , khi đó u n v với mọi n với mỗi n , f n h k n g với hầu hết xX f x, n ( )g x( ) với mỗi n
trong L 0 Vì A là bất kỳ, L 0 là Dedekind -đủ
(b) (i) Giả sử rằng ( X , , ) là địa phương hóa
AL 0 là một tập khác rỗng bất kỳ có cận trên w 0 L 0 Đặt
Tập hợp A được định nghĩa là các hàm đo được từ X vào, trong đó mọi phần tử của A có dạng f • với f thuộc A Đối với mỗi q thuộc E, E q là tập hợp các tập con của X có thể biểu diễn dưới dạng { x : f(x) ≥ q } với f thuộc A Điều này cho thấy rằng q là một tập con của Σ.
Do( X , , ) là địa phương hóa nên có một tập F q là một cận trên đúng chủ yếu cho E q Với x X , đặt
•( ) sup{ : , q }, g x q q xF chấp nhận là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và là sup Khi đó
* h k n f g Thật vậy với mỗi q ,đặt
E x f x q E thì E q ‚ F q là bỏ qua được Đặt ( q q ). q
( ) *( ) , f x q g x q suy raf x( )g x * ( ) và do vậy f h k n g *
Nếu :h X là đo được và u h • với mỗi u A , thì
G q x h x q với mỗi q Nếu EE q , có một f A sao cho
E x f x q bây giờ f h k n h, vì vậy E‚ G q { : ( )x f x h x( )} là bỏ qua được
Vì F q là một cận trên đúng cốt yếu của E q , nên F q ‚ G q là bỏ qua được với mỗi q Dẫn đến
‚ là bỏ qua được, và
Chú ý rằng chúng ta đang giả sử A khác rỗng và A có một cận trên w 0 L 0 Lấy f 0A bất kỳ và một hàm đo được h 0:X sao cho h 0 • w 0; khi đó
h k n f h với mỗi f A , vì vậy f 0 h k n g * h k n h 0 , và g * phải hữu hạn hầu khắp nơi Đặt g x( )g x * ( ) khi g x * ( ) , ta có gL 0 và g h k n g * , vì vậy
Trong đó f h , là các hàm đo được từ X , f • A và h • là một cận trên của A; nghĩa là, ug •w với uA và w là một cận trên của A
18 Điều này có nghĩa là g • là cận trên nhỏ nhất của A trong L 0 Do A là bất kỳ, nên
(ii) Giả sử rằng L 0 là Dedekind đủ, ( X , , ) là nửa-hữu hạn,Elà một tập con tùy ý của Đặt
Khi đó A bị chặn trên bởi (X) • vì vậy có một cận trên bé nhất w L 0 Biểu diễn w như là h • trong đó :h X là đo được, và đặt F x h x : 0 Khi đó
F là một cận trên đúng cốt yếu của E trong Thật vậy,
( ) Nếu E E , thì (E) • w vì vậy E h k n h, nghĩa là, h x ( ) 1 với hầu hết
, x E và E ‚ F { : x x E h x , ( ) 1} là bỏ qua được
( ) Nếu G và E ‚ G là bỏ qua được với mỗi E ‚ E , thì E h k n G với mỗi
E E nghĩa là, (E) • (G) • với mỗi E E ; vì vậy w(G) • , nghĩa là, h h k n G Tương tự F ‚ G { : ( ) x h x ( G x )( )} là bỏ qua được
Do E tùy ý nên ( X , , ) là địa phương hóa
Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ, L 0 L 0 ( ), L 0 L 0 ( ).
(a) Nếu f f g g 1 , 2 , 1 , 2 L 0 và f 1 h k n f g 2 , 1 h k n g 2 thì f 1 g 1 h k n f 2 g 2 Tương tự, ta định nghĩa phép nhân trong L 0 bằng cách đặt f • g • (f g) • với tất cả f g, L 0 (b) Với mọi u v w, , L 0 và c , dễ dàng kiểm tra
, u1 1 u u trong đó 1 là hàm hằng nhận giá trị 1,
| u | | | v nếu và chỉ nếu có một w sao cho |w|1 • và u v w
2.1.8 Hoạt động của các hàm Borel trên
Giả sử (X, Σ, μ) là một không gian đo và h: X → R là một hàm Borel đo được Khi đó, hf thuộc L^0(μ) với mọi f thuộc L^0, và hf = h(k_n)g nếu f = h(k_n)g Do đó, một hàm h trong L^0 được xác định bằng cách đặt h(f)(•) = (hf)(•) với mỗi f thuộc L^0.
Ví dụ, nếu u L 0 và p 1, ta xét | |u p h u( ) trong đó h x( ) | | x p với x 2.1.9 Không gian phức
Giả sử ( X , , ) là một không gian đo
Viết L 0 L 0 ( ) cho không gian các hàm nhận giá trị phức f, trong đó dom f là một tập con có phần bù bỏ qua được của X Đồng thời, tồn tại một tập con E ⊆ X có phần bù bỏ qua được sao cho f E là đo được, tức là cả Im f và Re f đều thuộc.
L Tiếp theo, L 0 L 0 ( ) sẽ là không gian gồm các lớp tương đương trong L 0 dưới quan hệ tương đương “ h k n “
L 0 là một không gian tuyến tính, trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng được mô tả một cách dễ dàng Mặc dù không có cấu trúc thứ tự, chúng ta vẫn có thể xác định một 'phần thực' trong không gian này.
{f :f L là thực hầu khắp nơi}, hiển nhiên xác định được không gian tuyến tính thực L 0 , và các ánh xạ tương ứng
( ) u Re u , uIm u( ) :L 0 L 0 sao cho u Re u ( ) iIm u ( ) với mỗi u, Re(u)là phần thực của u, Im(u) là phần ảo của u
Hơn nữa, chúng ta có một ký hiệu của `trị tuyệt đối', viết là
| f | | f | với mỗi fL 0 , thỏa mãn | cu | | || c u |,| u v | | u | | | v với u v, L 0 và c
Hiển nhiên, ta vẫn còn một phép nhân trong L 0 thỏa mãn tất cả các công thức trong 2.1.7
(c) Với bất kỳ uL 0 , u là cận trên đúng trong L 0 của {Re(u) : ,| | 1}.
Thật vậy, nếu | | 1 , thì Re ( u ) | u | | u | vì |u| là một cận trên của
{Re(u) :| | 1} Hơn nữa, nếu v L 0 và Re(u)v với | | 1 , ta biểu diễn u, v là f g trong đó • , • f :X và g X : là đo được Với mỗi q , x X đặt f x q ( )Re e f x( iqx ( )) Khi đó f q a e g Tương tự H{ : x f x q ( )g x ( ) với mỗi
} q là có phần bù bỏ qua được Dĩ nhiên H { :| x f x ( ) | g x ( )}, do đó
| f | h k n g và | u | v Vì v bất kỳ, | u | là cận trên nhỏ nhất của { Re ( u ) :| | 1}
L là tập hợp các lớp tương đương của hàm khả tích, mô tả nhiều định lý quan trọng liên quan đến hàm khả tích Không gian này không chỉ cung cấp các giải pháp cho nhiều phương trình tích phân phức tạp mà còn bổ sung cho không gian các hàm liên tục.
Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ
(a) Giả sử L 1 L 1 ( ) là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của
X, khả tích trên X Khi đó L 1 L 0 L 0 ( ) , như đã định nghĩa trong 2.1.1, và với f L0, chúng ta có f L 1 nếu và chỉ nếu có một gL sao cho 1 |f | h k n g; nếu fL1, gL 0 và f h k n g , thì gL 1
Định nghĩa L1 là tập hợp các lớp tương đương của các phần tử trong L1, ký hiệu là L1(μ) ⊆ L0(μ) Nếu hai hàm f và g thuộc L1 và f = hk n g, thì tích phân của f bằng tích phân của g, tức là ∫f = ∫g Tương tự, một hàm f trên L1 có thể được xác định bằng cách viết ∫f • = ∫f cho mọi f thuộc L1.
với u L A 1 , X (xác định bằng cách viết •
với mỗi f L ) Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra rằng nếu 1 f h k n g thì
; và điều này là do f A g A hầu khắp nơi trên A □
do E f f E với mỗi hàm khả tích f
(d) Nếu uL 1 ,thì tồn tại một hàm - đo được, - khả tích f :X sao cho
Trong không gian đo (X, Σ, μ), tồn tại một hàm đo f: X → R sao cho f • = u, và f là khả tích vì nó gần như bằng một hàm khả tích khác Theo định lý 2.2, L1(μ) là một không gian con tuyến tính của L0(μ), với tích phân ∫: L1 → R là một hàm tuyến tính.
Chứng minh: Nếu u v, L 1 L 1 ( ) và c , , f g là các hàm khả tích sao cho
, u f vg ; khi đó f + g và c f là khả tích, vì vậy u v (f g) • và cu( )cf • thuộc vào L 1 Ngoài ra u v f g f g u v
2.2.2 Cấu trúc thứ tự của
Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ
(a) L 1 L 1 ( ) có một cấu trúc thứ tự được suy ra từ L 0 L 0 ( ) (2.1.5); nghĩa là,
• • f g nếu và chỉ nếu f g hầu khắp nơi Là một không gian con tuyến tính của
L 0, L 1 phải là một không gian tuyến tính sắp thứ tự một phần (hai điều kiện của 2.1.5c là hiển nhiên theo tính chất của không gian con tuyến tính)
Chú ý rằng nếu u v, L 1 và uv thì u v, bởi vì nếu f g , là các hàm khả tích và f h k n g thì f g
(b) Nếu uL v 0 , L 1 và | u | | | v thì u L 1 Thật vậy, giả sử f L 0 L 0 ( ),
( ) gL L sao cho u f • , v g • ; thì g là khả tích và | f | h k n |g|, vì vậy f khả tích và u L 1
2 2 u v u v u v u v u v u v thuộc vào L 1 với tất cả u v, L 1 Nhưng nếu wL 1 , chắc chắn là chúng ta có
, w u w v w u v w u w v w u vbởi vì điều này đúng với mọi w L 0, và vì u v sup{ , } u v , u v inf{ , } u v trong L 1 Do vậy L 1 là một không gian Riesz
(e) Chú ý rằng nếu u L 1 , thì u0 nếu và chỉ nếu 0
với mỗi E ; điều này là bởi vì nếu f là một hàm khả tích trên X và 0
Tổng quát hơn, nếu u v, L 1 và
với mỗi E , thì u v Cuối cùng nếu , 1 u vL và
(f) Nếu u0 trong L 1 , có một hàm không âm fL 1 sao cho f • u
Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ
(a) Với f L 1 L 1 ( ), Ta viết || f || 1 | | [0, )f Với u L 1 L 1 ( ) , đặt || || u 1 | | u , vì vậy || f • || || 1 f || 1 với mỗi fL 1 Khi đó || || 1 là một chuẩn trên L 1 Thật vậy, (i) Nếu u v, L 1 thì | u v | | u | | | v , bởi 241Es, vì vậy
(iii) Nếu u L 1 và || ||u 1 0, biểu diễn u là f • , trong đó f L 1 ; thì | |f | | 0u Bởi vì | f | là không âm, nó phải bằng 0 hầu khắp nơi, vì vậy f h k n 0 và u0 trong L 1
(b) Do vậy L 1 cùng với chuẩn || || 1 , là một không gian định chuẩn và : L 1 là một toán tử tuyến tính, nhận thấy rằng || || 1, bởi vì
(d) L 1 là không gian Riesz định chuẩn thỏa mãn:
Thật vậy, nếu vL u 1 , ( )L 1 thì ||u v || || 1 u o || 1 ; điều này là do nếu f g, L 1 và f h k n 0, | f x ( ) g x ( ) | | min( ( ), 0) | g x với f(x) và g(x) xác định và f x ( ) 0 hầu khắp nơi, vì vậy
Nếu \( v \in L^1 \) và \( v \neq 0 \), thì quả cầu \( \{ w : ||w - v||_1 < \delta \} \) không giao với \( L^1_+ \), trong đó \( \delta = ||v \wedge 0||_1 > 0 \) bởi vì \( v \wedge 0 \neq 0 \) Điều này cho thấy rằng \( L^1 \) và \( L^1_+ \) là không gian mở và \( L^1_+ \) là không gian đóng Để đạt được kết quả tiếp theo, chúng ta cần một biến thể của Định lý Levi.
Bổ đề 2.3 Giả sử ( X , , ) là một không gian đo và ( )f n n là một dãy của các hàm nhận giá trị thực khả tích thỏa mãn
(a) Đầu tiên giả sử rằng mỗi f n là không âm Đặt
với mỗi n ; khi đó (g n n ) là tăng hầu khắp nơi, và
là hữu hạn, vì vậy theo Định lý B.Levi f là khả tích và m , li n f n g
Trong trường hợp này, tất nhiên là,
(b) Trong trường hợp tổng quát, đặt 1 (| | ), 1 (| | )
2 2 n n n n n n f f f f f f , khi đó f n và f n là các hàm không âm khả tích, và
đều khả tích Mặt khác, do f 1 h k n h 1 h 2 , vì vậy
Định lý 2.4 Với không gian đo ( X , , ) bất kỳ, L 1 ( ) đầy đủ đối với chuẩn || || 1 Chứng minh:
Giả sử ( )u n n là một dãy Cauchy trong L 1 sao cho ||u n 1u n ||14 n với mỗi n Chọn hàm khả tích f n sao cho f 0 • u 0 , f n • 1 u n 1 u n với mỗi n Khi đó
là khả tích, và u f • L 1 Đặt
với mỗi n; khi đó g n • u n , vì vậy
với mỗi n Do vậy lim n 1 n u u L
Do ( )u n n là túy ý nên L 1 là đầy đủ Định nghĩa 2.5 Một dàn Banach là một không gian Riesz U cùng với một chuẩn
(i) || u || || || v khi mà u v , U và | u | | | v , viết | u | thay cho u ( u ),
(ii) U là đầy đủ đối với chuẩn || || Theo tính chất của chuẩn trong L 1 và theo định lí 2.2.3 ta có không gian Riesz định chuẩn ( , )L 1 1 là một dàn Banach
2.2.4 là một không gian Riesz
Trong không gian tuyến tính có thứ tự L1, theo cách đã trình bày trong các phần 2.1.5 đến 2.1.7 cho L0, định lý 2.5 chỉ ra rằng nếu (X, Σ, μ) là một không gian đo bất kỳ, thì L1(μ) là không gian Dedekind đủ.
(a) Giả sử AL 1 là một tập khác rỗng và bị chặn trên trong L 1 Đặt
Khi đó A A , A' có cùng các cận trên như A và u v A với tất cả u v , A Lấy w 0 là một cận trên bất kỳ của A và A', chúng ta có u w 0 với mọi u A , vì vậy sup u A
được xác định trên Với mỗi n, chọn u n A sao cho u n 2 n
Bởi vì L 0 L 0 ( ) là Dedekind -đủ , * sup n n u u
được xác định trên L 0 , và
(b) Mấu chốt ở đây là u * là một cận trên của A
Thật vậy, nếu uA, thì uu n A với mỗi n, vì vậy
uu n u n ( 2 ) n 2 n với mỗi n; vì vậy ||u u u * ||10 Nhưng điều này có nghĩa là u u u * , tức là u u * Vì u tùy ý nên u * là một cận trên của A.□
Không gian L ∞
Chứng minh: a) Nếu và , thì
Thật vậy, ta có sao cho và
Từ đó suy ra với và hay là không gian con tuyến tính của b)
(i) Lấy , sao cho Khi đó Giả sử sao cho ; khi đó , vì vậy và
(ii) Vì nên với Do đó thuộc vào với tất cả c)
(i) Nếu , lấy sao cho Khi đó tồn tại một số sao cho
(ii) Tất nhiên , vì vậy , và nếu và thì (theo b) d) với
Thật vậy, nếu và , thì
Vì vậy với tất cả e) Nếu và , tồn tại một số sao cho , vì vậy
; do là khả tích và là đo được thực sự, nên là khả tích và □
2.3.1 Cấu trúc thứ tự của
Giả sử là một không gian đo bất kỳ Khi đó , là một không gian con tuyến tính của , thừa hưởng một thứ tự từng phần và trở
35 thành một không gian tuyến tính có thứ tự từng phần Bởi vì nếu
Không gian Riesz (2.3.2b) có đặc điểm là tồn tại một đơn vị, và với mỗi phần tử trong không gian này, luôn có một số sao cho điều kiện nhất định được thỏa mãn (so sánh 2.3.3d).
Giả sử là một không gian đo bất kỳ
(a) Với , khi đó cận trên đúng cốt yếu của là là không bỏ qua được
Khi đó Thậy vậy, đặt Với mỗi , có một sao cho Khi đó, là không bỏ qua được, vì vậy
(b) Nếu và , thì Tương tự chúng ta có thể định nghĩa một phiếm hàm
trên bằng cách đặt nếu
(c) Từ (a), chúng ta thấy rằng, với bất kỳ, , trong đó
Do vậy là một chuẩn trên
Thật vậy, thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(iii) Nếu , tồn tại một sao cho và ; do nên
(d) Chú ý rằng nếu , và thì do đó và
Do vậy là một đại số Banach giao hoán
(e) Hơn nữa, với và , bởi vì
Nếu u và v là các phần tử không âm, thì với mỗi không gian đo bất kỳ, điều này dẫn đến Định lý 2.12, trong đó cho thấy rằng các phần tử này tạo thành một dàn.
Chúng ta đã biết rằng nếu một dãy là Cauchy trong không gian metric, thì nó cần phải kiểm tra tính đầy đủ theo chuẩn Giả sử có một dãy Cauchy trong không gian này, với mỗi ε được chọn sao cho khoảng cách giữa các phần tử của dãy nhỏ hơn ε cho mọi n đủ lớn.
Dẫn đến là bỏ qua được (theo 2.3.4) Nghĩa là là không bỏ qua được
Mỗi dãy Cauchy đều có giới hạn thuộc không gian số thực, do đó nó được xác định hầu hết mọi nơi Hơn nữa, nếu tồn tại ít nhất một giá trị, thì dãy này sẽ hội tụ Nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì với mỗi số dương, ta có thể tìm thấy một số tự nhiên sao cho các phần tử của dãy nằm trong khoảng gần giới hạn đã xác định.
Do là tùy ý, nên không gian là đầy đủ
2.3.3 Tính đối ngẫu giữa và
Giả sử là không gian đo bất kỳ
Chú ý rằng nếu có điều kiện nhất định, thì chúng ta có một toán tử tuyến tính bị chặn T từ không gian vào không gian định chuẩn đối ngẫu, được xác định cho tất cả các trường hợp.
(i) Bởi (a), được định nghĩa tốt với ,
Suy ra là hàm tuyến tính với mỗi
(iii) Với bất kỳ và , ta có: Điều này có nghĩa là và với mọi
Vì u là bất kỳ, và nên là tuyến tính (v) Từ (iii) ta thấy rằng với mọi , từ đó ta thấy □
(c) Lập luận như trên, ta có một toán tử tuyến tính , xác định bởi
38 với mọi và lớn nhất là bằng 1 Định lý 2.13 Giả sử là một không gian đo, và là ánh xạ chính tắc Khi đó:
(a) T là đơn ánh nếu và chỉ nếu là nửa hữu hạn, và trong trường hợp này nó bảo toàn chuẩn
(b) T là song ánh nếu và chỉ nếu là địa phương hóa, và trong trường hợp này nó là một đẳng cấu không gian định chuẩn
Giả sử T là một đơn ánh và có một điều kiện không bằng 0 hầu khắp Khi đó, trong không gian đó, ta có thể biểu diễn u như là một hàm khả tích f Đồng thời, giả sử g là một hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Khi đó, biểu diễn g được xác định cho mỗi i, và tồn tại một i sao cho tập hợp E là một tập con đo được với độ đo hữu hạn và khác 0.
Do E tùy ý nên phải là nửa- hữu hạn nếu T là đơn ánh
Giả sử rằng tập hợp \( A \) là nửa-hữu hạn và có độ đo khác 0 Biểu diễn \( v \) dưới dạng \( A \) với \( A \) là tập đo được Khi đó, với \( B \) có độ đo khác 0, ta có thể lấy \( B \) để phân tích thêm về đặc điểm của tập hợp này.
0 và hữu hạn, và đặt nếu , và f x 0 trong các trường hợp khác; khi đó và với , vì vậy, đặt , ta có:
Từ đó, có thể kết luận rằng vì a là tùy ý, nên điều này áp dụng cho mọi thuộc vào Theo mục 2.3.6, điều tương tự cũng đúng với T, vì vậy T không chỉ bảo toàn chuẩn mà còn là đơn ánh.
Sử dụng định nghĩa của "địa phương hóa" và các điều kiện đã nêu, ta có thể khẳng định rằng nếu T là đơn ánh và bảo toàn chuẩn, thì T sẽ là toàn ánh nếu và chỉ nếu nó là địa phương hóa.
Giả sử T là toàn ánh và tập hợp X Nếu S là họ các hợp hữu hạn của các phần tử trong X, và S không chứa phần tử nào trong X, thì S đóng dưới phép lấy hợp hữu hạn Hơn nữa, với bất kỳ phần tử nào a, S sẽ được bỏ qua với mọi phần tử b nếu và chỉ nếu a cũng bị bỏ qua với mỗi phần tử trong S.
Nếu , khi đó tồn tại thuộc Thật vậy, nếu u là không âm, thì
Với u khác, chúng ta có thể biểu diễn u như là , trong đó và là không âm, và khi đó h u( )h u( ) 1 h u( ) 2
Hiển nhiên là tuyến tính, và là một giới hạn của các hàm tuyến tính
Với mọi giá trị của u, ta có thể suy ra rằng T là toàn ánh, từ đó tồn tại một giá trị sao cho v có thể được biểu diễn Điều này cho thấy v là một hàm đo được và có tính chất cơ bản bị chặn.
Nếu và là không bỏ qua được, thì tồn tại một tập sao cho ; do đó vì với
Bởi vậy là bỏ qua được với mỗi
Giả sử rằng việc thỏa mãn là có thể bỏ qua với mỗi Nếu không thể bỏ qua, sẽ tồn tại một tập hợp có độ đo khác 0 và hữu hạn Do đó, với mỗi , ta có thể kết luận rằng với mọi , và ; nhưng với mọi cũng dẫn đến
, dẫn tới mâu thuẫn Do vậy là bỏ qua được
Suy ra G là một cận trên đúng cơ bản của thuộc Do là tùy ý, là địa phương hóa
(iii) Giả sử là địa phương hóa, ta cần chứng minh rằng T là toàn ánh
Lấy thỏa mãn Viết , và với xác định bởi công thức: với mỗi
Khi đó , và nếu là dãy rời nhau trong có hợp là E, khi đó thuộc Thật vậy, ta có: khi
Bởi vậy, hàm cộng tính được xem là đếm được Theo định nghĩa, hàm này liên tục và tồn tại một hàm khả tích thỏa mãn theo định lý Radon-Nýkodym cho mỗi trường hợp cụ thể.
; chúng ta có thể lấy là đo được và có miền xác định X
(iv) Điều đáng chú ý là Nếu thì nhưng điều này chỉ xảy ra khi Một cách tương tự, nếu , thì suy ra □
(v) Nếu , khi đó hầu khắp nơi trên Nếu và thì
Từ đó suy ra điều cần chứng minh
Vì là khả địa phương hóa nên có một hàm đo được thỏa mãn hầu khắp nơi trên F, với mọi
(vi) Với bất kỳ, tập
41 là bỏ qua được; bởi vì là nửa-hữu hạn, là bỏ qua được, và , với Do vậy , và Tv L 1 *
Nếu thì từ đó suy ra rằng với mọi hàm đơn giản, cả hai hàm và h đều liên tục Hệ quả là lớp tương đương của các hàm đơn giản tạo thành một tập con trù mật Do đó, giá trị của T được xác định là
Không gian L
Định nghĩa 2.8 Giả sử là không gian đo bất kỳ, và p 1, Viết là tập các hàm sao cho là khả tích, và với
Chú ý rằng nếu và , khi đó vì vậy là khả tích và ; do vậy
Chúng ta có thể xác định bằng cách viết với mọi sao cho với mọi Theo Đinh lý 2.16, giả sử là một không gian đo bất kỳ, và p thuộc khoảng (1, ∞).
(a) là không gian con tuyến tính của
(b) Nếu và , thì Do vậy và thuộc vào với mọi
Trường hợp đã được xét trong 2.2 và 2.3
Bây giờ ta giả sử rằng
(a) (i) Giả sử rằng Nếu thì , vì vậy ; do và nên
Do đó với tất cả ; từ đó suy ra với mọi
(ii) Nếu và thì , do vậy Suy ra với và
(b) (i) Biểu diễn u như là và v như là , trong đó và Khi đó vì vậy và là khả tích; do đó và
(ii) Do nên với Cuối cùng và thuộc vào với tất cả
2.4.1 Cấu trúc thứ tự của
Giả sử có một không gian đo bất kỳ, theo định lý 2.16, thứ tự từng phần nhận được từ không gian đó đảm bảo rằng nó là một không gian Reisz, phù hợp với các điều kiện trong các định lý 2.2.2 và 2.3.1.
Giả sử là một không gian đo bất kỳ,
(a) Với , đặt Nếu và thì do vậy Do đó ta có thể xác định bằng cách đặt với mọi Ta có với mọi
Ký hiệu p dự đoán rằng nó sẽ trở thành một chuẩn mực trong tương lai, điều này sẽ được chứng minh sau Lưu ý rằng với mọi trường hợp, nếu điều kiện nhất định được thỏa mãn, thì các kết luận liên quan cũng sẽ được áp dụng.
(c) Nếu trong thì ; điều này là do
Chúng tôi tập trung vào các bổ đề cần thiết để chứng minh rằng p là một chuẩn trên không gian Thực tế, không gian định chuẩn đối ngẫu có thể được đồng nhất với một không gian thích hợp.
Bổ đề 2.17 Giả sử là một không gian đo, và thỏa mãn
(a) với tất cả các số thực
(i) là khả tích và với tất cả , ;
(ii) và với tất cả
Nếu a hoặc b bằng 0, kết quả sẽ trở nên tầm thường Tuy nhiên, khi cả hai đều khác 0, hàm số sẽ có tính lồi và đạo hàm cấp hai dương, điều này khiến nó nằm hoàn toàn bên dưới các tiếp tuyến, đặc biệt là bên dưới tiếp tuyến tại điểm (1, 1).
Vì vậy ta có với mọi Nên nếu thì p p ( ) f L L || f || p | | f p 1/ p f g , L p f h k n g
46 nhân cả hai vế với d, ta được đặt , suy ra
(b) (i) Đầu tiên giả sử rằng Với mọi chúng ta có bởi (a) Vì vậy và là khả tích; hơn nữa
Tương tự, nếu , thì và
Cuối cùng, để cho tổng quát sao cho và đều khác 0, chúng ta có nên là khả tích và có điều phải chứng minh
(ii) Nếu lấy , sao cho , ; là khả tích, nên
Nhận xét Phần (b) là bất đẳng thức Holder's Trong trường hợp thì nó là bất đẳng thức Cauchy
Mệnh đề 2.18 Giả sử là một không gian đo và Đặt
Nếu , thì Nếu thì chắc chắn
Nếu xét hàm Borel đo được, ta có thể viết rằng nếu bằng 0, thì hàm này được xác định Đối với các trường hợp khác, ta sẽ xác định hàm tương ứng để có được kết quả chính xác.
Vì vậy nhớ rằng Do vậy và
(b) Từ nhận xét trong 2.4.1, chỉ cần kiểm tra rằng với mọi
Nhưng với u và v đã cho, giả sử sao cho và
Khiđó có điều phải chứng minh Định lý 2.19 Giả sử là một không gian đo bất kỳ, và Khi đó là một dàn Banach đối với chuẩn p
Các trường hợp đã được đề cập, bây giờ ta giả sử rằng
Ta đã biết nếu , vì vậy ta chỉ cần chứng minh rằng là đầy đủ Giả sử là một dãy trong thỏa mãn với mọi
Chú ý rằng với mọi n Với mỗi , chọn sao cho với ; ta có và là - đo được Khi đó với
0 a a0 sgn : fL0 (sgn )( ) f x sgn ( ( )) f x x dom f sgn f L 0 fL 0
Với , đặt Khi đó với vì vậy và
Vì vậy và với mỗi k, do đó và tồn tại với hầu hết Điều này đúng với mọi Nhưng nếu
Với mọi n, sự tồn tại của định nghĩa là hiển nhiên Đặt ; khi đó, với mỗi n, định nghĩa này được áp dụng hầu khắp nơi trên X Xét trường hợp này, chúng ta biết rằng, theo bổ đề Fatou, điều này dẫn đến kết luận quan trọng.
Hơn nữa, với bất kỳ ,
Do đó thuộc Vì tùy ý, là đầy đủ
2.4.3 Một số không gian con trù mật của
Giả sử có một không gian đo bất kỳ, và không gian S được xác định bởi các lớp tương đương của các hàm Không gian S chính là không gian con tuyến tính trù mật của không gian đo đó.
Giả sử X là một tập con của không gian, với độ đo được xác định trên X dựa vào độ đo Lesbegue Tập hợp các hàm liên tục và bị chặn trên X sẽ được ký hiệu là
49 thỏa mãn là bị chặn, và là không gian gồm các tổ hợp tuyến tính của các hàm có dạng , trong đó là một khoảng nửa mở bị chặn
Khi đó và là trù mật trong
(a) Ta lặp lại lập luận của 2.2.6 với một sự thay đổi nhỏ
Giả sử rằng \( \epsilon > 0 \) Biểu diễn \( u \) như là một hàm đo được Giả sử có một hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện nhất định Đặt \( h \) là một hàm đơn giản, từ đó có thể suy ra các đặc điểm của hàm \( h \).
Bời vì và vì vậy trong khi
Tổng quát với uL p , 0, u có thể được biểu diễn như là trong đó thuộc vào và đều không âm Ta có thể tìm sao cho 1 1
2 u v p vì vậy và u v p Do u và tùy ý nên S là trù mật
Một lần nữa, tất cả các ý tưởng chứng minh đã được trình bày trong phần 2.2.6; sự thay đổi chỉ nằm ở công thức mà không ảnh hưởng đến phương pháp Chúng ta nên chú ý ngay từ đầu rằng với và.
; điều này suy ra từ bất đẳng thức tam giác đối với p (mệnh đề 2.18)
Giả sử rằng f = χI(X), với I là một nửa khoảng mở bị chặn Như đã đề cập trước đó, chúng ta có thể xác định và có các giá trị tương ứng Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp xây dựng tương tự để tìm một khoảng J và một hàm số sao cho các điều kiện cần thiết được thỏa mãn.
; điều này sẽ bảo đảm rằng p p
Giả sử có một tập hợp có độ đo hữu hạn, thì từ những lý do đã nêu trước đó, có thể xác định một họ rời nhau các khoảng nửa mở.
50 sao cho r (E j n I j ) p Do đó và
Và (i) cho ta biết rằng với mỗi có một hàm sao cho
Chúng ta đã khởi đầu với các hàm đơn giản, sau đó chuyển sang các hàm bất kỳ và sử dụng chúng thay cho Cuối cùng, cần ghi nhớ phép biến đổi từ tới để kiểm tra rằng
Hệ quả 2.20 Không gian là khả ly
A là một tập con đếm được của một tập hợp lớn hơn, và bao đóng của A phải chứa tập hợp này, tức là bao đóng của A là một tập đóng chứa A và đồng thời là toàn bộ theo mệnh đề 2.20.
2.4.4 Tính đối ngẫu của các không gian