Đề thi chọn HSG lớp 8 năm học 12-13

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a... Tính diện tích của tứ giác ABHD.. Đề CHíNH THứC: Đề này gồm có 1 trang.. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a.. Tính diện tích của tứ giác ABH

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx= 0 và x + y +z= -1

Tính giá trị biểu thức M= xy zx yz

z  y  x

b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn x5y5 2x y3 3

Chứng minh H = 1

1

xy

 là bình phơng của một số hữu tỷ

Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1

b/ Tìm x, y thoả mãn 2 2 12 12

4

Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M=x25y2 2xy6x18y50 b/Giải phơng trình x2  43 7x 103 x2  7x 63

Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N Qua E vẽ đờng thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H

a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh NB BC 1

NE BA c/ Phân giác AD của ABC cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm ABC

Chứng minh nếu AB+ AC= 2BC thì IG//BC

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 và x + y +z = - 1

Tính giá trị biểu thức M= xy zx yz

z  y  x

b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn x5y5 2x y3 3

Chứng minh H = 1

1

xy

 là bình phơng của một số hữu tỷ

Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1

b/ Tìm x, y thoả mãn 2 2 12 12

4

Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M=x25y2 2xy6x18y50

b/Giải phơng trình x2  43 7x 103 x2  7x 63

Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N Qua E vẽ đờng thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H

a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh NB BC 1

NE BA c/ Phân giác AD của ABC cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm ABC

Chứng minh nếu AB + AC= 2BC thì IG//BC

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)

H ớng dẫn chấm Toán lớp 8

Bài 1: (2,5 điểm) Câu a=1,5 đ ; câu b=1 đ

a/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0  1 1 1

0

x y z  (0,25 đ)

Nên M=xy zx yz

z  y  x = xyz 2 2 2

  (0,25 đ)

2

(0,5 đ)

b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn 5 5 3 3

2

x y  x y

nên ta có

vậy H = 1

1

xy

1

là bình phơng của một số hữu tỷ

Bài 2: (2 điểm) mỗi câu 1 điểm

a/Ta có G(x)= x2010 + x3 + ax2 + x + b= (x2010 - 1)+(x3- 1)+ ax2 + x + b+ 2

Vì x2010 - 1 = (x- 1) (x2+ x +1)Q(x) và x3- 1=(x- 1) (x2+ x + 1) chia hết cho x2+ x + 1

nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x2 + x + 1

Thì ax2 + x + b+ 2 chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 (0,25 đ)

Ta có ax2 + x + b+ 2 chia cho H(x)=x2+ x + 1 đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a

Vậy để ax2 + x + b chia hết cho H(x)=x2+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= 0 với mọi x

Nên 1- a= 0 và b+ 2- a= 0  a 1 và b= -1 (0,5 đ)

b/ Ta có 2 2 12 12

4

2 2

(0,5 đ)

nên ta có

2

2

1 1 1

1 1

0

1 1 1

x y x

y

x y

y

y y

x y

 























 



 

 



(0,5 đ)

Bài 3: (2,5 điểm) Câu a =1 đ; câu b =1,5 đ

a/ Chứng minh biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y

Ta có M=x25y2 2xy6x18y50=x2 2xy6x y 2 6y 9 4y212y 9 32 (0,25 đ)

=x2 2x y  3  y 32 2y 3232

= x y 222y 3232 0 với mọi giá trị của x, y vì (0,25 đ)

b/Ta có x2  43 7x 103 x2  7x 63  x2  7x 637x 1034  x3 0 (0,25 đ)

đặt x2 -7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x2=c ta có a+b+c=0 và a3 + b3 +c3=0

Ta chứng minh đợc a3 + b3 +c3=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 hoặc b=0; c=0 (0,5 đ)

xét các khả năng ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x=10

7 x  (0,75 đ)

Bài 4: (3 điểm) mỗi câu đúng cho 1 điểm

a/vì KH//AM nên ta có KE KC KC KH; BK KE KH 2 KE KH 2AM

b/ Trên tia AM lấy F sao cho MA=MF ta có tứ giác ACFB là hình bình hành nên BFAC Nên ta có NB BF AC

NE AE AE Ta có BE là phân giác nên ta có 1

BA EA NE BA  

Hoặc chứng minh cách khác: Ta có NB MB MC AC

BA EA NE BA  

c/ Ta tính đợc BD=

 ( vì AB+AC=2BC ) Ta có BI là phân giác nên ta

2

BA

IA BA BA 

Vì G là trọng tâm ABC nên 1

//

2

IG BC

MÔN : TOáN 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Kì THI HọC SINH GIỏI LớP 8

Năm học: 2011 - 2012

Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).

Bài 1:(2,0 điểm)

1 Tìm hai số tự nhiên a b, sao cho a b 128 và ƯCLN(a,b)=16.

2 Tìm số nguyên tố p sao cho p10;p14cũng là nguyên tố.

Bài 2:(2,0 điểm)

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 6 x2 12 xy  54z2  6 y2 b x20  x 1

2 Cho đa thức bậc 3 , f x ( )  x3 a x 2  b x c  Xác định các hệ số a b c, , biết rằng f x( ) chia hết cho x 2, f x( ) chia cho x2  1 thì d 2x

Bài 3: (2,0 điểm)

1 Cho biểu thức

P

tìm x để p0

2 Cho a b ,  0 à v a b   1, chứng minh rằng 4 4 1

8

Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ BH AC, H AC   , gọi M,

N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH

a Tính diện tích của tứ giác ABHD b Chứng minhCF EB

c Trên tia đối của tia DC 

lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q C/ m QNM MNP    .

Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).

Bài 1:(2,0 điểm)

3 Tìm hai số tự nhiên a b, sao cho a b 128 và ƯCLN(a,b)=16.

4 Tìm số nguyên tố p sao cho p10;p14cũng là nguyên tố.

Bài 2:(2,0 điểm)

3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 6 x2 12 xy  54z2  6 y2 b x20  x 1

4 Cho đa thức bậc 3 , f x ( )  x3 a x 2  b x c  Xác định các hệ số a b c, , biết rằng f x( ) chia hết cho x 2, f x( ) chia cho x2  1 thì d 2x

Bài 3: (2,0 điểm)

3 Cho biểu thức

P

tìm x để p0

4 Cho a b ,  0 à v a b   1, chứng minh rằng 4 4 1

8

Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ BH AC, H AC   , gọi M,

N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH

a Tính diện tích của tứ giác ABHD b Chứng minhCF EB

c Trên tia đối của tia DC 

lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q C/ m QNM MNP    .

HƯớNG DẫN VắN TắT ĐáP áN Và BIểU ĐIểM MÔN TOáN HSG LớP 8

Bài 1 (2.0đ) 1 (1.0đ) giả sử



a b ; a b1, 1N, ƯCa b 1; 1  1 để a16a à1v b16b1 0.25đ

2.(1,0đ) nếu p 2 (p nguyên tố) p 10 12 không ngtố (loại)

Nếu p3; k N suy ra p có dạng p3k1;p3k2

Khi p3k 1 p14 3 k15 3( k5) chia hết cho 3 (loại) Khi p3k 2 p10 3 k12 3( k5)chia hết cho 3 (loại)

0.5đ

Bài 2 ( 2.0đ) 1.(1.0đ) a 6.x212xy 54z26y2  6( x y  3z)(x y 3z) 0.5đ

b x20  x 1 x20 x2x2  x 1 ( x2 x 1)x x2( 91)(x1)(x6x3 1) 1 0.5đ

2.(1.0đ) vì f x( ) ( x  2) nên f(2) 0  8 4a 2  b c 0(1) 0.25đ

( )

f x chia cho x 2 1 d 2x nên f x( ) 2 x(x21)

f    a b c   (2)

f     a b c   (3)

0.25đ

Từ (1); (2) và (3) suy ra 10 10

; 1 à

Bài 3 (2.0đ)

1. 1.(1.0đ)

8 2 4 1 3 2 4( 1)

P

Nhận xét

2

x   x x   

với mọi x

Đề p >0  4(x1) 0  x1; Kết luận đúng x1 àv x2

0.5đ

2 (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần

2 2

2

b

a b a b

a

a



2 2

2 2

1

1 2

 

 

;

kẻ DKAC, K AC

Kết luận đúng

0.5đ

b (0.75đ) Chứng minh đợc EF  BC Chỉ ra đợc F là trực tâm của  BEC Kết luận đợc CF  BE

0.75đ

c. (1.5đ) gọi O là giao điểm của MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN tại I.

Chỉ ra đợc Vì MO song song với PC nên QM QO

Tơng tự IO song song với NC nên QO QI

Nêu đợc QM QI

Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.

Điểm số đợc làm tròn theo quy định

F E

I K

O Q

P

H

N M

(h×nh vÏ)