De thi chon HSG lop 8 nam hoc 1213

Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.. Điểm số đợc làm tròn theo quy định.[r]

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx= 0 và x + y +z= -1

Tính giá trị biểu thức M=

z  y  x

b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn x5y5 2x y3 3

Chứng minh H =

1 1

xy



là bình phơng của một số hữu tỷ

Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1

b/ Tìm x, y thoả mãn

2 2

2 2

4

Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M=x25y2 2xy6x18y50 b/Giải phơng trình x2 43 7x103 x2 7x63

Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N Qua E vẽ đờng thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H

a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh

1

c/ Phân giác AD của ABC cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm ABC

Chứng minh nếu AB+ AC= 2BC thì IG//BC

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 và x + y +z = - 1

Tính giá trị biểu thức M=

z  y  x

b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn x5y5 2x y3 3

Chứng minh H =

1 1

xy



là bình phơng của một số hữu tỷ

Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1

b/ Tìm x, y thoả mãn

2 2

2 2

4

Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M=x25y2 2xy6x18y50

b/Giải phơng trình x2 43 7x103 x2 7x63

Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N Qua E vẽ đờng thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H

a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh

1

c/ Phân giác AD của ABC cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm ABC

Chứng minh nếu AB + AC= 2BC thì IG//BC

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)

H ớng dẫn chấm Toán lớp 8

Bài 1: (2,5 điểm) Câu a=1,5 đ ; câu b=1 đ

a/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 

1 1 1

0

x yz  (0,25 đ)

Nên M=

z  y  x = xyz 2 2 2

  (0,25 đ)

=

2

=xyz

b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn x5y5 2x y3 3

nên ta có

(0,25 đ)

vậy H =

1

1

xy



=

1

  là bình phơng của một số hữu tỷ

Bài 2: (2 điểm) mỗi câu 1 điểm

a/Ta có G(x)= x2010 + x3 + ax2 + x + b= (x2010 - 1)+(x3- 1)+ ax2 + x + b+ 2

Vì x2010 - 1 = (x- 1) (x2+ x +1)Q(x) và x3- 1=(x- 1) (x2+ x + 1) chia hết cho x2+ x + 1 nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x2 + x + 1

Thì ax2 + x + b+ 2 chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 (0,25 đ)

Ta có ax2 + x + b+ 2 chia cho H(x)=x2+ x + 1 đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a Vậy để ax2 + x + b chia hết cho H(x)=x2+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= 0 với mọi x

Nên 1- a= 0 và b+ 2- a= 0  a1 và b= -1 (0,5 đ)

b/ Ta có

2 2

2 2

4

2 2

    (0,5 đ)

nên ta có

2

2

1 1 1

1 1

0

1 1 1

x y x

y

x y

y

y y

x y

 



















 



 

 

 (0,5 đ)

Bài 3: (2,5 điểm) Câu a =1 đ; câu b =1,5 đ

a/ Chứng minh biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y

Ta có M=x25y2 2xy6x18y50=x2 2xy6x y 2 6y 9 4y212y 9 32 (0,25 đ) =x2 2x y  3  y 322y 3232

= x y 222y 3232 0

với mọi giá trị của x, y vì (0,25 đ) b/Ta có x2 43 7x103x2 7x63  x2 7x637x1034 x3 0

(0,25 đ)

đặt x2 -7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x2=c ta có a+b+c=0 và a3 + b3 +c3=0

Ta chứng minh đợc a3 + b3 +c3=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 hoặc b=0; c=0 (0,5 đ)

xét các khả năng ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x=

10

7 x  (0,75 đ)

Bài 4: (3 điểm) mỗi câu đúng cho 1 điểm

a/vì KH//AM nên ta có KE KC KC KH; BK KE KH 2 KE KH 2AM

b/ Trên tia AM lấy F sao cho MA=MF ta có tứ giác ACFB là hình bình hành nên BFAC.

Nên ta có

NE AE AE Ta có BE là phân giác nên ta có 1

BA EA  NE  BA  

Hoặc chứng minh cách khác: Ta có

BA EA  NE  BA  

 ( vì AB+AC=2BC ) Ta có BI là phân giác nên ta

có

1 2 2

BA

IA BA BA  Vì G là trọng tâm ABC nên

1

//

2

IG BC

MÔN : TOáN 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Kì THI HọC SINH GIỏI LớP 8

Năm học: 2011 - 2012

Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).

Bài 1:(2,0 điểm)

1 Tìm hai số tự nhiên a b , sao cho a b   128 và ƯCLN(a,b)=16.

2 Tìm số nguyên tố p

sao cho p  10; p  14cũng là nguyên tố.

Bài 2:(2,0 điểm)

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a

6 x  12 xy  54z  6 y

b x20   x 1

2 Cho đa thức bậc 3 ,

( )    

chia hết cho x  2, f x( ) chia cho x2  1 thì d 2x.

Bài 3: (2,0 điểm)

1 Cho biểu thức

P

2.

Cho

, chứng minh rằng

8

Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ BH  AC, H AC  , gọi M,

N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH

a Tính diện tích của tứ giác ABHD b Chứng minhCF EB  .

c Trên tia đối của tia DC 

lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q C/ m QNM MNP    .

Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).

Bài 1:(2,0 điểm)

3 Tìm hai số tự nhiên a b , sao cho a b   128 và ƯCLN(a,b)=16.

4 Tìm số nguyên tố p sao cho p  10; p  14cũng là nguyên tố.

Bài 2:(2,0 điểm)

3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a

6 x  12 xy  54z  6 y b x20   x 1

4 Cho đa thức bậc 3 ,

( )    

chia hết cho x  2, f x( ) chia cho x2  1 thì d 2x.

Bài 3: (2,0 điểm)

3 Cho biểu thức

P

4.

Cho

8

Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ BH  AC, H AC  , gọi M,

N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH

a Tính diện tích của tứ giác ABHD b Chứng minhCF EB  .

c Trên tia đối của tia DC 

lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q C/ m QNM MNP    .

HƯớNG DẫN VắN TắT ĐáP áN Và BIểU ĐIểM MÔN TOáN HSG LớP 8

Bài 1 (2.0đ)

1 (1.0đ) giả sử a b ; a b1, 1N

, ƯCa b 1; 1  1

để a16a à1v b16b1 0.25đ Thay vào a b 128ta đợc a1b18 0.25đ Suy ra a1 1;b17

Vậy a16;b112 hoặc a48;b80 0.25đ

2.(1,0đ) nếu p 2 (p nguyên tố) p 10 12 không ngtố (loại) Nếu p 3 (nguyên tố)  p10 13; P14 17 nguyên tố 0.25đ Nếu p3; k N suy ra p có dạng p3k1;p3k2

Khi p3k 1 p14 3 k15 3( k5) chia hết cho 3 (loại) Khi p3k 2 p10 3 k12 3( k5)chia hết cho 3 (loại)

0.5đ

Bài 2 ( 2.0đ)

1 (1.0đ) a

6.x 12xy 54z 6y  6( x y  3z)(x y 3z) 0.5đ

b

20 1 20 2 2 1 ( 2 1) 2( 9 1)( 1)( 6 3 1) 1

x   x x  x x   x  x  x x x  x x x   

0.5đ

2.(1.0đ) vì f x( ) ( x  2) nên f(2) 0  8 4a 2  b c 0(1) 0.25đ ( )

f x chia cho x 2 1 d 2x nên f x( ) 2 x(x21)

f    a b c   (2)

f     a b c   (3)

0.25đ

Từ (1); (2) và (3) suy ra

; 1 à

a b v c

; Kết luận đúng

0.5đ

Bài 3 (2.0đ)

1 1.(1.0đ)

P

Nhận xét

2

x   x x   

  với mọi x

Đề p >0  4(x1) 0  x1; Kết luận đúng x1 àv x2

0.5đ

2 (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần

2 2

2

b

a b a b

a

a



2 2

2 2

1

1 2

 

 

a (1.25đ) chứng minh đợc  ABH  CAB 0,25đ Tính đợc

;

kẻ DKAC, K AC

Tính đợc

2 ABHD ABH ADH

Kết luận đúng

0.5đ

b (0.75đ) Chứng minh đợc EF  BC

Chỉ ra đợc F là trực tâm của BEC Kết luận đợc CF  BE

0.75đ

c. (1.5đ) gọi O là giao điểm của MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN tại I.

Chỉ ra đợc Vì MO song song với PC nên

Tơng tự IO song song với NC nên

QO QI

OC IN

0.25đ

Nêu đợc

PM IN suy ra MI song song với PN 0.25đ Chỉ ra đợc NMI MNP (so le trong) 0.25đ Chứng minh đợc  MIN cân tại I; suy ra NMI INM 0.25đ

Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.

Điểm số đợc làm tròn theo quy định

F E

I K

O Q

P

H

N M

(hình vẽ)